矩阵的初等变换与初等矩阵

Er O
O O

0
00
0
的矩阵等价，称之为 A 的标准形.其中r是行阶梯形矩
阵非零行的行数.
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
二、初等矩阵
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的
矩阵，称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等矩阵:
1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
行阶梯形矩
阵的特点: 阶梯 线下方的元素全 为零; 每个台阶 只有一行, 台阶 数即是非零行的 行数, 阶梯线的 竖线(每段竖线 的长度为一行) 后面的第一个元 素为非零元,也 就是非零行的第 一个非零元.
例如
1 2 0 0

0
0
1
0

0 0 0 1
1 2 1 0

E(i, j)A: 对换 A的 i, j 两行； AE(i, j): 对换 A的 i, j 两列． E(i(k))A ：用非零数 k乘 A 的第 i 行； AE(i(k)) ：用非零数 k 乘 A 的第 i 列．
E(i, j(k))A ：A 的第 j 行乘以 k加到第 i 行 ;
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念与运算 §2 可逆矩阵与逆矩阵 §3 矩阵的初等变换与初等矩阵 §4 矩阵的秩与矩阵的分块
习题课
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
一、矩阵的初等变换 二、初等矩阵 三、用初等变换求矩阵的逆
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
一、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：
1) 用非零数k乘矩阵的某一行（列）； k ri，k ci 2) 把矩阵的某行(列)的k倍加到另一行() 互换矩阵中两行(列)的位置． ri rj，ci c j 矩阵A经初等行(列)变换变成矩阵B，一般地A≠B．
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
(2)这些非零元素所在列的其余元素都是0.
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
例如
1 2 1 0 0 0 1 3 0 0 0 5
1 3 1 0 0 1 0 2 4 0 1 0 0 0 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵

=

4 3
6 4
E (1, 2(1))
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
相当于
r1 r2

1 3
2
4

r2 2

1 3
2 4
r1 +r 21

1 3
2
4

2 引理 对任一矩阵 A作一初等行(列)变换相当于 对A 左(右)乘一个相应的初等矩阵．
1

1k
E(i, j(k))

1

(消法矩阵)
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵


第i行
第j行
1
初等矩阵的性质
1 初等矩阵皆可逆，且 其逆仍为初等矩阵. E(i, j)1 E(i, j), E(i(k ))1 E(i( 1 )) (k 0), k E(i, j(k))1 E(i, j(k)).
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数 k 0 乘单位矩阵的第 i 行 (ri k),得 初等矩阵
1 E(i(k))
1 k 1

第i行
1
(倍法矩阵)
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
3、以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 (ri krj ) [或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )，
矩阵的等价 定义2 若矩阵B可由A经过一系列初等变换得到，
则称A与B等价的． 注： 矩阵的等价关系具有：
反身性、对称性、传递性.
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 1、如果矩阵A的任一行从第一个元素起至该行的 第一个非零元素所在的下方全为零；若该行全 为0，则它的下面各行也全为0，则称矩阵A为 行阶梯形矩阵． 2、满足下面条件的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵. (1)各非零行的第一个非零元素都是1；
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
1、对调两行或两列 对调 E 中第 i, j 两行，即(ri rj )，得初等方阵
1 E(i, j)
1 0 1
1
1
1 0 1




第
i
行



第
j行

1
(换法矩阵)
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
思考：初等矩阵的行列式与转置.
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
计算
0 11 2 3 4

1
0


3
4

=

1
2
E (1, 2)
1 01 2 1 2

0
2


3
4

=

6
8

E(2(2))
1

0
1 1
1

3
2 4
0
0
1
3

0 0 1 5
1 0 1 0 0 1 1 3 1 0 0 1

0
1
4
0
1
0


0
2
4
0
1
0

0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0



0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 0
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
例1 利用初等行变换把下列矩阵化为行阶梯形矩 阵，并写出每一步初等行变换所对应的初等矩阵
1
1 5

r3 r2(1)

0 0
2 1 0
3 1 5
4
1 4

§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
定理1 任意一个矩阵总可以经过一系列初等行变换
化成行阶梯形矩阵，并进而化为行最简形矩阵．
定理2 任一 m n矩阵 A 都与一形式为
1
0 0


0
10 00
0 0
解：
1 2 3 4
A


2 0
2 1
2 1
2 1

1 2 3 4
1 2 3 4
A
r2 r12

0 0
2 1
8 1
10 1

r2 r3

0 0
1 2
1 8
1 10

r312

1 0 0
2 1 1
3 1 4
4