北师大版八年级下册数学 1.2 直角三角形 同步测试题(含答案)
1.2 直角三角形 同步测试题
一．选择题
1．如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2等于( )
A ．270°
B ．135°
C ．90°
D ． 315°
2．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE ＝a ，则下列说法正确的个数有（ ）
①DC ′平分∠BDE ；②BC 长为a )22( ；③△B C ′D 是等腰三角形；④△CED 的周长等于BC 的长。
A ． 1个；
B ．2个；
C ．3个；
D ．4个。
3．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB=6cm ，则△DEB 的周长为（ ） A ．4cm B ．6cm C ．8 cm D ．10cm
4．如图，EA ⊥AB ，BC ⊥AB ，EA=AB=2BC ，D 为AB 中点，有以下结论： (1)DE=AC ；(2)DE ⊥AC ；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE 。其中结论正确的是（ ）
A ．(1)，(3)
B ．(2)，(3)
C ．(3)，(4)
D ．(1)，(2)，(4) 5．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，BA 的垂直平分线交CB 边于D ，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
6等腰三角形底边长为7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3，则腰长是（ ）
A ．4
B ．10
C ．4或10
D ．以上答案都不对
A
B
C A
B
C
B
D
E
C
E
7．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）A．30° B．36° C．45° D．70°
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P，
使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．边长为2的等边三角形的内有一点0，那么0到三角形各边的距离之和为 ( )
A．3 B．23 C．2 D．43
10．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若
BF=AC，则∠ABC的大小是（）
A．40° B．45° C．50° D．60°
二．填空题
1．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线MN
与AB交于D点，则∠BCD的度数为。
2．如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AD平分∠BAC交BC于点D，BD∶DC=2∶
1，BC=7.8cm，则D到AB的距离为 cm。
3．一辆汽车沿30°角的山坡从山底开到山顶，共走了4000米，那么这座山的高度为米．
4．如图，在等腰直角三角形ABC中，AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，则△DEF
是三角形。
5．如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C．AE＝AF，给出下列结论：①∠1=∠2；
②BE=CF；③△ACN≌△ABM。其中正确的结论是
（注：将你认为正确的结论都填上）．
中，∠C=90°，∠ABC=60°，
6．如图，ABC
BD平分∠ABC，若AD=6，则CD= 。
7．“有两角和其中一边对应相等的两个三角形全等”的逆命题是 ．是 命题。（真或假）
8．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点F ，过F 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于D 、E ，已知△ADE 的周长为24cm ，且BC = 8cm ，则△ABC 的周长= 。 三．解答题
1．如图，已知AB=AC ，AD 是中线，BE=CF ． (1)求证：△BDE≌△COF；
(2)当∠B ＝60°时，过AB 的中点G ，作GH∥BD， 求证：GH=4
1
AB ．
2．如图，ABC △中，90ACB =o
∠，AC BC =，CO 为中线．现将一直角三角板的直角顶点放在点O 上并绕点O 旋转，若三角板的两直角边分别交AC CB ，的延长线于点
G H ，．
（1）试写出图中除AC BC OA OB OC ===，外其他所有相等的线段； （2）请任选一组你写出的相等线段给予证明． 我选择证明 = ． 证明：
A
B
C
D H
G
3．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，添加一个条件，使DE = DF ，并说明理由． 解： 需添加条件是 ． 理由是：
4．将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如下右图的形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上． （1）求证：AB ED ⊥；
（2）若PB BC ，请找出图中与此条件有关的一对．．全等三角形，并给予证明．
5．已知：如图，△ABC 是边长3cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两
点停止运动．设点P 的运动时间为t （s ），解答下面的问题： 当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形?
P
A
E P
M F
C
D
N
A B
D F
E
6．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA PB PC ，，，以BP 为边作60PBQ ∠=o
，且BQ BP =，连结CQ ．
（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．
（2）若::3:4:5PA PB PC =，连结PQ ，试判断PQC △的形状，并说明理由． 拓展延伸
7．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等？ （1）阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）． 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：
已知：ABC △，111A B C △均为锐角三角形，11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠． 求证：111ABC A B C △≌△． （请你将下列证明过程补充完整．）
证明：分别过点1B B ，作BD CA ⊥于D ，
则11190BDC B D C ∠=∠=o ， 11BC B C =Q ，1C C ∠=∠，
Q
C
P
A
B
D
C
C 1
D 1
A
111BCD B C D ∴△≌△，
11BD B D ∴=．
（2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论．
参考答案 一．选择题
1．A 2．C 3．B 4．D 5．C 6．C 7．B 8．D 9．A 10．B 二．填空题
1．10° 2．2．6cm 3．2000 4．等腰直角 5．①②③ 6．3 7．三边对应相等的三角形是全等三角形，是真命题。 8．32cm 三．解答题
1．证明：(1)因为AB=AC ，所以∠B=∠C ， 在△BDE 和△CDF 中
所以△BDE ≌△CDF
(2)因为G 是AB 的中点，且GH∥BD，所以GH 是△ABD 的中位线，所以GH=
2
1
DB ，根据直角三角形中30°对的直角边等于斜边的一半可知，BE=21DB ，BD=2
1AB ，所以GH=41
AB ．
2．解：（1）CG BH AG CH OG OH ===，， （2）90ACB AC BC AO BO ===o
Q ∠，，，
45CO OB CO AB ABC ∴=⊥=o ，，∠． 9090COG GOB BOH GOB +=+=o o Q ∠∠，∠∠，
COG BOH ∴=∠∠．
又4518045135ABC OCB OBH ==∴=-=o
o
o
o
Q ∠∠，∠，9045135GCO =+=o
o
o
∠，
GCO OBH ∴=∠∠． GCO HBO ∴△≌△ CG BH ∴=．
3．解：需添加的条件是：BD =CD ，或BE =CF ． 添加BD =CD 的理由：
如图，因为AB =AC ，所以∠B =∠C ．
又因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，所以∠BED =∠CFD ． 所以△BDE ≌△CDF (AAS)． 所以DE = DF ． 添加BE =CF 的理由： 如图，因为AB =AC ， 所以∠B =∠C ．
因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，所以∠BED =∠CFD ． 又因为BE =CF ，所以△BDE ≌△CDF (ASA)． 所以DE = DF ．
4．（1）证明：由题意得90A B A D ∠+∠=∠=∠o
，，
90D B ∠+∠=o ∴．
AB DE ∴⊥．
（2）若PB BC =，则有Rt △ABC ≌Rt △DBP ．
B B A D BP B
C ∠=∠∠=∠=∵，，，
∴ Rt △ABC ≌Rt △DBP ．
说明：图中与此条件有关的全等三角形还有如下几对：
Rt △APN ≌ Rt △DCN 、Rt △DEF ≌ Rt △DBP 、Rt △EPM ≌ Rt △BFM ． 5．解：根据题意：AP ＝t cm ，BQ ＝t cm ． △ABC 中，AB ＝BC ＝3cm ，∠B＝60°， ∴BP＝(3－t ) cm ．
△PBQ 中，BP ＝3－t ，BQ ＝t ，
若△PBQ 是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°． 当∠BQP＝90°时，BQ ＝12
BP ．
即t ＝
12
(3－t )，t ＝1 (秒)．
当∠BPQ＝90°时，BP ＝
12
BQ ．3－t ＝
12
t ，t ＝2 (秒)．
答：当t ＝1秒或t ＝2秒时，△PBQ 是直角三角形． 6．解：（1）猜想：AP CQ = 证明：在ABP △与CBQ △中，
AB CB =∵，BP BQ =，60ABC PBQ ∠=∠=o
ABP ABC PBC PBQ PBC CBQ ∠=∠-∠=∠-∠=∠∴ ABP CBQ ∴△≌△
AP CQ =∴
（2）由::3:4:5PA PB PC = 可设3PA a =，4PB a =，5PC a = 连结PQ ，在PBQ △中，由于4PB BQ a ==，且60PBQ ∠=o
PBQ ∴△为正三角形 4PQ a =∴
于是在PQC △中，2
2
2
2
2
2
16925PQ QC a a a PC +=+==∵
PQC ∴△是直角三角形
7．解：（1）又11AB A B =Q ，11190ADB A D B ∠=∠=o ， 111ADB A D B ∴△≌△，
1A A ∴∠=∠，
又111C C BC B C ∠=∠=Q ，，
111ABC A B C ∴△≌△．
（2）若ABC △，111A B C △均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠，则111ABC A B C △≌△．