阈值自回归模型参数估计的小样本性质研究二

阈值自回归模型参数估计的小样本性质研究（二）

刘汉中

2012-9-26 10:12:59 来源：《数量经济技术经济研究》(京)2009年10期第112～124页

二、Monte-Carlo试验设计与模拟结果

虽然已经证明Chan(1993)的TAR模型估计方法具有强一致性，但前提是样本容量趋于无穷大，而在实际的经济学分析中，可供分析的样本容量通常都很小，如果要应用TAR模型来进行实证研究，可用的样本容量较小会导致TAR模型不具有强一致性，因此本文重点研究参数估计的小样本性质，以揭示在通常的宏观经济学分析中，参数估计方法的适用性。

1.Monte-Carlo模拟设计

为了简单起见，不失一般性，假设不连续的两机制TAR模型设定如下：

上式也可以写成：

其中，，所以回归方程的截矩项是两个截矩的加权和。上式的自回归滞后阶数p=1，转换变量设定为d=1，随机干扰项，也就是说，随机干扰项是白噪声过程(White Noise Process)。在Monte-Carlo模拟中，有关参数设定如下：自回归系数的取值范围都是(0.1，0.3，0.5，0.7，0.9)，初始值，阈值γ设定为0，即示性函数为：

随机干扰项服从独立同标准正态分布，即期望为0，方差，模拟的样本容量T分别为50、100、200。为了降低初始值设定所带来的影响，模拟样本容量为200+T，丢弃前面200个样本，估计量的模拟次数是10000次，截矩的设定为，OLS

估计模型的截矩是这两个截矩的线性组合。阈值潜在范围的设定是转换变量的15%分位数到85%分位数，即将转换变量由小到大排列，取中间70%的样本作为潜在阈值的搜索范围。需要特别说明的是：第一，估计量的偏差与标准差的计算式如下（以阈值为例，其他自回归参数的偏差计算与阈值相同，k表示模拟次数）：

第二，生成的数据序列在两个机制中分布的均匀率衡量：

其中，、N分别表示总模拟样本中落在第1机制中的样本数和总的样本数，如果均匀率越靠近0.5，则认为在两机制中的数据分布越均匀；反之当越靠近0或1时，则认为数据在两机制中分布越不均匀。

其中，表示前两期的增量，截矩的设定为。Enders和Siklos(2001)认为当时间序列在上升方向与下降方向具有不同的“趋势”(Momentum)时，运用M-TAR来拟合数据序列是合适的，即M-TAR模型可以捕捉到不同方向的不同“趋势”特征。

对于连续的TAR情形，也不失简单性和一般性，假设自回归滞后阶数p=1，转换变量仍然为d=1，阈值γ=0.5，则连续的TAR模型(C-TAR)可以设定为②：

或

其中，，截矩设定为μ=0.5，因此估计模型的截矩不再是原始的截矩μ。初始值，随机干扰项～IIN(0，1)，自回归系数的取值范围也是(0.1，0.3，0.5，0.7，0.9)，自回归系数的设定原则与前相同，也有10种情形。模拟中样本容量为50、100、200，在模拟中丢弃前200个样本，参数估计的模拟次数仍然为10000次，估计方法的偏差、标准差和数据分布的均匀率计算分别同(13)式和(14)式。

2.模拟结果

在各种小样本中，利用上文的TAR模型参数估计方法估计不连续的TAR模型参数，估计方法的偏差与标准差的模拟结果见表1。

在各种小样本中，利用上文的TAR模型参数估计方法估计不连续的M-TAR模型参数，估计方法的偏差与标准差的模拟结果见表2。

在各种小样本中，利用上文的TAR模型参数估计方法估计连续的TAR模型参数，估计方法的偏差与标准差的模拟结果见表3。

以上结果反映了以下特征：①理论上认为阈值估计比自回归参数具有更快的收敛速度，是真值的超一致估计量，但模拟结果显示，阈值的估计偏差和标准差随样本容量的增大而减少不太明显；②自回归参数估计偏差和标准差也没有随样本的增大而减少；③自回归参数估计要比阈值估计准确得多，阈值估计量的方差要大于自回归参数估计量方差，阈值估计是不稳定，如在不连续TAR模型的阈值估计中，最大偏差与标准差分别为9.732、9.908，而真实的阈值是0。

不仅如此，上述模拟还显示出一个非常有趣的现象：从估计的偏差与标准差来看，M-TAR和C-TAR模型的阈值估计要比TAR模型的阈值估计准确得多。为了揭示这种现象存在的根本原因，本文将进一步进行Monte-Carlo模拟研究。

3.各种TAR模型参数估计量性质与均匀率的进一步研究

表1不连续的TAR模型参数估计的小样本性质

注：表中的数字表示偏差，括号中的数字是10000次模拟估计量的标准差。

表4参数估计量小样本性质和均匀率

注：表中均匀率的计算是基于T=10000的模拟数据样本，利用(14)式计算而得。情形一至情形六是不同TAR模型的6种不同设定。

从表4可以看出，各种TAR模型参数估计的偏差与标准差都随着数据过程均匀率的减少而增大，当均匀率是0.5时说明数据过程是线性自回归模型，均匀率越靠近0.5则说明数据落在两机制中的样本个数越接近。但是观察模拟结果，发现在同一均匀率下，不同的TAR模型得到的参数估计的偏差和标准差相差较大，因此表中数据还不能揭示三个参数的估计与具体的TAR模型之间是否存在必然联系。为了进一步研究这种关系，本文选取均匀率接近的三个模型来进行研究，每种TAR模型都选取相对应的情形三模型，均匀率分别为0.3248、0.3213和0.3254，彼此十分接近。每种TAR模型都生成10000个样本，再对其进行核密度估计，参数估计利用上文的模拟结果也进行核密度估计。

从图1～4可以看到：①在同一均匀率下，数据过程标准差是决定TAR模型参数估计小样本性质的重要因素，图1显示M-TAR的标准差最大，计算表明TAR模型、M-TAR模型和C-TAR模型的标准差分别为1.643、3.854、1.235，图2、图3与图4都显示M-TAR模型的参数估计具有较大偏差与标准差。②图2的阈值估计分布表明，相对而言，C-TAR模型是最准确的；M-TAR模型的阈值估计出现严重的右偏；TAR模型中，阈值估计分布呈“双峰”状，也具有一定程度的右偏。这与理论结论不同，理论上已经证明不连续TAR模型的阈值估计量是超一致估计量，而在连续的TAR模型中阈值估计量是一致估计量。③图3的自回归参数的估计分布表明，TAR与M-TAR 模型出现严重的右偏，C-TAR模型相对具有较小的偏差和标准差。④图4的自回归参数的估计分布表明，在TAR模型中出现严重的右偏，在M-TAR模型中出现严重的左偏，在C-TAR模型中相对具有较小的偏差与标准差。⑤在所有情形下，阈值的估计相对于自回