电动力学 第4章 电磁波

的脚标，由（3.26）式可得到


2 12 [1 1 ( ) ] , 2
（3.27） （3.28）

由

1
2 12 [1 1 ( ) ] . 2
常数有关。一般用比值 的大小来判断该导体是不是良导体。 1 ，利用 1 x 1 1 x （x为小量） 对于不良导体比值 2 （3.28）式可简化为 1 2 12 （3.29） [1 1 ( ) ] .
J E, 把（3.2）代入 E 有 J .
（3.2） 其中σ为电导率.
（3.3）
上式的物理过程：如果某区域有电荷聚集，该区域电流密度的散度 不为零，因为电荷之间的相互排斥引起电荷向外扩散。 由于电荷 向外流动，该区域每个体积元的电荷密度减小，电荷密度的变化率 由电荷守恒定律决定。即 J （3.4）
E E
(1 i ) E 2 0
E E
(1 i ) E 和E E E 联立可解出 2 0
E E
. 2 0 1 i
)2 1
1 i
2 0
(3.36)
反射系数
20 R 2 1 2 20 2 E (1 ) 1
第三节
平面电磁波在导体中的传播及其 在导体表面的反射和折射
导体和绝缘体的差别是导体内有自由电子，当电磁波进入导体 后必将引起传导电流，电场对传导电流做功使得电磁波的能量转化 为焦耳热。 可以预料，在导体中传播的电磁波是个衰减波。 本节要点：1.导体中平面电磁波的数学表示； 2.导体中平面电磁波的传播特征；
c
2

1
z

1


.
（3.23）
.
2 z
sin
2
（3.24）
把
联立上面两式可得
2 z
1 , 有 2 2 1 2 2 2 2 ( 2 sin z ) z , z z . c 2
三、导体表面上的反射 该问题可从菲涅耳公式中得到答案，由于波在绝缘介质和在导体 的数学形式相同，因此振幅的反射比、折射比的数学形式也相同， 但要用复波矢和复电容率取代原来波矢和电容率。 也可用边值关系 去分析，但计算比较复杂。如果波垂直入射则比较简单。 设波由真空垂直入射导体表面， 则反射波、折射波 、入射波的E，H 、 均与界面平行，所以它们的边值关系为
2 2 1 1 z2 ( 2 2 sin 2 ) ( 2 2 sin 2 ) 2 2 2 2 . 2 c 2 c
。 （其中使用了ห้องสมุดไป่ตู้
k
(0)


c
）
（3.26）
讨论：电磁波正入射时θ=0，此时 , 均沿z方向，略去 z , z
2 2 2
x kx ,
y y 0, z 0, z 0, x 0 代入
1 2 2 2 1 2 2 2 2 ( 2 sin ) ( 2 sin ) 2 2 2 . 2 c 2 c （3.25） 其中考虑了β 是实矢量。 同理可得到
导电流引起。如果引入“复电容率” i ,

（3.10）
式 H i E E 变为 H i E ,
这样，导体中的麦克斯韦方程组可改写为 E i H , E 0; H i E , H 0 .

.
上式说明一个重要的事实：
（1）在高频的情况下，电磁场及其在导体内激发的高频电流只 能集中在导体表面的一个薄层内，这种现象称为趋肤效应。
（2）在直流和低频时作为良导体的物质，在极高频的电磁场 中，它就有可能不是良导体了。 2 22 如铜，对于短X射线（υ=10 Hz）来说， ~ 10 1, 在这种情况 下铜就不再是良导体了， X射线在铜扳上不仅不存在趋肤效应，而 且不能穿透铜扳。 不难发现： 正好是复电容率 i 的虚部与实部之比； 也正好是导体中传导电流与位移电流两者数值大小之比； D 附： J E , J d i E t
E E E , H H H . (3.35) 其中 E, E, E分别代表入射、反射、折射波的 场强。 在良导体的情形下，由
E 1 H ( i ) n E 和

1
B
0 0
c,
可把(3.35)中的第二式
用E表示。（设μ0= μ）
x ex y e y z ez z ez .
（3.22）
显然，复波矢的实部和虚部一般不同向。
z x 这时导体中的平面电磁波的振幅函数为 E e E0e z , 0
可见，波的透射深度δ为 导体中电磁波的相速度是
v 2 2 x z 2
也是良导体中单色电磁波磁场能量与电场能量之比。
1 导体中电磁波的磁场表示可由 H k E 给出。即 1 H ( i ) n E , (3.32)

n 指向导体内部，对良导体且波垂直入射，这时
（3.32）式变为
H i 4 (1 i) n E e n E,
k表示导体内的波矢。设x z为入射面，
z轴指向导体内部的法线，由波矢的边值关系有 ( 0) kx k x x i x . （3.20） 比较等式两边
(0) k
z

x
x 0, x kx , (0) 又 k 在zx平面内，那么有 (0) y y 0, ky k y y i y 0 那么 x ex y ez z ez sin ex z ez , （3.21） c

2
,
(3.33)
可见，磁场的相位比电场相位落后450。 良导体中单色平面电磁波的磁场能量与电场能量之比为。
Wm H 2 2 We E

4 e nE
i

2
E2

1.
(3.34)
这说明导体中磁场能量远大于电场能量。 因为传导电流消耗的 焦耳 热由一部分电场能量提供，磁场能量与此无关。
k , i .
因此k是一复矢量，设
xn是位置矢量x在β方向上的分量,对相位函数的时间求导可得
其中利用了 i , 比较（3.19）两边的实部和虚部有 1 2 2 2 （3.19） , . 2
E
2
(1
20
(3.37)
由上式可见，σ增大，R也增大且向1接近。上式的结果和实验事实 相符。 如铜，当λ=1.2×10-5m 的红外线垂直入射时，测得反射系数为 R=1-0.016，与（3.37）的计算结果相符。对于波长较长的电磁波， 这意味着绝大部份的能量被反射。 因此在微波 反射系数更接近于1， 或无线电波情形下，往往把金属看为反射系数接近1的导体，导体 面是约束电磁波的理想界面。
t
. 和（3.3）比较： t
（3.5）
t
（3.5）式的解是
(t ) 0 e


,
（3.6）
ρ0是t=0时的电荷密度。 显然ρ随t 减少，衰减的特征时间是τ，它
为：
石墨 τ= 3.69×10 -10秒 铜 τ =1.55× 10-19 秒 这说明，良导体内部不能堆积电荷，电荷只能分布在良导体的表 面上，本节着重讨论良导体， 二、导体内的电磁波（时谐）因为导体内部ρ(t)=0，J E , 所以对应 的麦克斯韦方程组为 （3.8） D 0, B 0. 对一定频率的电磁波 D E , B H , 则有 E，D，H ，B仍然满足
2 2 2

和（3.28）可见， 透射深度和波的频率及物质的电磁

此时
1
1 ，简化（3.27）和（3.28）式有 对于良导体比值


2


由于电导率很小，所以透入深度很大！


2
2
（3.30） （3.31）
其透入深度为

2
B E , t D H J; t
.
（3.7）
是ρ(t)减少到ρ0(0)的1/e所 经历的时间。
E i H , E 0 ; H i E E , H 0 . （3.9） 和P124（4-1-16）作比较，上面的第二式多了一项σE，该项由传
（3.11）
（3.12）
这组方程和绝缘介质中的麦氏方程组的形式完全一样，因此电磁波 解的形式也和绝缘介质中电磁波解相同，只是用 取代 . 一定频率下的平面电磁波解 和本章第一小节作类比，导体内 电场应满足亥姆霍兹方程 其中
2 E k E 0,
2
（3.12） （3.13）
k .
3.衡量导体是否为良导体的判据； 4.绝缘介质和导体分界面上的菲涅耳公式。 一、导体内的自由电荷分布 静电场中的导体其自由电荷分布在导体的外表面上，处在速 变场中的导体是否有保留这一特性？ 设导体内某一区域内有自由电荷分布，其密度为ρ，区域内的 电场为E，则 （3.1） E 导体内在 E 作用下引起的传导电流密度J 由欧姆定律决定，即
（3.12）的电磁波解必须满足的条件： E 0
和本章第一小节作类比，（3.12）的平面波解是
i ( k x ik x t ) E ( x , t ) E0 e E ( x ) E0 e .
（3.14）
注意到
（3.16） k i , i ( k x t ) 并代入 E ( x , t ) E0 e 有 i ( k x E ( x , t ) E0 e t ) E0 ei[( i ) x t ] E0 e x ei ( x t ) . x i ( x t ) E ( x , t ) E0 e e . 即 （3.17） 可见，导体内平面电磁波的振幅不再是常量而和空间量有关， x 显然振幅是衰减的。衰减因子是 e . α称为衰减常数； 复矢量中的实数部分β反映波的相位关系， β称为相位常数。 因为导体内平面电磁波的相位是( x t ) , 波的等相面由它确定， 可以证明β的方向就是等相面的法线方向，也就是波的传播方向。 改写波的相位函数 ( x t ) , ( xn t ).
由波矢量的边值关系求相位常数和衰减系数的具体形式 设电磁波从自由空间入射到导体表面，以k(0)表示空间中的波矢，
d xn d xn 0 v . （3.18） dt dt v 是导体内平面电磁波的相速。 , 之间的关系 比较 k 和 k i 有 2 2 2 2 k 2i ( i ) , （3.19）