概率论与数理统计(茆诗松)第二版第三章课后习题3.3、3.4(部分)参考答案

0 −z
x
y
z
0
x
p(
x,
y)
=
⎧3x, ⎩⎨0,
0 < x < 1, 0 < y < x, 其他.
试求 Z = X − Y 的密度函数．
解：方法一：分布函数法
作曲线簇 x − y = z，得 z 的分段点为 0, 1，
当 z < 0 时，FZ (z) = 0，
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 当 0 ≤ z < 1 时， FZ (z) =
0
x
pZ
(
z)
=
FZ′
(
z)
=
⎧ ⎪ ⎨ ⎪
1
2 1
ez, e−z
,
⎩2
z ≤ 0, z > 0.
方法二：增补变量法
（1）函数 z = x + y 对任意固定的 y 关于 x 严格单调增加，增补变量 v = y， 2
18
可得
⎪⎨⎧z
=
x
+ 2
y
,
⎪⎩v = y,
有反函数
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
2z v,
z
x
dx 3xdy +
0
0
1
x
dx 3xdy =
z
x−z
z 3x 2 dx +
0
1
3xzdx =
x3
z
+
3
x2z 1
=
3
z
−
1
z3，
z
02 z2 2
当 z ≥ 1 时，FZ (z) = 1，
y
因分布函数 FZ (z) 连续，有 Z = X − Y 为连续随机变量，
1
故 Z = X − Y 的密度函数为
7
7
故 P{max{X ,Y} ≥ 0} = P( A U B) = P( A) + P(B) − P( AB) = 4 + 4 − 3 = 5 ． 7777
6． 设 X 与 Y 的联合密度函数为
p(x,
y)
=
⎧e ⎨
−(x+
y)
,
⎩0,
x > 0, y > 0, 其他.
试求以下随机变量的密度函数（1）Z = (X + Y )/2；（2）Z = Y − X．
P{U = 2} = P{X = 0, Y = 2} + P{X = 1, Y = 2} + P{X = 2, Y = 2} + P{X = 2, Y = 1} = 0.15 + 0.11 + 0.07 + 0.04 = 0.37；
P{U = 3} = P{X = 0, Y = 3} + P{X = 1, Y = 3} + P{X = 2, Y = 3} = 0.20 + 0.22 + 0.09 = 0.51； 故 U 的分布列为
j =1
i =1
= (1 − p)k−1 p ⋅ 1 − (1 − p) k p + 1 − (1 − p) k−1 p ⋅ (1 − p) k−1 p
1 − (1 − p)
1 − (1 − p)
= (1 − p) k − 1 p ⋅ [2 − (1 − p) k − 1 − (1 − p) k ] 故 Z = max{X, Y }的概率函数为 pz (k) = (1 − p) k − 1 p ⋅ [2 − (1 − p) k − 1 − (1 − p) k ]，k = 1, 2, …．
设各周的需要量是相互独立的，试求
（1）两周需要量的密度函数 p2 (x)；（2）三周需要量的密度函数 p3 (x)． 解：方法一：根据独立伽玛变量之和仍为伽玛变量
+∞
dx
x+ z e −( x+ y) dy =
−z
0
+∞ dx ⋅ [− e −(x+ y) ] x+ z
−z
0
=
+∞ [− e −(2x+z) + e −x ]dx
−z
y
+∞
=
⎡1 ⎢⎣ 2
e −(2 x+ z)
−
e−x
⎤ ⎥⎦
−z
=
−⎢⎣⎡
1 2
e
z
−
e
z
⎤ ⎥⎦
=
1 2
e
z
，
0 −z
x
∫ ∫ ∫ ∫ 当 z > 0 时， FZ (z) =
P{V = 2} = P{X = 2, Y = 2} + P{X = 2, Y = 3} = 0.07 + 0.09 = 0.16； 故 V 的分布列为
V0 1 2 P 0.40 0.44 0.16
2． 设 X 和 Y 是相互独立的随机变量，且 X ~ Exp(λ )，Y ~ Exp(µ )．如果定义随机变量 Z 如下
0
0
因分布函数 FZ (z) 连续，有 Z = (X + Y )/2 为连续随机变量， 故 Z = (X + Y )/2 的密度函数为
2z
x
pZ
(
z)
=
FZ′
(
z)
=
⎧4z ⎨ ⎩0,
e−2
z
,
z > 0, z ≤ 0.
（2）作曲线簇 y − x = z，得 z 的分段点为 0，
∫ ∫ ∫ ∫ 当 z ≤ 0 时， FZ (z) =
−
v,
且 J = x′z y ′z
xv′ = 2 yv′ 0
−1 = 2， 1
∫ ∫ 则 pZ (z) =
+∞
p(2z − v, v) ⋅ 2dv =
−∞
+∞
2
p(2z
−
v,
v)dv
，
−∞
作曲线簇 x + y = z ，得 z 的分段点为 0， 2
当 z ≤ 0 时，pZ (z) = 0，
∫ 当 z > 0 时， pZ (z) =
x′z y ′z
xv′ = 1 yv′ 0
1 =1， 1
∫ 则 pZ (z) =
+∞ p(z + v, v)dv ，
−∞
作曲线簇 x − y = z，得 z 的分段点为 0, 1，
当 z ≤ 0 或 z ≥ 1 时，pZ (z) = 0，
∫ 当 0 < z < 1 时， pZ (z) =
1− z
3( z
+∞ dx ⋅ (−λ ) e −(λ x+µ y) +∞
0
x
0
x
∫= +∞ λ e −(λ +µ )x dx = − λ e −(λ +µ )x +∞ = λ ，
0λ+ µ0 λ+ µy X<Y
X>Y
0
x
P{Z
=
0}
=
1
−
P{Z
= 1}
=
λ
µ +
µ
，
故 Z 的分布列为
Z0
1
Pµ
λ
λ+µ λ+µ
16
2z 2 e −2z dv = 4z e −2z ，
0
故 Z = (X + Y )/2 的密度函数为
y 2z
0
x
p
Z
(
z)
=
⎧4z ⎨ ⎩0,
e
−2
z
,
z > 0, z ≤ 0.
（2）函数 z = y − x 对任意固定的 y 关于 x 严格单调增加，增补变量 v = y，
可得
⎧z ⎩⎨v
= =
y− y,
U1 2 3 P 0.12 0.37 0.51
因 P{V = 0} = P{X = 0, Y = 1} + P{X = 0, Y = 2} + P{X = 0, Y = 3} = 0.05 + 0.15 + 0.20 = 0.40；
P{V = 1} = P{X = 1, Y = 1} + P{X = 1, Y = 2} + P{X = 1, Y = 3} + P{X = 2, Y = 1} = 0.07 + 0.11 + 0.22 + 0.04 = 0.44；
+∞
dx
e x+ z −( x+ y) dy =
0
0
+∞ dx ⋅ [− e −(x+ y) ] x+ z
0
0
=
+∞ [− e −(2x+z) + e −x ]dx
0
y
+∞
=
⎡ ⎢⎣
1 2
e
−(2x+
z)
−
e
−x
⎤ ⎥⎦
0
=
−⎢⎣⎡
1 2
e−z
−
1⎥⎦⎤
=
1
−
1 2
e−z
，
z
因分布函数 FZ (z) 连续，有 Z = Y − X 为连续随机变量， 故 Z = Y − X 的密度函数为
解：（1）(X, Y ) 的联合分布列为
Y 0
X
1 pi ⋅
0 0.25 0.25 0.5
1 0.25 0.25 0.5
p⋅ j 0.5 0.5
因 P{Z = 0} = P{X = 0, Y = 0} = 0.25；P{Z = 1} = 1 − P{Z = 0} = 0.75； 故 Z 的分布列为
Z0 1 P 0.25 0.75
17
5． 设 X 和 Y 为两个随机变量，且
P{X ≥ 0, Y ≥ 0} = 3 ， P{X ≥ 0} = P{Y ≥ 0} = 4 ，
7
7
试求 P{max{X, Y } ≥ 0}．
解：设 A 表示事件“X ≥ 0”，B 表示事件“Y ≥ 0”，有 P( AB) = 3 ， P( A) = P(B) = 4 ，
Z
=
⎧1, ⎨
⎩0,
当X ≤Y, 当X >Y.
求 Z 的分布列． 解：因(X, Y ) 的联合密度函数为
p(x,
y)
=
pX
(x) pY
( y)
=
⎧λµ ⎨ ⎩0,
e−(λ x+µ y) ,
x > 0, y > 0, 其他.
∫ ∫ ∫ 则 P{Z = 1} = P{X ≤ Y} =
+∞
dx
+∞ λµ e −(λ x+µ y) dy =
解：方法一：分布函数法 y
（1）作曲线簇 x + y = z ，得 z 的分段点为 0， 2
当 z ≤ 0 时，FZ (z) = 0，
∫ ∫ ∫ 当 z > 0 时， FZ (z) =
2z
dx
2z−x e −( x+ y) dy =
0
0
2z dx ⋅ [− e −(x+ y) ] 2z−x
0
0
0
∫= 2z (− e −2z + e −x )dx = (− e −2z x − e −x ) 2z = 1 − (2z + 1) e −2z ，
3． 设随机变量 X 和 Y 的分布列分别为
X −1 0 1 P 1/ 4 1/ 2 1/ 4
Y0 1 P 1/ 2 1/ 2
已知 P{XY = 0} = 1，试求 Z = max{X, Y }的分布列． 解：因 P{X1 X2 = 0} = 1，有 P{X1 X2 ≠ 0} = 0，
即 P{X1 = −1, X2 = 1} = P{X1 = 1, X2 = 1} = 0，可得 (X, Y ) 的联合分布列为
4
4
P{Z = 1} = 1 − P{Z = 0} = 3 ； 4
故 Z 的分布列为
Z 01 P1 3
44
4． 设随机变量 X、Y 独立同分布，在以下情况下求随机变量 Z = max{X, Y }的分布列． （1）X 服从 p = 0.5 的 (0-1) 分布； （2）X 服从几何分布，即 P{X = k} = (1 − p) k − 1p，k = 1, 2, …．
0
2
+∞ 0
= 1 ez ， 2
∫ 当 z > 0 时， pZ (z) =
e +∞ −2v+ z dv = − 1 e −2v+ z
z
2
+∞ = 1 e −z ， z2
故 Z = Y − X 的密度函数为
pZ
(
z
)
=
⎧ ⎪ ⎨ ⎪
1
2 1
e e
z −
,
z
,
⎩2
z ≤ 0, z > 0.
7． 设 X 与 Y 的联合密度函数为
习题 3.3
1． 设二维随机变量(X, Y ) 的联合分布列为
Y 123
X 0 0.05 0.15 0.20 1 0.07 0.11 0.22 2 0.04 0.07 0.09
试分布求 U = max{X, Y } 和 V = min{X, Y } 的分布列． 解：因 P{U = 1} = P{X = 0, Y = 1} + P{X = 1, Y = 1} = 0.05 + 0.07 = 0.12；
Y 0
X −1
1 pi ⋅ 1/ 4
0
1/ 2
1
1/ 4
p⋅ j 1/ 2 1/ 2
Y 0
X
1 pi ⋅
−1 1/ 4 0 1/ 4
0 0 1/ 2 1/ 2
1 1/ 4 0 1/ 4
p⋅ j 1/ 2 1/ 2
因 P{Z = 0} = P{X = −1, Y = 0} + P{X = 0, Y = 0} = 1 + 0 = 1 ；
x,
有反函数
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
v− v,
z,
且J
=
x′z y ′z
xv′ = − 1 yv′ 0
1 = −1 ， 1
y
∫ 则 pZ (z) =
+∞ p(v − z, v)dv ，
−∞
作曲线簇 y − x = z，得 z 的分段点为 0，
∫ 当 z ≤ 0 时， pZ (z) =
e +∞ −2v+ z dv = − 1 e −2v+ z
+
v)dv
=
3
(z
+
v) 2
1− z
0
2
0
= 3 (1 − z 2 ) ， 2
故 Z = X − Y 的密度函数为
pZ
(
z
)
=
⎪⎧ ⎨
3 2
(1
−
z
2
),
0 < z < 1,
⎪⎩0,
其他.
8． 某种商品一周的需要量是一个随机变量，其密度函数为
y 1−z
0
p1
(t
)
=
⎧t e ⎨ ⎩0,
−t
,