蜘蛛网第二阶段问题的研究

蜘蛛网第二阶段问题的研究

一、问题重述

世界上生存着许多种类的蜘蛛，而其中的大部分种类都会通过结网来进行捕食。现在我们假设一个具体的环境。假设有一个凸多边形区域，蜘蛛准备在这个区域（或其一部分）上结一张网。

1.1历史背景

世界上的蜘蛛种类繁多，但大多数蜘蛛都会通过结网来捕食猎物的。

对于结网型蜘蛛而言，网充当不仅仅是捕食工具的角色，也充当防御天敌的工具和繁衍场所的角色，因此，对蛛网结构和性能的研究是了解蜘蛛习性和生活的重要手段。蜘蛛网作为大部分蜘蛛的捕食工具，蜘蛛网结构影响蜘蛛的捕食效率，反映了蜘蛛的捕食手段，同时也反映了蜘蛛在不同环境下的捕食策略，不同体重的蜘蛛寻找的猎物也不同。在不同环境下，蜘蛛会通过蛛网结构性能上的相应变化来维持蛛网结构的稳定性。

1.2问题提出

问题一：在区域的边界上安置有若干支撑点，蛛丝可以连接在支撑点上，不能连接到区域的边界的其它点。请建立合理的数学模型，对不同的情况都设计出合适的蛛网结构。

问题二：如果蛛丝可以连接在区域边界的任何点上。请建立合理的数学模型，设计出合适的蛛网结构。

二、问题假设

1、在猎物体重一定的范围内，蛛网承受能力的大小。

2、在不同地域内，视蛛网的粘性、湿度相同。

3、在忽略其他因素的情况下，蛛网面积越大，其结构越稳定。

4、假设蜘蛛吐丝的粗细是相同的。

5、每根蛛丝的承受能力均匀相等。

6、假设蛛丝的网格大小不同，越往里越小。

7、假设蜘蛛的吐丝量一定。

8、假设蛛网上每点出现猎物的概率是相等的。

三、符号说明

四、问题分析

对问题一的分析：

我们设定一个具体的环境;有一个凸多边形，蜘蛛准备在这个区域上结网。在区域边界上安置若干个支撑点，蛛丝可以连接到支撑点上，不能连接到区域边界的其它点上。

支撑点随机设定，假定蜘蛛网上的每个点出现猎物的概率是相等的，蜘蛛停留在蛛网的中心位置，每次捕食的速率相等，我们可以通过计算蜘蛛网捕食面上的捕食期望来判断哪种蛛网结构的捕食效果是最好的。

1、当蜘蛛的吐丝量一定时（即蛛网周长一定），蛛网的承受力也一定时，为确保捕食期望达到最大，通过判断面积的大小来确定最适合的蜘蛛网结构，由相关文献资料可知，可能出现的最适蜘蛛网结构有三角形、正方形、正五边形、Λ、正n 多边形。当多边形的边数∞→n 时，蜘蛛网结构就会近似视为一个圆形。选取正方形、正五边形、正六边形、圆形这四种蜘蛛网结构分别求出各个结构的捕食期望值，结合期望值和极限思想，通过最大捕食面积来确定哪种蜘蛛网结构是最优的。

2、当面积一定时，为确保捕食期望达到最大，对蜘蛛网上的猎物进行受力分析。当猎物被蜘蛛网黏上的那刻开始，蜘蛛网就给猎物一个阻止其向前运动的力：由物理运动学知，此时猎物做加速度增大的减速运动，在理想状态下，该运动会一直循环下去，但现实生活中会存在能量损失，因此循环不会继续下去，此时可以把猎物所做的运动看作阻尼振动。根据能量守恒定律，分别求解出正方形、正五边形、正六边形以及圆形，猎物被黏在蛛网上时蛛网承受力的大小。通过对比，选出捕食能力最强的蜘蛛网结构。

结合上面两种情况，可以得到最合适的蜘蛛网结构。 对问题二的分析：

如果蛛丝可以连接在区域边界的任何点上，设计出最合适的蜘蛛网结构。通过对问题一的分析，我们可以知道当蛛网成正多边形的时候，可以满足问题二最合适的蛛网结构。

五、模型建立与求解

5.1名词解释

半径丝：半径丝是蜘蛛网的主要支撑结构，从网络的中心区域引出，与框丝相连，是一种粘性丝，具有很强的延展性。

捕丝：捕丝通常呈现螺旋状结构，从网的中心区域向外旋转织出，用以黏住猎物，捕丝的间距可以反映蜘蛛的捕食策略和捕食效率。

中心区域：位于圆网的中心，中心区域是用来均衡半径丝的拉伸力，来保持网的结构。

框丝：位于蜘蛛网的外围，支撑半径丝和中心区域的连接，它决定了蜘蛛网的大小和

朝向。

停泊丝：是连接蜘蛛网与其固定物，对蜘蛛网起到支持和固定的作用。 捕丝间距：两条相邻捕食丝之间的距离。

阻尼振动：由于外界的摩擦和介质阻力总是存在的，在振动过程中要不断克服外界阻力做功，消耗能量，振幅就会不断减小，经过一段时间，振动就会完全停下来，这种振幅越来越小的振动称之为阻尼振动。 5.2、模型I 蛛网面积模型 在一定条件下，蛛网的面积反映了蛛网的捕食效率，蜘蛛的捕食期望与蛛网面积、蛛网捕丝长度、半径丝根数和上下捕食长度的比值都相关，但不考虑环境对它影响。

由于蛛网面积面积越大，蜘蛛的捕食效率越高，可以看出蛛网的面积大小反映了蜘蛛的捕食效率的高低，从而假设在蜘蛛吐丝量一定时（即蛛网的周长一定），求出蛛网面积最大，也就是蛛网最合适的结构。

假设周长一定，记为c ，三角形的三条边分别用z y x ,,来表示，面积用1S 表示，则由海伦公式可得：

⎪⎩

⎪

⎨⎧=---=c

p z p y p x p p S 21

)

)()((1 又因为：

))()((1z p y p x p p S ---=≤

p 3

)3

)()()((

z p y p x p -+-+-

2

236

393c p ==

当且仅当z y x ==时，等号成立。即当蛛网为正三角形，取得最大面积为

2

36

3c ，同时也说明在多边形边数相同的情况下，多边形为正多边形时，面积取得最大值。 对于正方形的面积记为2S ，则有：

22216

1

)4(c c S ==

正六边形的面积记为3S ，则有：

……

圆的面积为圆S ,则有：

π

π22c

r c r =

⇒=