奥林匹克训练题库·乘法原理
小学奥数计数专题--乘法原理(六年级)竞赛测试.doc
小学奥数计数专题--乘法原理（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________一、xx 题（每空xx 分，共xx 分）【题文】某短跑队有9名运动员，其中2人起跑技术好，另外有3人跑弯道技术好，还有2人冲刺技术好。
现在要从中选4人组队参加 4×100米接力赛，为使每人充分发挥特长，共有多少种组队方式？（注： 4×100米接力赛中，第一棒起跑，第二棒跑直道，第三棒跑弯道，第四棒冲刺。
） 【答案】72【解析】起跑、弯道、冲刺各选1人后，还有6人可以跑直道。
【题文】已知15120=24×33×5×7，问：15120共有多少个不同的约数？ 【答案】80【解析】15120的约数都可以表示成 2a×3b×5c×7d 的形式，其中a=0，1，2，3，4，b=0，1，2，3，c=0，1，d=0，1，即a ，b ，c ，d 的可能取值分别有5， 4， 2， 2种，所以共有约数5×4×2×2=80（个）。
【题文】在所有的四位数中，前两位的数字之和与后两位的数字之和都等于6的共有多少个？ 【答案】42【解析】前两位有15，24，33，42，51，60六种，后两位增加一个06，所以共有6×7=42（个）。
【题文】在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个？ 【答案】162【解析】三位偶数共有450个。
先计算没有6的三位偶数的个数。
个位数有0，2，4，8四种，十位数除6外有9种，百位除6，0外有8种，故没有 6的三位偶数有 4×9×8＝288（个）。
【题文】有三组数：（1）1，2，3；（2）0.5，1.5，2.5，3.5； （3）4，5，6。
如果从每组数中各取出一个数相乘，那么所有不同取法的三个数乘积的总和是多少？ 【答案】720【解析】（1＋2＋3）×（0.5＋1.5＋2.5＋3.5）×（4＋5＋6）=720。
小学奥数 加法原理 乘法原理 知识点+例题+练习 (分类全面)
例4、在右图的方格纸中放两枚棋子，要求两枚棋子不在同一行也不在同一列。
问：共有多少种不同的放法？
例5、要从四年级六个班中评选出学习和体育先进集体各一个（不能同时评一个班），共有多少种不同的评选结果？
巩固、在左下图中，从A点沿实线走最短路径到B点，共有多少条不同路线？
巩固、左下图是某街区的道路图，C点和D点正在修路不能通过，那么从A点到B 点的最短路线有多少条？
例6、有10根火柴，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？。
四年级奥林匹克数学基础资料库 第19讲 乘法原理
19讲乘法原理让我们先看下面几个问题。
例1马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。
问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配分析与解：由下图可以看出，帽子和鞋共有6种搭配。
事实上，小丑戴帽穿鞋是分两步进行的。
第一步戴帽子，有3种方法；第二步穿鞋，有2种方法。
对第一步的每种方法，第二步都有两种方法，所以不同的搭配共有3×2＝6（种）。
例2从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路。
问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法分析与解：用A1，A2表示从甲地到乙地的2条路，用B1，B2，B3表示从乙地到丙地的3条路，用C1，C2表示从丙地到丁地的2条路（见下页图）。
共有下面12种走法：A1B1C1 A1B2C1 A1B3C1A1B1C2 A1B2C A1B3C2A2B1C1 A2B2C1 A2B3C1A2B1C2 A2B2C2 A2B3C2事实上，从甲到丁是分三步走的。
第一步甲到乙有2种方法，第二步乙到丙有3种方法，第3步丙到丁有2种方法。
对于第一步的每种方法，第二步都有3种方法，所以从甲到丙有2×3=6（种）方法；对从甲到丙的每种方法，第三步都有2种方法，所以不同的走法共有2×3×2＝12（种）。
以上两例用到的数学思想就是数学上的乘法原理。
乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，做第2步有m2种方法……做第n步有m n种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法。
从乘法原理可以看出：将完成一件任务分成几步做，是解决问题的关键，而这几步是完成这件任务缺一不可的。
例3用数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）分析与解：组成一个三位数要分三步进行：第一步确定百位上的数字，除0以外有5种选法；第二步确定十位上的数字，因为数字可以重复，有6种选法；第三步确定个位上的数字，也有6种选法。
奥赛起跑线五年级分册-加法原理和乘法原理
数学奥赛起跑线五年级分册例题及答案第16讲[加法原理思考与练习]加法原理:在做一件事时,如果有几类不同的方法,而且每一类方法中,又有几种可能的做法,那么,要求完成这件事有多少种做法,应当将各类方法中可能的种数加起来.强调:加法原理与乘法原理都是用来计算完成某一件事共有多少种不同的做法的.如果完成一件事有几类方法,无论哪类方法都可以完成这件事,就用加法原理计算;如果完成一件事需分几个步骤,要依次完成每个步骤后才能完成这件工作,就要用乘法原理计算.1.从甲城到乙城,可乘汽车、火车或飞机.已知一天中汽车有2班,火车有4班,飞机有3班,从甲城到乙城共有多少种不同的走法?解:4+3+2=9(种)答:从甲城到乙城共有9种不同的走法.2.书架上层放有7本不同的故事书,中层有6本不同的科技书,下层有4本不同的历史书.如果从书架上任取一本书,有多少种不同的取法?解:7+6+4=17(种)答:有17种不同的取法.3.一列火车从上海开往杭州,中途要经过4个站,应为这列火车准备多少种不同的车票?解:5+4+3+2+1=15(种) E答:应为这列火车准备15种不同的车票. D4.右图1中共有多少个角? C解:4+3+2+1=10(个) B答:下左图中共有10个角. O A 图2图15.右图2中共有多少个正方形?解:32+22+12=9+4+1=14(个)答:上右图中共有14个正方形.6.用1分、2分、5分硬币各一枚,一共可以组成多少种不同的币值?解:3+3+1=7(种)答:一共可以组成7种不同的币值.7.平面上有8个点(其中没有任何三个点在一条直线上),经过每两点画一条直线,共可以画多少条直线?解:7+6+5+4+3+2+1=28(条)答:共可以画28条直线.8.从2、3、5、7、11、13这六个数中,每次取出2个数,分别作为一个分数的分子和分母,一共可以组成多少个真分数?解:5+4+3+2+1=15(个)答:一共可以组成15个真分数.9.两次投掷一枚骰子,两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种?解:36÷2=18(种)答:这种情况有18种.10.某铁路局从A站到F站共有6个火车站(包括A站和F站),铁路局要为在A站到F站之间运行的火车准备多少种不同的车票?解:2×(5+4+3+2+1)=30(种)答:铁路局要为在A站到F站之间运行的火车准备30种不同的车票.第17讲[乘法原理思考与练习]乘法原理:做一件事,要分几步才能完成,而在完成每一步时,又有几种不同的方法,要知道完成这件事有多少种方法,应当将各个步骤中可能的方法种数乘起来,1.某人到食堂去买饭,主食有3种,副食有5种,他主食和副食各买一种,共有多少种不同的买法?解:3×5=15(种).答:共有15种不同的买法.2.衣架上有2顶帽子、4件上衣、3条裤子。
初中数学竞赛—奥数讲义计数专题：加法原理、乘法原理及答案
华杯赛计数专题：加法原理、乘法原理基础知识：1.加法原理：如果完成一件事情可以分成几类方法，每一类又包含若干种不同方法，那么将所有类中的方法数累加就是完成这件事的所有方法数.加法原理的关键在于分类，类与类之间用加法.2.乘法原理：如果完成一件事情可以分成几个步骤，每一步又包含若干种不同方法，那么将所有步骤中的方法数连乘就是完成这件事的所有方法数.乘法原理的关键在于分步，步与步之间用乘法.3.分类原则：分类要做到“不重不漏”.任意两类之间不可以重复，这叫做不重；把所有的类别累加在一起就得到整体，这叫做不漏.4.分步原则：分步要做到“前不影响后”.无论前面步骤采取哪种方法，后面一个步骤都应该有相同多的方法数，也就是说后面一个步骤的方法数与前面步骤采取哪一种方法无关.例题：例1.从1开始依次写下去一直到999，得到一个多位数1234567891011121314…997998999，请问：（1）这个多位数一共有多少位？（2）第999位数字是多少？（3）在这个多位数中，数字9一共出现了多少次？（4）数字0一共出现了多少次？问题（1）这个多位数一共有多少位？【答案】（1）2889；（2）9；（3）300；（4）189【解答】分析1：999个自然数构成一个多位数，可以利用加法原理分类的思想求这个多位数的位数.将这999个自然数分成3类：第1类是1位数；第2类是2位数；第3类是3位数.分别计算每一类自然数占了多少位，再求和就可以得出多位数的位数了.详解1：按照自然数的位数去分类.构成这个多位数的自然数中1位数有9个，占了9位；2位数有90个，占了2×90=180位；3位数有900个，占了3×900＝2700位；所以这个多位数总共有9+180+2700=2889位.问题（2）第999位数字是多少？详解2：1位数和2位数一共占了189位，999位数数字还需要3位数占据999－189=810位.由810÷3=270…0可知第999位数字是第270个3位数的最后1位.第270个3位数是369，所以第999位数字是9.问题（3）在这个多位数中，数字9一共出现了多少次？分析3：前面2问分类的方法是按照自然数的位数去分类，1位数，2位数，3位数各自分为一类.但按照这种分类的思路来解第3问就不是很方便了：1位数含有1个9，2位数含有19个9，但是考虑3位数含有多少个9还是比较复杂.通过这种分类的思路去分析问题并没有使问题变得简单.可以考虑按照分段的方法去分类，第1类1—99；第2类100—199；第3类200—299；……；第10类900—999.分别计算每一类中包含了多少个9，然后再加和就可以了.注意利用每一类的相似性，比如第1类到第9类每一类所包含9的个数应该一样多，当然第10类900—999中9的个数比前9类要多100个.再考虑一种分类的方法，按照9出现的位置去分类.首先考虑9在百位出现了多少次；再考虑9在十位出现了多少次；最后考虑9在个位出现了多少次.详解3：按照分段的方法去分类.实际这种分类方法也是按照百位数的不同去分类，在每一类中百位数是相同的（1—99可以看成百位数为0）.考虑第1类1—99中包含了多少个9，个位包含9的有：9，19，29，39，49，59，69，79，89，99一共10个；十位包含9的有：90，91，92，93，94，95，96，97，98，99也是10个.这样在1—99中9在个位和十位各出现了10次，一共是20次.同理，第2类100—199；第3类200—299；……；第9类800—899；每一类中也都包含20个9.第10类900—999中9的个数比前9类要多100个，应该是120个.所以原来的多位数中总共有20×9＋120=300个9.其实更快的方法是按9出现的位置去数，应用乘法原理.问题（4）数字0一共出现了多少次？详解4：按照0出现在个位、十位去分类当0出现在十位时，百位可以为1~9，个位可以为0~9，根据乘法原理，共有9×10=90次；同理，当0出现在个位时，共有9×10+9=99次，所以原来的多位数中0出现了99＋90=189次.例2.允许数字重复，那么用数字0、1、3、5、7、9最多可以组成多少个不同的三位数？【答案】180【解答】百位有5种选择，十位和个位都有6种选择.根据乘法原理，一共可以组成5×6×6=180个三位数.变化：如果不允许数字重复呢？其中被5整除的无重复数字的三位数又有多少个呢？例3.在所有的三位数中，至少出现一个2的偶数有________个.【答案】162【解答】①个位是2的有9×10=90个；②十位是2但个位不是2的偶数有9×4＝36个；③百位是2但十位和个位都不是2的偶数有9×4=36个，所以一共有90＋36＋36＝162个符合条件的三位数.例4.用1、2、3、4、5这5个数字组成四位数，至多允许有1个数字重复两次.例如1234、1233和2454是满足条件的，而1212、3335和4444就是不满足条件的.那么，所有这样的四位数共有________个.【答案】480个【解答】方法1：分类讨论.如果包含4个互不相同的数字，一共有5×4×3×2=120个；如果包含3个互不相同的数字，我们可以先从5个数字中选出3个数字，然后再从挑出的3个数字中选1个可以重复，最后把这3个数字带上1个重复的数字共4个数字排成1行.根据乘法原理，就有个，所以一共有120＋360＝480个四位数.方法2：排除法.所有可能的四位数有5×5×5×5＝625个；只包含1个数字的有5个，包含2个数字的有5×4×（2×2×2－1）＝140个.那么包含3个或4个不同数字的四位数有625－5－140=480个.例5.书架上有1本英语书，9本不同的语文书，9本不同的数学书和7本不同的历史书.现在要从中取出3本书，而且不能有两本是同一科的.那一共有多少种取法？【答案】774【解答】因为一共要4种书中选3种，所以要分4种情况讨论：如果拿的是英语、语文和数学书，根据乘法原理一共有1×9×9种方法；如果拿的是英语、语文和历史书，一共有1×9×7种拿法，同理另外两种情况分别有1×9×7种和9×9×7种拿法.最后我们根据加法原理，一共有1×9×9＋1×9×7＋1×9×7＋9×9×7＝1×9×16＋10×9×7＝144＋630＝774种拿法.例6.用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：（1）银行存折的四位密码；（2）四位数；（3）四位奇数.【答案】（1）120（个）；（2）96（个）；（3）36（个）.【解答】（1）完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分四个步骤：第一步：选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步：选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法；由乘法原理，可组成不同的四位密码共有N=5×4×3×2=120（个）.（2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步骤：第一步：从1，2，3，4中选取一个数字作千位数字，有4种选取方法；第二步：从1，2，3，4中余下的三个数字和0中选取一个数字作百位数字，有4种选取方法；第三步：从余下的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种选取方法；第四步：从余下的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种选取方法；由乘法原理，可组成不同的四位数共有N=4×4×3×2=96（个）.（3）完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四个步骤：第一步：从1，3中选取一个数字作个位数字，有2种选取方法；第二步：从1，3中余下的一个数字和2，4中选取一个数字作千位数字，有3种选取方法；第三步：从余下的三个数字中选取一个数字作百位数字，有3种选取方法；第四步：从余下的两个数字中选取一个数字作十位数字，有2种选取方法；由乘法原理，可组成不同的四位奇数共有N=2×3×3×2=36（个）.例7.在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?【答案】90（种）【解答】取a+b与取b+a是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性,第一类,偶偶相加,由乘法原理得（10×9）/2=45种取法,第二类,奇奇相加,也有（10×9）/2=45种取法.根据加法原理共有45＋45=90种不同取法.例8.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案有多少种？【答案】150（种）【解答】5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆，可以分成3，1，1和2，2，1两类，第一类：分成3，1，1，完成此件事可以分成3步，第1步：3个馆选一个馆去3个人，共有3种选法，第2步：5个人中选3个人，共有种选法，第3步：剩下的2个人分别去两个馆，所以当分配成3，1，1时，根据乘法原理，共有3×10×2=60（种）；第二类：分成2，2，1，完成此件事可以分成3步，第1步：5个人中选出一个人，共有5种选法，第2步：3个馆中选出一个馆，共有3种选法，第3步：剩下的4个人中选2个人去剩下两个馆中的一个，最后一个人去另外一个馆，共有（种），所以当分配成2，2，1时，根据乘法原理，共有5×3×6=90（种）；所以根据加法原理，不同的分配方案共有60＋90=150（种）.例9.用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数有多少个？【答案】40（个）【解答】可分三步来做这件事：第一步：先将3、5放到六个数位中的两个，共有2种排法；第二步：再将4、6插空放入剩下四个数位中的两个，共有2×2=4种排法；第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空位中，共有5种排法.根据乘法原理：共有2×4×5=40（种）.例10.在一个3行4列的方格表内放入4枚相同的棋子，要求每列至多只有1枚棋子，每行不做限制，那么一共有多少种不同的放法？在一个3行4列的方格表内放入4枚互不相同的棋子，要求每列至多只有1枚棋子，每行不做限制，那么一共有多少种不同的放法？【答案】81（种）；1944（种）【解答】「问题1」4枚棋子放入4列，每一列有且仅有1枚棋子，因此总共分4个步骤考虑.第1步考虑第1列的棋子放在什么位置；第2步考虑第2列的棋子放在什么位置；第3步考虑第3列的棋子放在什么位置；第4步考虑第4列的棋子放在什么位置.每一步都有3种选择方法，所以方法数一共有3×3×3×3=81种.「问题2」假设4枚互不相同的棋子为A，B，C，D.将按照下面的4个步骤进行考虑，先放棋子A，12个格子可以随便选择，一共有12种方法.第2步放棋子B，A那一列的3个格子不能选择，其它的格子都可以放B，所以一共有9种方法.第3步放棋子C，A、B那两列一共6个格子不能选，所以一共有6种方法.第4步放棋子D，A、B、C三列一共9个格子不能选，还剩3个格子，所以一共有3种方法.利用乘法原理，放入4个不同棋子的方法数一共有12×9×6×3=1944种方法.另外一种解法.「问题2」4个棋子要占4个方格，先选出放棋子的4个方格.实际上挑出4个方格的方法数和第1问是完全相同的，总共有3×3×3×3=81种选择方法.选好方格后再将棋子排列进去，第1列的方格可以选择A，B，C，D中的任何一个棋子，所以有4种方法；第2列的方格还剩下三个棋子可供选择，所以有3种方法；第3列的方格还剩下两个棋子可供选择，有2种方法；第4列的方格只有1种方法.所以选好4个方格后排列棋子的方法数一共是4×3×2×1=24种.选4个方格有81种方法，选好4个方格后放棋子一共有24种方法，所以将表格中放入4个互不相同的棋子的总方法数是81×24=1944种.例11. 如图，把图中的8个部分用红、黄、绿、蓝4种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色.那么，这幅图共有多少种不同的着色方法？【答案】768（种）【解答】按照A，B，D，E，C，G，F，H的步骤进行染色.对A进行染色的时候没有任何的限制，总共有4种染色的方法；对B进行染色的时候由于不能和A同色，所以有3种染色的方法；对D进行染色的时候由于不能和A，B同色，所以只剩2种染色的方法；对E进行染色时不能和B，D同色，所以有2种染色的方法；对C进行染色时不能和B，E同色，所以有2种染色方法；对G进行染色时不能和D，E同色，所以有2种染色的方法；对F进行染色时不能和D，G同色，所以有2种染色的方法；对H 进行染色时不能和E，G同色，所以有2种染色的方法.综合上面的八个步骤，利用乘法原理，共有4×3×2×2×2×2×2×2=768种着色的方法.「评议」本题染色的步骤还有很多种，大家考虑一下按照A，B，C，D，E，F，G，H 的步骤进行染色是否可以？可能有同学发现按照A，B，C，D，E，F，G，H的步骤进行染色会算出另外一个答案4×3×3×2×1×3×1×2=432.当然，正确答案只能有一个，那么这种分步方法到底错在哪里呢？这里要提到利用乘法原理一条重要的原则：“前不影响后”.无论前面步骤采取哪种染色方法，后面一个步骤都应该有相同多的方法数，也就是说后面一个步骤的方法数与前面步骤采取哪一种方法无关.而按照A，B，C，D，E，F，G，H的步骤来染色就违反了这个原则.请看下面图中的例子：在上面的例子中，左图前4步采取的染色方法是红、黄、绿、蓝，第5步对E进行染色时只有1种方法；右图前4步采取的染色方法是红、黄、绿、绿，这样第5步对E进行染色时有2种方法.于是第5个步骤对E进行染色无法确定到底有几种染色的方法，前4步不同的染色方案影响到了第5步的方法数，既然不能确定是1种还是2种，乘法原理自然也就无法应用了.。
小学奥数7-2-2 较复杂的乘法原理.专项练习及答案解析
1.使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法；2.使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系．3.培养学生准确分解步骤的解题能力；乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯．一、乘法原理概念引入 老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上8点的课，然后得赶到黄埔去上下午1点半的课．如果说申老师的家到长宁有5种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有2种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔．这几个环节是必不可少的，老师是一定要先到长宁上完课，才能去黄埔的．在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是10条路线．但是要是老师从家到长宁有25种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有30种可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了．这个时候我们的乘法原理就派上上用场了．二、乘法原理的定义完成一件事，这个事情可以分成n 个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第1步有A 种不同的方法，第二步有B 种不同的方法，……，第n 步有N 种不同的方法．那么完成这件事情一共有A ×B ×……×N 种不同的方法．结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2个步骤，第1步是从家到长宁，一共5种选择；第2步从长宁到黄埔，一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5×2个可选择的路线了，即10条．三、乘法原理解题三部曲1、完成一件事分N 个必要步骤；2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；3、步步相乘四、乘法原理的考题类型1、路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；2、字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色方法；3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；教学目标知识要点7-2-2较复杂的乘法原理5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法．模块一、乘法原理之组数问题 【例 1】 ⑴由数字1、2可以组成多少个两位数？⑵由数字1、2可以组成多少个没有重复数字的两位数？【考点】复杂乘法原理 【难度】1星 【题型】解答【解析】 ⑴组成两位数要分两步来完成：第一步，确定十位上的数字，有2种方法；第二步确定个位上的数字，有2种方法．根据乘法原理，由数字1、2可以组成2×2=4个两位数，即11，12，21，22．⑵组成没有重复数字的两位数要分两步来完成：第一步，确定十位上的数字，有2种方法；第二步确定个位上的数字，因为要组成没有重复数字的两位数，因此十位上用的数字个位上不能再用，因此第二步只有1种方法，由乘法原理，能组成2×1=2个两位数，即12，21．【答案】⑴4 ⑵2【巩固】 ⑴由3、6、9这3个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？⑵ 由3、6、9这3个数字可以组成多少个三位数？【考点】复杂乘法原理 【难度】2星 【题型】解答【解析】 ⑴分三步完成：第一步排百位上的数，有3种方法；第二步排十位上的数，有2种方法；第三步，排个位上的数，有1种方法，由乘法原理，3、6、9这3个数字可以组成3216⨯⨯=个没有重复数字的三位数．⑵分三步完成，即分别排百位、十位、个位上的数字，每步有3种方法，由乘法原理，由3、6、9这3个数字一共可以组成33327⨯⨯=个三位数．【答案】⑴6 ⑵27【例 2】 用数字0，1，2，3，4可以组成多少个：⑴ 三位数？⑵ 没有重复数字的三位数？【考点】复杂乘法原理 【难度】2星 【题型】解答【解析】 ⑴ 组成三位数可分三步完成．第一步，确定百位上的数字，因为百位不能为0，所以只有4种选择．第二步确定十位,所有数字都可以，有5种选择；第三步确定个位，也是5种选择。
新课标小学数学奥林匹克辅导及练习乘法中的巧算(含答案)
新课标小学数学奥林匹克辅导及练习乘法中的巧算(含答案)同学们好！我们学习了加、减、连加、连减的混合运算律，可利用加法的运算定律或连减及加减的混合运算的性质进行简便运算.而乘、除法更有着一些巧妙的简便算法，下面共同学习.（一）学习指导首先认识乘法交换律：a b b a ⨯=⨯乘法结合律：()a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯()=⨯⨯a b c如：5665⨯=⨯()567567⨯⨯=⨯⨯或 ()=⨯⨯567利用这些定律，可以使式题简便，同时可以推广到多个数相乘，我们可以选择两个因数相乘，得出较简单的（整十、整百、整千……）积，再将这个积与其它因数相乘，有时也可以把某个因数再分解成两个因数，使其中一个因数与其它的乘数的积成为较简单的数，然后再与其它的因数相乘，这样就可以进行巧算.例1. 用简便方法计算.（1）（3）16425⨯⨯12528⨯ （2） （4）()125178⨯⨯2532125⨯⨯分析：（1）可以将4和25结合起来先乘.这样：原式()=⨯⨯16425=⨯=161001600（2）可以将125和8相结合起来乘，这样：原式()=⨯⨯125817=⨯=10001717000（3）可以把28变成4×7，再将125和4结合起来先乘：原式()=⨯⨯12547=⨯=50073500（4）我们先把32变为4×8，再把25和4，125和8结合起来乘： 原式=⨯⨯⨯2548125()()=⨯⨯⨯=⨯=25481251001000100000利用乘法分配律，可以使一些题简便：，这个定律可以推广，一般的有，如，当两个数相乘时，有时可以把一个因数变为两个数的和与另一个因数相乘，也可以把一个因数变为两个数的差与另一个因数相乘，这样计算简便.例2. 用简便方法计算下面各题.（1）（3）()125108⨯+400425⨯ （2） （4）()20425-⨯125798⨯分析：（1）、（2）题可以直接用乘法分配律去计算.（1） （2）()125108⨯+()20425-⨯=⨯+⨯=+=125101258125010002250=⨯-⨯=-=2025425500100400（3）题可以先把4004变为（），然后再用分配律计算.400425⨯()=+⨯=⨯+⨯=+=4000425400025425100000100100100（4）小题可以先把798变为（），再运用分配律计算.125798⨯()=⨯-=⨯-⨯=-=1258002125800125210000025099750例3. 巧算一个数乘以10，100，1000……分析：一个数乘以10，就是在这个数后添0，如： 4301043=⨯520105200⨯=当一个数乘以100时，就是在这个数后添00，如： 431004300⨯=52000100520=⨯当一个数乘以1000时，就是在这个数后添000，如：43100043000⨯=5201000520000⨯=……例4. 巧算一个数与99相乘.分析：先填空，再观察一个数与99相乘的规律.()()9919910019921982002⨯==-⨯==-()995495500⨯==-()()99879289913130013⨯==-⨯==-观察发现：“一个数与99相乘，先在这个数后添00，再减去此数”即可.如果是一个数与999相乘，是否也具有这样的规律呢？请你先填空，再总结规律.()()()()()()()999199910001999219982000299933000999449995⨯==-⨯==-⨯==-⨯==-⨯==-由此得到：几与999相乘，就用几千减去几？例5. 巧算两位数与11相乘.分析：1211132⨯=3411374⨯=5311583⨯=4911539⨯=观察上面一组数，发现两位数与11相乘，只要把这个两位数打开，个位数字做积的个位，十位数字做积的百位，个位数字与十位数字相加做积的十位，如果满十，就向百位进1.如：1211132⨯=12132/\/\竖式： １２ ×１１ １２ １２ １３２491153949539⨯=\/方法是：两边一拉，中间相加，满十进1.例5. 巧算三位数与11相乘.432114752⨯=４ ３ ２４ ７ ５ ２867119537⨯=８ ６ ７９ ５ ３ ７308113388⨯=３ ０ ８３ ３ ８ ８分析：三位数与11相乘的速算方法同样可以概括为“两边拉，中间加”.注意中间是相邻位相加.练一练：13411529112345116811⨯=⨯=⨯=⨯=例6. 巧算两位数与101相乘.1014310189⨯⨯竖式：１０１ １０１ × ４３ × ８９ ３０３ ９０９ ４０４ ８０８ ４３４３ ８９８９观察发现“4343、8989”，两位数与101相乘，积是把这个两位数连续写两遍.练一练：36101101581013942101⨯=⨯=⨯=⨯=例7. 巧算三位数与1001相乘.10011321001436⨯⨯竖式： １００１１００１ × １３２× ４３６ ２００２６００６ ３００３３００３ １００１４００４ １３２１３２ ４３６４３６发现：三位数与1001相乘，积是把这个三位数连续写两遍.练一练：45610011001782⨯=⨯=例8. 根据，简算下面各题.（1）37×6（5）37×30 （2）37×9 （6）37×24（3）37×12 （7）37×33（4）37×15（8）37×27分析：我们根据，计算下面各题.想37×6中的因数6可以分解为2×3.所以（1）37×6＝37×3×2＝111×2＝222以此类推：（2）37×9＝37×3×3＝111×3＝333（3）37×12＝37×3×4＝111×4＝444（4）37×15＝37×3×5＝111×5＝555根据37×3=111计算。
辽宁省2020年小学奥数系列7-2乘法原理(一)
辽宁省2020年小学奥数系列7-2乘法原理（一）姓名:________ 班级:________ 成绩:________小朋友，带上你一段时间的学习成果，一起来做个自我检测吧，相信你一定是最棒的！一、 (共26题；共130分)1. （5分）有三个骰子，每个骰子的六个面分别有1、2、3、4、5、6个点．随意掷这三个骰子，向上一面点数之和为偶数的情形有多少种？2. （5分）用数字0，1，2，3，4可以组成多少个小于1000的自然数？3. （5分）请问由A点到G点有多少条不同的路线？（路线或点不可重复．）4. （5分）从自然数1~40中任意选取两个数，使得所选取的两个数的和能被4整除，有多少种取法？5. （5分）用数码0，1，2，3，4，可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数？6. （5分） 5条直线两两相交，没有两条直线平行，没有任何三条直线通过同一个点，以这5条直线的交点为顶点能构成几个三角形？7. （5分）一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目．问：（1）如果4个舞蹈节目要排在一起，有多少种不同的安排顺序?（2）如果要求每两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目，一共有多少种不同的安排顺序?8. （5分）在下图的每个区域内涂上、、、四种颜色之一，使得每个圆里面恰有四种颜色，则一共有________种不同的染色方法．9. （5分）用1、2、3这三个数字可以组成多少个不同的三位数？如果按从小到大的顺序排列，213是第几个数？10. （5分）如图，一张地图上有五个国家，，，，，现在要求用四种不同的颜色区分不同国家，要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同—种颜色，那么这幅地图有多少着色方法？11. （5分）（1）小丽上学共有几条路线？（2）算一算，小丽上学最近的路线有多少米？12. （5分）在下图的方格内放入五枚棋子，要求每行、每列都只能有一枚棋子，共有多少种放法？13. （5分）（1）由数字1、2可以组成多少个两位数？（2）由数字1、2可以组成多少个没有重复数字的两位数？14. （5分）假如电子计时器所显示的十个数字是“0126093028”这样一串数，它表示的是1月26日9时30分28秒．在这串数里，“0”出现了3次，“2”出现了2次，“1”、“3”、“6”、“8”、“9”各出现1次，而“4”、“5”、“7”没有出现．如果在电子计时器所显示的这串数里，“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”、“7”、“8”、“9”这十个数字都只能出现一次，称它所表示的时刻为“十全时”，那么2003年一共有多少个这样的“十全时”？15. （5分）用数字0，1，2，3，4可以组成多少个：（1）三位数？（2）没有重复数字的三位数？16. （5分）某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图．现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色，共有多少种不同的染色方法?17. （5分）奥苏旺大陆上的居民使用的文字非常独特，他们文字的每个单词都由个字母、、、、组成，并且所有的单词都有着如下的规律，⑴字母不打头，⑵单词中每个字母后边必然紧跟着字母，⑶ 和不会出现在同一个字母之中，那么由四个字母构成的单词一共有多少种？18. （5分）有五张卡，分别写有数字1、2、4、5、8．现从中取出3张卡片，并排放在一起，组成一个三位数，问：可以组成多少个不同的偶数？19. （5分）在一个圆周上均匀分布10个点，以这些点为顶点，可以画出多少不同的钝角三角形？（补充知识：由直径和圆周上的一点构成的三角形一定是直角三角形，其中直径的边所对的角是直角，所以如果圆周上三点在同一段半圆周上，则这三点构成钝角三角形）．20. （5分）下面哪一行的规律和其他几行不同，请你画“√"。
【奥数系列训练】(含答案)03——乘法原理
【奥数系列训练】（含答案）03——乘法原理请填入正确答案：【题目1】书架上有6本不同的画报、10本不同的科技书，请你每次从书架上任取一本画报、一本科技书，共有几种不同的取法？【题目2】七个相同的球，放入四个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有几种？【题目3】用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字，能够组成多少个没有重复数字的三位数？【题目4】有一个面积为693平方公尺的长方形，其周长最多可有多少种不同的数值？【题目5】两个点可以连成一条线段，不在同一直线上的四个点可以连成六条线段，不在同一直线上的5个点可以连成多少条线段？【题目6】“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这三个字母写成三种不同颜色，现有五种不同颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”？【题目7】H市的电话号码有七个数字，其中第一个数字不为0，也不为1，这个城市、数字不重复的电话号码共有多少个？【题目8】将3封信投到4个邮筒中，一个邮筒最多投一封信，有几种不同的投法？【题目9】两人见面要握一次手，照这样的规定，五人见面共握几次手？【题目10】有四张卡片，上面写有0、1、2、4四个数字，从中任意抽出三张卡片组成三位数，这些卡片共可组成多少个不同的三位数？【参考答案】1．【解答】第一步，取一本画报，有6种方法。
第二步，取一本科技书，有10种方法。
根据乘法原理，一共有6×10 = 60种不同取法。
2．【解答】放第一个球，有4种方法。
放第二个球，也有4种方法，……，放第七个球，还有4种方法。
由乘法原理知，一共有4×4×4×4×4×4×4 = 16384（种）方法。
3．【解答】第一步，排百位数字，有9种方法（0不能作首位）。
第二步，排十位数字，有9种方法。
第三步，排个位数字，有8种方法。
根据乘法原理，共有9×9×8 = 648（个）没有重复数字的三位数。
奥林匹克训练题库·乘法原理(word版)
乘法原理1 如右图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有4条路，从甲地到丁地有3条路，从丁地到丙地也有3条路。
问:从甲地到丙地共有多少种不同的走法？2 在下列各图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过。
问:这只甲虫最多各有几种不同走法？3 题库中有三种类型的题目，数量分别为30道、40道和45道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷。
问:由该题库共可组成多少种不同的试卷？4 在下面一排数字中间的任意两个位置写上两个“＋”号，可以得到三个自然数相加的加法算式，所有可以这样得到的不同的加法算式共有多少个？1 2 3 4 5 6 7 8 95 一个三位数，如果它的每一位数字都不小于另一个三位数对应数位上的数字，就称它“吃掉”另一个三位数。
例如，532吃掉311，123吃掉123。
但726与267相互都不被吃掉。
问:能吃掉678的三位数共有多少个？6 用数字0，1，2，3，4可以组成多少个不同的三位数(数字允许重复)？7 用数码 0～ 7可以组成多少个小于1000的自然数(数码可以重复使用)？8 要从五年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体各一个，有多少种不同的评选结果？9 在自然数中，用两位数做被减数，一位数做减数，共能组成多少个不同的减法算式？10 书架上有8本不同的画报和10本不同的书，每次只能从书架上任意取一本画报和一本书，共有多少种不同的取法？11 甲、乙二人准备在一个6×6的方格纸(右图)上各放一枚棋子在方格中，要求两枚棋子不在同一行也不在同一列。
问:共有多少种放法？12 在左下图所示的方格纸中放黑棋子和白棋子各一枚，要求两枚棋子不在同一行也不在同一列。
问:共有多少种放法？13 将4个棋子摆放到右上图的方格中，要求每一行、每一列最多摆一个棋子，共有多少种不同的摆法？14 某短跑队有9名运动员，其中2人起跑技术好，另外有3人跑弯道技术好，还有2人冲刺技术好。
辽宁省小学奥数系列7-2乘法原理(二)
辽宁省小学奥数系列7-2乘法原理（二）姓名:________ 班级:________ 成绩:________小朋友，带上你一段时间的学习成果，一起来做个自我检测吧，相信你一定是最棒的！一、 (共30题；共143分)1. （10分）要从四年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，有多少种不同的评选结果？2. （10分）一条线段上除了两个端点还有6个点，那么这段线段上可以有多少条线段？3. （10分） 5条直线两两相交，没有两条直线平行，没有任何三条直线通过同一个点，以这5条直线的交点为顶点能构成几个三角形？4. （5分）用6种不同的颜色来涂正方体的六个面，使得不同的面涂上不同的颜色一共有多少种涂色的方法？（将正方体任意旋转之后仍然不同的涂色方法才被认为是相同的）5. （10分）在一个圆周上均匀分布10个点，以这些点为顶点，可以画出多少不同的钝角三角形？（补充知识：由直径和圆周上的一点构成的三角形一定是直角三角形，其中直径的边所对的角是直角，所以如果圆周上三点在同一段半圆周上，则这三点构成钝角三角形）．6. （5分）北京到上海之间一共有6个站，车站应该准备多少种不同的车票？（往返车票算不同的两种）7. （1分）从到这个自然数中有________个数的各位数字之和能被4整除．8. （5分）奥苏旺大陆上的居民使用的文字非常独特，他们文字的每个单词都由个字母、、、、组成，并且所有的单词都有着如下的规律，⑴字母不打头，⑵单词中每个字母后边必然紧跟着字母，⑶ 和不会出现在同一个字母之中，那么由四个字母构成的单词一共有多少种？9. （5分）小丸子有许多套服装，帽子的数量为5顶、上衣有10件，裤子有8条，还有皮鞋6双，每次出行要从几种服装中各取一个搭配．问：共可组成多少种不同的搭配（帽子可以选择戴与不戴）？10. （5分）题库中有三种类型的题目，数量分别为30道、40道和45道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷．问：由该题库共可组成多少种不同的试卷？11. （1分）从1至9这九个数字中挑出六个不同的数填在下图的六个圆圈内，使在任意相邻两个圆圈内数字之和都是不能被3整除的奇数，那么最多能找出________种不同的挑法来．（六个数字相同、排列次序不同的都算同一种）12. （1分）组数游戏．能组成________个两位数．13. （1分）小明要买一本数学课外书和一本语文课外书．在书店里他发现4种数学课外书、5种语文课外可供选用．他有________种不同的选择方法？14. （1分）在下图的每个区域内涂上、、、四种颜色之一，使得每个圆里面恰有四种颜色，则一共有________种不同的染色方法．15. （5分）如图，地图上有A，B，C，D四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色不相同，有多少种不同染色方法?16. （5分）如图，一张地图上有五个国家，，，，，现在要求用四种不同的颜色区分不同国家，要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同—种颜色，那么这幅地图有多少着色方法？17. （5分）如图：将一张纸作如下操作，一、用横线将纸划为相等的两块，二、用竖线将下边的区块划为相等的两块，三、用横线将最右下方的区块分为相等的两块，四、用竖线将最右下方的区块划为相等的两块……，如此进行8步操作，问：如果用四种颜色对这一图形进行染色，要求相邻区块颜色不同，应该有多少种不同的染色方法？18. （5分）分别用五种颜色中的某一种对下图的，，，，，六个区域染色，要求相邻的区域染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：有多少种不同的染法？19. （5分）如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色，使相邻的国家所染的颜色不同，不相邻的国家的颜色可以相同．那么一共可以有多少种染色方法？20. （5分）某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图．现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色，共有多少种不同的染色方法?21. （5分）一个自然数，如果它顺着看和倒过来看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如1331，7，202都是回文数，而220则不是回文数．问：从一位到六位的回文数一共有多少个?其中的第1996个数是多少?22. （5分）某次大连与庄河路线的火车，一共有6个停车点，铁路局要为这条路线准备多少种不同的车票？23. （1分）如图立体图形是由8个小正方体搭成的，将这个立体图形的表面涂上蓝色．其中，只有1个面是蓝色的小正方体有________个；只有2个面是蓝色的小正方体有________个；只有3个面是蓝色的小正方体有________个；只有4个面是蓝色的小正方体有________个；只有5个面是蓝色的小正方体有________个．24. （5分）用红、橙、黄、绿、蓝5种颜色中的1种，或2种，或3种，或4种，分别涂在正四面体各个面上，一个面不能用两色，也无一个面不涂色的，问共有几种不同涂色方式？25. （5分）在下图中，一只甲虫要从点沿着线段爬到点，要求任何点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同走法?26. （1分）如图，将1，2，3，4，5分别填入图中的格子中，要求填在黑格里的数比它旁边的两个数都大．共有________种不同的填法．27. （10分）聪聪给同学们安排了4项秋游内容．28. （5分）有6种不同颜色的笔，来写“学习改变命运”这六个字，要求相邻字的颜色不能相同，有多少种不同的方法？29. （5分）“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母用3种不同颜色来写，现有5种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？30. （1分）想一想，如果在他们中每次选三人排在一起照相，有________种不同的排法？参考答案一、 (共30题；共143分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、22-1、23-1、24-1、25-1、26-1、27-1、28-1、29-1、30-1、。
奥林匹克ABC题库·加法和乘法原理训练C卷
加法和乘法原理训练C卷班级________ 姓名________ 得分________1.在A、B、C、D4个城市中间，有如图所示的一些道路，由A市通向D市的路线有多少条？（不准由C市回到B市）。
2.如图，四边形ABCD的两组对边的交点为E、F，对角线的交点为G，从A、B、C、D、E、F、G七个点中取出三个点作为三角形的顶点，试问能够作成多少个三角形。
3.在一个半圆环上共有12个点，以这些点为顶点，可画出多少个三角形？4.（1）有五本不同的书，分别借给了3名同学，每人借一本，有多少种不同借法？（2）有三本不同的书，5名同学来借，每人最多借一本，借完为止，有多少种不同借法？5.试问540的约数有几个？6.有一楼梯共有10级，如规定每次只能跨上一级或二级，要登上第10级，共有多少种不同走法？7.包括小明、小华在内的21名小学生进行数学集训，准备从这21名学生中选一个由6个人组成的代表队参加数学比赛。
（1）小明、小华都是代表队员，共有多少种选法？（2）小明、小华都不是代表队员，共有多少种选法？（3）小明、小华至少有一个是代表队员，共有多少种选法？8.有10个外型相同的排球，其中正品6只，次品4只，从中任取3只，问3只中至多有2只次品的取法有多少种。
9.下图中的正方形被分割成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点，不在同一条直线上的三个点可以构成一个三角形，在这些三角形中与阴影三角形面积相同的有多少个？10.有男生7人，女生6人，从中选出4名中队委员，要求适合下列条件，各有多少种选法？（1）男、女学生各2名；（2）至少选1名女生。
11.父、母和4个孩子共6人，围着圆桌而坐，解答下列问题：（1）6人的坐法；（2）父母互相挨着的坐法；（3）父、母要面对面的坐法；（4）最小的孩子坐在父母中间，即父、母和最小的孩子互相挨着的坐法。
12.用数码0、1、2、3、4可以组成多少个（1）三位数；（2）没有重复数字的三位数；（3）没有重复数字的偶数；（4）小于1000的自然数。
六年级奥林匹克数学十五 乘法原理(一)
十五、乘法原理（一）1.书架上有6本不同的画报、10本不同科技书,请你每次从书架上任取一本画报、一本科技书,共有 种不同的取法.2.七个相同的球,放入四个不同的盒子里,每个盒子至少放一个.不同的放法有 种.3.用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字,能够组成 个没有重复数字的三位数.4.边长为整数的长方形，面积为693平方厘米,其周长最多可有 种不同的数值.5.两个点可以连成一条线段,3个点可以连成三条线段,4个点可以连成六条线段,5个点可以连成几条线段?6个点可以连成 条线段.6.学雷锋小组的一次集会,参加会的人每两人握手一次,共握手36次,这个小组共有 人.7.数出图中长方形(包括正方形)的总个数是 .8.用9枚钉子组成33⨯方阵,用橡皮筋勾在3枚钉子上,组成一个三角形,共可组成 个三角形.9.有5人参加的学雷锋小队上街宣传交通规则,站成一排,只有2名队长不排在一起,一共有 种排法.10.在图中画出n ⨯3方格中(n 是自然数)每一列中的3个方格中分别用红、白、蓝三种颜色任意染色(每列中三格的颜色各不相同).最少需要 列才能保证至少使两列染色的方式相同.11.在88⨯?12.某城市的街道非常整齐(如图),从西南角A 处走到东北角B 处,要求走得最近的路,并且不能通过十字路口C (正在修路),共有多少种不同的走法?13.一个自然数,如果它顺着数和倒过来数都是一样的,则称这个数为“回文数”.例如1331, 7, 202都是回文数.而220则不是回文数.问1到6位的回文数一共有多少个?14.如图,把A 、B 、C 、D 、E 这个五部分用四种不同的颜色着色,且相邻的部分不能使用同一种颜色,不相领的部分可以使用同一种颜色.那么这幅图一共有多少种不同的着色方法?十五、乘法原理（一）(答案） 第[1]道题答案：60.第一步,取一本画报,有6种方法;第二步,,一共有6×10=60(种)不同取法.第[2]道题答案：16384.放第一个球,有4种方法;放第二个球,也有4种方法,…,放第七个球,还有4种方法.由乘法原理知,一共有4×4×4×4×4×4×4=47=16384(种)放法.第[3]道题答案：648.第一步,排百位数字,有9种方法(0不能作首位);第二步,排十位数字,有9种方法;第三步,排个位数字,有8种方法.根据乘法原理,一共有9×9×8=648(个)没有重复数字的三位数.第[4]道题答案：6.将693分解质因数得693=7×11×32,它有(1+1)×(1+1)×(2+1)=12个约数,故它可以组成6组不同的长和宽,即周长最多有6种不同数值.第[5]道题答案：10;15.每一条线段有两个端点,从五个点中选一个点作为端点有5种方法,而选第二个点有4种方法,共有5×4=20(种)方法.但是因先选A 再选B 与先选B 再选A 是同一条线段,故实际上是(5×4)÷2=10(条)线段.同理,六个点可以连成(6×5)÷2=15(条)线段.第[6]道题答案：9.设小组有x 人,则握手总次数为362)1(=-x x ,即72)1((=-x x .相邻两个连续自然数的积为72,即9×8=72,故x =9.第[7]道题答案：90.大长方形长上有6个点,共可组成15256=⨯条线段;大长方形宽上有4个点,可以组成6234=⨯条线段.故图中长方形的个数为15×6=90(个).第[8]道题答案：72.从9枚钉子中取3枚,先取第一枚有9种方法,再取第二枚有8种方法,最后取第三枚有7种方法,共有9×8×7种方法.但其中每个三角形顶点有6种排列次序,故实际上只有9×8×7÷6=84种方法.又有三个点在一直线不能组成三角形,这种情况有8种,所以一共可得到84-8=72(个)三角形.第[9]道题答案：72.我们可以先将除二名队长的三人排成一列,有3×2×1=6(种)排法.再将两名队长插入到这三个人之间或两头,第一个队长有4种方法,第二个队长有3种方法,故一共有6×4×3=72(种)排法.第[10]道题答案：7.每一列的排法有3×2×1=6(种),故最少需要6+1=7(列)才能保证至少有两列染色方式相同.第[11]道题答案：如图,将标有A 字的方格称为凸字形的“头”,当“头”在8×8的正方形边上时,一个“头”对应着一个凸字形,这样的凸字形有6×4=24(个);当“头”位于8×8的正方形内部时,一个“头”对应着4个凸字形,这样的下凸字形有4×(6×合计24+144=168(个).第[12]道题答案：用标数法可以求出一共有120(种)走法.第[13]道题答案：一位回文数有9个;二位回文字也有9个;三位回文数有9×10=90(个);四位回文数也有90个;五位回文数有9×10×10=900(个);六位回文数也有900个.一共有9+9+90+90+900+900=1998(个).第[14]道题答案：按A,B,C,D,E的顺序,分别有4,3,2,2,2种颜色可选,所以不同颜色着色方法共有4×3×2×2×2=96(种).。
02小学奥数练习卷(知识点：乘法原理)后附答案解析.docx
A. 2B. 3C. 4 02小学奥数练习卷（知识点：乘法原理） 题号二 三 总分得分注意事项：1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）评卷人 得分一.选择题（共8小题）1. 冬冬要把三个小球放入三个箱子，其中三个小球的颜色分别是红色、黄色和 蓝色，而三个箱子的颜色也分别是红色、黄色和蓝色.如果这些箱子都可以 空着不放球，那么有（）种不同的放球方法. A. 3 B. 6 C ・ 9 D ・ 272. 由3, 4, 5, 6排成没有重复数字的四位数，从小到人排起来，6345是第（） A. 16 个 B. 17 个 C. 18 个 D. 19 个3. 12刀20日、21日、22日三天为期末考试时间，每天考一年级和二年级，三 年级和四年级，五年级和六年级中的一个年级段.一共有（）种考试时 间安排.A. 6B. 9 C ・ 124. 从城堡到幸福岛有（）种不同的走法. 城堡神秘屋 幸运岛5.从甲地到乙地有4条不同的路，从乙地到丙地有6条不同的路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少条不同的路？（）A. 10B. 24 C・ 4 D・ 66.从甲地到乙地有两条不同的路可走，从乙地到丙地有4条不同的路可走，则从甲地经乙地去丙地有（）条不同的路可走.A. 8 B・6 C・4 D・27.有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人都相邻的排法有（）A. 768种B. 32种C. 24种D. 2的10次方中8.若把英语单词hello的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（）A. 119 种B. 36 种C. 59 种D. 48 种第II卷（非选择题）评卷人得分二.填空题（共36小题）9.艾迪要把4种不同颜色的墙纸贴到自己的书架中，书架的结构图如图所示，如果要求每个格子只能贴一种颜色的墙纸，且相邻的格子颜色不能相同，那么共有______ 种不同的贴法.10.如图.有六张多米诺骨牌，每张骨牌都由两个区域构成，每个区域上都标有1-6的点数，现在要将这六张牌围成一圈，要求相邻两张牌的对应区域点数相同.如右图所示，已经给出了两张牌的某个区域的点数.那么，有________ 种不同的方法.11. A 、B 、C 、D 、E 、F 六个人相约去照相（所有人都可以负责摄影），安排如图所示.他们6人的身高依次递增，A 最矮，F 最高.照相要求所有后排的人必须比所有前排的人高（摄影师身高不限），那么，共有 ________ 种不同的安排 方式.O O ——12. 3个人排成一排照相，共有 _______ 种不同排法.13. 如图，有一个图形依某种特定的规律成长，下面分别是第一阶段、第二阶段与第三阶段的图示，试问，当图形成长至第七阶段时有 ________ 个点.14. 假期小严准备读一些课外书，有2本不同的科技书、5本不同的世界名著、3本不同的人物传记，小严要从三类书中各选一本阅读，则小严一共有 种不同的选法.15. 有3件上衣，2条裤子.要配成一套衣服，不同的搭配方法共有 ________ 种.16. 某天，杨老师去便利店买午饭，便利店当天供应3种不同的荤菜和5种不同 的素菜，杨老师打算买2种菜搭配吃，但至少有一种荤菜.那么，杨老师的午饭共有 ______ 种不同的搭配方式.17. 从1〜20屮，选出2个数，使它们的乘积是10的倍数，共53种选法.18. 小芳有不同的上衣3件，下装4件，鞋子两双，问小芳能有 _________ 种不同的穿戴.春段19.已知a与b的最大公约数是10, a与c、b与c的最小公倍数都是90.那么,满足以上条件的自然数a、b、c有________ 组.20.某国际会议洽谈贸易，有5家日本公司，6家英国公司，7家中国公司，彼此都希望与异国的每个公司单独洽谈一次，要求安排________ 次会谈场次. 21.如图，一个6X6的方格表，现将数字1〜6填入空白方格中，使得每一行、每一列数字1〜6都恰好出现一次；图中已经填了一些数字.那么剩余空格满足要求的填写方法一共有_______ 种.22.用0、1、2、3、4、5组成各位数字都不相同的六位数，并把这些六位数从小到大排列，第505个数是________ •23・一只兔子沿着方格的边从A到B,规定上只能往上或往右走，但是必须经过一座独木桥MN,这只兔子有 _______ 种不同的走法.24.展览馆有五个门（如图），其中A、B、C门可进可出，D、E门只出不进，那么进馆参观的人从进到出门可有_______ 种不同的走法.25.有三张卡片，正、反面各写有1个数字，第一张写有1和2,第二张写有3和4,第三张写有5和6 （数字6不能倒过来看为9）.从这三张卡片中取出两张，放成一排，那么一共可以组成个不同的两位数.26. 从如图中的中心所在的2出发，每一步都移动到所接触的圆上，要经过四个 圆而依次得到数字2, 0, 0, 9,共有 ___________ 种不同的方法.27. 有9张圆形纸片放在桌上（如图），其屮有1张写1, 2张写2,写3和4的纸片各有3张.规定写有相同数字的纸片不能放在相邻处.如果M 位上放写 OOo®o OOOO28. 学生食堂有主食3种、肉类4种、蔬菜3种，从其中各选1种配成盒饭，可 以配成 ______ 种.29. 从2, 3, 5, 7, 11这五个数中，任取两个不同的数分别当作一个分数的分 子与分母，这样的分数有 _______ 个，其中的真分数有 _______ 个.30. 小琴、小惠、小梅三人报名参加运动会的跳绳，跳高和短跑这三个项目的比 赛，每人参加一项，报名的情况有 ________ 种.31. 小悦做混合冰淇淋，准备了牛奶、蓝莓、香草、巧克力、草莓五种口味的冰 淇淋，要倒入如下图的一串模子里，小悦想要让相邻的冰淇淋口味不一样， 请问她能制作出多少种不同的混合冰淇淋串？有3的纸片，共有种不同的方法.甲、乙、丙、丁、戊五个人站一排，甲只能站在两端，那么一共有 不同的站法.36. 用6, 2, 7, 0可以摆出 _________ 个不同的三位数，其中最小的是 ________ ・37. 有三种不同款式的上衣、两条不同型号的裤子.从中取出一件上衣，一条裤 子搭配成一套，有 _______ 种不同的搭配方法.38. 从0、6、9、7中选三个数字组成一个没有重复数字的三位数，一共可以组 成 ______ 个不同的三位数，其屮2、3和5的公倍数有 ________ 个.39. 朱东村到幸福村要经过汽车站.如图，朱东村到汽车站有3条路；幸福村到 汽车站有4条路.从朱东村到幸福村有 _________ 不同的走法.40. 用4、5、6屮选一个数字作分子，从7、8、9中选一个数字作分母，一共可 以组成 _______ 个分数.41 •有3.4.5三个数字,能组成 _______ 个三位数，组成奇数的可能性是 ______ ・42. —个密码由2个不同的字母和1个数字组成，能组成 ________ 个密码.43. —辆变速自行车前轮有3种不同的齿数，后轮有4种不同的齿数，一共有 种组合；如果前轮32齿，后轮20齿，蹬一圈，后轮转 _________ 圈.44. 小明从家到学校有3条路可走，从学校到少年宫有两条路，小明从家经过学 32. 小丽家到小兀家，经过学校，一共有 条路可以走33. 小乐家小钢家 条路可走. 34. 35. 根据图中的座位，小亮和小芳有种坐法.学校如图所示，明明从家到图书馆再到学校，一共有 小亮 小芳 幸福村朱东村校到少年宫有 _____ 种走法.三.解答题（共6小题）45.用2、3、4、5、7这5个数字，可以组成多少个无重复数字的四位数？其中偶数有多少个？46. ___________________________________________________________ 如图，从左到右,在每列各选出一个框，组成算式（如：5X2+3）,则有 _________ 种不同的结果.47.用1, 1, 2, 3, 4排在连续的四个格子里，能形成多少个不同的四位数.48.6个人排成一排，甲当排头，乙不当排尾，共有多少种排法？49. ___________________________________________________ 在右面每个方格屮各放1枚围棋子（黑子或口子），有 _______________________ 种放法.50.两条直线和交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角” •现平面上有若干条直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是30° , 60°或90°・问：至多有多少条直线？参考答案与试题解析一.选择题（共8小题）1.冬冬要把三个小球放入三个箱子，其中三个小球的颜色分别是红色、黄色和蓝色，而三个箱子的颜色也分别是红色、黄色和蓝色.如果这些箱子都可以空着不放球，那么有（）种不同的放球方法.A. 3 B・ 6 C・ 9 D・ 27【分析】由于球与盒子各不相同，每个球都有三个盒子可供选择，所以根据乘法原理共有：3X3X3=27种不同的放球方法.【解答】解：3X3X3=27 （种）答：有27种不同的放球方法.故选：D.【点评】本题考查了乘法原理的综合应用.2.由3, 4, 5, 6排成没有重复数字的四位数，从小到人排起来，6345是第（）A. 16 个B. 17 个C. 18 个D. 19 个【分析】最高位有4种排列方法，其它的三位分别有3、2、1种排列方法，由此即可得出没有重复数字的四位数的个数；先写出以3做千位、4做「位、5千位、6做千位的各6个数，再按由小到大顺序排列.【解答】解：四个数字不重复的有：4X3X2X1=24 （个）3做千位的有：3X2X1=6 （个）4做千位的有：3X2X1=6 （个）5做千位的有:3X2X1=6 （个）6做千位的有：3X2X1二6 （个）而 6 做千位的有（从小到大）：6345, 6354, 6435, 6453, 6534, 6543, 6X3+1=19 （个）答：可以组成24个没有重复数字的四位数，把它们排起来，从小到大6345是第19个数.故选：D.【点评】本题考查了乘法原理即做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一 步有Mi 种不同的方法，做第二步有址种不同的方法，…，做第n 步有亂种不 同的方法，那么完成这件事就有M.XM.X-XM,,种不同的方法.3・12月20 口、21 口、22日三天为期末考试时间，每天考一年级和二年级，三 年级和四年级，五年级和六年级中的一个年级段.一共有（）种考试吋间安排.A. 6B. 9 C ・ 12 【分析】先排考试的第一天的年级段，有3种选择;再排考试的第二天的年级段， 有2种选择；最后排排考试的第三天的年级段，有1种选择；根据乘法原理 可得，共有3X2X 1种考试时间安排.【解答】解：根据分析可得，3X2X1 二6 （种）答：一共有6种考试时间安排.故选：A.【点评】木题用乘法原理去考虑问题；即做一件事情，完成它需要分成n 个步骤， 做第一步有皿种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，・•・，做第n 步有 M n 种不同的方法，那么完成这件事就有NhXM.X-XM n 种不同的方法.4. 从城堡到幸福岛有（ ）种不同的走法.A. 2B. 3C. 4 城堡神秘屋 幸运岛【分析】由题意可知：从城堡到幸运岛要分两步完成：①从城堡到神秘屋；②从神秘屋到幸运岛；又因每一步的方法已知，从城堡到神秘屋有2种走法，从神秘屋到幸运岛有2种走法，直接利用乘法原理解决问题.【解答】解：2X2=4 （种）；答：从城堡到幸运岛共有4种不同的走法.故选：C.【点评】做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有g种不同的方法，做第二步有哽种不同的方法，…，做第n步有叫种不同的方法.那么完成这件事共有N二山血…山“种不同的方法.5.从甲地到乙地有4条不同的路，从乙地到丙地有6条不同的路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少条不同的路？（）A. 10B. 24 C・ 4 D・ 6【分析】从甲地到乙地有4条不同的路，从乙地到丙地有6条不同的路，根据乘法原理，那么从甲地经乙地到丙地共有：4X6=24 （条）；据此解答.【解答】解：根据分析可得：4X6=24 （条）答：那么从甲地经乙地到丙地共有24条不同的路.故选：氏【点评】本题考查了乘法原理即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有叫种不同的方法，做第二步有种不同的方法，…，做第n步有M：,种不同的方法，那么完成这件事就有WXbbX…XM“种不同的方法.6.从甲地到乙地有两条不同的路可走，从乙地到丙地有4条不同的路可走，则从甲地经乙地去丙地有（）条不同的路可走.A. 8B. 6 C・ 4 D・ 2【分析】从甲地到乙地有两条不同的路可走，从乙地到丙地有4条不同的路可走, 则每一条从甲地到乙地的路到丙地共有4种不同的走法，从甲地到乙地共有2 条不同的路可走，根据乘示的意义可知，从甲地经乙地去丙地有2X4=8条不同的路可走.【解答】解：2X4=8 （条）・即从甲地经乙地去丙地有8条不同的路可走.故选：A.【点评】乘法原理为：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有g种不同的方法，做第二步有盹不同的方法，・・・，做第n步有叫不同的方法.那么完成这件事共有N二山肌叫・・血种不同的方法.7.有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人都相邻的排法有（）A. 768种氏32种 C. 24种 D. 2的10次方屮【分析】有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人都相邻，夫妻二人同时动，始终相邻，位置可以互换，这样可以分两步，第一步把5对夫妻看做5 个整体，进行排列有5X4X3X2X 1种不同排法，因为是一个圈，首尾相接，就会有5个重复，所以排法要除以5；第二步每一对夫妻可以互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，总共有2X2X2X2X2=32种；综合两步，利用乘法原理，即可得解.【解答】解：二根据乘法原理，分两步：第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5X4X3X2X1=120种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有120 = 5二24种.第二步每一对夫妻之间乂可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法, 总共有2X2X2X2X2=32种综合两步，就有24X32=768种.故选：A.【点评】灵活运用乘法原理，解决排列组合问题.8.若把英语单词hello的字母顺序写错了，则可能出现的错课共有（A. 119种氏36种 C. 59种 D. 48种【分析】若把英语单词hello的字母写错了，hello有5个字母，5个空由5个字母填空，第一个空有5种填法，填第二、第三、第四、第五依次减少一个字母，所以排法有5X4X3X2X1,因为有两个1,重复，总数要除以2,则可能出现的错误再减去1种正确的，因此得解.【解答】解：5X4X3X2X1 = 120有两个1所以1204-2=60原来有一种正确的，所以60 - 1=59；故选：C.【点评】分步完成，釆用乘法原理，有重复数字就要除以2,是解决此题的关键.二.填空题（共36小题）9.艾迪要把4种不同颜色的墙纸贴到自己的书架中，书架的结构图如图所示，如果耍求每个格子只能贴一种颜色的墙纸，且相邻的格子颜色不能相同，那么共有96种不同的贴法.【分析】如图所示，A格有4种填法，B格有3种填法，C格有2种填法，D格有2种填法，E格有2种填法，根据乘法原理，可得结论.【解答】解：如图所示，A格有4种填法，B格有3种填法，C格有2种填法，D 格有2种填法，E格有2种填法，根据乘法原理，共有4X3X2X2X2=96种不同的贴法.故答案为96.ABCDE【点评】本题考查计数原理的应用，解题时注意结合题意中的图形分析.10.如图.有六张多米诺骨牌，每张骨牌都由两个区域构成，每个区域上都标有1-6的点数，现在要将这六张牌围成一圈，要求相邻两张牌的对应区域点数相同.如右图所示，己经给岀了两张牌的某个区域的点数.那么，有8种不同的方法.【分析】按题意，六张多米诺骨牌点数分别是1-2, 1-5, 2-5, 4-5, 4-6,5 - 6,要围成相邻骨牌的点数相同的数，能串出两串数①5・lol - 2o2・5；②5-6<=>6-4«4-5.（方向可以倒过来），可以画个图，标出位置，从而可以计算出摆放的种数.【解答】解：根据分析，六张多米诺骨牌点数分别是1-2, 1-5, 2-5, 4-5, 4-6, 5-6,根据要求，能串岀两串数①5・lol・2<=>2・5；②5・6<=>6・4o4・5.（方向可以倒过来）如图，整一圈可以分为两部分，一部分正好放一串数，与分割线最接近的四个位置都放5・・・•位置1有四个数（1、2、4、6）可以选择，一旦确定，一串数就用了；.••位置2只剩两个数可以放根据乘法原理，位置放数的种数：共4 X2=8 种【点评】木题考查了乘法原理，木题突破点是：找到其相同的点数，然画图画出一条分割线，再利用乘法原理进行计算.11.A、B、C、D、E、F六个人相约去照相（所有人都可以负责摄影），安排如图所示.他们6人的身高依次递增，A最矮，F最高.照相要求所有后排的人必须比所有前排的人高（摄影师身高不限），那么，共有72种不同的安排方式.【分析】先从6人屮选出1人做摄影师，共有6种选法；6种方法；剩余5人按身高从低到高排序：排名前2的只能站在前排，但他们在前排可以调换顺序，共2种方法；排名后3的只能站在后排，但他们在后排可以调换顺序，共3X2X1=6种方法；总计：6X2X6种方法.【解答】解：先从6人屮选岀1人做摄影师，共有6种选法；6种方法；剩余5人按身高从低到高排序：排名前2的只能站在前排，共2种方法；排名后3的只能站在后排，共3X2X1=6种方法；6X2X6=72 （种）答：共有72种不同的安排方式.故答案为：72.【点评】本题需要用乘法原理去考虑问题即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有皿种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n 步有种不同的方法,那么完成这件事就有Mi X M2 X…X血种不同的方法.12.3个人排成一排照相，共有6种不同排法.【分析】给这三个人编号：甲乙丙，写出所有可能的排列，进而求解.【解答】解：设这三个人是甲乙丙，可能的排列有：甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙，丙，甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲；答：一共有6种不同的排法.故答案为：6.【点评】在列举这些排列的方法时，要按照一定的顺序，不要漏写或重复写.13.如图，有一个图形依某种特定的规律成长，下面分别是第一阶段、第二阶段与第三阶段的图示，试问，当图形成长至第七阶段时有510个点.第―阶段【分析】根据题干，此题可以把图屮的点分成两部分进行讨论：即小三角形的点数与每一阶段增加的点两部分.(1)图中小三角形的个数在每一个阶段存在的规律为：2\ 2\ 2\ 2“…那么在第七阶段，三角形的个数为：27,每个三角形有3个点，那么这些三角形共有27X 3=128X3=384 个点;（2）由题干可知，第二阶段增加了2个点，第三阶段增加了2X2+2二6个点，第四阶段增加了6X2+2二14个点，第五阶段增加了14X2+2二30个点，第六阶段增加了30X2+2=62个点，第七阶段增加了62X2+2=126,有上述推理即可得出第七阶段图形中的点数.【解答】解：根据题干分析可得：第七阶段小三角形的点数为：27X3=128X3=384 （个），第七阶段增加的点数为:62X2+2=126 （个），384+126=510 （个）,答：第七阶段的点数为510个.故答案为:510.【点评】把图形中的三角形和增加的点数分开来讨论，得出点数的规律是解决本题的关键.14.假期小严准备读一些课外书，有2本不同的科技书、5木不同的世界名著、3本不同的人物传记，小严要从三类书中各选一本阅读，则小严一共有30 种不同的选法.【分析】从2本不同的科技书中选一本有2种选法；从5本不同的世界名著中选一木有5种选法；从3木不同的人物传记中选一木有3种选法；根据乘法原理，可得共有：2X5X3=30 （种）；据此解答.【解答】解：2X5X3=30 （种）；答：小严一共有30种不同的选法.故答案为:30.【点评】木题考查了乘法原理即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有Ml种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，・・・，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事就有MlXM2X-XMn种不同的方法.15.有3件上衣，2条裤子.要配成一套衣服，不同的搭配方法共有6种.【分析】从3件上衣中选一件有3种选法；从2条裤子中选一件有2种选法；根据乘法原理，可得共有：3X2=6 （种）；据此解答.【解答】解：根据分析可得，3X2=6 （种）；答：穿衣有6种搭配方法.故答案为：6.【点评】本题考查了乘法原理即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有Ml种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事就有MlXM2X-XMn种不同的方法.16.某天，杨老师去便利店买午饭，便利店当天供应3种不同的荤菜和5种不同的素菜，杨老师打算买2种菜搭配吃，但至少有一种荤菜.那么，杨老师的午饭共有18种不同的搭配方式.【分析】一荤一素：从3种不同的荤菜选一种有3种选法；从5种不同的素菜中选一种有5种选法；根据乘法原理，可得共有：3X5=15 （种人只选2个荤菜有：从3种不同的荤菜选2种有3种选法；综合两种情况共有：15+3二18 （种）；据此解答.【解答】解：根据分析可得，3X5+3=18 （种）；答：杨老师的午饭共有18种不同的搭配方式.故答案为:18.【点评】本题考查了排列组合中的两个方法:科学分类计数原理和分步计数原理;木题应先采用科学分类计数法把这件事情分两类情况，然后再采用分步计数原理把每种情况乂分两步完成；所以本题先用乘法原理，再用加法原理去考虑问题.17.从1〜20中，选岀2个数，使它们的乘积是10的倍数，共53种选法.【分析】由于5与除10与20之外的2, 4, 6, 8-, 18这8个偶数相乘的积都是10倍数，共8个；同理15与这8个偶数相乘的积也是10的倍数，共8个；又10与其它19个数分别相乘的积共19种；20与除10之外的18个数分别相乘的积共18个.根据加法原理可知，从1〜20中，选出2个数，使它们的乘积是10的倍数，共有8+8+19+18二53 种选法.【解答】解：由于5与除10与20 Z外的个偶数相乘的积都是10倍数，共8个；同理15与这8个偶数相乘的积也是10的倍数，共8个；乂10与其它19个数分别相乘的积共19种；；20与除10之外的18个数分别相乘的积共18个.根据加法原理可知，从1〜20中，选出2个数，使它们的乘积是10的倍数，共有8+8+19+18二53 种选法.故答案为：53.【点评】完成木题要注意，5X10与5X20被重复计算，因此要减去2种选法.18.小芳有不同的上衣3件，下装4件，鞋子两双，问小芳能有24种不同的穿戴.【分析】分两步：先用上衣与下装搭配：一件上衣与4件下装有4种搭配方法, 那么3件上衣与4件下装的搭配方法有：3X4=12 （种）；再用衣服与鞋子搭配，12种衣服穿法与一双鞋子的搭配方法有12种，则与两双鞋子搭配就有: 12X2=24 （种）•用乘法原理计算就是：3X4X2=24 （种）.【解答】解：3X4X2二24 （种）・答：小芳能有24种不同的穿戴.故答案为：24.【点评】此题解决主要分两步，先用上衣与下装搭配看能搭配出多少套衣服，再把衣服与鞋子搭配，最后用乘法原理计算即可.19.己知a与b的最大公约数是10, a与c、b与c的最小公倍数都是90.那么,满足以上条件的自然数a、b、c有20组.【分析】根据a与b的最大公约数是10,可以得出a, b可能的数，再根据a与c、b 与c的最小公倍数都是90,得出c的取值的范围，由乘法原理解答即可.【解答】解：根据题意可得，3、b中有一个为10,另一个为10、30或90,故有五种可能：①a二10, b二10；②a=10, b=30；③a=30, b=10；④a=10, b=90；⑤a=90, b=10.对于a、b的这五组取值，c可取9, 18, 45或90；因此，满足以上条件的自然数a、b、c有：5X4=20 （组）・故答案为：20.【点评】根据a与b的关系确定a, b可能的数，再根据a与c, b与c的关系求出c 可能的数，再根据乘法原理解答即可.20.某国际会议洽谈贸易，有5家日本公司，6家英国公司，7家中国公司，彼此都希望与异国的每个公司单独洽谈一次，要求安排107次会谈场次.【分析】先计算出每两个国家的每两个公司合作的次数，最后加起来就是总的洽谈次数.【解答】解：（1） 7家中国公司和5家日本公司洽谈次数：7X5=35 （次），（2）7家中国公司和6家英国公司：7X6二42 （次），（3）5家日本公司和6家英国公司：5X6=30 （次），一共洽谈次数:35+42+30二107 （次）；答：要求安排107次会谈场次.故答案为:107.【点评】主要考查组合的方法，先考虑每两个国家的每两个公司洽谈有几种组合方法，再把所有的场次加起来就可以.21.如图，一个6X6的方格表，现将数字1〜6填入空白方格屮，使得每一行、每一列数字1〜6都恰好出现一次；图中已经填了一些数字.那么剩余空格满足要求的填写方法一共有16种.【分析】由图可知，四个“□”格中只能填入2或5,共2种填法；四个“△” 中只能填入3或4,共2种填法；VI, J2, V3,丿4中，1的填法有2种，则6的位置确定.四个“O”和四个 7相同，有2种填法.由乘法原理解答即可.【解答】解：如下图，四个“□”格中只能填入2或5,共2种填法；四个“△”屮只能填入3或4. 2种填法.VI, V2, V3, J4中，1的填法有2种，则6的位置确定.四个和四个“广相同，有2种填法.由乘法原理，共2X2X2X2=16种填法.故答案为：16.【点评】本题考查了乘法原理即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有Mi种不同的方法,做第二步有M2种不同的方法,…，做第n步有亂种不同的方法，那么完成这件事就有M.XM.X-XM.,种不同的方法.22.用0、1、2、3、4、5组成各位数字都不相同的六位数，并把这些六位数从小到大排列，第505个数是510234 .【分析】把这些数按照从小到大排列.当最高位是1时，共有5X4X3X2X1=120 个；当最高位是2、3、4的时候都各有120个，所以共有120X4=480个.505 -480=25个.剩下的25个都是最高为5的数，当十万位上是5,万位是0的时候，其他数位。
小学数学奥林匹克试卷加法和乘法原理
加法和乘法原理(公式P是摆列公式，从N个元素取R个行摆列（即排序）。
公式C是合公式，从N个元素取R个，不可以摆列（即不排序）。
(1)加法原理：做一件事，达成它能够有n法，在第一法中有m1种不一样的方法，在第二法中有m2种不一样的方法，⋯⋯，在第n法中有mn种不一样的方法，那么达成件事共有N＝m1＋m2＋m3＋⋯＋mn种不一样方法．(2)乘法原理：做一件事，达成它需要分红n个步，做第一步有m1种不一样的方法，做第二步有m2种不一样的方法，⋯⋯，做第n步有mn种不一样的方法，那么达成件事共有N＝m1×m2×m3×⋯×mn种不一样的方法．里要注意划分两个原理，要做一件事，达成它假如有n法，是分，第一中的方法都是独立的，所以用加法原理；做一件事，需要分n个步，步与步之是的，只有将分红的若干个相互系的步，挨次相达成，件事才算达成，所以用乘法原理．)张东参加由18个人列席的联欢会，他与这些人一一握手，张东一共握了几次手？从甲地到乙地，每日有2班轮船，4班火车，6班汽车，那么这天中乘坐这些交通工具，从甲地到乙地共有多少种走法？从甲地到乙地有4条不一样的路，从乙地到丙地有6条不一样的路。
那么从甲地经乙地到丙地共有多少不一样的路？如图，此中有7个点和10条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过，问：这只甲虫最多有几种不一样走法？5.在一个圆周上有十个点，以这些点为端点或极点，能够画出多少条或多少个不一样的（1）线段，（2）三角形，（3）四边形？在自然数中，用两位数作被减数，一位数作减数，共能构成多少个不一样的减法算式？书架上层放有6本不一样的数学书，基层放有5本不一样的语文书。
l）从中任取一本，有多少种不一样取法？2）从中任取一本数学书与语文书，有多少种不一样取法？用0、1、2、3四个数字能够构成多少个没有重复数字的四位偶数？一把钥匙只好开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最多要试验多少次就能配好所有的钥匙和锁？用一张10元、一张5元、一张2元、一张1元，可构成多少种不一样的币值？上海电话号码有7个数码，此中第一个数字不为0，并且数字不重复，这样的电话号码共有多少个？圆上有12个点，以每3个点为极点画一个三角形，一共能够画多少个三角形？若以每4个点为极点画一个四边形，一共能够画多少个四边形？13.如图，从甲地到乙地有两条路线，乙地到丁地也有两条路线；从甲地到丙地只有一条路线，丙地到丁地有三条路线。
奥数 乘法原理
奥数乘法原理
乘法原理是解决组合问题时经常使用的一种方法。
它可以用来计算将两个或多个事件相互组合时的可能情况总数。
乘法原理的核心思想是，对于两个或多个独立事件的组合，每个事件都有自己的选择数目。
如果一个事件有m种选择，另
一个事件有n种选择，那么两个事件组合起来的可能情况总数就是m乘以n。
例如，假设有两个骰子，一个有6个面，另一个有4个面。
现在要计算同时投掷这两个骰子时出现的所有可能情况总数。
根据乘法原理，第一个骰子有6种选择，第二个骰子有4种选择，所以组合起来的可能情况总数就是6乘以4，即24种情况。
乘法原理在解决排列、组合、数列等问题时非常有用。
它可以帮助我们计算得出所有可能的情况总数，从而更好地理解和解决数学题目。
需要注意的是，乘法原理只适用于独立事件的组合。
如果事件之间存在依赖或重叠，那么乘法原理就不适用了。
在解决问题时，我们需要仔细分析事件之间的关系，选择合适的方法进行计算。
六年级奥数专题15乘法原理
十五、乘法原理（1）年级 班 姓名 得分一、填空题1.书架上有6本不同的画报、10本不同科技书,请你每次从书架上任取一本画报、一本科技书,共有 种不同的取法.2.七个相同的球,放入四个不同的盒子里,每个盒子至少放一个.不同的放法有 种.3.用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字,能够组成 个没有重复数字的三位数.4.有一个面积为693平方米的长方形,其周长最多可有 种不同的数值.5.两个点可以连成一条线段,3个点可以连成三条线段,4个点可以连成六条线段,5个点可以连成几条线段?6个点可以连成 条线段.6.学雷锋小组的一次集会,参加会的人每两人握手一次,共握手36次,这个小组共有 人.7.数出图中长方形(包括正方形)的总个数是 .8.用9枚钉子组成33⨯方阵,用橡皮筋勾在3枚钉子上,组成一个三角形,共可组成 个三角形.9.有5人参加的学雷锋小队上街宣传交通规则,站成一排,其中2名队长不排在一起,一共有 种排法.10.在图中画出n ⨯3方格中(n 是自然数)每一列中的3个方格中分别用红、白、蓝三种颜色任意染色(每列中三格的颜色各不相同).最少需要 列才能保证至少使两列染色的方式相同.…… …………二、解答题11.在88 的棋盘上可以找到多少个形如右图所示的“凸”字形图形?12.某城市的街道非常整齐(如图),从西南角A 处走到东北角B 处,要求走得最近的路,并且不能通过十字路口C (正在修路),共有多少种不同的走法?13.一个自然数,如果它顺着数和倒过来数都是一样的,则称这个数为“回文数”.例如1331, 7, 202都是回文数.而220则不是回文数.问1到6位的回文数一共有多少个?14.如图,把A 、B 、C 、D 、E 这个五部分用四种不同的颜色着色,且相邻的部分不能使用同一种颜色,不相领的部分可以使用同一种颜色.那么这幅图一共有多少种不同的着色方法?→B →A CE D CBA———————————————答 案——————————————————————1. 60.第一步,取一本画报,有6种方法;第二步,取一本科技书,有10种方法.根据乘法原理,一共有6×10=60(种)不同取法.2. 16384.放第一个球,有4种方法;放第二个球,也有4种方法,…,放第七个球,还有4种方法.由乘法原理知,一共有4×4×4×4×4×4×4=47=16384(种)放法.3. 648.第一步,排百位数字,有9种方法(0不能作首位);第二步,排十位数字,有9种方法;第三步,排个位数字,有8种方法.根据乘法原理,一共有9×9×8=648(个)没有重复数字的三位数.4. 6.将693分解质因数得693=7×11×32,它有(1+1)×(1+1)×(2+1)=12个约数,故它可以组成6组不同的长和宽,即周长最多有6种不同数值.5. 10;15.每一条线段有两个端点,从五个点中选一个点作为端点有5种方法,而选第二个点有4种方法,共有5×4=20(种)方法.但是因先选A 再选B 与先选B 再选A 是同一条线段,故实际上是(5×4)÷2=10(条)线段.同理,六个点可以连成(6×5)÷2=15(条)线段.6. 9.设小组有x 人,则握手总次数为362)1(=-x x ,即72)1((=-x x .相邻两个连续自然数的积为72,即9×8=72,故x =9.7. 90.大长方形长上有6个点,共可组成15256=⨯条线段;大长方形宽上有4个点,可以组成6234=⨯条线段.故图中长方形的个数为15×6=90(个).8. 72.从9枚钉子中取3枚,先取第一枚有9种方法,再取第二枚有8种方法,最后取第三枚有7种方法,共有9×8×7种方法.但其中每个三角形顶点有6种排列次序,故实际上只有9×8×7÷6=84种方法.又有三个点在一直线不能组成三角形,这种情况有8种,所以一共可得到84-8=72(个)三角形.9. 72.我们可以先将除二名队长的三人排成一列,有3×2×1=6(种)排法.A 再将两名队长插入到这三个人之间或两头,第一个队长有4种方法,第二个队长有3种方法,故一共有6×4×3=72(种)排法.10. 7.每一列的排法有3×2×1=6(种),故最少需要6+1=7(列)才能保证至少有两列染色方式相同.11. 如图,将标有A 字的方格称为凸字形的“头”,当“头”在8×8的正方形边上时,一个“头”对应着一个凸字形,这样的凸字形有6×4=24(个);当“头”位于8×8的正方形内部时,一个“头”对应着4个凸字形,这样的下凸字形有4×(6×6)=144(个),合计24+144=168(个).12. 用标数法可以求出一共有120(种)走法.13. 一位回文数有9个;二位回文字也有9个;三位回文数有9×10=90(个);四位回文数也有90个;五位回文数有9×10×10=900(个);六位回文数也有900个.一共有9+9+90+90+900+900=1998(个).14. 按A ,B ,C ,D ,E 的顺序,分别有4,3,2,2,2种颜色可选,所以不同颜色着色方法共有4×3×2×2×2=96(种).→B →A C1 1 1 1 11 12345 76 3 6 10 13 6 1 4 10 20 20 39 26 1 5 15 25 55 120 81 1十五、乘法原理（2）年级 班 姓名 得分一、填空题1.“IMO ”是国际数学奥林匹克的缩写,把这三个字母写成三种不同颜色,现有五种不同颜色的笔,按上述要求能写出 种不同颜色搭配的“IMO ”.2.H 市的电话号码有七个数字,其中第一个数字不为0,也不为1.这个城市、数字不重复的电话号码共有 个.3.这是一个棋盘(如图),将一个白子和一个黑子放在棋盘线的交叉点上,但不能在同一条棋盘线上,共 种不同的放法.4.电影院有六个门,其中A 、B 、C 、D 门只供退场时作出口,甲、乙门作为入口也作为出口.共有 种不同的进出路线.5.将3封信投到4个邮筒中,一个邮筒最多投一封信,有 种不同的投法.6.两人见面要握一次手,照这样的规定,五人见面共握 次手.7.有四张卡片,上面分别写有0,1,2,4四个数字,从中任意抽出三张卡片组成三位数.这些卡片共可组成 个不同的三位数.8.圆周上有A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 8个点,每任意三点为顶点作三角形.这样共可作出 个不同的三角形?9.用1,2,3这三个数字可以组成多少个不同的三位数.如果按从小到大的顺序排列,213是第 个数.10.一排房有四个房间,在四个房间中住着甲、乙、丙三人,规定每个房间只许住一人,并且只允许两个人住的房间挨在一起.第三个人的房间必须和前两个人隔开,有 种住法.A B C D 甲 乙 H G F E D C B A二、解答题11.在一次晚会上男宾与每一个人握手(但他的妻子除外),女宾不与女宾握手,如果有8对夫妻参加晚会,那么这16人共握手多少次?12.20名运动员进行乒乓球球比赛,每两名运动员都要比赛一场,每场比赛3局2胜,全部比赛结束后,所有各局比赛最高得分为25:23,那么,至少有多少局的比分是相同的?0012313.下面五张卡片上分别写有数字: 可以用它们组成许多不同的五位数,求所有这些五位数的平均数.14.有一种用六位数表示日期的方法,如:890817表示的是1989年8月17日,也就是从左到右第一、二位数表示年,第三、四位数表示月,第五、六位数表示日.如果用这种方法表示1991年的日期,那么全年中六个数字都不相同的日期共有多少天?———————————————答案——————————————————————1. 60.先写I,有5种方法;再写M,有4种方法;最后写O,有3种方法.一共有5×4×3=60(种)方法.2. 483840.先排首位,有8种方法.再依次排后面六位,依次有9,8,7,6,5,4种方法.故一共有8×9×8×7×6×5×4=483840(个)数字不同的电话号码.3. 72.先排黑子,它可以放在任一格,有12种放法.再排白子,它与黑子不能在同一行,也不能在同一列,只有6种方法.一共有12×6=72(种)放法.4. 12.先选入口,有2种方法,再选出口,有6种方法,一共有12种方法.5. 24.第一封信有4种投法,第二封信有3种投法,第三封信有2种投法,共有4×3×2=24(种)投法.6. 10.每一人要握4次手,五人共握4×5=20(次),但在上述计算中,每次握手都被计算了2次,故实际上握手次数为20÷2=10(次).7. 18.先排百位,有3种方法(0不能在首位);再排十位,也有3种方法;最后排个位,有2种方法,一共有3×3×2=18(种)方法.即可以组成18个不同的三位数.8. 56.选第一个顶点,有8种方法;选第二个顶点,有7种方法;选第三个顶点,有6种方法.共有8×7×6(种)选法.但在上述计算中,每个三角形都被计算了6次,故实际上有(8×7×6)÷6=56(个)三角形.9. 6,3.排百位、十位、个位依次有3种、2种、1种方法,故一共有3×2×1=6(种)方法,即可以组成6个不同三位数.它们依次为123,132,213,231,312,321.故213是第3个数.10. 12.三个人住四个房间,一共有4×3×2=24种不同住法.其中三人挨着的有(3×2×1)×2=12(种),故符合题意的住法有24-12=12(种).11. 如果16人都互相握手应握12021516=⨯(次).其中应减去女宾间的握手次数28278=⨯(次),还应减去夫妻间的握手次数8次,即共握手120-28-8=84(次).12. 20名运动员共要赛19021920=⨯(场),每场最少打2局,故比赛局数不少于190×2=380.而最高分为25:23,这样就会有25:23,24:22,23:21,22:20以及21:0至21:19这24种情况,故至少有16124380=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡局比分相同.13. 当首数为1时,2有4个位置可放,3有3个位置可放,其余为0,共有4×3=12个不同的数.在12个数中0,0,2,3在各个数位上都出现了3次,故12个数之和为:(1×12)×10000+(2×3+3×3)×1111=136665.当首位为2或3时,用以上方法可求得和为253332和369999,平均数为(136665+253332+369999)÷36=21111.14. 显然第一、二位为9和1.这样一来第三位不能是1,只能是0.第五位不能是0,1,只能是2.第4位有6种排法(在3,4,5,6,7,8中选一个),第6位有5种排,故一共有6×5=30(种)排法,即全年中六个数字都不同的日期共有30天.。
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乘法原理
1 如右图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有4条路，从甲地到丁地有3条路，从丁地到丙地也有3条路。
问：从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
2 在下列各图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过。
问：这只甲虫最多各有几种不同走法？
3 题库中有三种类型的题目，数量分别为30道、40道和45道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷。
问：由该题库共可组成多少种不同的试卷？
4 在下面一排数字中间的任意两个位置写上两个“＋”号，可以得到三个自然数相加的加法算式，所有可以这样得到的不同的加法算式共有多少个？
1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 一个三位数，如果它的每一位数字都不小于另一个三位数对应数位上的数字，就称它“吃掉”另一个三位数。
例如，532吃掉311，123吃掉123。
但726与267相互都不被吃掉。
问：能吃掉678的三位数共有多少个？
6 用数字0，1，2，3，4可以组成多少个不同的三位数（数字允许重复）？
7 用数码 0～ 7可以组成多少个小于1000的自然数（数码可以重复使用）？
8 要从五年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体各一个，有多少种不同的评选结果？
9 在自然数中，用两位数做被减数，一位数做减数，共能组成多少个不同的减法算式？
10 书架上有8本不同的画报和10本不同的书，每次只能从书架上任意取一本画报和一本书，共有多少种不同的取法？
11 甲、乙二人准备在一个6×6的方格纸（右图）上各放一枚棋子在方格中，要求两枚棋子不在同一行也不在同一列。
问：共有多少种放法？
12 在左下图所示的方格纸中放黑棋子和白棋子各一枚，要求两枚棋子不在同一行也不在同一列。
问：共有多少种放法？
13 将4个棋子摆放到右上图的方格中，要求每一行、每一列最多摆一个棋子，共有多少种不同的摆法？
14 某短跑队有9名运动员，其中2人起跑技术好，另外有3人跑弯道技术好，还有2人冲刺技术好。
现在要从中选4人组队参加4×100米接力赛，为使每人充分发挥特长，共有多少种组队方式？（注：4×100米接力赛中，第一棒起跑，第二棒跑直道，第三棒跑弯道，第四棒冲刺。
）
15 用四种颜色对下列各图的A，B，C，D，E五个区域染色，要求相邻的区域染不同的颜色。
问：各有多少种不同的染色方法？
16 已知15120=24×33×5×7，问：15120共有多少个不同的约数？
17 在所有的四位数中，前两位的数字之和与后两位的数字之和都等于6的共有多少个？
18 在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个？
19 有三组数：（1）1，2，3；（2）0.5，1.5，2.5，3.5；（3）4，5，6。
如果从每组数中各取出一个数相乘，那么所有不同取法的三个数乘积的总和是多少？
20 将 1332， 332， 32， 2这四个数的 10个数码一个一个地划掉，要求先划位数最多的数的最小数码。
共有多少种不同的划法？
21 有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止。
共有多少种不同的吃法？。