人教版九年级数学下册相似测试习题及答案.docx

专项训练七
相似
一、
1．两个相似三角形的面 比
1∶ 4， 它 的相似比
(
)
A ． 1∶4
B ． 1∶2
C ． 1∶16
D ．无法确定 2．如 ，在△ ABC 中，点 D 在 AB 上， BD ＝2AD ，D
E ∥ BC 交
段 BC 的 ( )
A ． 7.5
B ． 10
C ． 15
D ． 20
AC 于点 E ，若 段
DE ＝5，
第 2
第 3
第 4
3．如 ，下列条件不能判定△ ADB ∽△ ABC 的是 (
)
D. AD ＝ AB
A ．∠ ABD ＝∠ ACB
B ．∠ ADB ＝∠ ABC
C ．AB 2＝ A
D ·AC
AB BC
4．如 ， 估算学校旗杆的高度，身高
1.6 米的小 同学沿着旗杆在地面的影子 AB 由 A 向 B 走去，当她走到点 C ，她的影子的 端正好与旗杆的影子的 端重合， 此 得 AC ＝ 2m ，BC ＝ 8m ， 旗杆的高度是 ( ) A ． 6.4m B ． 7m C ． 8m D ． 9m
5．如 ， 段 CD 两个端点的坐 分 C(1，2)、D (2，0)，以原点 位似中心，将 段CD
放大得到 段 AB ，若点 B 的坐 (5， 0)， 点 A 的坐 ()
A ． (2， 5)
B ． (2.5， 5)
C ． (3，5)
D ． (3， 6)
第 5
第 6 第 7 第 8
6． (舟山中考 )如 ，矩形 ABCD 中， AD ＝ 2，AB ＝ 3， 点 A ， C 作相距 2 的平行 段 AE ，
CF ，分 交 CD ， AB 于点 E ， F ， DE 的 是 ()
13 5
A. 5
B. 6
C ． 1
D. 6
︵
7．( 水中考 )如 ，已知⊙ O 是等腰 Rt △ABC 的外接 ， 点 D 是AC 上一点， BD 交 AC 于点 E ，
4
若 BC ＝ 4，AD ＝ ， AE 的 是 (
)
A ． 3
B ． 2
C ． 1
D ．1.2
8．★若两个扇形 足弧 的比等于它 半径的比， 称 两个扇形相似． 如 ，如果扇形 AOB 与扇形 A 1O 1B 1 是相似扇形，且半径 OA ∶ O 1A 1＝ k( k 不等于 0 的常数 )．那么下面四个 ： ①∠ AOB ＝∠ A 1
1 1
1 1 1
AB
＝ k ；④扇形 AOB 与扇形 A 1 1 1
2
O B ；②△ AOB ∽△ A O B ；③ A 1B 1
O B 的面 之比 k .成立
的个数 ( )
A ． 1 个
B ．2 个
C ． 3 个
D ．4 个 二、填空
9．(衡阳中考 ) 若△ ABC 与△ DEF 相似且面 之比 25∶ 16， △ ABC 与△ DEF 的周 之比
________．
10．如 ，直 l 1、l 2、⋯、 l 6 是一 等距的平行 ， 直 l 1 上的点 A 作两条射 ，分 与
直 l 3、 l 6 相交于点 B 、 E 、 C 、 F .若 BC ＝ 2， EF 的 是 ________．
第 10 题图第 11 题图11．如图，正方形AO
等于 ________ ．
ABCD 中， E 为 AB 的中点， AF ⊥ DE 于点 O，则DO
1
12． (龙东中考 )平行四边形 ABCD 中，点 E 在直线 AD 上， AE＝3AD ，连接 CE 交 BD 于点 F，则EF∶ FC 的值是 ________．
三、解答题
13．如图，在8× 8 的正方形网格中，△CAB 和△ DEF 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上．
(1)填空： AC＝ ________， AB＝ ________；
(2)判断△ CAB 和△ DEF 是否相似，并说明理由．
14．如图，要在宽为22 米的大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长 2 米，且与灯柱BC 成 120 °角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO 与灯臂 CD 垂直，当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中
心线时照明效果最佳，求路灯灯柱BC 的高度．
15．如图，⊙ O 的半径为5，点 P 在⊙ O 外， PB 交⊙ O 于 A、B 两点， PC 交⊙ O 于 D 、 C 两点．
(1)求证： PA·PB＝ PD·PC；
4519
(2)若 PA＝4， AB＝4， PD ＝ DC＋ 2，求点 O 到 PC 的距离．
16．★ (南充中考 )已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 为正方形内一动点，若点 M 在 AB 上，且满足
△ PBC∽△ PAM ，延长 BP 交 AD 于点 N，连接 CM .
(1)如图 a，若点 M 在线段 AB 上，求证： AP⊥ BN， AM＝ AN；
(2)①如图 b，在点 P 运动过程中，满足△ PBC∽△ PAM 的点 M 在 AB 的延长线上时， AP⊥ BN 和AM ＝AN 是否成立？ (不需说明理由 )
1
②是否存在满足条件的点P，使得 PC＝？请说明理由．
参考答案与解析
1． B 2.C 3.D 4.C 5.B
6．D 解析： 过 F 作 FH ⊥ AE 于 H.∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AB ＝ CD ，AB ∥CD.∵ AE ∥ CF ，∴四边形 AECF 是平行四边形，∴ AF ＝ CE ，∴ DE ＝ BF ，∴ AF ＝ 3－ DE .∵∠ FHA ＝∠ D ＝∠ DAF
＝ 90°，∴∠ AFH ＋∠ HAF ＝∠ DAE ＋∠ FAH ＝ 90°，∴∠ DAE ＝∠ AFH ，∴△ ADE ∽△ FHA ，∴
AE
＝
AD
，∴ AE ＝ AF.∵ AE ＝ 4＋ DE 2，∴
4＋ DE 2
＝ 3－DE ，∴ DE ＝ 5
. AF
FH 6
7．C 解析：∵等腰 Rt △ABC 中 BC ＝ 4，AB 为⊙ O 的直径，∴ AC ＝ 4，AB ＝4 2，∠ D ＝ 90°. 4 28 在
Rt △ ABD 中 ， ∵ AD ＝ 5 ， AB ＝ 4 2 ， ∴ BD ＝ 5 .∵∠ D ＝ ∠ C ， ∠ DAC ＝ ∠ CBE ，
∴△ ADE ∽△ BCE .∵ AD ∶ BC ＝ 4
∶4＝ 1∶ 5，∴△ ADE 和△ BCE 的相似比为 1∶ 5.设 AE ＝ x ，∴ BE
5
＝ 5x ，∴ DE ＝
28
－ 5x ，∴ CE ＝ 28－25x.∵ AC ＝ 4，∴ x ＋ 28－25x ＝ 4，解得 x ＝ 1. 5
n πr
8．D 解析：由扇形相似的定义可得
180
＝ r
，所以 n ＝ n 1，故①正确； 因为∠ AOB ＝∠ A 1 O 1B 1，
1 1
1
180
OA ∶ O 1A 1＝ k ，所以△ AOB ∽△ A 1O 1B 1 ，故②正确；因为△
AB ＝ OA ＝ k ，
n
A B
O A
故③正确；由扇形面积公式
2
可得到④正确．
360
·πr
1
9． 5∶ 4
10.5 11.2
2 4
1
E 在线段 AD 上时，如图①所示．∵四
12. 或
3 解析：∵ AE ＝ AD ，∴分两种情况：①当点
3 3
边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥ BC ， AD ＝BC ，∴△ EFD ∽△ CFB ，∴ EF ∶ FC ＝DE ∶ BC.∵ AE
1 2 2 ＝ 3AD ，∴ DE ＝3AD ＝ 3BC ，∴ DE ∶ BC ＝ 2∶ 3，∴ EF ∶ FC ＝ 2∶3；②当点 E 在线段 DA 的延长线
1 4 4 上时，如图②所示． 同①得△ EFD ∽△ CFB ，∴ EF ∶ FC ＝ DE ∶ BC.∵ AE ＝ AD ，∴ DE ＝ AD ＝ BC ，
3 3
3
2 4
∴ DE ∶ BC ＝ 4∶ 3，∴ EF ∶ FC ＝ 4∶ 3.综上所述， EF ∶ FC 的值是 或 .
3
3
13．解： (1)2 5 2 10
(2)相似．理由如下：△ CAB 与△ DEF 均为等腰直角三角形，故相似．
14．解：延长 OD ，BC 交于点 P.由题意得 OB ＝11 米，CD ＝ 2 米，∠ ODC ＝∠ PDC ＝∠ B ＝ 90°，
∠ BCD ＝ 120°，∴∠ P ＝ 30°，∴在直角△ CPD 中， PD ＝ CD ·tan60 °＝ 2 3米， PC ＝ CD ÷sin30 °＝ 4
PD CD
PD ·OB 2 3× 11
米．∵∠ P ＝∠ P ，∠ PDC ＝∠ B ＝ 90°，∴△ PDC ∽△ PBO ，∴ PB ＝ OB ，∴ PB ＝ CD ＝ 2
＝ 11 3(米 )，∴ BC ＝ PB － PC ＝ (11 3－ 4)米．
答：路灯灯柱 BC 的高度为 (11 3－ 4)米．
15．(1)证明：连接 AD ，BC.∵四边形 ABCD 内接于⊙ O ，∴∠ PAD ＝∠ PCB ，∠ PDA ＝∠ PBC ，
∴△ PAD ∽△ PCB ，∴
PA
＝
PD
，∴ PA ·PB ＝ PC ·PD ；
PC PB
45 19
(2)解：连接 OD ，作 OE ⊥DC ，垂足为 E.∵ PA ＝ 4 ，AB ＝ 4 ， PD ＝DC ＋ 2，∴ PB ＝ 16，PC ＝ 2DC ＋ 2.∵ PA ·PB ＝ PD ·PC ，∴
45
4× 16＝ (DC ＋ 2)(2DC ＋ 2)，解得 DC ＝ 8 或 DC ＝－ 11(舍去 ) ，∴ DE
＝ 4.∵OD ＝ 5，∴ OE ＝ 3，即点 O 到 PC 的距离为 3.
16． (1) 证明：∵△ PBC ∽△ PAM ，∴∠ PBC ＝∠ PAM .∵四边形 ABCD 是正方形，∴ AD ∥ BC ， ∴∠ PBC ＝ ∠ ANP ， ∴∠ PAM ＝ ∠ ANP .∵∠ PAM ＋ ∠ PAN ＝ 90°， ∴∠ ANP ＋ ∠ PAN ＝ 90°， 即
PB PA PB AB AP ⊥ BN.∵∠ ABP ＝∠ NBA ，∠ APB ＝∠ NAB ＝ 90°，∴△ ABP ∽△ NBA ，∴ AB ＝ AN ，∴ PA ＝ AN .又
∵△ PBC ∽△ PAM ，∴
PB ＝
BC
，∴
AB
＝
BC
PA AMAN AM .又∵ AB ＝ BC ，∴ AM ＝ AN ；
(2)解：①点 M 在 AB 的延长线时， AP ⊥BN 和 AM ＝ AN 仍然成立． ②选择图 b ，以 AB 为直径，
1 5
作半圆 O ，连接 OC ，OP .∵ BC ＝ 1，OB ＝2，∴ OC ＝ 2 .∵ AP ⊥BN ，∴点 P 一定在以点 O 为圆心，
半径为 1的半圆上 ( A ，B 两点除外 )．如果存在点 P ，那么 OP ＋PC ≥OC ，则 PC ≥ 5－ 1 5－1
> 1， 2 .∵
2 2 2 1
∴不存在满足条件的点
P ，使得 PC ＝ .。