第十四章整式的乘法与因式分解_复习学案(最权威)

整式的乘法与因式分解

一、 整式的乘法

（一）幂的乘法运算

1、同底数幂相乘：=∙n m a a

推广：n n n n n n n n n n a a a a a +++=⋅⋅3213211（n n n n n ,,,,321 都是正整数）

2、幂的乘方：()=n m a

推广：[]

321321)(n n n n n n a a =（321,,n n n 都是正整数） 3、积的乘方：()=n ab

推广：n m n n n n m a a a a a a a a 321321)(=⋅⋅

例1、（同底数幂相乘）计算：（1）52x x ⋅ （2）389)2()2()2(-⨯-⨯-

（3）m m a a

+-⋅11 （4）523)()()(x y x y y x -⋅-⋅-

例3、（积的乘方）计算：（1）（ab ）

2 （2）（－3x ）2 （3）3

32)3(c b a -

（4）32])(3[y x + （5）20082009)3()31

(-⨯

（二）整式的乘法

1、单项式⨯单项式 （1）系数相乘作为积的系数

（2）相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为一个因式

（3）单独出现的字母，连同它的指数，作为一个因式

注意点：单项式与单项式相乘，积仍然是一个单项式

2、单项式⨯多项式

①单项式分别乘以多项式的各项；

②将所得的积相加 注意：单项式与多项式相乘，积仍是一个多项式，项数与多项式的项数相同

3、多项式⨯多项式

先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 注意：运算的结果一般按某一字母的降幂或升幂排列。

例1、计算：（1）abc b a ab 2)31(322⋅-⋅ （2）)34432()23(22y xy y x xy +-⋅-

（3）(x-3y)(x+7y) （4）)1)(1)(1(2++-x x x

（三）乘法公式

1、平方差公式： ()()=-+b a b a ；

变式：（1）=+-+))((a b b a ； （2）=++-))((b a b a ；

（3）))((b a b a --+-= ； （4）))((b a b a ---= 。

2、完全平方公式：2)(b a ±= 。

公式变形：（1）ab b a ab b a b a 2)(2)(2222+-=-+=+

（2）ab b a b a 4)()(22+-=+； （3）ab b a b a 4)()(22-+=-

（4）ab b a b a 4)()(22=--+； （5）)(2)()(2222b a b a b a +=-++

例2、计算：（1）(x ＋2)(x －2) （2）(5＋a)(-5＋a) （3）)52)(52(y x y x +---

（4）()()222233x y y x ++- (5) 20021998⨯ （6）

()()()4222+-+x x x

例3、填空：(1)x 2－10x ＋______＝( －5)2；(2)x 2＋______＋16＝(______－4)2

；

(3)x 2－x ＋______＝(x －____ )2； (4)4x 2＋______＋9＝(______＋3)2．

例4、计算：（1）()222)2(y x y x -++ （2）(x+错误！未找到引用源。)2

（3）2

2)121

(-x （4）2999

例5、已知x x +

=13，求()1122x x +；()()212x x -

例6、化简求值()()()()2232323232b a b a b a b a ++-+--，其中：3

1,2=-=b a 。

三、因式分解

1、定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解。

2、因式分解的方法：

（1）提公因式法

（2）公式法：平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±

（3）十字相乘法：pq x q p x +++)(2= 。

3、因式分解一般思路：

先看有无公因式，在看能否套公式

首先提取公因式，无论如何要试试，

提取无比全提出，特别注意公约数

公因提出后计算，因式不含同类项

同类合并后看看，是否再有公因现

无公考虑第二关，套用公式看项数

项数多少算一算，选准公式是关键

二项式，平方差，

底数相加乘以差

无差交换前后项

奇迹可能就出现

三项式，无定法，完全平方先比划

前平方，后平方，还有两倍在中央。

例1、分解因式：（1）x 2－2x 3

（2）3y 3－6y 2

＋3y

（3）)(3)(2b a y b a x --- （4）3x （m －n ）＋2（m －n ）

例2、分解因式：（1）4a 2－9b 2 （2）2

69a a ++

（3）22)1(16)2(-++-x x （4）1)25(2)25(2+---y x y x

例3、分解因式：（1）a 3－ab 2 （2）ab b a b a ++2

32

例4、在实数范围内分解因式：

（1）52-a （2）322

-a

例5、给出三个整式2a ，2b 和ab 2．

（1）当a=3，b=4时，求ab b a 222++的值；

（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程．