微分方程的幂级数解法共19页文档
幂级数解法
线性微分方程的幂级数解法常系数齐次线性微分方程可以用代数的方法进行求解，然而，对于变系数线性微分方程来说，由于方程的系数是自变量的函数，就不能用代数的方法求解。
微积分学的知识告诉我们，在满足某一些条件下，可以用幂级数表示一个函数，由此自然想到能否用幂级数表示微分方程的解呢？本章以二阶方程为例，讨论线性微分方程的幂级数解法。
考虑变系数线性微分方程 (5.1)0)()()(22=++y x c dxdy x b dxy d x a 其中)(),(),(x c x b x a 均为x 的解析函数。
如果系数函数)(),(),(x c x b x a 中含有公因子)(0x x -，那么可把其削去，考虑原方程的同解方程即可。
因此，不妨假设系数函数没有公因子)(0x x -。
下面分两种情况考虑方程)1.5(的初值问题解的存在唯一性。
)1( 0)(0≠x a ，则由)(x a 的解析性，在0x x =的某一邻域内0)(≠x a 。
此时，可把方程)1.5(改写成如下形式(5.2)0)()(22=++y x q dxdy x p dxy d 其中)()()( ,)()()(x a x c x q x a x b x p ==在0x x =的某一邻域内是解析函数。
考虑方程)2.5(的初值条件）（是给定的常数）其中3.5 ,()( ,)(2120'10y y y x y y x y ==则初值问题)3.5()2.5(+的解是存在且唯一的。
此时，称0x x =为方程)1.5(的一个常点。
)2( 0)(0=x a ，由于)(),(),(x c x b x a 中不含有公因子)(0x x -，则)(0x b 和)(0x c 中至少有一个不等于零。
因此，在|)(|0x p 和|)(|0x q 中至少有一个为∞+。
此时，无法确定初值问题)3.5()2.5(+的解是存在且唯一的。
在这一种情况下称0x x =为方程)1.5(的一个奇点。
高等数学(四)12-函数的幂级数展开式的应用-微分方程的幂级数解法、欧拉公式
n
n!
绝对收敛,
因此级数 1 zn 在整个复平面上是绝对收敛的.
n0 n! ez
1 xn ex
n0 n!
定义 ez 1 z 1 z2 1 zn
2!
n!
当 x 0 时， z 为纯虚数 yi ，
( z )
e yi 1 yi 1 ( yi)2 1 ( yi)3 1 ( yi)n
n2
n2
2a2
3
2a3 x
(4
3a4
1)x 2
(5
4a
a
)x 3
5
2
(6 5a a )x4 63
(n 2)(n 1)an2 an1 xn+
0. y xy 0
a2 0 , a3 0 , a4
1 43
,
a5
0
,
a6
0
,
,
一般地
an 2
(n
an1 2)(n
1)
(n 3, 4,
un
u2 n
vn2
,
vn
u2 n
vn2
(
n 1, 2,
)
则级数 un 、 vn 绝对收敛，
n1
n1
从而级数 (un vni) 绝对收敛.
n1
复数项级数 1 z 1 z2 1 zn (z x yi) ,
2!
n!
1
x2 y2 1
x2 y2
2
2!
1
x2 y2
2!
3!
n!
1 yi 1 y2 1 y3i 1 y4 1 y5i 2 3! 4! 5!
(1 1 y2 1 y4 ) (y 1 y3 1 y5 )i
12.11 幂级数法
第十二章
本节内容: 一、一阶微分方程问题 二、二阶齐次线性微分方程问题
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一、一阶微分方程问题
dy f ( x, y ) dx y x x y0
0
其中 f ( x, y ) 是 x x0 及 y y0 的多项式 .
幂级数解法: 本质上是待定系数法 设所求解为
上式中两个级数都在(－1, 1 )内收敛, 它们是方程的
两个线性无关特解.
作业 P323 1 (1),(4); 2(2)
第12节 目录 上页 下页 返回 结束
y y0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 ) ① an ( x x0 ) n 将其代入原方程, 比较同次幂系数可定常数 a1 , a2 ,, 由此确定的级数①即为定解问题在收敛区间内的解.
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2
例1.
解: 根据初始条件, 设所求特解为 代入原方程, 得
可任意取值, 因是求特解, 故取 a1 a2 0 , 1 a3 0, a4 6
n2
n 4 ( n 1 )( n 2 ) a ( n 2 ) a x x n n 1
从而得
当n > 4 时,
1 1 1 an an 1 a4 n 1 (n 1) ! (n 1)(n 2) 4
(n 1)(n 2) n(n 1) a3 a1 a2 a0 3! 2! (n 2)n(n 1)(n 3) (n 2)(n 2) a0 a4 a2 4! 3 4 (n 3)(n 1)(n 2)(n 4) (n 3)(n 4) a1 a5 a3 5! 45
高等数学 第十一节 微分方程的幂级数解法
y = c1 cos ( 25 π g / m t ) + c2 sin ( 25 π g / m t )
y = c cos ( 25 π g/ m t ) +c2 sin ( 25 π g/ m t ) 1
2π y ( t ) 的周期 T = , 25 π g / m
已知 T = 2 ( 秒 ) .
其中 a0 , a1 是两个任意常数 ,
y 是 Legendre 方程的通解 , 幂级数在 ( − 1 , + 1 ) 内收敛 .
9
P 310 Ex 12 − 8
3,4,5.
3 . 一个单位质量的质点在数轴上运动 , 开始时质点在原点 O
的大小与质点到原点的距离成正比 ( 比例系数 k1 > 0 ) 而方
2 k k 2 + 4 k1 2 − − 2 t 2
(1 ) (2)
∴
x = c1 e
+ c2 e
.
x(0) = 0 ⇒ c +c2 = 0 , 1
c2 = − c . 1
2 2 k2 k 2 + 4 k1 k 2 + 4 k1 k2 t − t− t − 2 t+ 2 2 x = c1 e −e 2 2 2 k 2 + 4 k1 k 2 k 2 + 4 k1 k2 2 − t t − t − t k2 + 4k1 2 = c1 e 2 e 2 −e = 2 c1 e 2 sh t 2 11
由(4) 得 a0 = 0 , a1 = 1 .
( x0 =0)
y′′ = 2 a2 + 6 a3 x + 12 a 4 x 2 +⋯+ n( n − 1) an x n −2 + ⋯⋯
微分方程的幂级数解法
dy 例如 = x2 + y2, dx
解不能用初等函数或其积分式表达. 寻求近似解法: 幂级数解法; 卡比逐次逼近法; 数值解法.
dy = f ( x, y) 特解求法 二、 dx
dy 问题 求 = f ( x , y ) 满足 y dx
x = x0
∞
n
∞
n −1
∞
n= 0
n=0
n [( n + 2 )( n + 1 ) a − ( n + 1 ) a ] x ≡ 0, ∑ n+ 2 n n=0
a n+ 2
an = , n+ 2
n = 0,1,2,L
a0 a0 a2 = , a4 = , 8 2
a1 a3 = , 3 a1 a5 = , 15
∴ 方程组通解为
x = α 3C1e − αt − α 3C 2e αt − β 3C 3 cos β t 3 t C sin t 2 e + β β − 4 − αt αt t y C e C e C cos t C sin t e = + + β + β + 1 2 3 4
(n) ( n −1 ) y + a y + L + a n −1 y ′ + a n y = f ( x ) 例如， 1
用记号 D 可表示为
( D + a1 D
n
n −1
+ L + a n −1 D + a n ) y = f ( x )
注意:
D n + a1 D n−1 + L + a n−1 D + a n 是 D 的多项式
二阶线性常微分方程的幂级数解法
欢迎阅读二阶线性常微分方程的幂级数解法从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。
因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程''0y xy -=的通解解：设2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有 将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到x -∞<<∞2210a ⋅=，30320,a a ⋅-= 41430,a a ⋅-= 52540,a a ⋅-=或一般的可推得32356(31)3k a a k k =⋅⋅⋅⋅⋅-⋅，13134673(31)k a a k k +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得：这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。
例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。
解 设级数2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。
首先，利用初值条件，可以得到00a =， 11a =，因而将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到 因而最后得21111(1)!!k a k k k +=⋅=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。
将i a (0,1,2,)i =的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到 这就是方程的满足所给初值条件的解。
是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的形式怎样？其收敛区间又如何?这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，但因讨论时需要涉及解析函数等较专门的知识，在此我们仅叙述有关结果而不加证明，若要了解定理的证明过程，可参考有关书籍。
二阶常微分方程的幂级数解法
的一个特解．我们把
取作
这样选取
与后面将介绍的贝塞尔函数的母函数有关
运用下列恒等式
使分母简化，从而，使（3.1.19）中一般项的系数变成 （3.1.24）
以（3.1.24）代入（3.1.19）得到贝塞尔方 程（3.1.18）的一个特解
用级数的比值判别式（或称达朗贝尔判别法）可以判定 这个级数在整个数轴上收敛．这个无穷级数 所确定的函数，称为
施－刘型方程．
研究二阶常微分方程的本征值问题时，对于一般的 二阶常微分方程
通常乘以适当的函数
施图姆－刘维尔型方程
，就可以化成 (3.2.2)
施图姆－刘维尔型方程（13.2.1）附加以齐次的第一类、 第二类或第三类边界条件，或自然边界条件，就构成
施图姆－刘维尔本征值问题 . 讨论
(1)
或
再加上自然边界条件： 方程本征值问题
（3.1.3）
泰勒级数形式的解，将其代入勒氏方程可得系数间的
递推关系
（3.1.4）
因此，由任意常数
可计算出任一系数
．首先在（3.1.4）中令
可得偶次项的系数
(3.1.5 )
令
，则可得奇次项的系数
(3.1.6)
将它们代入解的表达式中，得到勒让德方程解的形式
(3.1.7)
其中
分别是偶次项和奇次项组成的级数，
注意在贝塞尔方程中，因为
故
为
的奇点
下面介绍奇点邻域的幂级数解法：贝塞尔方程的求解．
设方程（13.1.18）的一个特解具有下列幂级数形式：
(3.1.19）
其中，常数 和它的导数
和
可以通过把
代入（3.1.18）来确定．
将（3.1.19）及其导数代入（3.1.18）后，得 化简后写成
6.数学物理方法讲义课件-第六章 二阶线性常微分方程的幂级数解法
0
标准形式为
d2 dt
w
2
2 t
1 t2
p
1 t
dw dt
1 t4
q
1 t
w
0
若 t = 0 是常点/奇点，则 z = ∞ 就是常点/奇点。
t = 0 ( z = ∞ )为方程常点的条件
2 t
1 t2
p
1 t
和
1 t4
q
1 t
不含
t
负幂项
p
1 t
2t
a2t
2
a3t
3
q
1 t
dt
dt t 2 dz
t
dw dw dt t 2 dw
dz dt dz
dt
d 2w
dz2
d dz
dw dz
d dz
t2
dw dt
d dz
t2
dw dt
t2
d dw dz dt
d
dz
t2
d dz
1 z2
2 z3
2t 3
d dw
dz dt
k0
k0
k0
ck2 (k 2)(k 1)z k ck2 (k 2)(k 1)z k2 2ck1(k 1) z k1 l(l 1)ck z k 0
k0
zk 同次幂合并后，得 ck2 (k 2)(k 1) ck k(k 1) 2ck k l(l 1)ck z k 0 k0
解 z = 0 为常点，有 w(z) ck zk , z 1 k0
代入方程得
(1 z 2 ) ck k(k 1)z k2 2z ck k z k1 l(l 1) ck z k 0
12微分方程的幂级数解法
y a1 2a2 x1 3a3 x2 nan xn1 ,
将 y, y 的幂级数展开式带入原方程
a1 2a2 x 3a3 x2 4a4 x3 x (a1x a2 x2 a3 x3 a4 x4 )2
x a12 x2 2a1a2 x3 (a22 2a1a3 )x4
假设所求特解可展开为x x0的幂级数,
y y0 a1( x x0 ) a2 ( x x0 )2 其中a1 ,a2 ,,an ,为待定的系数.
例1
求 dy dx
x
y2
满足y
|x0
0的特解.
解 x0 0， y0 0,
设 y a1 x a2 x2 a3 x3 an xn ,
解 设方程的解为 y an xn ,
n0
则 y nan x n1 ,
n0
y n(n 1)an xn2 (n 2)(n 1)an2 xn ,
n1
n0
将 y, y, y 带入 y xy y 0,
(n
2)(n
1)an2
x n
x
nan xn1
an
xn
0,
n0
n0
n0
[(n 2)(n 1)an2 (n 1)an ]xn 0,
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 得
a1
0,
a2
1, 2
a3
0,
a4
0,
a5
1 , , 20
所求解为 y 1 x2 1 x5 . 2 20
小结: 无初始条件求解
可设 y C an xn
ห้องสมุดไป่ตู้n1
(C是任意常数)
三、二阶齐次线性方程幂级数求法
定理 如果方程 y P( x) y Q( x) y 0中的系数
第六章 二阶线性常微分方程的幂级数解法
2n
二者的任意线性组合即为通解。
求解过程中，ck+2 只与ck 有关，而与ck+1 无关，
w1(z) 是偶函数，w2(z)是奇函数。
对于 z → -z 变换， 1 ( z )
2
d w d ( z )
2
2
2( z )
dw d ( z )
l ( l 1)w 0
勒让德方程的形式不变，故 w(-z) 也是方程的解，
2 t 1 t21Fra bibliotekp t和
1 t
4
1 q t
不含 t 负幂项
1 4 5 q b4 t b5 t t
1 2 3 p 2t a 2 t a 3 t t
p z q z
2 z
a2 z
2
( 2n 1 l )( 2n 3 l )(1 l )( 2n l )( 2n 2 l ) ( 2 l )
l 1 l 1 c1 ( 2n 1)! 2 n 2 n
∴勒让德方程在
z 1
内的解就是
2
2n
w( z ) c0
w 0
p( z )
(1 ) z
z (1 z )
q( z )
z (1 z )
有限远处 p(z)、q(z) 有两个奇点， z = 0 和 z = 1 。
所以，z = 0 和 z = 1 是超几何方程的奇点，有限远处 的其它点为方程的常点。
举例
且 w(z)+w(-z) 是偶函数，w(z)-w(-z) 是奇函数。
w( z ) w( z ) c0 w1 ( z ) c1 w 2 ( z ) c0 w1 ( z ) c1 w 2 ( z ) 2c0 w1 ( z )
常微分方程43高阶微分方程的降阶和幂级数解法
n0
n0
(4.75)
的特解,这里a0 0,是一个待定常数,级数(4.75)也以
x R为收敛区间.
2019/12/7
常微分方程
例4 求方程y" 2xy' 4 y 0满足初始条件y(0) 0, y'(0)=1的解.
解 设级数 y=a0 a1x an xn
为方程的解, 这里ai(i 1, 2, )是一个待定常数,
2a2 0 3 2a3 2 4 0 4 3a4 4a2 4a2 0
n(n 1)an 2(n 2)an2 4an2 0
即 a2 0, a3 1, a4 0,
,
an
n
2
1
an2
,
因而
a5
1, 2!
a6 0,
a7
1, 3!
x(n)
xk y(n)
nxk' y(n1)
n(n 1) 2
x y'' (n2) k
代入(4.2)得
2019/12/7
常微分方程
x(n) k
y
xk y(n) [nxk' a1(t)xk ]y(n1)
[
x(n) k
a1 (t ) xk( n 1)
an xk ]y 0
x2 d 2 y x dy (x2 n2 ) y 0 (4.74) dx2 dx
这里n为非负常数.
解 将方程改写为 d 2 y 1 dy x2 n2 dx2 x dx x2 y 0
易见,它满足定理11条件,且 xp(x) 1, x2q(x) x2 n2
二阶常微分方程的幂级数解法
的一个特解．我们把
取作
这样选取
与后面将介绍的贝塞尔函数的母函数有关
运用下列恒等式
使分母简化，从而，使（3.1.19）中一般项的系数变成 （3.1.24）
以（3.1.24）代入（3.1.19）得到贝塞尔方 程（3.1.18）的一个特解
用级数的比值判别式（或称达朗贝尔判别法）可以判定 这个级数在整个数轴上收敛．这个无穷级数 所确定的函数，称为
其中
为待定系数
为了确定级数解（3.1.2）中的系数，具体的做法是以
（3.1.2）代入方程（3.1.1），合并同幂项，令合并后的系数
分别为零，找出系数
之间的递推关系，
最后用已给的初值 ， 来确定各个系数
从而求得确定的级数解．
下面以 阶勒让德方程为例，具体说明级数解法的步骤．
3.1.2 常点邻域上的幂级数解法 勒让德方程的求解
n0
f (n) (0) n!
在收敛区域内
收敛半径
R
( lim n
n
an
)1
解析：若 f(x) 在0点的某个邻域内C∞，且 Taylor级数收敛，称 f 在0点解析。
解析函数由局部性质可推知整体性质.
3.1.1 幂级数解法理论概述
用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输 运方程进行变量分离，就出现连带勒让德方程、勒让德方程、
（3.1.27）
称
为整数阶贝塞尔函数．易得
需注意在取整数的情况下，
和
这是因为:
线性相关，
由于
是零或正整数，只要
，则
是零或负整数，而对于零或负整数的
函数为无穷大，所以上面的级数实际上只从
开始．若令
，则 从零开始，故
幂级数解法
幂级数解法幂级数解法是求解微分方程的一种技术，它可用于求解普通微分方程的无穷多解，也可用于求解常微分方程的特解，以及线性微分方程的非独立解。
因此，在研究微分方程的求解过程中，对“幂级数解法”的研究具有重要的实际意义。
一、幂级数的概念幂级数是由不同幂次的可积函数的和所组成的级数，可以表示为： $$sum_{k=0}^{infty}a_{k}x^{k}$$其中，$a_{k}$叫做幂级数的系数，$x$叫做幂级数的变量，$k$叫做幂级数的项次，$infty$叫做幂级数的项数。
幂级数不仅可用于数学上的应用，也可用于物理学上的应用，像振动波、涡旋波、周期性复原函数等物理概念都可以用幂级数来表示。
二、幂级数解法的内容1.入一类特殊的线性微分方程：$$y^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+cdots+p_{1}(x)y+p_{0}(x)y=Q(x)$$式中，$y^{(n)}$表示微分方程的最高次导数，$p_{n-1}(x)$，$cdots$，$p_{1}(x)$，$p_{0}(x)$表示微分方程的n-1次，$cdots$，1次，0次项的系数函数，$Q(x)$表示微分方程右端项的函数。
2.先检查保守性，判断微分方程是否具有定常解。
微分方程具有定常解的充要条件是$p_{n-1}(x)=p_{n-2}(x)=cdots=p_{2}(x)=0$，此时微分方程可以化简为：$$y^{(n)}+p_{1}(x)y+p_{0}(x)y=Q(x)$$无论$p_{1}(x)$、$p_{0}(x)$是否全等于0，都可以说明它具有定常解。
3.后利用相关定理，在特定条件下构造一个“幂级数解”，其形式为：$$y=sum_{k=0}^{infty}c_{k}x^k$$其中$c_{k}$是待求的系数，由解法的特殊条件所确定。
4.所得“幂级数解”代入微分方程，并根据其定义，求出$c_{0}$，$c_{1}$，$c_{2}$，$cdots$，$c_{n-1}$的值，即求出微分方程的解的系数。
3.0二阶线性常微分方程的幂级数解法
e rx [c′′ + (2r + p)c′ + (r 2 + pr + q)c] = 0.
是特征方程的重根， 所 以 有 r + pr + q = 0 及 2r + p = 0. 且 e r x ≠ 0 ， 因此只要 c(x) 满足
−p 注意到 r = 2 2
c′′( x) = 0,
则 y2 = cerx就是 ④式的解， 为简便起见，取方程 c″(x) = 0 的一个解 c(x)= x，于是得到方程 ④且与 y1 = erx 线性无关的解 y2 = xerx. 因此，④式的通 解为
二阶常系数线性非齐次常微分方程的解法
1° 自由项 f (x) 为多项式 Pn(x). 设二阶常系数线性非齐次常微分方程为 y″ + py′ + qy = Pn(x),
⑥
其中 Pn(x) 为 x 的 n 次多项式。因为方程中 p、q 均为常数且多项式的导数仍为多项式，所以可设 ⑥ 式的特解为 * k
考虑到 p，q 均为常数，我们可以猜想该方 程具有 y = erx 形式的解，其中 r 为待定常数。 将 y′ = rerx, y″ = r2erx 及 y = erx 代入上式，得 erx (r2 + pr + q) = 0 . 由于erx ≠ 0，因此，只要 r 满足方程 r2 + pr + q = 0， ⑤
y * = Bx k eαx
y *′ = Bkx k −1eα x + Bα x k eα x
y*′′ = Bk (k − 1) x k − 2 eα x + 2 Bα kx k −1eα x + Bα 2 x k eα x