刘三阳线性代数第二版第一章答案

第一章 矩阵及其应用习题解答
本章需要掌握的是：
1）矩阵的定义，以及矩阵的运算（加、减、数乘和乘法）； 2）方阵的幂和多项式，以及矩阵转置的性质； 3）逆阵的定义，以及逆阵的4条性质； 4）分块矩阵的运算规则；
5）矩阵的三种初等变换及行阶梯矩阵和行最简矩阵；
6）三种初等矩阵，以及定理1.4（左乘行变，右乘列变）、1.5、1.6和1.7； 7）求逆阵的方法：定义法和初等变换法。

1、 设方阵A 满足2003A 2=5A +16E ，求(A −E)−1。

题型分析：此类题型考核的知识点是逆阵的定义，即AB =BA =E →A −1=B, B −1=A 。

因此无论题中给出的有关矩阵A 的多项式（如本题是2003A 2=5A +16E ）多么复杂，只需要把该多项式配方成“（所求逆的表达式）*（配方后的因子）=E ”即可，即本题是要配成（A-E ）*(?)=E 。

解：∵ 2003A 2−5A −16E =0
2003A 2−2003A +1998A −16E =0 %配出2003A 可提取的（A-E ） 2003A (A −E )+1998A −1998E +1982E =0 %配出1998可提取的（A-E ） 2003(A −E )+1998(A −E )+1982E =0 %提取公因式（A-E ）
(A −E )(2003A +1998E )=−1982E %将只有单位阵的那一项移至等式右端 (A −E )(2003A+1998E )
−1982
=E %写成“AB=BA=E ”的形式
(2003A+1998E )
−1982
(A −E )=E
∴(A −E )−1=
(2003A+1998E )
−1982
%由逆阵定义可知
巩固练习：教材第38页第13题
2、 设A =[1021
]，求A k 。

其中k 为正整数。

题型分析：此类题型考核的知识点是矩阵的乘法和幂运算。

解题思路为依次计算A 2，A 3，
最多到A 4，通常这时已经可以看出规律，依此规律解题即可。

解：A 2=[1021][1021]=[102∗21]，A 3=[102∗21][1021]=[10
2∗31]，因此推论A k =
[10
2k 1
]，用数学归纳法证明如下： 1）当k=1时，A =[10
2∗11]成立；
2）假设当k=n-1时，上式成立，即A n−1=[10
2∗(n −1)1
]，则有
当k=n 时，A n =A n−1A =[102(n −1)1][
1021]=[10
2∗n 1
]也成立。

所以 A k =[10
2k 1
]
巩固练习：教材第41页二、填空题（3）
3、 设A=E-uu T ，E 为n 阶单位阵，u 为n 维非零列向量，u T 为u 的转置，证明： 1） A 2=A 的充要条件是u T u=1； 2） 当u T u=1时，A 是不可逆的。

题型分析：这道题综合了矩阵这一章的大部分知识点，是个综合题，对于刚学了第一章的同学们来说也是一道难题。

解题思路首先要明确u 为n 为非零向量是指u 是一个只有一行
或一列的矩阵，题中有u T u =1即告诉我们u 是一个n*1阶列矩阵即列向量[u 1u 2
⋮u n
]。

解：1）充分性证明，即u T u=1⇒A 2=A
A 2=（E-uu T ）（E-uu T ）=E-2 uu T + uu T uu T %注意u T u ≠uu T ！u T u 是个数，uu T 是个n 阶方阵
∵u T u =1，
∴A 2=E −2uu T +uu T =E −uu T =A
必要性证明，即A 2=A ⇒u T u=1
∵A 2=A,即E −2 uu T + uu T uu T =E −uu T ,化简得
uu T uu T − uu T =0 ，∵u T u 是个数 % 是数就可以提取到矩阵外
∴（u T u ） uu T − uu T =0，则（u T u −1） uu T =0 又∵u 为非零向量，∴uu T ≠0 ∴u T u −1=0，即u T u =1
2）反证法
由1）可知，当u T u=1时，A 2=A ，则如果A 可逆，有
A −1A 2=A −1A ，则有A=E ，这与已知矛盾。

所以A 不可逆。

巩固练习：教材第42页二、填空题（15）
4、 设A =[1−201
],g (x )
=x 2+2x −3,求g (A )。

题型分析：此类题型考核的知识点是矩阵的多项式，要熟练掌握矩阵多项式的各项性质，尤其是多项式中的常数项在矩阵多项式中必须乘以单位阵！否则矩阵与数无法相加。

解：g (A )=A 2+2A −3E % 关键点在于常数项的变化！
=[1−201][1
−201]+2[1−201]−3[1001
] %简单的矩阵运算 =[
0−8
00
] 巩固练习：教材42页二、第14题
5、 设n 维行向量α=(12,0,⋯,0,1
2),矩阵A =E −αT α,B =E +2αT α,其中E 为n 阶单位阵，求AB 。

题型分析：此类题型考核的知识点是矩阵乘法，一般这种题型都是有简化的计算，不可能是一一代入求解，虽然这也能求出结果，但是计算量很大。

所以通常解题思路是先把AB 的表达式求出，看表达式里有何规律可寻。

解：AB =(E −αT α)(E +2αT α)=E +αT α−2αT ααT α % α是行向量，则要知道αT α是n 阶方阵，而ααT 是个数
∵ααT
=(12,0,⋯,0,12)[ 1
20⋮012]
=12
∴AB =E +αT α−2αT ααT α= E +αT α−2∗1
2αT α=E
巩固练习：教材第41页二、填空题（1）
6、 设3阶方阵A,B 满足关系式A −1BA =6A +BA ,求矩阵B ，其中A =[
1
3000
14
00
017]。

题型分析：此类题型类似求解矩阵方程，考核的知识点主要是逆阵的定义与性质，尤其是对角矩阵的逆阵也是对角矩阵，其主对角线上的元为原对角矩阵主对角线元的倒数。

解题思路是先将矩阵方程化简成所求矩阵的表达式，再代入具体矩阵求解。

如本题中应将方程
化成B=？。

注意一般不会是一一代入求解，那样计算量就大了。

解：A −1BA =6A +BA
A −1BA −BA =6A % 第一步将含矩阵
B 的所有项移到方程左端，其他移到右端。

(A −1−E )BA =6A % 想办法将所求矩阵B 提取公因式
因为A 可逆，所以在方程两边同时右乘A -1，则有 (A −1−E )B =6E 又因为A
−1
=[300040007]，则A −1
−E =[200
030006
]是对角矩阵也可逆。

∴(A −1−E )B =6E 的两边同时左乘(A −1−E )−1，有 B =6(A −1−E )−1
=6[200030006]−1=[300
020001] % 最终化成B=6(A −1−E )−1，再代入求解
有多种解法，同学们也可以尝试在原式两边同时右乘A −1看看。

巩固练习：教材41页二、（8）
7、 设A ，B 均为n 阶对称矩阵，且矩阵A 和矩阵E+AB 都可逆，试证（E+AB ）-1A 为对称阵。

题型分析：此题为综合性题，考核的知识点即对称矩阵和逆阵的定义与性质，熟练掌握有关对称和逆阵的所有性质就容易求解此题。

对称阵涉及转置，而题中又涉及到逆阵，所以一定会用到将逆阵和转置联系在一起的那条性质，即（A T ）−1
=（A −1）T。

以及
(A +B )T =A T +B T ,(AB )T =B T A T , (AB )−1=B −1A −1等。

一定要注意 (A +B )−1≠A −1+B −1 !
证明：根据对称阵的定义，即要证明[(E +AB ）−1
A]T =（E +AB ）−1A ，将左式展开，有 [(E +AB ）−1
A]T =A T [(E +AB)−1]T %转置的性质（AB ）T
=B T A T 因为A ，B 均为对称阵，据定义有A T =A,B T =B ，又（A T ）−1
=（A −1）T
则
A T [(E +AB)−1]T =A[(E +AB)T ]−1
=A[E T
+(AB)T ]−1
%转置的性质（A +B ）T
=A T +B T =A(E +B T A T )−1 %转置的性质（AB ）T
=B T A T =A(E +BA)−1 % A ，B 为对称阵
大部分同学卡在这里，怎样证明A(E +BA)−1=(E +AB)−1A 呢？想办法把左式中的A 移到括号后方，怎么移？逆阵性质里有(AB)−1=B −1A −1，因此将左式化成：
A (E +BA )−1=(A −1)−1(E +BA )−1
=[(E +BA)A −1)]−1
=[(EA −1+BAA −1)]−1 %将A -1乘进括号 =(A −1+B)−1
=[A −1(E +AB)]−1 %把A −1当公因子提取至左端 =[A −1(E +AB)]−1 %仍利用逆阵性质(AB)−1=B −1A −1 =(E +AB)−1A
∵[(E +AB ）−1
A]T =（E +AB ）−1
A ，根据对称阵的定义可知， （E+A
B ）-1A 为对称阵。

证明二：简写如下：
（E +AB ）−1
A =（AA −1+A
B ）−1
A = [A (A −1+
B )]−1A = (A −1+B )−1A −1A =(A −1+B )−1
[(E +AB )−1A ]T =[(A −1+B )−1]T =[(A −1+B )T ]−1=[(A −1)T +B T ]−1
=(A −1+B )−1=（E +AB ）−1
A
所以（E +AB ）−1
A 是对称阵。

巩固练习：教材37页第7题
8、1）设A,B 都可逆，求[
0A
B 0
]的逆； 2）利用分块矩阵，求下面矩阵的逆。

1
210000000000
0n n
a a A a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
,其中a i ≠0 (i =1,2,⋯,n) 题型分析：此类题型考核的知识点是分块矩阵和逆阵的相关性质。

第一小题只要找到一个2*2阶的分块矩阵和[0A
B 0]相乘后得单位阵即可，可用初等变换法求逆，也可用定义求。

第
二小题很明显是第一小题的延伸题，根据第一小题的结论可以直接推出第二题的答案。

解：1）方法一：用定义
假设有一2*2阶的分块矩阵[M N
L K
]，令
[M N L K ][0A B 0]=[E O O E ]，则展开有[NB MA KB LA ]=[E O O E ] % A,B 为子矩阵，所以表示成[E O O E ]，而不是[1001]。

所以有NB=E,MA=O,KB=O,LA=E
又因为A ，B 皆可逆，则A ，B 均不为零矩阵 所以N=B -1，L=A -1；令M=O ，K=O ，则
%这里不太严密的一点是AB=O,并不能说明A=O 或B=O ，所以我们令M=O,K=O
[0A B 0]−1
=[0B −1A −1
] 方法二：初等变换法
[O A B O ⋮⋮ E O O E ]r 1⟷r 2→ [B O O A ⋮⋮ O E
E O ] % 利用初等行变换 →[E O O E ⋮⋮
O B −1A −1
O ] % 此处左乘了[B O O A ]−1
=[B −1
O O
A −1
]对角矩阵的逆， 即[B −1O O A −1][B O O A ⋮⋮ O E E O
]=[E O O E ⋮⋮ O
B −1A −1O
] 所以[0A B 0]−1
=[0
B −1A −1
]。

% 初等列变换也同此，不过是右乘，同学们可以自己试试。

2）将1
210000000000
0n n
a a A a a -⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
分成一个2*2阶的分块矩阵，有[A 11A
12A 21A 22
]，其中
A 11
=[00⋮0](n−1)×1=O , 1
2121(1)(1)
00
00
n n n a a A a --⨯-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢
⎥
⎣⎦ A 21=[a n ], A 22=[0,0,⋯,0]1×(n−1)=O 则根据1）中的结论，有A
−1
=[O A 12A 21
O ]−1=[O A 21−1
A 12
−1O
]。

因为1
1111
21
2121110
00
00000A 0000n n a a a
a a a -------⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢
⎥
⎢
⎥==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，A 12−1=a n −1
所以
1
1
1
11
2
1
1
000
000
000
000
n
n
a
a
A a
a
-
-
--
-
-
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣
⎦
巩固练习：教材38页第18题。