图形及其位置关系

课题平面图形及其位置关系年级七年级上授课对象编写人李曼时间

学习目标1、能掌握平面图形有哪些。

2、能灵活运用平面图形的性质。

学习重点、难

点重点：能了解并掌握平面图形。

难点：熟练掌握平面图形的种类和其性质。

教学过程

T （测试）一、选择题

1．（3分）下列语句正确的是（）

A．平角就是一条直线B．周角就是一条射线

C．小于平角的角是钝角D．一周角等于四个直角

2．（3分）下列说法：①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫两点的

距离；③两点之间线段最短；④如果AB=BC，则点B是AC的中点．其中正确

的有（）

A．1个B．2个C．3个．个

3．（3分）已知线段AB，画出它的中点C，再画出BC的中点D，再画出AD

的中点E，再画出AE的中点F，那么AF等于AB的（）

A．B．C．．

4．（3分）若点B在点A的北偏东30度，则点A在点B的（）

A．南偏西30度B．北偏东60度C．南偏西60度．

5．（3分）直线l外有一点A，点A到l的距离是5cm，点P是直线l上任意一

点，则（）

A．A P＞5cm B．A P≥5cm C．A P=5cm ．

6．（3分）下列说法中正确的个数为（）

①在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；

②平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；

④平行同一直线的两直线平行．

A．1个B．2个C．3个．个

S （归纳）一、基础知识梳理

（一）主要概念

1．线段、射线、直线

（1）线段：绷紧的琴弦、人行道横线都可以近似地看做线段．

线段的特点：是直的，它有两个端点．

（2）射线：将线段向一方无限延伸就形成了射线．

射线的特点：是直的，有一个端点，向一方无限延伸．

（3）直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线．

直线的特点：是直的，没有端点，向两方无限延伸．

2．线段的中点

把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做线段的中点．

利用线段的中点定义，可以得到下面的结论：

（1）因为AM=BM=1

2

AB，所以M是线段AB的中点．

（2）因为M是线段AB的中点，所以AM=BM=1

2

AB或AB=2AM=2BM．

3．角

由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边．

角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的．

一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角．终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角．

4．角平分线

从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．

5．平行线

在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．

平行的关系是相互的，如果AB∥CD，则CD∥AB，其中符号“∥”读作“平行”．6．两条直线垂直

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，其交点叫做垂足，?如直线AB?与直线CD垂直，记作AB⊥CD．

7．两点之间的距离

两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离．

8．点到直线的距离

从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．

（二）主要性质

1．直线的性质

经过两点有且只有一条直线，其中“有”表示“存在性”，“只有”表示“惟一性”．2．线段的性质

两点之间的所有连线中，线段最短．

3．与平行线有关的一些性质

（1）平行公理．

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

（2）平行公理的推论．

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．4．垂线性质

（1）经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．

E （典例）例1】（2003年黑龙江）从哈尔滨开往A市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有（）

A．4种B．6种C．10种D．12种

【例2】（无锡）L1与L2是同一平面内的两条相交直线，它们有１个交点，?如果在这个平面内，再画第三条直线L3，那么这3条直线最多可有_______个交点；?如果在这个平面内再画第4条直线L4，那么这4条直线最多可有_______个交点；由此我们可以猜想在同一平面内，6条直线最多可有_______个交点，n （n为大于1的整数）条直线最多可有_______个交点（用含n的代数式表示）．2．线段长度的计算，线段的中点

【例3】某大公司员工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有60人，B 区有30人，C区有20人，三个区在同一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（）

3．角的度量与换算

【例4】（山西）时钟在3点半时，它的时针和分针所成的锐角是（）A．70°B．75°C．85°D．90°

4．七巧板问题在中考中主要考查图形的拼摆．

【例5】（2002年济南）如图1，用一块边长为22的正方形ABCD厚纸板，?按照下面做法，做了一套七巧板：作对角线AC，分别取AB、BC中点E、F，连结EF；作DG⊥EF于G，?交AC于H；过G作GL∥BC，交AC于L，再由E作EK∥DG，交AC于K；将正方形ABCE沿画出的线剪开．现用它拼出一座桥（如图2），这座桥的阴影部分的面积是（）．

（1）（2）A．8 B．6 C．4 D．5

三、解题方法与技巧

方法1：见比设元

【例1】如图所示，B、C两点把线段AD分成2：4：3三部分，M是AD

的中点，CD=9，求线段MC 的长．

【分析】题中给出了线段的长度比，那么设每一分为K 是常见的解法．

【解】∵AB ：BC ：CD=2：4：3

∴设AB=2K BC=4K CD=3K

∴AD=3K+2K+4K=9K

∵CD=9

∴3K=9 ∴K=3

∴AB=6 BC=12 AD=27

∵M 为AD 中点，

∴MD=12 AD=12

×27=13.5 ∴MC=MD-CD=13.5-9=4.5

【规律总结】不论是有关线段还是有关角的问题，只要有比值，就设未知数．

方法2：利用线段的和差判断三点共线

【例2】判断以下三点A 、B 、C 是否共线．

（1）有三点A 、B 、C ，且AB=10cm ，AC=2cm ，CB=8cm ；

（2）AB=10cm ，AC=3cm ，CB=9cm ．

【解】（1）∵AB=10cm ，AC=2cm ，CB=8cm ，

∴AB=AC+CB

∴A 、C 、B 三点在同一条直线上

（2）∵AB=10cm ，AC=3cm ，CB=9cm ，

∴AB ≠AC+CB

∴A 、C 、B 三点不共线

方法3：寻找规律

（一）数直线条数：过任三点不在同一直线上的n 点一共可画(1)2n n -条直线．

（二）数n 个人两两握手能握(1)2

n n -次． （三）数线段条数：线段上有n 个点（包括线段两个端点）时，共有

(1)

2n n -条线段．

（四）数角的个数：以0为端点引n 条射线，当∠AOD<180°时，则（如图）?小于平角的角个数为(1)2

n n -．

（五）数交点个数：n 条直线最多有(1)2n n -个交点． （六）数对顶角对数：n 条直线两两相交有n （n-1）对对顶角．

（七）数直线分平面的份数：平面内n 条直线最多将平面分成1+(1)2n n -个部分．

【例3】同一平面内有四点，每过两点画一条直线，则直线的条数是（ ）

A ．1条

B ．4条

C ．6条

D ．1条或4条或6条

【例4】一张饼上切七刀，最多可得到几块饼．

【分析】从原始状态开始，当切1刀时，一张饼被分成两部分；当切2刀时，一张饼最多可被分成四部分；当切了3刀时，一张饼被最多分成七部分；……若用n?表示切的刀数，饼被最多分成S 部分．则：n=1时S=2；n=2时S=4；n=3时，S=7；n=4时，S=11．

【解】设一张饼被切n 刀，最多分成S 部分，如图2-6可知：

n=1时 S=1+1

n=2时 S=1+1+2

n=3时 S=1+1+2+3

n=4时 S=1+1+2+3+4

……

则S=1+1+2+3+4+…+n=1+

(1)2n n - ∴当n=7时，S=1+782

?=29 答：当上张饼上切7切时，最多可得到29块饼．

【规律总结】许多规律性问题应回到原始状态，按照从特殊到一般的方法寻找规律，再按照从一般到特殊的方法应用规律解决问题．

四、中考试题归类解析

（一）线段，角

【例1】（2003，青海），如图，C 是AB 的中点，D 是BC 的中点，下面等式不正确的是（? ）

A．CD=AC-DB B．CD=AD-BC C．CD=1

AB-BD

2

AB

D．CD=1

2

【例2】（2004，黑龙江）一束光线垂直照射水平地面，在地面上放一个平面镜，欲使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜与地面所成锐角的度数为（）

A．45°B．60°C．75°D．80°

（二）平行

【例1】（2003，安徽）如图，已知AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【例2】（2004，安徽）如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=?140?°，?则∠BCD=_______．

二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）

11．（3分）如图，A、B、C、D、E是直线上顺次五点，则：（1）BD=CD+

_________；（2）BD=AD﹣_________，BC=BE﹣_________．12．（3分）如图，∠1=∠2，则∠BAD=∠_________．

13．（3分）计算：90°﹣78°19′40″=_________．

14．（3分）15°=_________平角，周角=_________度，25°12′18″=

_________度．

15．（3分）钟表上8点30分时，时针与分针所夹的锐角是_________度．

16．（3分）如图，∠AOC和∠BOD都是直角，若∠AOD=130°，则∠COB=

_________度．

17．（3分）在同一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点，那么8条直线两两相交，最多有_________个交点．

18．（3分）如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、D两点落在B′、D′点处，若得∠AOB′=70°，则∠B′OG的度数为_________．

P （练习）一、填空题

1．（2003年，青海）如图1，两平面镜α、β的夹角为θ，入射光线AO平行于β入射到α上，经过两次反射后的出射光线O′B平行于α，则角θ=________度．2．（2003，长沙）如图2，AB∥CD，EF分别交AB、CD于点E、F，∠1=70°，则∠2=?____度．

（1）（2）（3）（4）3．（2003，河南）如图3，直线L1∥L2，AB⊥L1，垂足为O，BC与L2相交于点E，若∠1=43°则∠2=_______度．

B

A 4．（2003，福州）如图4，直线a 、b 被直线c 所截，且a ∥b ，如果∠1=60?°，?那么∠2=______度．

5．（2004，太原）如图5，Rt △ABC 中，∠C=90°，沿过点B 的一条直线BE 折叠△ABC ，使点C 恰好落在AB 边的中点D 处，则∠A 的度数等于_________．

（5） （6） （7） （8）

6．（2004，福州）如图6，两条直线a 、b 被第三条直线C 所截，如果a ∥b ，∠C=70°，那么∠2=_______．

7．（2004，贵阳）如图7，直线a ∥b ，则∠ACB=_____度．

8．（2004，镇江）已知∠α=36°，若∠β是∠α的余角，则∠β=______，sin β=_______．（?结果保留四个有效数字）

9．（2004．岳阳）已知一个角的余角为60°，则这个角的补角为_________．

二、选择题

1．（2003，北京海淀区）若∠α=30°，则∠α的补角是（ ）

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

2．（2003，北京海淀区）如图8，直线c 与a 、b 相交，且a ∥b ，则下列结论：①∠1=?∠2②∠1=∠3 ③∠3=6∠2中正确的个数为（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

3．（2003，南通）已知：如图9，下列条件中，不能判断直线L 1∥L 2的是（ ）

A ．∠1=∠3

B ．∠2=∠3

C ．∠4=∠5

D ．∠2+∠4=180°

（9） （10） （11） （12）

4．（2003，湘潭）如图10，从A 地到B 地有多条道路，一般地，人 们会走中间的直路，?而不会走其他的曲折的路，这是因为（ ）

A ．两点之间线段最短

B ．两直线相交只有一个交点

C．两点确定一条直线D．垂线段最短

5．（2004，台州）天安门广场上五星红旗的旗杆与地面的位置关系属于（）A．直线与直线平行B．直线与直线垂直

C．直线与平面平行D．直线与平面垂直

6．（2004，河南）如图11，从A地到C地，可供选择的方案是走水路，走陆

路，走空中．从A地到B地有2条水路，2条陆路，从B地到C地有3条

陆路可代选择，走空中从A?地直接到C地，则从A地到C地可供选择的方

案有（）

A．20种B．8种C．5种D．13种

7．（2004，南京）如果∠α=20°，那么，∠α的补有等于（）

A．20°B．70°C．110°D．160°

8．（2004，日照）如图12，已知直线AB∥CD．当点E在直线AB与CD之间

时，有∠BED=?∠ABE+∠CDE成立；而当点E在直线AB与CD之外时，下

列关系式成立的是（）

A．∠BED=∠ABE+∠CDE或∠BED=∠ABE-∠CDE

B．∠BED=∠ABE-∠CDE

C．∠BED=∠CDE-∠ABE或∠BED=∠ABE-∠CDE

D．∠BED=∠CDE-∠ABE

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