数学分析8.1不定积分概念与基本积分公式

(2)∫(x- )2dx=∫(x2- + )dx=∫x2dx-∫2x dx+∫ dx= - x +ln|x|+C.
(3)∫ = ∫x- dx= x +C= +C.
(4)∫(2x-3x)2dx=∫(22x-2·6x+32x)dx=∫4xdx-2∫6xdx +∫9xdx= -2· + +C.
(5)∫( +sinx)dx= ∫ dx+∫sinxdx= arcsinx-cosx+C.
(10)∫ dx=∫ dx=∫(csc2x-sec2x)dx=-cotx-tanx+C.
(11)∫10x·32xdx=∫90xdx= +C.
(12)∫ dx=∫ dx= +C.
(13)∫( + )dx=∫ dx=2arcsinx +C.
(14)∫(cosx+sinx)2dx=∫(1+sin2x)dx=∫dx+∫sin2xdx=x- cos2x+C.
例5：∫(10x-10-x)2dx=∫(100x+100-x-2)dx=∫100xdx+∫100-xdx-∫2dx
= + -2x+C= -2x+C.
习题
1、验证下列等式：
(1)∫f’(x)dx=f(x)+C；(2)∫df(x)=f(x)+C.
证：(1)∵f(x)是f’(x)的一个原函数，∴∫f’(x)dx=f(x)+C.
[∫f(x)dx]’=[F(x)+C]’=f(x)；d∫f(x)dx=d[F(x)+C]=f(x)dx.
不定积分的几何意义：若F是f的一个原函数，则称y=F(x)的图象为f的一条积分曲线.所以f的不定积分在几何上表示f的某一积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一切积分曲线组成的曲线族。显然，在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，则这些切线互相平行。
(8)∫sin2xdx；(9)∫ dx；(10)∫ dx；(11)∫10x·32xdx；
(12)∫ dx；(13)∫( + )dx；(14)∫(cosx+sinx)2dx；
(15)∫cosx·cos2xdx；(16)∫(ex-e-x)3dx.
解：(1)∫(1-x+x3- )dx=∫dx-∫xdx+∫x3dx-∫x- dx =x- + -3x +C.
则F’(x)=f(x), x∈U(x0).从而有 f(x)= F’(x)=F-’(x0)=F’(x0)=f(x0).
同理有 f(x)=f(x0).即f(x)在x0连续，矛盾.∴原命题得证.
5、求下列不定积分：
(1)∫(1-x+x3- )dx；(2)∫(x- )2dx；(3)∫ (g为正常数)；
(4)∫(2x-3x)2dx；(5)∫( +sinx)dx；(6)∫ dx；(7)∫tan2xdx；
(2)∵df(x)=f’(x)dx，∴∫df(x)=∫f’(x)dx=f(x)+C.
或∵∫du=u+C源自文库∴∫df(x)=f(x)+C.
2、求一曲线y=f(x)，使得在曲线上每一点(x,y)处的切线斜率为2x，且通过点(2,5).
解：依题意y=f(x)=∫2xdx=x2+C，将(2,5)代入y=x2+C，得C=1.
∴∫(k1f+k2g)dx=k1∫fdx+k2∫gdx.
注：线性法则的一般形式为：∫( )dx= .
例1：p(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an.
∫p(x)dx= xn+1+ xn+…+ x2+anx+C.
例2：∫ dx=∫(x2-1+ )dx=∫(x2)dx-∫dx+∫ dx= -x+2arctanx+C.
1、F+C也是f在I上的原函数，其中C为任意常量函数；
2、f在I上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数.
证：1、依题意F’=f，则当C为常量函数时，(F+C)’=F’=f，得证.
2、设F,G是f在I上的任意两个原函数，则有(F-G)’=F’-G’=f-f=0.
根据拉格朗日中值定理推得：F-G≡C, C为常量函数.
第八章不定积分
1不定积分概念与基本积分公式
一、原函数与不定积分
定义1：设函数f与F在区间I上都有定义，若F’(x)=f(x), x∈I，则称
F为f在区间I上的一个原函数.
定理8.1：若函数f在区间I上连续，则f在I上存在原函数F，即
F’(x)=f(x), x∈I.
定理8.2：设F是f在区间I上的一个原函数，则
∴该曲线的解析式为y=x2+1.
3、验证：y= sgnx是|x|在R上的一个原函数.
证：∵( sgnx)’=xsgnx=|x|，∴y= sgnx是|x|在R上的一个原函数.
4、证明：每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数？
证：设x0是f(x)的第一类间断点，若F(x)是f(x)在U(x0)上的原函数，
定义2：函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，记作：∫f(x)dx，其中称∫为积分号，f(x)为被积函数，f(x)dx为被积表达式，x为积分变量.
注：若F是f的一个原函数，则f的不定积分是一个函数族{F+C}, C为任意常数，写作：∫f(x)dx=F(x)+C.其中C为积分常量.于是有：
14、∫ =arctanx+C=-arccotx+C1.
定理8.3：若函数f与g在区间I上都存在原函数，k1,k2为两个任意常数，则k1f+k2g在I上也存在原函数，且∫(k1f+k2g)dx=k1∫fdx+k2∫gdx.
证：∵(k1∫fdx+k2∫gdx)’=k1(∫fdx)’+k2(∫gdx)’=k1f+k2g.
(15)∫cosx·cos2xdx= ∫(cos3x+cosx)dx=- sin3x- sinx+C.
(16)∫(ex-e-x)3dx=∫(e3x-3ex+3e-x-e-3x)dx= e3x-3ex-3e-x+ e-3x+C.
(6)∫ dx= ∫(1- )dx= (∫dx-∫ dx)= (x-arctanx)+C.
(7)∫tan2xdx=∫(sex2x-1)dx=∫sex2xdx-∫dx=tanx-x+C.
(8)∫sin2xdx= ∫(1-cos2x)dx= (∫dx-∫cos2xdx)= (x- sin2x)+C.
(9)∫ dx=∫ dx=∫(cosx+sinx)dx=sinx-cosx+C.
例3：∫ dx=∫( + )dx=∫(sec2x+csc2x)dx
=∫sec2xdx+∫csc2xdx=tanx-cotx+C.
例4：∫cos3x·sinxdx= ∫(sin4x-sinx2x)dx= (∫sin4xdx-∫sin2xdx)
= (- cos4x+ cos2x)+C= (2cos2x-cos4x)+C.
7、∫cosaxdx= sinax+C (a≠0)；8、∫sinaxdx=- cosax+C (a≠0)；
9、∫sec2xdx=tanx+C；10、∫csc2xdx=-cotx+C；11、∫secx·tanxdx=secx+C；
12、∫cscx·cotxdx=-cscx+C；13、∫ =arcsinx+C=-arccosx+C1；
注：在求原函数的具体问题中，先求出全体函数，然后从确定一个满足条件y0=F(x0)(称为初始条件)的原函数，确定积分曲线族中通过点(x0,y0)的那一条积分曲线.
二、基本积分表：
1、∫0dx=C；2、∫1dx=∫dx=x+C；3、∫xadx= +C (a≠-1,x>0)；
4、∫ dx=ln|x|+C (x≠0)；5、∫exdx=ex+C；6、∫axdx= +C (a>0,a≠1)；