高中数学会考知识点总结-(超级经典)

数学学业水平复习知识点

第一章 集合与简易逻辑

1、 集合

（1）、定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用{ }。 （2）、集合的表示法：列举法（）、描述法（）、图示法（）；

（3）、集合的分类：有限集、无限集和空集（记作φ，φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）； （4）、元素a 和集合A 之间的关系：a ∈A ，或a ∉A ；

（5）、常用数集：自然数集：N ；正整数集：N ；整数集：Z ；整数：Z ；有理数集：Q ；实数集：R 。 2、子集

（1）、定义：A 中的任何元素都属于B ，则A 叫B 的子集 ；记作：A ⊆B ， 注意：A ⊆B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ

（2）、性质：①、A A A ⊆⊆φ,；②、若C B B A ⊆⊆,，则C A ⊆；③、若A B B A ⊆⊆,则A =B ； 3、真子集

（1）、定义：A 是B 的子集 ，且B 中至少有一个元素不属于A ；记作：B A ⊂； （2）、性质：①、A A ⊆≠φφ,；②、若C B B A ⊆⊆,，则C A ⊆；

4、补集

①、定义：记作：},|{A x U x x A C U ∉∈=且；

②、性质：A A C C U A C A A C A U U

U U ===）（，， φ； 5、交集与并集

（1）、交集：}|{B x A x x B A ∈∈=且

性质：①、φφ== A A A A , ②、若B B A = ，则A B ⊆ （2）、并集：}|{B x A x x B A ∈∈=或

性质：①、A A A A A ==φ , ②、若B B A = ，则B A ⊆

A

B

B

A

6、一元二次不等式的解法：（二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系）

不等式解集的边界值是相应方程的解

含参数的不等式ax 2＋b x ＋c>0恒成立问题⇔含参不等式ax 2

＋b x ＋c>0的解集是R ； 其解答分a ＝0(验证bx ＋c>0是否恒成立)、a ≠0（a<0且△<0）两种情况。

第二章 函数

1、映射：按照某种对应法则f ，集合A 中的任何一个元素，在B 中都有唯一确定的元素和它对应， 记作f ：A →B ，若B b A a ∈∈,，且元素a 和元素b 对应，那么b 叫a 的象，a 叫b 的原象。

2、函数：（1）、定义：设A ，B 是非空数集，若按某种确定的对应关系f ，对于集合A 中的任意一个数x ，集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，就称f ：A →B 为集合A 到集合B 的一个函数，记作y=f （x ）， （2）、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；自变量x 的取值范围叫函数的定义域，函数值f （x ）的范围叫函数的值域，定义域和值域都要用集合或区间表示；

（3）、函数的表示法常用：解析法，列表法，图象法（画图象的三个步骤：列表、描点、连线）； （4）、区间：满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫闭区间，表示为：[a ，b ] 满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫开区间，表示为：（a ，b ）

满足不等式b x a <≤或b x a ≤<的实数x 的集合叫半开半闭区间，分别表示为：[a ，b ）或（a ，b ]； （5）、求定义域的一般方法：①、整式：全体实数，例一次函数、二次函数的定义域为R ； ②、分式：分母0≠，0次幂：底数0≠，例：|

3|21

x y -=

③、偶次根式：被开方式0≥，例：225x y -=

④、对数：真数0>，例：)11(log x

y a -=

（6）、求值域的一般方法：①、图象观察法：|

|2.0x y = ②、单调函数：代入求值法： ]3,3

1

[),13(log 2∈-=x x y ③、二次函数：配方法：)5,1[,42

∈-=x x x y ， 222++-=

x x y

④、“一次”分式：反函数法：12+=x x

y ⑤、“对称”分式：分离常数法：x

x

y sin 2sin 2+-=

⑥、换元法：x x y 21-+= （7）、求f （x ）的一般方法：

①、待定系数法：一次函数f （x ），且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求f （x ） ②、配凑法：,1

)1

(22

x

x x

x f +

=-求f （x ） ③、换元法：x x x f 2)1(+=+，求f （x ）

④、解方程（方程组）：定义在（-1，0）∪（0，1）的函数f （x ）满足x

x f x f 1

)()(2=-，求f （x ） 3、函数的单调性：

（1）、定义：区间D 上任意两个值21,x x ，若21x x <时有)()(21x f x f <，称)(x f 为D 上增函数； 若21x x <时有)()(21x f x f >，称)(x f 为D 上减函数。（一致为增，不同为减） （2）、区间D 叫函数)(x f 的单调区间，单调区间⊆定义域；

（3）、判断单调性的一般步骤：①、设，②、作差，③、变形，④、下结论 （4）、复合函数)]([x h f y =的单调性：内外一致为增，内外不同为减； 4、反函数：函数)(x f y =的反函数为)(1

x f

y -=；函数)(x f y =和)(1

x f

y -=互为反函数；

反函数的求法：①、由)(x f y =，解出)(1

y f x -=，②、y x ,互换，写成)(1

x f

y -=，③、写出)

(1

x f

y -=的定义域（即原函数的值域）；

反函数的性质：函数)(x f y =的定义域、值域分别是其反函数)(1

x f y -=的值域、定义域；

函数)(x f y =的图象和它的反函数)(1

x f

y -=的图象关于直线x y =对称；

点（a ，b ）关于直线x y =的对称点为（b ，a ）；

5、指数及其运算性质：（1）、如果一个数的n 次方根等于a （*

,1N n n ∈>），那么这个数叫a 的n 次方根；

n

a 叫根式，当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，⎩

⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n n

（2）、分数指数幂：正分数指数幂：n m

n

m

a a =；负分数指数幂：n

m n

m

a

a

1=

-

0的正分数指数幂等于1，0的负分数指数幂没有意义（0的负数指数幂没有意义）； （3）、运算性质：当Q s r b a ∈>>,,0,0时：r r r rs s r s

r s

r

b a ab a a a

a a ===⋅+)(,)(,，r

r

a a 1

=；

6、对数及其运算性质：（1）、定义：如果)1,0(≠>=a a N a b

，数b 叫以a 为底N 的对数，记作b N a =log ，

其中a 叫底数，N 叫真数，以10为底叫常用对数：记为lgN ，以e=2.7182828…为底叫自然对数：记为lnN （2）、性质：①：负数和零没有对数，②、1的对数等于0：01log =a ，③、底的对数等于1：1log =a a ，④、积的对数：N M MN a a a log log )(log +=， 商的对数：N M N

M

a a a

log log log -=， 幂的对数：M n M a n

a log log =， 方根的对数：M n

M a n a log 1log =，

7、指数函数和对数函数的图象性质