蜘蛛网第二阶段问题的研究

蜘蛛网第二阶段问题的研究
一、问题重述
世界上生存着许多种类的蜘蛛，而其中的大部分种类都会通过结网来进行捕食。

现在我们假设一个具体的环境。

假设有一个凸多边形区域，蜘蛛准备在这个区域（或其一部分）上结一张网。

1.1历史背景
世界上的蜘蛛种类繁多，但大多数蜘蛛都会通过结网来捕食猎物的。

对于结网型蜘蛛而言，网充当不仅仅是捕食工具的角色，也充当防御天敌的工具和繁衍场所的角色，因此，对蛛网结构和性能的研究是了解蜘蛛习性和生活的重要手段。

蜘蛛网作为大部分蜘蛛的捕食工具，蜘蛛网结构影响蜘蛛的捕食效率，反映了蜘蛛的捕食手段，同时也反映了蜘蛛在不同环境下的捕食策略，不同体重的蜘蛛寻找的猎物也不同。

在不同环境下，蜘蛛会通过蛛网结构性能上的相应变化来维持蛛网结构的稳定性。

1.2问题提出
问题一：在区域的边界上安置有若干支撑点，蛛丝可以连接在支撑点上，不能连接到区域的边界的其它点。

请建立合理的数学模型，对不同的情况都设计出合适的蛛网结构。

问题二：如果蛛丝可以连接在区域边界的任何点上。

请建立合理的数学模型，设计出合适的蛛网结构。

二、问题假设
1、在猎物体重一定的范围内，蛛网承受能力的大小。

2、在不同地域内，视蛛网的粘性、湿度相同。

3、在忽略其他因素的情况下，蛛网面积越大，其结构越稳定。

4、假设蜘蛛吐丝的粗细是相同的。

5、每根蛛丝的承受能力均匀相等。

6、假设蛛丝的网格大小不同，越往里越小。

7、假设蜘蛛的吐丝量一定。

8、假设蛛网上每点出现猎物的概率是相等的。

三、符号说明
四、问题分析
对问题一的分析：
我们设定一个具体的环境;有一个凸多边形，蜘蛛准备在这个区域上结网。

在区域边界上安置若干个支撑点，蛛丝可以连接到支撑点上，不能连接到区域边界的其它点上。

支撑点随机设定，假定蜘蛛网上的每个点出现猎物的概率是相等的，蜘蛛停留在蛛网的中心位置，每次捕食的速率相等，我们可以通过计算蜘蛛网捕食面上的捕食期望来判断哪种蛛网结构的捕食效果是最好的。

1、当蜘蛛的吐丝量一定时（即蛛网周长一定），蛛网的承受力也一定时，为确保捕食期望达到最大，通过判断面积的大小来确定最适合的蜘蛛网结构，由相关文献资料可知，可能出现的最适蜘蛛网结构有三角形、正方形、正五边形、Λ、正n 多边形。

当多边形的边数∞→n 时，蜘蛛网结构就会近似视为一个圆形。

选取正方形、正五边形、正六边形、圆形这四种蜘蛛网结构分别求出各个结构的捕食期望值，结合期望值和极限思想，通过最大捕食面积来确定哪种蜘蛛网结构是最优的。

2、当面积一定时，为确保捕食期望达到最大，对蜘蛛网上的猎物进行受力分析。

当猎物被蜘蛛网黏上的那刻开始，蜘蛛网就给猎物一个阻止其向前运动的力：由物理运动学知，此时猎物做加速度增大的减速运动，在理想状态下，该运动会一直循环下去，但现实生活中会存在能量损失，因此循环不会继续下去，此时可以把猎物所做的运动看作阻尼振动。

根据能量守恒定律，分别求解出正方形、正五边形、正六边形以及圆形，猎物被黏在蛛网上时蛛网承受力的大小。

通过对比，选出捕食能力最强的蜘蛛网结构。

结合上面两种情况，可以得到最合适的蜘蛛网结构。

对问题二的分析：
如果蛛丝可以连接在区域边界的任何点上，设计出最合适的蜘蛛网结构。

通过对问题一的分析，我们可以知道当蛛网成正多边形的时候，可以满足问题二最合适的蛛网结构。

五、模型建立与求解
5.1名词解释
半径丝：半径丝是蜘蛛网的主要支撑结构，从网络的中心区域引出，与框丝相连，是一种粘性丝，具有很强的延展性。

捕丝：捕丝通常呈现螺旋状结构，从网的中心区域向外旋转织出，用以黏住猎物，捕丝的间距可以反映蜘蛛的捕食策略和捕食效率。

中心区域：位于圆网的中心，中心区域是用来均衡半径丝的拉伸力，来保持网的结构。

框丝：位于蜘蛛网的外围，支撑半径丝和中心区域的连接，它决定了蜘蛛网的大小和
朝向。

停泊丝：是连接蜘蛛网与其固定物，对蜘蛛网起到支持和固定的作用。

捕丝间距：两条相邻捕食丝之间的距离。

阻尼振动：由于外界的摩擦和介质阻力总是存在的，在振动过程中要不断克服外界阻力做功，消耗能量，振幅就会不断减小，经过一段时间，振动就会完全停下来，这种振幅越来越小的振动称之为阻尼振动。

5.2、模型I 蛛网面积模型 在一定条件下，蛛网的面积反映了蛛网的捕食效率，蜘蛛的捕食期望与蛛网面积、蛛网捕丝长度、半径丝根数和上下捕食长度的比值都相关，但不考虑环境对它影响。

由于蛛网面积面积越大，蜘蛛的捕食效率越高，可以看出蛛网的面积大小反映了蜘蛛的捕食效率的高低，从而假设在蜘蛛吐丝量一定时（即蛛网的周长一定），求出蛛网面积最大，也就是蛛网最合适的结构。

假设周长一定，记为c ，三角形的三条边分别用z y x ,,来表示，面积用1S 表示，则由海伦公式可得：
⎪⎩
⎪
⎨⎧=---=c
p z p y p x p p S 21
)
)()((1 又因为：
))()((1z p y p x p p S ---=≤
p 3
)3
)()()((
z p y p x p -+-+-
2
236
393c p ==
当且仅当z y x ==时，等号成立。

即当蛛网为正三角形，取得最大面积为
2
36
3c ，同时也说明在多边形边数相同的情况下，多边形为正多边形时，面积取得最大值。

对于正方形的面积记为2S ，则有：
22216
1
)4(c c S ==
正六边形的面积记为3S ，则有：
……
圆的面积为圆S ,则有：
π
π22c
r c r =
⇒=
所以
假设：在周长一定的情况下，所有的正多边形中，圆的面积最大。

证明：周长一定的n 边形中以正n 边形的面积最大。

由公式知，圆的面积为241c π，正多边形的面积为2
sin 2θnr （其中c 为周长，n 为正多边形的边数，r 为正多边形外接圆的半径，θ为各边所对的圆心角）
可由公式知：
n
n n π
θ2])2(180[180⎭⎬
⎫⎩⎨⎧--=。

n
r π2=
当n =4时，1sin =θ最大，正多边的面积最大为
2
21π2c ，
比较可知道 2
22π
c π42
c < 故有，当周长一定时，圆的面积最大。

模型II 蛛网承受力模型
根据力学的相关知识 l
A
l E F ⨯∆⨯=
其中，F 为受到猎物冲击后放射丝受到的拉力，l ∆为放射丝的伸长量，A 为放射丝的截面面积，l 为放射丝的长度。

现假设猎物的冲击点是在蛛网最中间的部分 1胡克定律：
若共有dl N 根放射丝可得
dl
dl dl dl l l D E N F απcos )2(
2
⨯∆⨯⨯⨯=
其中F 为撞击力，E 为初始模量，dl l ，dl l ∆分别为拖丝长度和拖丝增量，dl
D 为拖丝直径，α为撞击后拖丝与竖直面的夹角，α,,,dl dl l N F ∆未知。

2冲击定理
由于猎物撞击蛛网可以简化为撞击模型可知：
t
mv F ∆=
m 为猎物质量，v 为其飞行速度，t ∆为撞击时间
2
241c r S π
π=
=圆
3速度位移关系
蛛网可视为弹性网，忽略猎物自身重力的影响，当其受到外力作用时，可以将所受外力传到每根蛛网上。

如图，猎物在向蛛网撞击的过程中，通过蛛网的阻尼振动能将猎物的能量传递给空气等。

整个撞击过程先是加速度增大的减速运动，等到速度为零然后做加速度减小的加速运动。

但直接研究变加速度非常困难，因为撞击的时间和距离都较短，我们可以近似把这个运动过程看作匀减速运动和匀加速运动
则水平位移s 为：
2/t v s ∆⨯=
从而
2
2
2
2
)2/(cos dl
dl
l t v t v l s s +∆∆⨯=
+=
α
dl dl dl l l t v l -+∆=∆2
2)2/(
综上所述可知
2
2
222
22))2/(()2
()2/(cos )2
(t l l t v D E l t v ml l D
E l
F N dl dl dl dl
dl dl dl dl
dl ∆⨯-+∆+∆=
⨯∆⨯⨯⨯=
πα
π
蛛网对猎物所做的功为W ，
⎰⎰=∆=∆∆=∆∆=l
l
dl dl dl dl dl l l l l d l k l d l F W 00332
310)(3
1)()()(
猎物在蛛网上的运动是阻尼振动，其过程能量不断消耗，但总的过程遵循能量守
恒定律，猎物撞击蛛网时的动能最终转化为蛛网的振动做功和空气阻力所做的功（用Q 表示）。

由能量守恒定律知：
32
03
121l Q mv += 空气阻力做功为：
32
03121l mv Q -=
所以有： l cv l mv 032
03
121=-
求得： l v l mv c 03
2
0623-=
所以猎物对蛛网总的撞击力为：
kl cv F F F +=+=021
经查得相关资料可知：15.0=c ，假设)/(22.10s m v =所以可计算出
)(183.022.115.001N cv F =⨯==
假设猎物冲向蛛网时，距离蜘蛛的高度为5.0m ，当蛛网为三角形时，其弧长为： ,3927.05.04=⨯π所以)(3776.09868.0)1805.22sin(5.022N F =⨯⨯⨯=π， 总的撞击力为：)(5606.03776.0183.0'N F =+= 当蛛网形状为圆形时：
)(775.09868.03927.022N F =⨯⨯=
总的撞击力为：
)(958.0775.0183.0"N F =+=
由于'"F F >，可知蛛网为圆形时，网对猎物的捕捉能力最强。

但由于在实际生活中蛛网不可能织成圆形，因此正多边形才是最合适的蛛网结构。

运用LINGO 软件进行求解，（程序见附录），可得出其最大面积为157.6542cm 时，多边形的边数为38，此时即为最合适的蛛网结构。

对于问题二，其实是问题一的一个特例，当其为正多边形的时候，面积达到最大，捕食期望也达到最大，详解见问题一的分析。

六、模型的评价与推广
1、模型的优点
（1）该问题通过分析，运用数学，物理的思想对其进行建立模型，并运用ＬＩＮＧＯ软件对模型进行求解，增加了可信度与可行性。

（2）该模型理论联系实际，系统全面地分析了不同形状以及所受不同承受力的蛛网对捕食期望的影响从而找到最合适的蛛网结构。

（3）模型运用的数学方法比较简单，容易看懂。

2、模型的缺点
（1）由于该模型考虑的因素比较多，我们不能将所有因素都考虑，所以存在一定的误差。

（2）虽然运用的数学思想比较简单，但是由于数据的影响，使得计算比较复杂。

（3）对于最优解的求解问题，在现实生活中应该是一个最优解集，而对于软件和思考路径的局限性，着了我们求得的结果只是我们认为比较合适的方案。

3、模型的推广
蛛网模型在实际生活中应用较多、较广的经济模型。

从蛛网模型的经济学定义出发，对其定义、分类进行数学分析，用差方方程进行建模，讨论均衡点趋于稳定的条件，进而运用该模型分析农产品市场和大学生就业市场。

随着我国人口数的增多，现在的大学生毕业就面临着失业的局面，通过蛛网模型，找出了承受力最大和捕食期望也达到最大，社会就好比一个蛛网，我们就能够通过这种模型使得更多的毕业生能够就业，同时也能使经济增长，达到双丰收的局面。

七、参考文献
[1]胡文瑞。

《微重力流体力学》。

北京科学出版社，1999,04
[2]（美）布雷格斯等。

《A Multigrain Tutorial, Second Edition》(多重网格法教程第2版)。

清华大学出版社，2011,02,01
[3]卓春晖、蒋平、吴灵芝、郭鹏等。

《不同体重悦目金蛛的蛛网结构》，动物学杂志，2007
[4]宋大祥。

蛛网的进化，菏泽师专学报，1994
[5]苟文定。

《材料力学》，北京高等教育出版社，2006
[6]卓春辉、蒋平、王昌河。

蛛网结构性能及其适应性，四川动物，第25卷第4期，2006
[7]/view/e7321aec81c758f5f61f67e8.html?from=rel ated&hasrec=1
[8]潘志娟、戴宏钦等。

蜘蛛丝的结构域力学特性，南通工学院学报，第15卷第2期，1999
[9]赵静、但琪、严尚安、杨秀文。

《数学建模与数学实验》，北京高等教育出版社，2008,08
八、附录。