二重积分的概念与性质 习题

第十章 重积分

第一节 二重积分的概念与性质

一、填空题

1. 二重积分的定义是对 有界闭 区域上的 有界 函数而说的，当和式的极限0lim λ→()1,n i i

i i f ξησ=Δ∑存在时，二重积分存在，对于 闭 区域上的 连续 _函数，

二重积分一定存在.

2. 设曲顶柱体的顶部曲面函数(,)z f x y =，它的底部区域为，则曲顶柱体的体积表示 D 为(,)d σ∫∫D f x y .

3. 设{}22(,)1D x y x y =+≤，则d D

σ=∫∫π.

4. 由二重积分几何意义，d D x y =3π6a .（为D 222x y a +≤，）.

0,0,0x y a ≥≥≥提示：当时，

(,)0f x y ≥(,)d D f x y σ∫∫表示以为底，以曲面D (,)z f x y =为顶的曲顶柱 体的体积

5. 设一平面薄片在xoy 面内占的区域为，且其密度函数D 221(,)()2u x y x y =

+，则此薄 片的质量表示为221()d 2D

x y σ+∫∫ 二、单项选择题

1．()01(,)d lim ,n i i

i i D f x y f λσξησ→==Δ∑∫∫中λ是 D .

A. 最大小区间长

B. 小区域最大面积

C. 小区域直径

D. 小区域最大直径

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三、解答题

1. 利用二重积分性质估计积分()222d d D I x y x =

++∫∫y 的值，其中1x y +≤. 解：∵01x y ≤+≤，∴2221x y xy ++≤，即2212x y x +≤−y ， ∴2222323

x y xy ≤++≤−≤，2242

2d 3d 36D D I σσ==≤≤==∫∫∫∫， ∴即 46I ≤≤.

2. 根据二重积分的性质，比较2()d D x y σ+∫∫与3()d D

x y σ+∫∫的大小，其中由圆周 D 22(2)(1)x y −+−=22)围成.

解：，即22(2)(1)x y −+−≤∵22

(1)22(x y x −++≤+y ， ∴22(1)11()2x y x y −+≤+≤23()+，()y x y +≤+，故23()d ()d D D

x y x y σσ+≤+∫∫∫∫. x 62