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一道数学竞赛试题的解法探索及启示
一、的提出
笔看在分析2010年全国初中数学联合竟赛试题时.对第一大题
第4小禽产生了极大的兴趣。

厚题如下：若方程。

. 3x-l=0(l)的两个根
也是方程x\ax4bxM=0(2)的根，
则ib-2c 的值为(,)(A)・13 (B)-9 (C)6 (D)0
为什么笔者会对这道试题特别感兴趣？我们一起从解决这一试题
的思路形成过程及解答过程中寻求答案。

二、何题的分析及解决
该题纶出的参冬答案中解答如下：
设m是方程x2-3x-l=O的一个根，则m2-3m-l=O，所以mJ3m+l
o
由鹿意.m也是方程x4>ax2fbx>cxO得根，所以m4fam2+ bin代
=0,把代人上式，得(3m+l)A・mJbmM=0，整理
AVTT
-2~
将x>x2分别代入方程联立方程组并化简得：
(952^-264 VTT+88a+24a VTT+24b+8b VIT+】6c=0 (3)
'952-264\/TT*88a-24aV1T4-24b-8bx/1T♦l^O (4)
(3*)得：3a+b=-33 (5)
(3 片(4)得：lla・3b+2c=-l 19 (6)
(5)x4-(6)得：wb-2g-13
反思一：该思路清嘶、明了 .但在具体运算中.计算过程比较
繁琐,且技巧性比较强•则有下面的分析：
思路分析二：若方程(1)的两个根也是方程(2)的根.则多项式
x^ax^bx+c可分解为/・3x-l与另一个因式乘积的形式，可设
x%ax24-bx-H：=(x2-3x-1 Xx2^mx+n) (7)
其中・mji为待定的系IL为了得到a+b-2c的值，可以有两种
解法.
解必二：由多顼式恒等定理知道，两个多项式恒等，对应次项
的系数对应相等，即由x4+ax2+bx-H5=x4-Hm-3)x3+(n-3in-1) x2-
(m+3n)x-n,得
m-3=0
n-3m-l=a
m+3n=-b
ic=f
典I a+b-2c—13
解法三：(7)式既然是怛等式，那么该式对所有实数均成立，
令x=(»=l得：
n=-c
-3(m+n+ l)=a+b+c+1
1 +a-b+c=4( 1 -m+n)
*l<#a+b-2c=-13
反思二：由思路分析二可知，x%ax、bwc能被F・3x・l 整
除，设其商式F+mx+n,姻余式为O0此时，问题转换为求X、
ax24bx*c 除以x^-Sx-l 的商©
解法四：由长除法m
x4 4-0-jr1?-女-1
* -3.？X 4 >3X4(0 4
10X^30
J G X-t-far +c
3? -X -*
(a^lO)j^ +(64 3)x
(o ♦ 10湿 T。

♦ 10U - 10)
(8 + 3a + 33)x +(Q + c*10)(余式)
右jb+3a+33=O
侣：aw 10=0
解之得：a+b-2c=-13
反思三：由解法四可知.当按长除法计算两多项式之商时，各项排列的位置完全可以表示它们所含字母的次救，故可以略去字母而只写出系数,以简化计算，此方法称为分离系数的长除法。

僻法五：由分离系数的长除法⑶
1 ・0 40 ♦!> ・c 1 ・3 T
■)1 T T h *3 .("10X商式)
3 +("1)・b
3 “・3 _______________
("10) ・(8・3) +c
9 + 10) -3("10) -(。

+ 10)
(8i・33) ♦("♦c・10X余式)
下同解法四。

反思四：显然，分离系数的长除法比长除法简单，为使除法书写更简单一些。

下面我们进一步讨论被除式、除式、商以及余式之间的系数关系：设
Rx)二KX W.I LI・••”以+炒。

(a.#0)・
除以x-a的商及余数分别是q(x)、r,其中
b#T・・4遇1蛎。

(bi。

)
得(9.a)mW6*b)m+c+1 =0。

从而可知：方程x2-3x-1=O的两根也是方程(9+a)mW6+ b)m-K>l=0的根,这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，从而有(9+a)m2+<6+b)m+c+l =k(x2-3x-1)(k 为常数)，故9±a_=6^=c+t，所以Jb=-3a律3 .因此出扯&-也
1 一3 —1 ic=—a—iu
笔者在对这道题经过研究，又得到了下面几种解法：
思路分析一：由原题可知，方程(1)的两个根也是方程(2)的根，据此得：
解法一：求出方程(1)的炯个根：由=号豆•％=
下用待定系数法来确定q(x)中的系数与余数r o f(x)Hx-a)q(x片
T,即
• • • fxQao
=b-ixN<lv厂。

・・・犬蚌81)1*犬卜4
由多项式恒等定理有：
K-i=an
bn»产「汁应2
bo^a^ab)
r=yabo
把这一计算过程写成超式：4 …4■ a
■) 沥.1 •••
bz Qz+*i …q+M/g
L 、…b。

r
用这一算式进行的除法，叫综合除法.对于除式姑高于■•次的多项式，仍可类似进行，据此得以下解法：
解法六：由综合除法有[2]：
1 0 a b c 3 ]
3 1
93
____________ 3(E0) ZO
(商式)1 3 4 + iq3Q + 6・33 Q + C +10 (余式)
下同解法四。

反思五：此方法尽管简单.但确实不好掌握.不过，只要能够交代清楚其原理及推导过程，学生们还是能够理解和掌握的。

三、对中学数学教学的启示
1994年修订的初中数学竞赛大纲中指出，数学竞赛对于开发学生智力、开峋视野、促进教学改革.提高教育水平，发现和培养数学人才都有枳极的作用％
■ ■在当今社会，由于数学竞赛”功利性”目的越来理显著，导致其商业化操作越来越严重,严重违背了数学竞赛的宗旨，因此，全国各地采取一刀切的策略，纷纷取缔了”奥数二但是，由这一试题来说.它不仅体现了算法的多样性，在分析、解答过程中，对开博学生的视野、培养学生代数的推理能力的过程中，充分体现了屋次性及学生的个性差异。

同时，在全国义务教育《败学课程标准解读(实脸稿)》第二篇《标准》的主夏内容与阙述中指出「'数与代数“突出了建函数感、符号感.贯穿了算法多样化和模型化思想.注意了代数的推理能力％因此，作为数学教育工作者，我们不能全盘否定”奥数。

而是要果用“ 量来主义"，然后做恰当的改造，贸穿到我们的教学中，为散学腰务O
♦考资料：
1.高等数学，高等教育出版社.1988年10月第1版.31・ 32
2.全国高等学校民族预科教材《数学》(上)，高等学校民族预科教材编写组，天津教育出版社.2000年5月第3版.57- 58
3.陈传理.张同君.《竞赛败学教程〉，高等教育出版社，2005年4月第二版
4 .全国义务教育《数学课程株准解读(实验稿)》，北京舞范大学出版社J 07-171
事金项目：
[1).2012年甘腐省教育科学”十二五,规划课题[2012] GSGXG039
'(2].甘肃民族师范学院2011年院长科研基金(11-5)。