高考椭圆题型情况总结
(完整版)高考椭圆题型总结
椭圆题型总结一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:PA+PB=2a>2c1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙： P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆,则命题甲是命题乙的 ( )A 。
充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 。
充要条件 D.既不充分又不必要条件2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是( ）A 。
椭圆 B.圆 C.直线 D.线段3. 已知1F 、2F是椭圆的两个焦点， P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ，使得2PF PQ =，那么动点Q的轨迹是( ）A.椭圆B.圆C.直线D.点4. 已知1F 、2F 是平面α内的定点，并且)0(221>=c c F F ,M 是α内的动点，且a MF MF 221=+，判断动点M 的轨迹。
5. 椭圆192522=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 。
(二) 标准方程求参数范围1. 若方程13522=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的范围。
（3，4）U(4，5） 2.轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( ） A.充分而不必要条件 B 。
必要不充分条件 C 。
充要条件 D 。
既不充分又不必要条件3. 已知方程112522=-+-m y m x 表示焦点在Y 轴上的椭圆，则实数m 的范围是 。
4. 已知方程222=+ky x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 5. 方程231y x -=所表示的曲线是 .6. 如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围. 7. 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为)2,0(，求m 的值。
椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)
又椭圆过点 ，则 ，（1）式代入上式，解得 ， ，椭圆方程为 。
（Ⅱ）设 ，弦MN的中点A
由 得： ， 直线 与椭圆交于不同的两点， ，即 ………………（1）
由韦达定理得： ，则 ，
直线AG的斜率为： ，
由直线AG和直线MN垂直可得： ，即 ，代入（1）式，可得 ，即 ，则 。
由 消y整理，得
由直线和抛物线交于两点，得 即
由韦达定理，得： 。则线段AB的中点为 。
线段的垂直平分线方程为：
令y=0,得 ，则 为正三角形， 到直线AB的距离d为 。
解得 满足 式此时 。
思维规律：直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理法，将弦的中点用k表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的 倍，将k确定，进而求出 的坐标。
解：(I)∵a2=2，b2=1，∴c=1，F(-1，0)，l:x=-2.∵圆过点O、F,∴圆心M在直线x=-
设M(- )，则圆半径：r=|(- )-(-2)|=
由|OM|=r，得 ，解得t=± ，∴所求圆的方程为(x+ )2+(y± )2= .
(II)由题意可知，直线AB的斜率存在，且不等于0,设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0)，
本题解决过程中，有一个消元技巧，就是直线和抛物线联立时，要消去一次项，计算量小一些，也运用了同类坐标变换——韦达定理，同点纵、横坐标变换-------直线方程的纵坐标表示横坐标。其实解析几何就这么点知识，你发现了吗？
题型三：过已知曲线上定点的弦的问题
若直线过的定点在已知曲线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题。下面我们就通过例题领略一下思维过程。
高考椭圆题型总结(最新整理)
椭圆题型总结一、椭圆的定义和方程问题(一)定义:PA+PB=2a>2c1.命题甲:动点到两点的距离之和命题乙: 的轨迹P B A ,);,0(2常数>=+a a PB PA P 是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.已知、是两个定点，且,若动点满足则动点的轨迹1F 2F 421=F F P 421=+PF PF P 是（ ）A.椭圆B.圆C.直线D.线段3.已知、是椭圆的两个焦点, 是椭圆上的一个动点,如果延长到,使得1F 2F P P F 1Q ,那么动点的轨迹是( )2PF PQ =Q A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点4.已知、是平面内的定点，并且，是内的动点，且1F 2F α)0(221>=c c F F M α,判断动点的轨迹.a MF MF 221=+M 5.椭圆上一点到焦点的距离为2，为的中点，是椭圆的中192522=+y x M 1F N 1MF O 心，则的值是。
ON (二)标准方程求参数范围1.若方程表示椭圆，求k 的范围.（3，4）U （4，5）13522=-+-k y k x 2.( )轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>A.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.已知方程表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数m 的范围是.112522=-+-m y m x 4.已知方程表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 .222=+ky x 5.方程所表示的曲线是.231y x -=6.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围。
222=+ky x y k 7.已知椭圆的一个焦点为，求的值。
06322=-+m y mx )2,0(m 8.已知方程表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是.222=+ky x (三)待定系数法求椭圆的标准方程1.根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点到两焦点的距离之和为26；P （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点,求)2,3(),1,6(21--P P 椭圆方程.2.以和为焦点的椭圆经过点点，则该椭圆的方程)0,2(1-F )0,2(2F )2,0(A 为 。
高考椭圆题型总结有答案
高考椭圆题型总结有答案椭圆题型总结一、椭圆的定义和方程问题一)定义:命题甲：动点P到两点A,B的距离之和PA+PB=2a(a>0，常数)。
命题乙：P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的充要条件。
已知F1、F2是两个定点，且F1F2=4，若动点P满足PF1+PF2=4，则动点P的轨迹是椭圆。
已知1、2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一个动点，如果延长1到P，使得PQ=PF2，那么动点的轨迹是圆。
x^2+y^2=1上一点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，椭圆则ON的值是4.O是椭圆的中心，(1,0)是椭圆的左焦点，P在椭圆上运动，定点A（1，1）。
选做：已知F1是椭圆，求|PA|+|PF1|的最小值。
二)标准方程求参数范围试讨论k的取值范围，使方程(5-k)x^2+ky^2-3=0表示圆、椭圆、双曲线。
m>n>0”是“方程mx+ny=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件。
若方程xsinα+ycosα=1表示焦点在y轴上的椭圆，α所在的象限是第二象限。
方程x=1-3y所表示的曲线是椭圆的右半部分。
已知方程x+ky=2表示焦点在X轴上的椭圆，则实数k的范围是k>1.1.根据下列条件求椭圆的标准方程：1) 两个焦点的坐标分别为(0,5)和(0,-5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；2) 长轴是短轴的2倍，且过点(2,-6)；3) 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6,1)、P2(-3,-2)。
二、简单几何性质椭圆的离心率为e=√(1-b^2/a^2)，其中a、b分别为长轴和短轴的一半。
椭圆的周长为C=4aE(e)，其中E(e)为第二类完全椭圆积分。
椭圆的面积为S=πab。
点M(x,y)满足x2/25+(y+3)2/16=1，求点M的轨迹方程。
2.已知动点P(x,y)过定点A(-3,0)，并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与其相内切，求动点P的轨迹方程。
椭圆中6种常考基础题型(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
第19讲椭圆中6种常考基础题型【考点分析】考点一：椭圆的通径过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为22b a．考点二：椭圆中有关三角形的周长问题图一图二如图一所示：21F PF ∆的周长为c a 22+如图一所示：ABC ∆的周长为a 4考点三：椭圆上一点的有关最值①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为a c +，距离的最小值为a c -．考点四：椭圆的离心率椭圆的离心率()10<<=e a c e ，222222221ab a b a ac e -=-==考点五：椭圆焦点三角形的面积为2tan2S b θ=⋅（θ为焦距对应的张角）考点六：中点弦问题（点差法）中点弦问题：若椭圆与直线l 交于AB 两点，M 为AB 中点，且AB k 与OM k 斜率存在时，则22ab K k OM AB -=⋅；（焦点在x 轴上时），当焦点在y 轴上时，22ba K k OMAB -=⋅若AB 过椭圆的中心，P 为椭圆上异于AB 任意一点，22ab K k PB P A -=⋅（焦点在x 轴上时），当焦点在y 轴上时，22ba K k PBP A -=⋅【题型目录】题型一：椭圆的定义有关题型题型二：椭圆的标准方程题型三：椭圆的离心率题型四：椭圆中焦点三角形面积题型五：椭圆中中点弦问题题型六：椭圆中的最值问题【典型例题】题型一：椭圆的定义有关题型【例1】已知△ABC 的周长为10，且顶点()2,0B -，()2,0C ，则顶点A 的轨迹方程是（）A ．221(0)95x y y +=≠B ．221(0)59x y y +=≠C ．221(0)64x y y +=≠D ．221(0)46x y y +=≠【答案】A【解析】∵△ABC 的周长为10，顶点()2,0B -，()2,0C ，∴=4BC ，+=10464AB AC -=>，∴点A 到两个定点的距离之和等于定值，∴点A 的轨迹是椭圆，∵3,2a c ==，∴2945b =-=，又因为,,A B C 三点构成三角形，∴椭圆的方程是()221095x y y +=≠.故选：A ．【例2】如果点(),M x y =M 的轨迹是（）．A ．不存在B ．椭圆C ．线段D ．双曲线【答案】B=(),M x y 到点(0,3),(0,3)-的距离之和为3(3)6--=<M 的轨迹是椭圆，故选：B【例3】设1F ，2F 分别为椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，且1223PF PF += ，则12F PF ∠=（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π【答案】D【解析】因32221==+PO PF PF ，所以213OF OF PO ===，所以︒=∠9021PF F 【例4】1F 、2F 是椭圆22:1259x yC +=的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，1||6PF =，过1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为M ，则||OM 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【详解】如图，直线1F M 与直线2PF 相交于点N ，由于PM 是12F PF ∠的平分线，且PM ⊥1F N ，所以三角形1F PN 是等腰三角形，所以1PF PN =，点M 为1F N 中点，因为O 为12F F 的中点，所以OM 是三角形12F F N 的中位线，所以212OM F N =，其中212112226F N PF PF PF a PF =-=-=-，因61=PF ，所以62=N F ，所以3=OM ，所以选C【例5】已知椭圆22:12516x y C +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN +=（）A ．10B ．15C ．20D ．25【答案】C【解析】设MN 的中点为G ，椭圆的左右焦点分别为21,F F ，则G 为MN 的中点，1F 为MA 的中点，所以12GF AN =，同理22GF BN =，所以()204221==+=+a GF GF BN AN【例6】方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是（）A ．0k >B ．12k <<C ．1k >D ．01k <<【答案】B【解析】方程x 2＋ky 2＝2可变形为：22122x y k+=，表示焦点在x 轴上的椭圆，则有：202k<<，解得k 1>.易知当12k <<时，k 1>，当k 1>时未必有12k <<，所以12k <<是k 1>的充分但不必要条件.故选B.【例7】点1F ，2F 为椭圆C ：22143x y+=的两个焦点，点P 为椭圆C 内部的动点，则12PF F △周长的取值范围为（）A ．()2,6B ．[)4,6C ．()4,6D ．[)4,8【答案】C【解析】由椭圆C ：22143x y +=，得：2,1a c ==，当点P 在椭圆上时，12PF F △周长最大，为226a c +=，当点P 在x 轴上时，去最小值，为44c =，又因点P 为椭圆C 内部的动点，所以12PF F △周长的取值范围为()4,6.故选：C.【例8】椭圆22193x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，如果1PF 的中点在y 轴上，那么1||PF 是2||PF 的（）A ．7倍B ．6倍C ．5倍D ．4倍【答案】C【解析】由题意知：212F F PF ⊥，所以13322===a b PF ，因6221==+a PF PF ，所以51=PF ，所以521=PF PF【题型专练】1.已知△ABC 的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A 的轨迹方程是（）A ．2213620x y +=（x≠0）B ．2212036x y +=（x≠0）C ．221620x y +=（x≠0）D ．221206x y +=（x≠0）【答案】B【解析】∵△ABC 的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），∴BC ＝8，AB +AC ＝20﹣8＝12，∵12＞8∴点A 到两个定点的距离之和等于定值，∴点A 的轨迹是椭圆，∵a ＝6，c ＝4∴b 2＝20，∴椭圆的方程是()22102036x y x +=≠故选B ．2.焦点在x 轴上的椭圆222125x y a +=焦距为8，两个焦点为12,F F ，弦AB 过点1F ，则2ABF ∆的周长为（）A ．20B ．28C ．D ．【答案】D【解析】由题意知252=b ，因为222c b a +=，所以16252+=a ，解得41=a ，所以2ABF ∆的周长为4144=a ，故选：D3.（2021新高考1卷）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.6【答案】C【解析】因2121262MF MF a MF MF ⋅≥==+，所以921≤⋅MF MF 4.已知椭圆22192x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在椭圆上，若1||4MF =，则12F MF ∠=（）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆方程求得12F F =1226MF MF a +==，求得1||4MF =，所以22MF =，在12F MF △中，再由余弦定理列出方程，求得121cos 2F MF ∠=-，即可求解．【详解】解：由题意，椭圆方程22192x y +=，可得3,a b c ===所以焦点12(F F ，又由椭圆的定义，可得1226MF MF a +==，因为1||4MF =，所以22MF =，在12F MF △中，由余弦定理可得222121212122cos F F MF MF MF MF F MF =+-∠,所以2221242242cos F MF =+-⨯⨯∠，解得121cos 2F MF ∠=-，又由12(0,180)F MF ∠∈，所以12120F MF ∠= .故选:C ．5.设1F ，2F 为椭圆22194x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值为（）A ．513B ．45C ．27D ．49【答案】C 【解析】【分析】由中位线定理以及椭圆方程得出243PF =，再由椭圆的定义得出1PF ，再求21PF PF 的值.【详解】由椭圆的定义可知，1226PF PF a +==，由中位线定理可知，212PF F F ⊥，将x =22194x y+=中，解得43y =±，即243PF =，1414633PF =-=，故214323147PF PF =⨯=故选：C6.已知曲线22:1C mx ny +=A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上C ．若0m n =>，则CD ．若0m =，0n >，则C 是两条直线【答案】AD【解析】由题意得：11122=+ny m x ，所以当0>>n m ，则nm 110<<，所以表示焦点在y 轴上的椭圆，所以A 对，B 错，当0>=n m 时，曲线C 为ny x 122=+，所以表示圆，半径为n 1，当0,0>=n m 时，曲线C 为ny 12=，所以n y 1±=，所以表示两条直线，故选：AD7.已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（）AB．CD．【答案】C 【解析】【分析】设线段2PF 的中点为M ，连接1PF 、1MF ，利用圆的几何性质可得出12F M PF ⊥，求得11222PF F F c ===，利用椭圆的定义可求得2PF ，可判断出12PF F △的形状，即可得解.【详解】在椭圆22143x y +=中，2a =，b =，1c =，设线段2PF 的中点为M ，连接1PF 、1MF ，则12F F 为圆O 的一条直径，则12F M PF ⊥，因为M 为2PF 的中点，则11222PF F F c ===，则2122PF a PF =-=，所以，12PF F △为等边三角形，由图可知，直线2PF 的倾斜角为3π.故选：C.8.在平面直角坐标系xOy 中，若△ABC 的顶点(0,2)A -和(0,2)C ，顶点B 在椭圆181222=+xy 上，则sin sin sin A C B +的值是（）AB ．2C ．D ．4【答案】A 【解析】【分析】由题设易知,A C 为椭圆的两个焦点，结合椭圆定义及焦点三角形性质有||||2AB CB a +=，||2AC c =，最后应用正弦定理的边角关系即可求目标式的值.【详解】由题设知：,A C 为椭圆的两个焦点，而B 在椭圆上，所以||||2AB CB a +==||24AC c ==，由正弦定理边角关系知：|||||sin sin sin |A A CB CB A BC +=+故选：A9.已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A ．13B ．12C ．9D ．6【答案】C【解析】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．10.已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上且在x 轴的下方，若线段2PF 的中点在以原点O 为圆心，2OF 为半径的圆上，则直线2PF 的倾斜角为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π【答案】C 【解析】【分析】设线段2PF 的中点为M ，连接1PF 、1MF ，利用圆的几何性质可得出12F M PF ⊥，求得11222PF F F c ===，利用椭圆的定义可求得2PF ，可判断出12PF F △的形状，即可得解.【详解】在椭圆22143x y +=中，2a =，b =，1c =，设线段2PF 的中点为M ，连接1PF 、1MF ，则12F F 为圆O 的一条直径，则12F M PF ⊥，因为M 为2PF 的中点，则11222PF F F c ===，则2122PF a PF =-=，所以，12PF F △为等边三角形，由图可知，直线2PF 的倾斜角为3π.故选：C.11．已知A 为椭圆2212516x y +=上一点，F 为椭圆一焦点，AF 的中点为P ，O 为坐标原点，若2OP =则AF =（）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】B【解析】不妨设椭圆2212516x y +=左焦点为F ，右焦点为E ，因为AE 的中点为P ，EF 的中点为O ，所以24AE OP ==，又由210AE AF a +==，可得1046AF =-=.故选：B .12.已知椭圆C ：22194x y +=的左右焦点分别是12,F F ，过2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且118AF BF +=，则AB =（）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】A【解析】由椭圆22:194x y C +=知：a =3，由椭圆的定义得：121226,26AF AF a BF BF a +==+==，所以11412AF BF AB a ++==，又因为118AF BF +=，所以AB 4=，故选：A题型二：椭圆的标准方程【例1】已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>右焦点为)，其上下顶点分别为1C ，2C ，点()1,0A ，12AC AC ⊥，则该椭圆的标准方程为（）A ．22134x y +=B ．22143x y +=C ．2213y x +=D ．2213x y +=【例2】已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，椭圆C 的一顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，12AF F △焦距为2，过1F ，且垂直于2AF 的直线与椭圆C 交于D ，E 两点，则ADE ∆的周长是（）A ．B ．8C ．D ．16【例3】如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(F -为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足||||OP OF =，且||4PF =，则椭圆C 的方程为（）A ．221255x y +=B ．2214525x y +=C ．2213010x y +=D ．2213616x y +=故选：D【例4】阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C 的对称轴为坐标轴，焦点在y 轴上，且椭圆C 的离心率为53，面积为12π，则椭圆C 的方程为（）A ．221188x y +=B ．22198y x +=C ．221188y x +=D ．22184y x +=【例5】过椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>右焦点F 的直线l ：20x y --=交C 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（）A ．22184x y +=B ．22195x y +=C ．22173x y +=D ．221106x y +=【例6】已知12,F F 分别是椭圆221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点，A ，B 分别为椭圆的上，下顶点，过椭圆的右焦点2F 的直线交椭圆于C ，D 两点，1FCD 的周长为8，且直线AC ，BC 的斜率之积为14-，则椭圆的方程为（）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．2214x y +=D ．22143x y +=【例7】已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||3||AF F B =，15||4||AB BF =，则C 的方程为（）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【题型专练】1．已知1F 、2F 是椭圆C ：22221x ya b+=()0a b >>的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，B 在x 轴上，20AB AF ⋅= 且122AF AB AF =+.若坐标原点O 到直线AB 的距离为3，则椭圆C 的方程为（）A ．2214x y +=B ．22143x y +=C ．221169x y +=D ．2211612x y +=1612故选：D2．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，其左､右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P 为该椭圆上一点，且满足12π3F PF ∠=，若12F PF △的内切圆的面积为π，则该椭圆的方程为（）A ．221129x y +=B ．2211612x y +=C ．2212418x y +=D ．2213224x y +=3．已知椭圆的两个焦点为1(F ，2F ，M 是椭圆上一点，若12MF MF ⊥，128MF MF ⋅=，则该椭圆的方程是（）A ．22172x y +=B ．22127x y +=C ．22194x y +=D ．22149x y +=4．已知1(1,0)F -，2(1,0)F 是椭圆C 的两个焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，3AB =，则椭圆C 的标准方程为（）A ．2213y x +=B ．2213x y +=C ．22143x y +=D ．22132x y +=方法二：由题意，设椭圆C 的标准方程为所以a ＝2或12a =-（舍去），所以2a 故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．故选：C.5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为)，右顶点为A ，O 为坐标原点，过OA 的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于M ，N 两点，若四边形OMAN 是正方形，则C 的方程为（）A ．2213x y +=B ．22153x y +=C ．22175x y +=D．22197x y +=6．已知椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线0x y -=与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（）A ．2213x y +=B ．22142x y +=C ．22153x y +=D ．22163x y +=7．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，P 是C 上一点，213PF PF =，123F PF π∠=，C 的面积为12π，则C 的标准方程为（）A ．221364x y +=B ．22112x y +=C ．221169x y +=D ．22143x y +=8．已知椭圆C ：22=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M 、N )，△AF 1B 的周长为AM 与AN 的斜率之积为－23，则椭圆C的标准方程为（）A ．22=134y x +B ．22=134x y +C ．22=13x y +D ．22=132x y +9．已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线交于C 与A ，B ，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为（）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22198x y +=1F 题型三：椭圆的离心率【例1】已知1F ，2F 为椭圆22221x ya b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y 轴右侧的两个交点为A ，B ，若1ABF 为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A1B 1C ．12D 又1290F AF ∠=，∴21,3AF c AF c ==，∴32c c a +=，可得2331c a ==+故选：B ．【例2】已知椭圆C ：()21024b b+=<<的左焦点为1F ，直线()0y kx k =≠与C 交于点M ，N .若1120MF N ︒∠=，1183MF NF ⋅=，则椭圆C 的离心率为（）A ．12B ．22C D 因为O 为12,MN F F 的中点，所以四边形所以12MF NF =，12NF MF =，由椭圆的定义可得：又因为1183MF NF ⋅=，所以1MF 【例3】已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>上存在两点,M N 关于直线3310--=x y 对称，且线段MN 中点的纵坐标为53，则椭圆C 的离心率是（）A B C ．23D【例4】已知椭圆C ：221a b+=()0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 做倾斜角为6π的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若222,AF F B =，则椭圆C 的离心率e 为（）AB ．34C ．35D【例5】设B 是椭圆()22:10C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎝⎦【例6】12,F F 是椭圆C 的两个焦点，P 是椭圆C 上异于顶点的一点，I 是12PF F △的内切圆圆心，若12PF F △的面积等于12IF F △的面积的3倍，则椭圆C 的离心率为（）A ．13B ．12C ．2D ．2a b如图，设()()()12,,,0,,0,P m n F c F c ∴-三角形由椭圆的定义可得22l a c=+122222PF F S cn cnr l a c a c∴===++ ，又2121113,2322P I F F F F cn S S c n a =∴⨯⨯=⨯⨯ 故选：B【例7】用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论：①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是（）A ．①B ．②③C ．①②D ．①③【答案】C【分析】根据切线长定理可以证明椭圆上任意一点到12,F F 的距离之和为定值，即12,F F 是焦点再运用勾股定理证明短轴长，最后构造三角形，运用三角函数表示离心率即可.【详解】如图：在椭圆上任意一点P 作平行于12O O 的直线，与球1O 交于F 点，与球2O 交于E 点，则PE ，2PF 是过点P 作球2O 的两条公切线，2PE PF =，同理1PF PF =，是椭圆的焦点；①正确；【例8】国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于34-，则椭圆的离心率为（）A ．34B ．58C ．12D ．4【题型专练】1．直线:l y =与椭圆2222:1x y C a b+=交于,P Q 两点，F 是椭圆C 的右焦点，且0PF QF ⋅= ，则椭圆的离心率为（）A ．4-B ．3C 1D ．2【详解】的左焦点为F '，由对称性可知：四边形PF QF '为平行四边形，PF QF '∴=2PF PF QF a '=+=；2．设12,F F 分别是椭圆221x ya b+=的左、右焦点，若椭圆上存在点A ，使12120F AF ∠=︒且123AF AF =，则椭圆的离心率为（）AB C D3.设椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M ，N 在C 上（M 位于第-象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若1222||,F F MN MF ==，则C 的离心率为（）A ．4B ．37C ．12D ．377122a +故选：B4．如图，直径为4的球放地面上，球上方有一点光源P ，则球在地面上的投影为以球与地面切点F 为一个焦点的椭圆，已知是12A A 椭圆的长轴，1PA 垂直于地面且与球相切，16PA =，则椭圆的离心率为（）A ．12B ．23C ．13D ．2【答案】A【分析】根据给定条件，结合球的性质作出截面12PA A ，再结合三角形内切圆性质求出12A A 长即可作答.【详解】依题意，平面12PA A 截球O 得球面大圆，如图，12Rt PA A 是球O 大圆的外切三角形，其中112,PA A A 切圆O 于点E ，F ，=5．如图圆柱12O O 的底面半径为1，母线长为6，以上下底面为大圆的半球在圆柱12O O 内部，现用一垂直于轴截面ABB A ''的平面α去截圆柱12O O ，且与上下两半球相切，求截得的圆锥曲线的离心率为（）A ．3B ．3C D ．3半径为1，12O O 平面α与底面夹角余弦值为圆柱的底面半径为1,∴又 椭圆所在平面与圆柱底面所成角余弦值为以G 为原点建立上图所示平面直角坐标系，12,332FH a EF a ∴===，则椭圆标准方程为2222c a b =-=，故离心率故选：A.6．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为坐标平面上一点，且满足120PF PF ⋅=的点P 均在椭圆C 的内部，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A ．2⎛ ⎝⎭B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7．已知点A ，P ，Q 为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上不重合的三点，且点P ，Q 关于原点对称，若12AP AQ k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为（）A ．2B C D8．已知椭圆22:1(0)x yC a ba b+=>>的一个焦点为F，椭圆C上存在点P，使得PF OP⊥，则椭圆C的离心率取值范围是（）A．2⎛⎝⎦B．,12⎫⎪⎪⎣⎭C．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选：B题型四：椭圆中焦点三角形面积【例1】已知椭圆()222210+=>>x y C a b a b：的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，12π3F PF ∠=，若12F PF △的面积为C 的短袖长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【例2】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知12,F F 为椭圆C ：221164x y+=的两个焦点，P ，Q为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．【答案】8【解析】因为,P Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQ F F =，所以四边形12PFQF 为矩形，设12||,||PF m PF n ==，则228,48m n m n +=+=，所以22264()2482m n m mn n mn =+=++=+，8mn =，即四边形12PFQF 面积等于8.故答案为：8.【题型专练】1.设P 为椭圆221259x y +=上一点，1,F 2F 为左右焦点，若1260F PF ︒∠=，则P 点的纵坐标为（）A．4B．4±C．4D．4±【答案】B 【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式2tan 2S b θ=求解即可.【详解】由题知12609tan2F PF S ︒=⨯= 设P 点的纵坐标为h则12421F F h h ⋅⋅=±⇒=.故选：B2．已知()()1200F c F c -，，，是椭圆E 的两个焦点，P 是E 上的一点，若120PF PF ⋅=，且122=△PF F S c ，则E 的离心率为（）ABC ．2D 3．已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅ 12，则12F PF △的面积为（）A．B．CD ．9题型五：椭圆中中点弦问题【例1】已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的长轴为4，直线230x y +-=与椭圆C 相交于A 、B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M ，则椭圆C 的方程为（）A ．221168x y +=B ．22142x y +=C ．2211612x y +=D ．22143x y +=【例2】平行四边形ABCD 内接于椭圆221x y a b +=()0a b >>，椭圆的离心率为2，直线AB 的斜率为1，则直线AD 的斜率为（）A ．1-4B ．1-2C ．2D ．-1设E 为AD 中点，由于O 为BD 中点，所以因为1133(,),(,)A x y D x y 在椭圆上，【例3】椭圆2294144x y +=内有一点(2,3)P ，过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这条弦所在的直线方程为（）A ．23120x y +-=B ．32120x y +-=C ．941440x y +-=D ．491440x y +-=【例4】已知椭圆E ：143+=上有三点A ，B ，C ，线段AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，O为坐标原点，直线OD ，OE ，OF 的斜率都存在，分别记为1k ，2k ，3k ，且123k k k ++=直线AB ，BC ，AC 的斜率都存在，分别记为AB k ，BC k ，AC k ，则111AB BC ACk k k ++=（）AB ．C ．-D ．1-【例5】离心率为2的椭圆()222210x y a b a b +=>>与直线y kx =的两个交点分别为A ，B ，P 是椭圆不同于A 、B 、P 的一点，且PA 、PB 的倾斜角分别为α，β，若120αβ+=︒，则()cos αβ-=（）A ．16-B ．13-C ．13D ．16【例6】（2022·全国·高考真题）已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||MA NB MN ==l 的方程为___________．【例7】（2022·全国甲（理）T10）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A.32B.22C.12D.13【答案】A 【解析】【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】解：(),0A a -，设()11,P x y ，则()11,Q x y -，则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+，故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a -=，所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =，所以椭圆C的离心率2c e a ===.故选：A.【例8】椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为椭圆的右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的最大值为__________．【答案】63【解析】因为,B A 关于原点对称，所以B 也在椭圆上，设左焦点为F '，根据椭圆的定义：||2AF AF a '+=，因为||BF AF'=，所以||||2AF BF a +=，O 是直角三角形ABF 斜边的中点，所以||2,||2sin ,||2cos AB c AF c BF c αα===，所以2(sin cos )2c a αα+=，所以11sin cos 4c a πααα==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由于,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当12πα=时，离心率的最大值为63，故答案为63．【题型专练】1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，()0,2P ，()0,2Q -过点P 的直线1l 与椭圆交于A ，B ，过点Q 的直线2l 与椭圆交于C ，D ，且满足12l l ∕∕，设AB 和CD 的中点分别为M ，N ，若四边形PMQN 为矩形，且面积为则该椭圆的离心率为（）A ．13B ．23C．3D ．32.椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（）A ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B【详解】由题意，椭圆C ：22143x y +=的左、右顶点分别为12(2,0),(2,0)A A -，设00(,)P x y ，则()2200344y x =-，又由1220002200034PA PA y y y k k x a x a x a ⋅=⨯=-+--，可得1234PA PA k k -=，因为[]12,1PA k ∈--，即23421PA k --≤≤-，可得23384PA k ≤≤，所以直线2PA 斜率的取值范围33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B3．已知椭圆22:184x y C +=，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M ，则OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积（）A ．1-B ．1C ．12D ．12-【答案】D，进而联立方程求解中点4．点A ，B 在椭圆2212x y +=上，点11,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2OA OB OM +=，则直线AB 的方程是（）A ．12y x =-B ．522y x =-+C ．32y x =-+D ．322y x =-5．已知椭圆143x y +=上有三个点A ､B ､C ，AB ，BC ，AC 的中点分别为D ､E ､F ，AB ，BC ，AC 的斜率都存在且不为0，若34OD OE OF k k k ++=-(O 为坐标原点)，则111AB BC ACk k k ++=（）A ．1B ．-1C ．34-D ．34【答案】A的斜率转化为6．直线:20l x y-=经过椭圆22+1(0)x y a ba b=>>的左焦点F，且与椭圆交于,A B两点，若M为线段AB中点，||||MF OM=，则椭圆的标准方程为（）A．22+163x y=B．22+185x y=C．2214x y+=D．22+1129x y=7．已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆：143x y +=上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（）A ．43-B ．3-C ．1813-D ．32-8．已知过点()1,1M 的直线l 与椭圆22184x y +=交于,A B 两点，且满足,AM BM =则直线l 的方程为（）A ．30x y -+=B ．230x y +-=C ．2230x y -+=D ．230x y +-=题型六：椭圆中的最值问题【例1】已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的上、下焦点分别是1F ，2F ，点P 在椭圆C 上则下列结论正确的是（）A ．12PF PF ⋅有最大值无最小值B ．12PF PF ⋅无最大值有最小值C ．12PF PF ⋅既有最大值也有最小值D ．12PF PF ⋅既无最大值也无最小值【例2】若点O 和点F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（）A ．()a a c +B ．()b a c +C ．()a a c -D ．()b ac -【例3】已知点P 是椭圆4x +2y =1上的动点（点P 不在坐标轴上），12F F 、为椭圆的左，右焦点，O 为坐标原点；若M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且1F M 丄MP ，则丨OM 丨的取值范围为（）A ．（0B ．（0，2）C ．（l ，2）D ．2）【答案】A=因为1F M MP ⊥，因为PM 为12F PF ∠的角平分线，所以，PN 因为O 为12F F 的中点，所以，212OM F N =设点00(,)P x y ，由已知可得2a =，1b =，c 则022x -<<且00x ≠，且有220114y x =-，()2221000032331PF x y x x =++=+++-【例4】已知点P 在椭圆193x y +=上运动，点Q 在圆22(1)8x y -+=上运动，则PQ 的最小值为（）A ．2B ．2C ．24-D ．4【答案】D【分析】先求出点P 到圆心(1,0)A 的距离的最小值，然后减去圆的半径可得答案。
高中数学椭圆知识总结(精选4篇)
高中数学椭圆知识总结第1篇空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线xxx的角：范围为(0°，90°)esp.空间向量法两异面直线间距离:公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面xxx的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影xxx的锐角。
空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，xxx的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，xxx的角为0°角由此得直线和平面xxx角的取值范围为[0°，90°]最小角定理:斜线与平面xxx的角是斜线与该平面内任一条直线xxx角中的最小角三垂线定理及逆定理:如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直高中数学椭圆知识总结第2篇一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx(k为常数，k≠0)二、一次函数的性质：的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习高中数学-椭圆常考题型汇总及练第一部分：复运用的知识一）椭圆几何性质椭圆的第一定义是：平面内与两定点F1、F2距离和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。
两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c）。
椭圆的几何性质以x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1为例：范围由标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式2≤x^2/a^2 + y^2/b^2 ≤1，即abx≤a，y≤b。
这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里（封闭曲线）。
该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题。
椭圆还有以下对称性：关于原点、x轴、y轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。
椭圆的顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b)。
长轴为A1A2，长度为2a；短轴为B1B2，长度为2b。
椭圆的离心率e有以下几个性质：（1）椭圆焦距与长轴的比e=c/a，其中c为焦距；（2）a^2=b^2+c^2，即a是长半轴长，b是短半轴长；（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关。
当e接近于1时，椭圆越扁；当e接近于0时，椭圆越接近圆。
椭圆还有通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）和焦点三角形等性质。
二）运用的知识点及公式在解题过程中，我们需要掌握以下知识点和公式：1、两条直线.2、XXX定理：若一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个不同的根x1,x2，则2bc/(a(x1+x2))=-1，x1+x2=-b/a。
1.中点坐标公式：对于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，它们的中点坐标为(x,y)，其中x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2.2.弦长公式：如果点A(x1,y1)和点B(x2,y2)在直线y=kx+b(k≠0)上，则y1=kx1+b，y2=kx2+b。
高考数学 专题09 椭圆解答题解题方法总结(解析版)
专题09椭圆解答题解题方法总结一．【学习目标】1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．2．熟练掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归． 3．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用． 二．【知识要点】 1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于____________)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F 1，F 2叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程(1) ______________ (a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝_____________． (2)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，焦点___________________，其中c ＝_____________． 3．椭圆的几何性质以x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)为例 (1)范围：________________．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：O (0，0)．(3)顶点：长轴端点：A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，短轴端点：B 1(0，－b )，B 2(0，b )；长轴长|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，焦距|F 1F 2|＝2c .(4)离心率e ＝_______，0<e <1，e 越大，椭圆越______，e 越_______，椭圆越圆． (5)a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 2或a 2＝c 2＋b 2. 三．【题型总结】（一）三角形的面积的解题思路（1）弦长公式和点到直线距离公式，（2）如果三角形被坐标轴分成两部分，用两个三角形面积之和求解（二）定点问题（1）特殊位置找定点；（2）直线中含一个参数找定点 （三）定值问题 （四）角相等的转化 （五）距离问题的在转化 （六）相切问题的解决方法 （七）向量与椭圆的综合 （八）点差法的应用 （九）对称问题 （十）求轨迹的方法 四．【题型方法】；（一）三角形的面积问题例1．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>2y x =+上，若直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k . （1）求该椭圆的方程. （2）若1214k k ⋅=-，试问OPQ ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）2214x y +=；（2）OPQ ∆的面积为定值1. 【解析】由2c e a ==，又由于0a b >>，一个长轴顶点在直线2y x =+上， 可得：2a =，c =1b =.（1）故此椭圆的方程为2214x y +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 联立椭圆的方程得：()222418440k x kmx m +++-=， 由()()222264441440k m k m ∆=-+->，可得2241m k <+，则122841km x x k +=-+，21224441m x x k -⋅=+，12PQ x x =-=， 又点O 到直线y kx m =+的距离d =，122OPQS d PQ m ∆=⋅⋅=由于2121212121214y y x x m k k x x x x ++⋅===-，可得：22421k m =-，故2212OPQS m m∆=⋅=，当直线PQ 的斜率不存在时，可算得：1OPQ S ∆=， 故OPQ ∆的面积为定值1.练习1. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点为别为1F 、2F，且过点(1,2和2.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点），2AF 的延长线与椭圆交于点B ，AO 的延长线与椭圆交于点C ，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（22【解析】（1）根据题意得，将点2⎛⎝⎭和23,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入椭圆方程得：2222111213124a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得：222,1a b ==，所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）由（1）得椭圆的()11,0F -，()21,0F ， ①当AB 的斜率不存在时，易知2221,,1,,1,222A B C ⎛⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴ΔABC 1S 2222=⨯= ②当AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，联立方程组()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()2222214220k x k x k +-+-= 设()()1122,,,A x y B x y ，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++， ()22222212122242214142121k k k x x k k B x k A x ⎛⎫-=++-=+-⨯ ⎪++⎝⎭221221k k +=+， 点O 到直线AB 的距离21k d k -=+O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d=所以2ΔABC2111S22221dkkAB⎛⎫+=⋅=⋅ ⎪+⎝⎭==综上，ABC∆.（二）定点问题例2. 已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线20x y+-=相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点，探究在x轴上是否存在定点E，使得EA EB⋅u u u r u u u r为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212xy+=；（2）定点为5,04⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】（1）由题意知，222b cab c a=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎩，解得11bac=⎧⎪=⎨⎪=⎩则椭圆C的方程是2212xy+=（2）①当直线的斜率存在时，设直线()()10y k x k=-≠联立()22121xyy k x⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22222124220,880k x k x k k+-+-=∆=+>所以2222422,1212A B A B k k x x x x k k-+==++ 假设x 轴上存在定点()0,0E x ，使得EA EB ⋅u u u v u u u v为定值。
圆锥曲线：有关椭圆的小题总结 高考数学
m足∠ = ∘ ,则
∘
≥ = ,
【解析】由题意得： +
=
，所以当＞＞，则＜ ＜ ，所
以表示焦点在轴上的椭圆，所以对，错，当 = ＞时，曲线
+
= ，所以表示圆，半径为 ，当 = , ＞时，曲线为
= ，所以 = ± ，所以表示两条直线，故选：
为
以只要求∠ 为直角时点横坐标的值，因为 = ，所以当
∠ 为直角时，点在圆 + = 上，解方程组:
得: =
±
,
所以点 横坐标的取值范围是:
+ =
�� +
−
＜＜
.
=
试卷讲评课件
【例3】已知椭圆
x2
上任意一点,则当点Q为椭圆短轴的端点时,∠AQB最大.
试卷讲评课件
【证明】如图,设 , ≤ ＜, ＜ ≤ ,过点作
⊥ ,垂足为,则 = + , = − , = ,所以
∠ =
∠ =
+
,∠
=
−
迹E的方程为
+
=
所以动圆C的圆心轨迹E的方程为
+
=
，
+
=
试卷讲评课件
x2
练习3.已知A、B分别为椭圆E： 2
2025年新高考数学题型解密：椭圆 解析版
椭圆命题解读考向考查统计1.高考对椭圆的考查，重点是(1)椭圆的定义、几何图形、标准方程。
(2)椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)。
(3)直线和椭圆的位置关系及综合应用。
椭圆的定义和弦长2022·新高考Ⅰ卷，16椭圆的离心率2023·新高考Ⅰ卷，5直线与椭圆的应用2022·新高考Ⅱ卷，162023·新高考Ⅱ卷，5椭圆的轨迹方程2024·新高考Ⅱ卷，5命题分析2024年高考新高考Ⅰ卷椭圆的考查体现在大题中，后续专题会解读。
Ⅱ卷考查了椭圆的轨迹方程求法，难度较易。
椭圆是圆雉曲线的重要内容，高考主要考查椭圆定义的运用、椭圆方程的求法以及椭圆的简单几何性质，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现。
预计2025年高考还是主要考查椭圆的定义和离心率。
试题精讲一、单选题1(2024新高考Ⅱ卷·5)已知曲线C：x2+y2=16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M的轨迹方程为()A.x216+y24=1(y>0) B.x216+y28=1(y>0) C.y216+x24=1(y>0) D.y216+x28=1(y>0)【答案】A【分析】设点M(x,y)，由题意，根据中点的坐标表示可得P(x,2y)，代入圆的方程即可求解.【详解】设点M(x,y)，则P(x,y0),P (x,0)，因为M为PP 的中点，所以y0=2y，即P(x,2y)，又P在圆x2+y2=16(y>0)上，所以x2+4y2=16(y>0)，即x216+y24=1(y>0)，即点M的轨迹方程为x216+y24=1(y>0).故选：A一、单选题1(2023新高考Ⅰ卷·5)设椭圆C 1:x 2a2+y 2=1(a >1),C 2:x 24+y 2=1的离心率分别为e 1,e 2．若e 2=3e 1，则a =()A.233B.2C.3D.6【答案】A【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.【详解】由e 2=3e 1，得e 22=3e 21，因此4-14=3×a 2-1a2，而a >1，所以a =233.故选：A2(2023新高考Ⅱ卷·5)已知椭圆C :x 23+y 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y =x +m 与C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 面积是△F 2AB 面积的2倍，则m =( )．A.23B.23C.-23D.-23【答案】C【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用Δ>0，求出m 范围，再根据三角形面积比得到关于m 的方程，解出即可.【详解】将直线y =x +m 与椭圆联立y =x +mx 23+y 2=1，消去y 可得4x 2+6mx +3m 2-3=0，因为直线与椭圆相交于A ,B 点，则Δ=36m 2-4×43m 2-3 >0，解得-2<m <2，设F 1到AB 的距离d 1,F 2到AB 距离d 2，易知F 1-2,0 ,F 22,0 ，则d 1=|-2+m |2，d 2=|2+m |2，S △F 1AB S △F 2AB =|-2+m |2|2+m |2=|-2+m ||2+m |=2，解得m =-23或-32(舍去)，故选：C .二、填空题3(2022新高考Ⅰ卷·16)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12．过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE |=6，则△ADE 的周长是．【答案】13【分析】利用离心率得到椭圆的方程为x 24c 2+y 23c2=1，即3x 2+4y 2-12c 2=0，根据离心率得到直线AF 2的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE 的斜率，写出直线DE 的方程：x =3y -c ，代入椭圆方程3x 2+4y 2-12c 2=0，整理化简得到：13y 2-63cy -9c 2=0，利用弦长公式求得c =138，得a =2c =134，根据对称性将△ADE 的周长转化为△F 2DE 的周长，利用椭圆的定义得到周长为4a =13.【详解】∵椭圆的离心率为e =c a =12，∴a =2c ，∴b 2=a 2-c 2=3c 2，∴椭圆的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，即3x 2+4y 2-12c 2=0，不妨设左焦点为F 1，右焦点为F 2，如图所示，∵AF 2=a ，OF 2=c ，a =2c ，∴∠AF 2O =π3，∴△AF 1F 2为正三角形，∵过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段AF 2的垂直平分线，∴直线DE 的斜率为33，斜率倒数为3，直线DE 的方程：x =3y -c ，代入椭圆方程3x 2+4y 2-12c 2=0，整理化简得到：13y 2-63cy -9c 2=0，判别式Δ=63c 2+4×13×9c 2=62×16×c 2，∴DE =1+3 2y 1-y 2 =2×Δ13=2×6×4×c13=6，∴c =138，得a =2c =134，∵DE 为线段AF 2的垂直平分线，根据对称性，AD =DF 2，AE =EF 2，∴△ADE 的周长等于△F 2DE 的周长，利用椭圆的定义得到△F 2DE 周长为DF 2 +EF 2+DE = DF 2+ EF 2+ DF 1+ EF 1= DF 1+ DF 2+ EF 1+ EF 2 =2a +2a =4a =13.故答案为：13.4(2022新高考Ⅱ卷·16)已知直线l 与椭圆x 26+y 23=1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且|MA |=|NB |,|MN |=23，则l 的方程为．【答案】x +2y -22=0【分析】令AB 的中点为E ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，利用点差法得到k OE ⋅k AB =-12，设直线AB :y =kx +m ，k <0，m >0，求出M 、N 的坐标，再根据MN 求出k 、m ，即可得解；【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法令AB 的中点为E ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，利用点差法得到k OE ⋅k AB =-12，设直线AB :y =kx +m ，k <0，m >0，求出M 、N 的坐标，再根据MN 求出k 、m ，即可得解；解：令AB 的中点为E ，因为MA =NB ，所以ME =NE ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则x 126+y 123=1，x 226+y 223=1，所以x 126-x 226+y 123-y 223=0，即x 1-x 2 x 1+x 2 6+y 1+y 2 y 1-y 23=0所以y 1+y 2 y 1-y 2 x 1-x 2 x 1+x 2=-12，即k OE ⋅k AB =-12，设直线AB :y =kx +m ，k <0，m >0，令x =0得y =m ，令y =0得x =-m k ，即M -mk,0 ，N 0,m ，所以E -m 2k ,m2 ，即k ×m 2-m 2k=-12，解得k =-22或k =22(舍去)，又MN =23，即MN =m 2+2m 2=23，解得m =2或m =-2(舍去)，所以直线AB :y =-22x +2，即x +2y -22=0；故答案为：x +2y -22=0[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法解：由题意知，点E 既为线段AB 的中点又是线段MN 的中点，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，设直线AB :y =kx +m ，k <0，m >0，则M -m k ,0 ，N 0,m ，E -m 2k ,m2，因为MN =23，所以OE =3联立直线AB与椭圆方程得y=kx+mx26+y23=1消掉y得(1+2k2)x2+4mkx+2m2-6=0其中Δ=(4mk)2-4(1+2k2)(2m2-6)>0,x1+x2=-4mk1+2k2，∴AB中点E的横坐标x E=-2mk1+2k2,又E-m2k,m2，∴x E=-2mk1+2k2=-m2k∵k<0，m>0，∴k=-22,又OE=-m2k2+m2 2=3，解得m=2所以直线AB:y=-22x+2，即x+2y-22=0一、椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c，定义用集合语言表示为：P||PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|=2c>0)注意：当2a=2c时，点的轨迹是线段；当2a<2c时，点的轨迹不存在．二、椭圆的方程、图形与性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2+y2b2=1a>b>0y2a2+x2b2=1a>b>0统一方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)参数方程x=a cosθy=b sinθ,θ为参数(θ∈[0,2π])x=a cosθy=b sinθ,θ为参数(θ∈[0,2π])第一定义到两定点F1 、 F2的距离之和等于常数2a，即|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|)范围-a≤x≤a且-b≤y≤b-b≤x≤b且-a≤y≤a顶点Α1-a,0、Α2a,0Β10,-b、Β20,bΑ10,-a、Α20,aΒ1-b,0、Β2b,0轴长长轴长=2a，短轴长=2b长轴长=2a，短轴长=2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦点F1-c,0、F2c,0F10,-c、F20,c焦距F1F2=2c(c2=a2-b2)离心率e=ca=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2(0<e<1)准线方程x=±a2 c点和椭圆的关系x20a2+y20b2>1=1<1⇔点(x0,y0)在椭圆外上内y20a2+x20b2>1=1<1⇔点(x0,y0)在椭圆外上内切线方程x0xa2+y0yb2=1((x0,y0)为切点)y0ya2+x0xb2=1((x0,y0)为切点)对于过椭圆上一点(x0,y0)的切线方程，只需将椭圆方程中x2换为x0x，y2换为y0y可得切点弦所在的直线方程x0xa2+y0yb2=1(点(x0,y0)在椭圆外)y0ya2+x0xb2=1(点(x0,y0)在椭圆外)焦点三角形面积①cosθ=2b2r1r2-1,θmax=∠F1BF2，(B为短轴的端点)②SΔPF1F2=12r1r2sinθ=b2tanθ2=c|y0|,焦点在x轴上c|x0|,焦点在y轴上(θ=∠F1PF2)③当P点在长轴端点时,(r1r2)min=b2当P点在短轴端点时,(r1r2)max=a2焦点三角形中一般要用到的关系是|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c)SΔPF1F2=12|PF1||PF2|sin∠F1PF2|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2焦半径左焦半径：MF1=a+ex0又焦半径：MF1=a-ex0上焦半径：MF1=a-ey0下焦半径：MF1=a+ey0焦半径最大值a+c，最小值a-c通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=2b2a(最短的过焦点的弦)弦长公式设直线与椭圆的两个交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，k AB=k，则弦长AB =1+k 2x 1-x 2 =1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+1k2(y 1+y 2)2-4y 1y 2=1+k 2Δ|a |(其中a 是消y 后关于x 的一元二次方程的x 2的系数，Δ是判别式)【椭圆常用结论】1、过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为2b 2a．①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为a +c ，距离的最小值为a -c ．2、椭圆的切线①椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)上一点P (x 0 ， y 0)处的切线方程是x 0x a 2+y 0y b2=1；②过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)外一点P (x 0 ， y 0)，所引两条切线的切点弦方程是x 0x a 2+y 0y b 2=1；③椭圆x 2a 2+y 2b2=1 (a >b >0)与直线Ax +By +C =0相切的条件是A 2a 2+B 2b 2=c 2．一、单选题1(2024·湖北荆州·三模)已知椭圆C ：x 28+y 2k =1的一个焦点为0,2 ，则k 的值为()A.4B.8C.10D.12【答案】D【分析】利用椭圆的标准方程与焦点位置即可得解.【详解】由题意得，c 2=4，a 2=k ，b 2=8，所以k =4+8=12．故选：D ．2(2024·山东烟台·三模)若椭圆x 24+y 23=1与椭圆x 2+y 2b2=1(b >1)的离心率相同，则实数b 的值为()A.233B.43C.52D.54【答案】A【分析】由离心率相等列出关于b 的方程求解即可.【详解】若椭圆x 24+y 23=1与椭圆x 2+y 2b 2=1(b >1)的离心率相同，则4-34=b 2-1b 2，解得b =233>1满足题意.故选：A .3(2024·江西九江·三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,过F 1且倾斜角为π6的直线交C 于第一象限内一点A .若线段AF 1的中点在y 轴上,△AF 1F 2的面积为23,则C 的方程为()A.x 23+y 2=1B.x 23+y 22=1C.x 29+y 23=1D.x 29+y 26=1【答案】D【分析】根据题意得到Rt △AF 1F 2，∠AF 1F 2=π6, ,设AF 2 =t ，其它边全部用t 表示,运用面积为23构造方程求出t .再用椭圆定义求出a ,进而求出c ,b 即可.【详解】如图,∵O 为线段F 1F 2的中点,B 为线段AF 1的中点,∴OB ∥AF 2,又OB ⊥x 轴,∴AF 2⊥x 轴.在Rt △AF 1F 2中,∠AF 1F 2=π6,设AF 2 =t ,则AF 1 =2t ,F 1F 2 =3t .∵△AF 1F 2的面积为23,∴12×3t ×t =23,t =2.∴2a =AF 1 +AF 2 =3t =6,a =3,2c =F 1F 2 =3t =23,c =3,b 2=a 2-c 2=6,则C 的方程为x 29+y 26=1.故选：D .4(2024·河南·三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴长为23，点M 在椭圆上，若|MF |的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为()A.3 B.4 C.1 D.2【答案】D【分析】利用椭圆的几何性质得到关于a ,c 的方程组，解之即可得解.【详解】依题意，椭圆短轴长为23，得b =3，则a 2-c 2=b 2=3，又|MF |的最大值是最小值的3倍，即a +c =3(a -c )，所以a =2c ，所以a =2,c =1，则其焦距为2c =2.故选：D5(2024·浙江绍兴·三模)已知直线y =kx k ≠0 与椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆过椭圆的左焦点F 1，若F 1A =2F 1B ，则椭圆C 的离心率是()A.52B.54C.53D.59【答案】C【分析】由题意可得四边形AF 1BF 2为矩形，结合椭圆定义与勾股定理可将F 1A +F 1B 分别用a 和c 表示，即可得离心率.【详解】取右焦点F 2，连接AF 2、BF 2，由F 1在以线段AB 为直径的圆上，故AF 1⊥BF 1，结合对称性可知四边形AF 1BF 2为矩形，有AF 2 =BF 1 ，有OA =OB =OF 1=c ，又F 1A =2F 1B ，由F 1A 2+F 1B 2=2c 2，则F 1A =455c ，F 1B =255c ，由椭圆定义可得F 1A +AF 2 =2a ，故F 1A +F 1B =455c +255c =655c =2a ，则e =c a =2655=53.故选：C .6(2024·江西鹰潭·三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2，倾斜角为45°且过原点的直线l 交椭圆于M ,N 两点.若MN =F 1F 2 ，设椭圆的离心率为e ，则e 2=()A.2-1B.2-2C.3-1D.3-3【答案】B【分析】根据题意MN =F 1F 2 =2c ，得到四边形NF 1MF 2为矩形，由直线l 过原点且倾斜角为45°，在△MOF 2和△MOF 1中，利用余弦定理计算得MF 1 ,MF 2 ，结合椭圆的定义2a =MF 1 +MF 2 ,求得离心率，进而计算出e 2.【详解】如图所示，因为MN =F 1F 2 =2c ，且O 分别为MN 和F 1F 2的中点，OM =OF 2 =ON =OF 1 =c ，所以四边形NF 1MF 2为矩形，又直线l 过原点且倾斜角为45°，即∠MOF 2=45°，∠MOF 1=135°，且△MOF 2为等腰三角形，所以，在△MOF 2中，根据余弦定理可得MF 2 2=c 2+c 2-2×c ×c ×cos45°=(2-2)c 2，即MF 2 =2-2c ，同时，在△MOF 1中，根据余弦定理可得MF 1 2=c 2+c 2-2×c ×c ×cos135°=(2+2)c 2，即MF 1 =2+2c ，所以2a =MF 1 +MF 2 =2-2c +2+2c ，可得e =ca=22-2+2+2，e 2=22-2+2+22=42-2+22+2+2=22+2=2- 2.故选：B .7(2024·天津河西·三模)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则e 21+e 22的最小值为()A.3+3 B.5+32C.2+32D.4【答案】C【分析】设椭圆和双曲线的方程分别为：x 2a 21+y 2b 21=1，x 2a 22-y 2b 22=1，易得a 21-b 21=a 22+b 22=c 2，设PF 1 =m ,PF 2 =n ，利用椭圆和双曲线的定义得到m =a 1-a 2,n =a 1+a 2，然后在△PF 1F 2中，利用余弦定理得到1e 21+3e 22=4，然后利用基本不等式求解.【详解】解：如图所示：设椭圆和双曲线的方程分别为：x 2a 21+y 2b 21=1，x 2a 22-y 2b 22=1，由题意得a 21-b 21=a 22+b 22=c 2，设PF 1 =m ,PF 2 =n ，则m +n =2a 1,n -m =2a 2，解得m =a 1-a 2,n =a 1+a 2，在△PF 1F 2中，由余弦定理得：F 1F 2 2=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2 ⋅cos ∠F 1PF 2，即2c 2=a 1-a 2 2+a 1+a 2 2-a 1-a 2 a 1+a 2 ，化简得4c 2=a 21+3a 22，则1e 21+3e 22=4，所以e 21+e 22=14e 21+e 22 1e 21+3e 22=14e 22e 21+3e 21e 22+4，≥142e 22e 21⋅3e 21e 22+4=2+32，当且仅当e 22e 21=3e 21e 22，即e 22=3e 21时，等号成立；故选：C8(2024·四川·三模)已知椭圆C :x 24+y 2b2=1(b >0) 的左、右焦点分别为F 1,F 2，点P 是椭圆上一点，若△PF 1F 2的内心为M ，连接PM 并延长交x 轴于点Q ，且PM =3QM ，则椭圆的短轴长为()A.2 B.22C.23D.463【答案】D【分析】合理构建图形，利用角平分线定理和等比定理得到PF 2QF 2=2a2c ，再求短轴长度即可.【详解】如图，连接MF 1,MF 2,在△PF 1Q 和△PF 2Q 中，利用角平分线定理可得PMQM =PF 1QF 1=PF 2QF 2=3,由等比定理可得PF 2QF 2=PF 1+PF 2QF 1+QF 2=2a 2c ,从而c =233,b =263.故椭圆的短轴长为2b =463，故B 正确.故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是合理构建图形，然后利用角平分线定理和等比定理得到PF 2QF 2=2a2c ，再求解短轴长度即可．9(2024·广东汕头·三模)已知椭圆C ：x 216+y 212=1的两个焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上任意一点，则下列不正确的是()A.C 的离心率为12B.PF 1 的最小值为2C.PF 1 ⋅PF 2 的最大值为16D.可能存在点P ，使得∠F 1PF 2=65°【答案】D【分析】求出椭圆C 的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的性质逐项分析计算即可.【详解】椭圆C ：x 216+y 212=1的长半轴长a =4，短半轴长b =23，半焦距c =a 2-b 2=2，对于A ，C 的离心率e =c a =12，A 正确；对于B ，由PF 1+ PF 2 =2aPF 1- PF 2 ≤2c，得a -c ≤|PF 1|≤a +c ，因此|PF 1|min =a -c =2，B 正确；对于C ，|PF 1|⋅|PF 2|≤|PF 1|+|PF 2|22=a 2=16，当且仅当|PF 1|=|PF 2|=4时取等号，C 正确；对于D ，当P 不在x 轴上时，cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=(2a )2-(2c )22|PF 1||PF 2|-1，=24|PF 1||PF 2|-1≥2416-1=12，当且仅当|PF 1|=|PF 2|=4取等号，当P 在x 轴上时，cos ∠F 1PF 2=1，上述不等式成立，因此∠F 1PF 2最大为60°，D 错误.故选：D10(2024·河北衡水·模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 2向圆x 2+y 2=14b 2引切线交椭圆于点P ,O 为坐标原点，若OP =OF 2 ，则椭圆的离心率为()A.12B.32C.53D.23【答案】C【分析】先画出图形，由OP =OF 2 =OF 1 得PF 1⊥PF 2，进而得OM ⎳PF 1，PF 1 =2OM =b ，然后由椭圆的定义可得PF 2 =2a -b ，由勾股定理b a =23，从而即可得到离心率.【详解】由题意画出图形，如下图：设切点为M ，连接PF 1，由已知OP =OF 2 =OF 1 ，∴PF 1⊥PF 2，∵OM ⊥PF 2，∴OM ⎳PF 1，又O 是F 1F 2的中点，圆x 2+y 2=14b 2的半径为12b ，PF 1 =2OM =b ，PF 2 =2a -b ，∴b 2+2a -b 2=4c 2=4a 2-b 2 ，即2a =3b ，得b a =23，e =c a=a 2-b 2a 2=1-b a 2=53.故选：C .11(2024·浙江·三模)已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与椭圆Γ相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ．连接F 1C ，F 1A ．若O 为坐标原点，F 1C ⊥F 1A ，，则椭圆Γ的离心率为()A.105B.55C.1010D.510【答案】A【分析】由三角形面积关系得出F 2C =4t =F 1C ，再由勾股定理及椭圆定义求出t ，利用余弦定理及cos ∠AF 2F 1+cos ∠CF 2O =0求解即可.【详解】设F2A =t ，由可得，由于△F 1CF 2与△AF 1F 2等高，所以F 2C =4t =F 1C ，又F1C⊥F1A，AC=5t，∴F1A=3t，又AF1+AF2=2a=4t，∴t=a 2，在中，cos∠CF2O=c2a，∵cos∠AF2F1+cos∠CF2O=0，∴cos∠AF2F1=-c2a在中，cos∠AF2F1=AF22+F1F22-AF122F2A⋅F1F2=2c2-a2ac=-c2a，化简可得2a2=5c2，解得e=c2a2=105，故选：A．【点睛】关键点点睛：本题关键点之一根据三角形面积关系得出F2C=F1C=4t，其次需要根据cos∠AF2F1 +cos∠CF2O=0建立a,c关系.二、多选题12(2024·河南开封·三模)椭圆C:x2m2+1+y2m2=1m>0的焦点为F1，F2，上顶点为A，直线AF1与C的另一个交点为B，若∠F1AF2=π3，则()A.C的焦距为2B.C的短轴长为23C.C的离心率为32D.△ABF2的周长为8【答案】ABD【分析】根据∠F1AF2=π3以及椭圆的对称性可得b2a2=322=m2m2+1，进而可求解a=2,b=3,c=1，即可根据选项逐一求解.【详解】由于∠F1AF2=π3，所以∠F1AO=∠OAF2=π6,故cos∠F1AO=cos π6=AOAF1=bc2+b2=ba=32，因此b2a2=322=m2m2+1，故m2=3，所以椭圆C :x 24+y 23=1，a =2,b =3,c =1对于A ，焦距为2c =2，故A 正确，对于B ，短轴长为2b =23，B 正确，对于C ，离心率为e =c a =12，C 错误，对于D ，△ABF 2的周长为4a =8，D 正确，故选：ABD13(2024·全国·模拟预测)已知长轴长、短轴长和焦距分别为2a 、2b 和2c 的椭圆Ω，点A 是椭圆Ω与其长轴的一个交点，点B 是椭圆Ω与其短轴的一个交点，点F 1和F 2为其焦点，AB ⊥BF 1．点P 在椭圆Ω上，若∠F 2PF 1=π3，则()A.a ，b ，c 成等差数列B.a ，b ，c 成等比数列C.椭圆Ω的离心率e =5+1D.△ABF 1的面积不小于△PF 1F 2的面积【答案】BD【分析】AB 选项，根据垂直关系得到k BF 1k AB =-1，求出b 2=ac ，得到A 错误，B 正确；C 选项，根据b 2=ac 得到c 2+ac -a 2=0，进而求出离心率；D 选项，计算出△ABF 1和△PF 1F 2的面积，作差法结合基本不等式求出答案.【详解】AB 选项，椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1，不妨设A a ,0 ，B 0,b ，故F 1-c ,0 ，因为AB ⊥BF 1，且直线AB ,BF 1的斜率存在，所以k BF 1k AB =-1，即b c ⋅-ba=-1，故b 2=ac ，a ,b ,c 成等比数列，A 错误，B 正确；C 选项，因为b 2=a 2-c 2，b 2=ac ，所以c 2+ac -a 2=0，方程两边同除以a 2得，e 2+e -1=0，解得e =-1±52，负值舍去，故离心率为e =5-12，C 错误；D 选项，由椭圆定义得PF 1 +PF 2 =2a ，F 1F 2 =2c ，因为 F 2PF 1=π3，所以PF 1 2+PF 2 2-PF 1 PF 2 =4c 2，PF 1 +PF 2 =2a 两边平方得PF 12+PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2 =4a 2，故3PF 1 ⋅PF 2 =4b 2，S △PF 1F 2=12PF 1 ⋅PF 2 ⋅32=3b 23，S △ABF 1=12AF 1 ⋅OB =12a +c ⋅b =ab +bc2，又b 2=ac ，且a >c ，由基本不等式得ab +bc 2-b 2=b 2a +c -2b =b2a +c -2ac >0，所以S △ABF 1=ab +bc2>b 2> S △PF 1F 2即△ABF 1的面积不小于△PF 1F 2的面积，D 正确.故选：BD14(2024·河南·三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点P (2,1)，且离心率为22．记C 在P 处的切线为l ，平行于OP 的直线l 与C 交于A ，B 两点，则()A.C 的方程x 24+y 22=1B.直线OP 与l 的斜率之积为-1C.直线OP ，l 与坐标轴围成的三角形是等腰三角形D.直线P A ，PB 与坐标轴围成的三角形是等腰三角形【答案】ACD【分析】根据题干列出方程组，解方程组可判断A ；根据直线与椭圆相切的可求出直线l 的方程即可判断B ，C ；通过计算k P A +k PB =0可判断D .【详解】c a =222a 2+1b 2=1ab 2=b 2+c 2 , ∴a =2b =2c =2∴ 椭圆方程为：x 24+y 22=1，故A 正确；如图，因为点P 在第一象限，取椭圆方程的右半部分得：y =2-x 22，则y=122-x 22 -12·2-x 22=-x8-2x 2，所以k PM =yx =2 =-22，所以k OP ⋅k PM =-b 2a2=-12，故B 错误；k PM +k OP =0，则△POM 为等腰三角形，故C 正确；AB :y =22x +m ,y =22x +m x 24+y 22=1，消y 可得x 2+2mx +m 2-2=0，x 1+x 2=-2m , x 1x 2=m 2-2, k P A +k PB =y 1-1x 1-2+y 2-1x 2-2=22x 1+m -1x 1-2+22x 2+m -1x 2-2=2x 1x 2+(m -2)x 1+x 2 -22m +22x 1-2 x 2-2=0P A ,PB 与坐标轴围成的三角形是等腰三角形，故D 正确.故选：ACD15(2024·全国·二模)已知圆O ：x 2+y 2=3经过椭圆C ：y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的两个焦点F 1，F 2，且P 为圆O 与椭圆C 在第一象限内的公共点，且△PF 1F 2的面积为1，则下列结论正确的是()A.椭圆C 的长轴长为2B.椭圆C 的短轴长为2C.椭圆C 的离心率为12 D.点P 的坐标为33,263【答案】BD【分析】根据圆的方程确定c 的值，再由△PF 1F 2的面积可得点P 的坐标，从而可得a ,b 的值，再逐项判断即可得答案.【详解】因为圆O ：x 2+y 2=3经过椭圆C ：y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的两个焦点F 1，F 2，所以c =3，又P 为圆O 与椭圆C 在第一象限内的公共点，则S △PF 1F 2=12F 1F 2 ⋅x P =12×23⋅x P =1，故x P =33，代入圆方程可得x 2P +y 2P =3，所以y P =263，故点P 的坐标为33,263，故D 正确；将点P 的坐标33,263代入椭圆方程可得83a 2+13b2=1，又a 2=b 2+c 2=b 2+3，解得a =2,b =1，故椭圆C 的长轴长为4，短轴长为2，故A 不正确，B 正确；则椭圆C 的离心率为e =c a =32，故C 不正确.故选：BD .16(2024·江西南昌·三模)将椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上所有的点绕原点旋转θ0<θ<π2 角，得到椭圆C 2的方程：x 2+y 2-xy =6，则下列说法中正确的是()A.a =23B.椭圆C 2的离心率为33C.(2,2)是椭圆C 2的一个焦点D.θ=π4【答案】ACD【分析】根据题意，由椭圆的对称性，求解顶点坐标，从而可得a ,b ,c ，再由椭圆的性质对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上所有的点绕原点旋转θ0<θ<π2 角，得到椭圆C 2的方程：x 2+y 2-xy =6，设点P x ,y 在该椭圆上，则其关于y =x 的对称点P y ,x 代入椭圆方程有y 2+x 2-yx =6，即x 2+y 2-xy =6，则该对称点位于椭圆方程上，同理其关于y =-x 的对称点P -y ,-x 代入椭圆方程有-y2+-x 2--y -x =6，即x 2+y 2-xy =6，则该对称点位于椭圆方程上，则x 2+y 2-xy =6关于y =±x 对称，所以θ=π4，故D 正确；将y =x 代入x 2+y 2-xy =6可得x 2=6，可得椭圆长轴的顶点为6,6 ,-6,-6 ，所以a =6+6=23，故A 正确；将y =-x 代入x 2+y 2-xy =6可得x 2=2，可得椭圆长轴的顶点为2,2 ,-2,-2 ，所以b =2+2=2，则c =12-4=22，则e =c a =2223=63，故B 错误；所以焦点坐标为2,2 或-2,-2 ，所以C 正确；故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键通过证明该非标准椭圆的对称性，从而得到θ的值，再按照普通椭圆a ,b ,c 的定义计算即可，也可将该过程想象成坐标系的旋转.17(2024·江西宜春·三模)设椭圆C ：x 28+y 24=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，坐标原点为O ．若椭圆C 上存在一点P ，使得|OP |=7，则下列说法正确的有()A.cos ∠F 1PF 2=35B.PF 1 ⋅PF 2 =5C.△F 1PF 2的面积为2D.△F 1PF 2的内切圆半径为2-1【答案】ACD【分析】根据已知求出P 点坐标，根据两点间距离公式分布求出PF 1 ,PF 2 ，在△F 1PF 2中利用余弦定理可判定A ，利用向量数量积公式可判定B ，三角形面积公式可判定C ，根据等面积法可判定D .【详解】法1：由题意得a =22，|F 1F 2|=2c =28-4=4，则F 1(-2,0)，F 2(2,0)．由对称性可设P (x 0,y 0)(x 0>0，y 0>0)，|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，∠F 1PF 2=θ，由x 208+y 204=1x 20+y 20=7，解得x 0=6y 0=1，又F 1(-2,0)，F 2(2,0)，所以m =(6+2)2+12=11+46，n =(6-2)2+12=11-46，所以mn =11+46⋅11-46=112-(46)2=5．由椭圆的定义得m +n =2a =42，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2=m 2+n 2-2mn cos θ，即42=(m +n )2-2mn -2mn cos θ=(42)2-2×5-2×5cos θ，解得cos θ=35，故A 正确；PF 1 ⋅PF 2 =mn cos θ=5×35=3，故B 错误；△F 1PF 2的面积为S △F 1PF 2=12mn sin θ=12×5×1-352=2，故C 正确；设△F 1PF 2的内切圆半径为r ，由△F 1PF 2的面积相等，得S △F 1PF 2=12(m +n +|F 1F 2|)r ，即2=12(42+4)r ，解得r =2-1，故D 正确．故选：ACD ．法2：设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，∠F 1PF 2=θ．易知a =22，c =8-4=2，由极化恒等式，得PF 1 ⋅PF 2=|OP |2-|OF 1|2=7-4=3，故B 错误；由中线长定理得m 2+n 2=2(|OP |2+|OF 1|2)=22，由椭圆定义得m +n =2a =42，所以(m +n )2=m 2+n 2+2mn =22+2mn =32，所以mn =5，所以cos θ=PF 1 ⋅PF 2 mn =35，故A 正确；由cos θ=35，得sin θ=1-cos 2θ=45，所以S △F 1PF 2=12mn sin θ=12×5×45=2，故C 正确；设△F 1PF 2的内切圆半径为r ，由△F 1PF 2的面积相等，得S △F 1PF 2=12(m +n +|F 1F 2|)r ，即2=12(42+4)r ，解得r =2-1，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题18(2024·上海·三模)已知椭圆C 的焦点F 1、F 2都在x 轴上，P 为椭圆C 上一点，△PF 1F 2的周长为6，且PF 1 ，F 1F 2 ，PF 2 成等差数列，则椭圆C 的标准方程为．【答案】x 24+y 23=1【分析】根据给定条件，结合等差中项的意义及椭圆的定义列式求出a ,c 即可得解.【详解】令椭圆长半轴长为a ，半焦距为c ，依题意，PF 1+ PF 2+ F 1F 2 =6PF 1+ PF 2=2 F 1F 2，即2a +2c =62a =4c，解得a =2,c =1，则椭圆短半轴长b =a 2-c 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.故答案为：x 24+y 23=119(2024·四川攀枝花·三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M ,N 在C 上，且F 1F 2 =3MN ,F 1M ⊥F 2N ，则椭圆C 的离心率为．【答案】5-2/-2+5【分析】延长F 1M ,F 2N 交于点B ,由题意可求出M -c 3,2c 3，因为点M 在C 上，代入椭圆的方程，化简即可得出答案.【详解】延长F 1M ,F 2N 交于点B ，因为F 1F 2 =3MN ，所以NM =2c3，所以点B 在y 轴上，因为F 1M ⊥F 2N，所以△BF 1F 2为等腰直角三角形，所以∠MF 1P =π4，过点M 作MP ⊥F 1F 2交F 1F 2于点P ，所以MP =F 1P =2c 3，所以M -c 3,2c 3，因为点M 在C 上，所以c 29a 2+4c 29b 2=1，即c 2a 2+4c 2a 2-c 2=9，则c 2a 2-c 2 +4a 2c 2=9a 2a 2-c 2 ，即14a 2c 2-c 4-9a 4=0，即e 4-14e 2+9=0，所以e 2=14±4102=7±210，因为0<e <1，所以e 2=7-210，所以e =5- 2.故答案为：5- 2.20(2024·山西·三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2，若C 上存在一点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则C 的离心率的最小值是．【答案】13【分析】由题意可知：PF 2 =F 1F 2 =2c ，可得a -c ≤2c ≤a +c ，运算求解即可.【详解】设椭圆C 的半焦距为c ∈0,a ，由题意可知：PF 2 =F 1F 2 =2c ，根据存在性结合椭圆性质可知：a -c ≤2c ≤a +c ，解得13a ≤c <a ，可得C 的离心率e =c a ∈13,1 ，所以C 的离心率的最小值是13.故答案为：13.21(2024·陕西咸阳·三模)已知椭圆C :x 25+y 24=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 为椭圆C 上任意一点，P 为曲线E :x 2+y 2-6x -4y +12=0上任意一点，则MP +MF 2 的最小值为.【答案】22-1【分析】求出点F 2的坐标，求出圆E 的圆心和半径，再利用圆的性质求出最小值.【详解】椭圆C :x 25+y 24=1中，右焦点F 2(1,0)，圆E :(x -3)2+(y -2)2=1的圆心E (3,2)，半径r =1，显然椭圆C 与圆E 相离，由点P 在圆E 上，得|MP |min =|ME |-1，于是|MP |+|MF 2|≥|ME |-1+|MF 2|≥|EF 2|-1=(3-1)2+22-1=22-1，当且仅当M ,P 分别是线段EF 2与椭圆C 、圆E 的交点时取等号，所以MP +MF 2 的最小值为22-1.故答案为：22-122(2024·湖南长沙·三模)已知椭圆y 29+x 2=1，P 为椭圆上任意一点，过点P 分别作与直线l 1:y =3x 和l2:y =-3x 平行的直线，分别交l 2，l 1交于M ，N 两点，则MN 的最大值为.【答案】3【分析】根据题意画出示意图，可得四边形PMON 为平行四边形，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，P (x 0,y 0)，根据MN与OP 的中点相同，换算出关系式x 2-x 1=y 03y 2-y 1=3x 0，再由两点间的距离公式，结合椭圆的性质即可求解.【详解】设过点P 分别作直线l 3,l 4，由题意，画示意图如下：设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，P (x 0,y 0).则y 1=-3x 1，y 2=3x 2，由题意可知四边形PMON 为平行四边形，所以x 1+x 2=x 0+0=13y 2-y 1 y 1+y 2=y 0+0=3x 2-x 1 ，即x 2-x 1=y 03y 2-y 1=3x 0，又因P 为椭圆上任意一点，所以y 209+x 20=1，即y 209=1-x 20，所以MN =x 1-x 2 2+y 1-y 2 2=y 209+9x 20=9x 20+1-x 20 =8x 20+1，因为-1≤x 0≤1，所以0≤x 20≤1，所以由函数性质知：当x 20=1时，有|MN |max =8×1+1=3.故答案为：3【点睛】关键点点睛：本题结合两点间的距离公式考查椭圆的几何性质的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，解题的关键是利用平行四边形的性质找到点的坐标之间的关系.23(2024·重庆·三模)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点为F 1,F 2，若椭圆上存在不在x 轴上的两点A ，B 满足F 1A +F 1B =F 1F 2 ，且sin ∠F 1AB =2sin ∠F 2AB ，则椭圆离心率e 的取值范围为.【答案】13,1 【分析】由F 1A +F 1B =F 1F 2 =2F 1O 判断出四边形AF 1BF 2为平行四边形，由正弦定理BF 1 =2AF 1 ，利用AF 2 -AF 1 <F 1F 2 可得答案.【详解】由F 1A +F 1B =F 1F 2 =2F 1O 知，O 为AB 中点，四边形AF 1BF 2为平行四边形，由∠F 2AB =∠F 1BA 与sin ∠F 1AB =2sin ∠F 2AB 可知，在△ABF 1中由正弦定理知，BF 1 =2AF 1 ，在△AF 1F 2中，有AF 2 =BF 1 =2AF 1 ，又因为AF 1 +AF 2 =2a ，可得AF 1 =23a ，AF 2 =43a ，由AF 2 -AF 1 <F 1F 2 ，得e >13，故离心率的取值范围为13,1.故答案为：13,1.式)，进而求解离心率或范围.。
高中数学椭圆常见题型总结
P
的轨迹方程。
8、已知动圆 C过点 A( 2,0) ，且与圆 C2 : ( x 2)2 y2 64 相内切，则动圆圆心的轨迹方
程为
；
9、已知椭圆的焦点在 y 轴上，焦距等于 4，并且经过点 P(2, 2 6) ，则椭圆方程为
；
10、已知中心在原点，两坐标轴为对称轴的椭圆过点
标准方程为
；
A( 3 , 5) ， B( 3, 5) ，则该椭圆的 22
(C ) 16(2 3)
(D ) 16(2- 3)
x2 3、 P 是椭圆
25
y2 1 上的一点， F1 和 F2 为左右焦点，若
9
F1PF2 60 。
（1）求 F1PF2 的面积；（ 2）求点 P 的坐标。
焦半径问题
x2
１椭圆
12
y2 3
1的左右焦点分别为 F1 、 F2 ，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1 的中点在 y
轴上，那么 PF1 是的 PF2 的
倍；
椭圆的中点弦问题
例 1、已知椭圆 ax 2 by2 1(a b 0) 与直线 x y 1 0 相交于 A 、 B 两点， C 是 AB
的中点，若 AB 2 2 ， OC 的斜率为 2 ，求椭圆方程。 2
高中数学
1、直线 l 交椭圆 x2 y 2 1于 A、 B 两点， AB 中点的坐标是 (2,1) ，则直线 l 的方程为 16 12
1 k2 x1 x2
1 k 2 (x1 x2) 2 4x1x2
3 、椭圆的中点弦：
x2 y2 设 A(x1, y1), B( x2 , y2 ) 是椭圆 a2 b2 1(a b 0) 上不同两点，
M ( x0, y0 ) 是线段 AB 的中点，可运用 点差法 可得直线 AB 斜率，且 kAB
高中数学椭圆,知识题型总结
陈氏优学教学课题椭圆知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：假设，那么动点的轨迹为线段；假设，那么动点的轨迹无图形.讲练结合一.椭圆的定义1．假设ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ∆的周长为18，那么顶点C 的轨迹方程是 知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。
讲练结合二．利用标准方程确定参数1．椭圆2214x y m+=的焦距为2，那么m = 。
2．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。
知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质〔1〕对称性对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
〔2〕范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。
〔3〕顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆〔a＞b＞0〕与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1〔―a，0〕，A 2〔a，0〕，B1〔0，―b〕，B2〔0，b〕。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。
a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
〔4〕离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。
9.2椭圆-高考数学总复习历年(十年)真题题型归纳+模拟预测(原卷版)
第9章 解析几何9.2 椭圆从近三年高考情况来看，椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点，尤其是离心率问题是高考考查的重点，多在选择题、填空题中出现，考查直线与椭圆的位置关系，常与向量、圆等知识相结合，多以解答题的形式出现，解题时，以直线与椭圆的位置关系为主，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养．1．（2022•新高考2）已知直线l 与椭圆x 26+y 23=1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于M ，N 两点，且|MA |＝|NB |，|MN |＝2√3，则l 的方程为 ． 2．（2022•甲卷）椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ，AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ） A ．√32B ．√22 C ．12D ．133．（2022•甲卷）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为13，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1→•BA 2→=−1，则C 的方程为（ ） A ．x 218+y 216=1 B ．x 29+y 28=1C ．x 23+y 22=1D ．x 22+y 2＝1题型一.椭圆的标准方程与几何性质1．（2018•新课标Ⅰ）已知椭圆C ：x 2a 2+y 24=1的一个焦点为（2，0），则C 的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．√22D ．2√232．（2015•新课标Ⅰ）一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点．且圆心在x 轴的正半轴上．则该圆标准方程为 ．3．（2016•新课标Ⅰ）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．344．（2014•大纲版）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为√33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为4√3，则C 的方程为（ ） A ．x 23+y 22=1 B ．x 23+y 2＝1C ．x 212+y 28=1 D ．x 212+y 24=15．（2019•新课标Ⅰ）已知椭圆C 的焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），过点F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为（ ） A ．x 22+y 2＝1 B ．x 23+y 22=1C ．x 24+y 23=1 D ．x 25+y 24=16．（2019•新课标Ⅲ）设F 1，F 2为椭圆C ：x 236+y 220=1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为 ． 7．（2021•甲卷）已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为 ． 8．（2013•新课标Ⅰ）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （3，0），过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（ ） A ．x 245+y 236=1 B ．x 236+y 227=1C ．x 227+y 218=1D ．x 218+y 29=1题型二.椭圆的离心率1．（2018•新课标Ⅱ）已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为（ ） A ．1−√32 B ．2−√3 C ．√3−12D ．√3−12．（2013•四川）从椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ） A ．√24B ．12C ．√22D ．√323．（2012•新课标）设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为直线x =3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A ．12B ．23C ．34D ．454．（2018•新课标Ⅱ）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为（ ） A ．23B ．12C ．13D ．145．（2017•新课标Ⅲ）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay +2ab ＝0相切，则C 的离心率为（ ） A ．√63B ．√33C ．√23D ．136．（2016•新课标Ⅲ）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．347．（2013•辽宁）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF ，若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF =45，则C 的离心率为（ ） A ．35B ．57C ．45D ．678．（2018•北京）已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），双曲线N ：x 2m 2−y 2n 2=1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 ；双曲线N 的离心率为 ．题型三.取值范围问题1．（2017•新课标Ⅰ）设A ，B 是椭圆C ：x 23+y 2m=1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是（ ）A ．（0，1]∪[9，+∞）B ．（0，√3]∪[9，+∞）C ．（0，1]∪[4，+∞）D ．（0，√3]∪[4，+∞）2．（2021•乙卷）设B 是椭圆C ：x 25+y 2＝1的上顶点，点P 在C 上，则|PB |的最大值为（ ） A ．52B ．√6C ．√5D ．23．（2021•乙卷）设B 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上顶点，若C 上的任意一点P都满足|PB |≤2b ，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．[√22，1）B ．[12，1）C ．（0，√22]D ．（0，12]4．（2021•新高考Ⅰ）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|•|MF 2|的最大值为（ ） A ．13B ．12C ．9D ．61．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为35，直线2x +y +10＝0过椭圆的左顶点，则椭圆方程为（ ） A ．x 25+y 24=1 B ．x 225+y 29=1 C ．x 216+y 29=1D ．x 225+y 216=12．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点E （0，t ）（0＜t ＜b ）．已知动点P 在椭圆上，且点P ，E ，F 2不共线，若△PEF 2的周长的最小值为4b ，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．√32B ．√22C ．12D ．√333．设椭圆y 2a 2+x 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F 1（0，1），M （3，3）在椭圆外，点P为椭圆上的动点，若|PM |﹣|PF 1|的最小值为2，则椭圆的离心率为（ ） A ．23B ．√34C ．12D ．144．已知动点M 在以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2+y 24=1上，动点N 在以M 为圆心，半径长为|MF 1|的圆上，则|NF 2|的最大值为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．165．已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （c ，0），上顶点为A （0，b ），直线x =a 2c 上存在一点P 满足(FP →+FA →)⋅AP →=0，则椭圆的离心率取值范围为（ ） A ．[12，1)B ．[√22，1)C ．[√5−12，1)D ．(0，√22]（多选）6．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，焦点F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）（c ＞0），下顶点为B ．过点F 1的直线l 与曲线C 在第四象限交于点M ，且与圆A ：(x +2c)2+y 2=14c 2相切，若MF 2→⋅F 1F 2→=0，则下列结论正确的是（ ） A ．椭圆C 上不存在点Q ，使得QF 1⊥QF 2 B ．圆A 与椭圆C 没有公共点C ．当a ＝3时，椭圆的短轴长为2√6D ．F 2B ⊥F 1M.。
高考圆锥曲线之椭圆经典题型解析及总结
高考圆锥曲线之椭圆经典题型讲解及总结总结：1、解决圆锥曲线的一些大题的时候，注意运用发散的思维，将已知条件进行联想，将联想到的相关知识点表述出来，获取有效的得分点。
如点在椭圆上———就设点（x,y）代入椭圆方程；告诉圆的方程，马上求出半径和圆心。
2、求值的问题，往往有两种方法，直接法和间接法。
如本题求PQ的最小值，直接做没有头绪，不妨采用间接法，转化为求AP的最小值。
用AP的最小值减去圆的半径r,从而得知。
3、注意转化思想、数形结合思想、函数思想的在圆锥曲线中的综合应用。
总结1.解决本题的关键就是要熟悉内心的相关知识点：三角形的内心是三角形内切圆的圆心；内切圆的圆形到三角形三边的距离相等。
2、求值的问题，有时候考虑运用方程的思想。
构造关于某值为未知数的方程和方程组。
3、在解决椭圆的相关问题时，注意椭圆公示的贯通融合，本题运用了以下集中公示。
|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）；e=c/a；椭圆里abc的关系：a²=b²+c²。
总结：1.本题求离心率采用建立关于e的方程。
当题目当中数量关系复杂时，往往采用设K法，压缩未知数的量，往往到到事半功倍的效果。
3、本题重点考查椭圆的离心率的求解及等腰直角三角形的性质等。
总结：1、有关椭圆和直线相交的问题，往往转化为解椭圆和直线解方程组的问题。
2、利用点差法和中点坐标公式及斜率公式。
总结：1、当有条件限制时，往往考虑运用分类讨论的思想。
如本题根据直线斜率存在和不存在两种情况。
3、直线与椭圆的联立会牵扯到二次方程、二次函数的问题。
一元二次方程常用的知识点是韦达定理。
韦达定理公式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a、b、c为实数且a≠0）中，两根x₁、x₂关系为x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。
4、注意斜率公式的合理运用。
总结：1.设置情景背景的问题，往往采用按部就班法，套用新的公式去解。
2.充分利用已知条件列出方程组，求出a和b,即可得到椭圆的方程。
高三椭圆知识点总结
高三椭圆知识点总结椭圆是高中数学中的一个重要知识点，在高考中经常出现。
下面我们来对高三椭圆的相关知识进行一个全面的总结。
一、椭圆的定义平面内与两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之和等于常数（大于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
用集合语言表示为：＄P ＝＼｛ M ｜｜MF_1| ＋｜MF_2| ＝ 2a, 2a ＞｜F_1F_2| ＼｝＄，其中$a$为椭圆的长半轴，＄｜F_1F_2| ＝2c$为椭圆的焦距。
二、椭圆的标准方程1、焦点在$x$轴上的椭圆标准方程：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$为长半轴长，＄b$为短半轴长，＄c ＝＼sqrt{a^2 b^2}＄为半焦距。
2、焦点在$y$轴上的椭圆标准方程：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$）。
要注意区分焦点在不同坐标轴上时，方程中$x^2$和$y^2$的分母大小关系。
三、椭圆的几何性质1、范围对于焦点在$x$轴上的椭圆$＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$，有$a ＼leq x ＼leq a$，＄b ＼leq y ＼leq b$；对于焦点在$y$轴上的椭圆$＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$，有$b ＼leq x ＼leq b$，＄a ＼leq y ＼leq a$。
2、对称性椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。
3、顶点焦点在$x$轴上的椭圆的顶点为$（＼pm a, 0)＄，＄（0, ＼pm b)＄；焦点在$y$轴上的椭圆的顶点为$（0, ＼pm a)＄，＄（＼pm b, 0)＄。
4、离心率椭圆的离心率$e ＝＼frac{c}｛a}＄，其中$0 ＜ e ＜ 1$。
高考椭圆题型总结(可编辑修改word版)
1 2椭圆题型总结一、 椭圆的定义和方程问题(一) 定义:PA+PB=2a>2c1. 命题甲:动点 P 到两点 A , B 的距离之和 PA + PB = 2a (a > 0,常数); 命题乙: P 的轨迹是以 A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2. 已知 F 1 、 F 2 是两个定点，且 F F = 4 ,若动点 P 满足 PF 1 + PF 2= 4 则动点 P 的轨迹是（ ）A. 椭圆B.圆C.直线D.线段3. 已知 F 1 、 F 2 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F 1 P 到Q ,使得PQ = A. 椭圆PF 2 ,那么动点Q 的轨迹是()B.圆C.直线D.点4. 已知 F 1 、 F 2 是平面内的定点，并且 F F= 2c (c > 0) ， M 是内的动点，且MF 1 + MF 2x2+ y 21 2= 2a ,判断动点 M 的轨迹.=5. 椭圆25 91上一点 M 到焦点 F 1 的距离为 2， N 为 MF 1 的中点， O 是椭圆的中心，则 ON 的值是。
(二) 标准方程求参数范围1. 若方程 x 2 5 - k+ y2k - 3 = 1 表示椭圆，求 k 的范围.（3，4）U （4，5）“m > n > 0”是“方程mx 2 + ny 2= 1表示焦点在y 轴上的椭圆”的 ()2.4 5 2 5 2A.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3. 已知方程x 2 + y 25 - 2m = 1 表示焦点在 Y 轴上的椭圆,则实数 m 的范围是 .4. 已知方程 x 2 + ky 2 = 2 表示焦点在 Y 轴上的椭圆,则实数 k 的范围是.5. 方程 x = 所表示的曲线是.6. 如果方程 x 2 + ky 2 = 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，求实数 k 的取值范围。
椭圆常考题型汇总及练习
椭圆常考题型汇总及练习 第一部分：复习运用的知识（一）椭圆几何性质椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. 椭圆的几何性质:以()012222>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,12222≤≤by a x ，即b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。
3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、--4. 长轴、短轴：21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长.5. 离心率（1）椭圆焦距与长轴的比ace =，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ∆,2222222OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而22c a b -=越大，椭圆越接近圆。
6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），ab 22.7.设21F F 、为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，当21F F P 、、三点不在同一直线上时，21F F P 、、构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆的定义知：c F F a PF PF 2,22121==+.（二）运用的知识点及公式1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-；两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =2、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a+=-=。
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椭圆题型总结一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:PA+PB=2a>2c1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是（ ）A.椭圆B.圆C.直线D.线段3. 已知1F 、2F是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动点Q 的轨迹是( )A.椭圆B.圆C.直线D.点4. 已知1F 、2F 是平面α内的定点，并且)0(221>=c c F F ，M 是α内的动点，且a MF MF 221=+,判断动点M 的轨迹.5. 椭圆192522=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 。
(二) 标准方程求参数范围1. 若方程13522=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的范围.（3，4）U （4，5）2.轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( ) A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3. 已知方程112522=-+-m y m x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数m 的范围是 .4. 已知方程222=+ky x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 .5. 方程231y x -=所表示的曲线是 .6. 如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围。
7. 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为)2,0(，求m 的值。
8. 已知方程222=+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 .(三) 待定系数法求椭圆的标准方程1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；（2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程.2. 以)0,2(1-F 和)0,2(2F 为焦点的椭圆经过点)2,0(A 点，则该椭圆的方程为 。
3. 如果椭圆：k y x =+224上两点间的最大距离为8，则k 的值为 。
4. 已知中心在原点的椭圆C 的两个焦点和椭圆3694:222=+y x C 的两个焦点一个正方形的四个顶点，且椭圆C 过点A （2，－3），求椭圆C 的方程。
5. 已知P 点在坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离为354和352，过点P 作长轴的垂线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆方程。
6. 求适合下列条件的椭圆的标准方程 （1） 长轴长是短轴长的2倍，且过点)6,2(-；（2） 在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6.(四) 与椭圆相关的轨迹方程1. 已知动圆P 过定点)0,3(-A ，并且在定圆64)3(:22=+-y x B 的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程.2. 一动圆与定圆032422=-++y y x 内切且过定点)2,0(A ，求动圆圆心P 的轨迹方程. 3. 已知圆4)3(:221=++y x C ,圆100)3(:222=+-y x C ，动圆P 与1C 外切，与2C 内切，求动圆圆心P 的轨迹方程.4. 已知)0,21(-A ，B 是圆4)21(:22=+-y x F （F 为圆心）上一动点,线段AB 的垂直平分线交BF 于P ,则动点P 的轨迹方程为5. 已知ABC ∆三边AB 、BC 、AC 的长成等差数列，且,CA AB >点B 、C 的坐标)0,1(-、)0,1(，求点A 的轨迹方程.6. 一条线段AB 的长为a 2，两端点分别在x 轴、y 轴上滑动 ，点M 在线段AB 上，且2:1:=MB AM ,求点M 的轨迹方程.7. 已知椭圆的焦点坐标是)25,0(±，直线023:=--y x l 被椭圆截得线段中点的横坐标为21，求椭圆方程.8. 若ABC ∆的两个顶点坐标分别是)6,0(B 和)6,0(-C ，另两边AB 、AC 的斜率的乘积是94-，顶点A 的轨迹方程为 。
9. P 是椭圆12222=+by a x 上的任意一点，1F 、2F 是它的两个焦点，O 为坐标原点，错误!未找到引用源。
，求动点错误!未找到引用源。
的轨迹方程。
10. 已知圆922=+y x ，从这个圆上任意一点P 向x 轴引垂线段'PP ，垂足为'P ，点M在'PP 上，并且错误!未找到引用源。
，求点错误!未找到引用源。
的轨迹。
11. 已知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点错误!未找到引用源。
向错误!未找到引用源。
轴引垂线段错误!未找到引用源。
，则线段错误!未找到引用源。
的中点错误!未找到引用源。
的轨迹方程是 。
12. 已知错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
的周长为6，则错误!未找到引用源。
的顶点C 的轨迹方程是 。
13. 已知椭圆1452222=+y x ，A 、B 分别是长轴的左右两个端点，P 为椭圆上一个动点，求AP 中点的轨迹方程。
14.(五) 焦点三角形4a1. 已知1F 、2F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点。
若1222=+B F A F ，则=AB 。
2. 已知1F 、2F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过2F 且斜率不为0的直线交椭圆于A 、B 两点，则1ABF ∆的周长是 。
3. 已知C AB ∆的顶点B 、C 在椭圆1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则C AB ∆的周长为 。
(六) 焦点三角形的面积：1. 设M 是椭圆1162522=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，621π=∠MF F ，求21MF F ∆的面积。
2. 已知点P 是椭圆1422=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，021=•PF PF ，求点P 到x 轴的距离。
3. 已知点P 是椭圆192522=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，21=，则21F PF ∆的面积为 。
4. 椭圆1422=+y x 的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P = 。
5. 已知AB 为经过椭圆错误!未找到引用源。
的中心的弦，错误!未找到引用源。
为椭圆的右焦点，则错误!未找到引用源。
的面积的最大值为 。
(七) 焦点三角形错误!未找到引用源。
1. 设椭圆14922=+y x 的两焦点分别为1F 和2F ，P 为椭圆上一点，求21PF PF •的最大值，并求此时P 点的坐标。
2. 椭圆12922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若41=PF ，则=2PF ；=∠21PF F 。
3. 椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，P 为其上一动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围为 。
4. P 为椭圆1162522=+y x 上一点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点。
（1）若1PF 的中点是M ，求证：1215PF MO -=；（2）若︒=∠6021PF F ，求21PF PF •的值。
(八) 中心不在原点的椭圆1. 椭圆的中心为点)0,1(-E ，它的一个焦点为)0,3(-F ，相应于焦点F 的准线方程为27-=x ，则这个椭圆的方程是 。
二、 椭圆的简单几何性质（一） 已知a、b、c 、e、ca 2求椭圆方程1． 求下列椭圆的标准方程 （1）32,8==e c ； （2）35=e ，一条准线方程为3=x 。
2． 椭圆过（3，0）点，离心率为36=e ，求椭圆的标准方程。
3． 椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为？4． 椭圆的对称轴为坐标轴，离心率为22，两准线间的距离为4，则此椭圆的方程为？ 5． 根据下列条件，写出椭圆的标准方程：（1） 椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F ，其中一条准线方程是4-=x ；（2） 椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为34，并且椭圆和直线016372=-+y x 恰有一个公共点；（3） 椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是3。
6． 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、，离心率为22，右准线方程为2=x 。
求椭圆的方程。
答案：1222=+y x 7． 根据下列条件求椭圆的方程：（1） 两准线间的距离为5518，焦距为52；答案：14922=+y x 或19422=+y x （2） 和椭圆1202422=+y x 共准线，且离心率为21； （3） 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点煌距离分别为354和352，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。
（二） 根据椭圆方程研究其性质1． 已知椭圆)0()3(22>=++m m y m x 的离心率为23=e ，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标。
2． 已知椭圆的长轴长是6，焦距是24，那么中心在原点，长轴所在直线与y 轴重合的椭圆的准线方程是 。
3． 椭圆81922=+y x 的长轴长为 ，短轴长为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，离心率为 ，准线方程为 。
（三） 求离心率1． 过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F2为右焦点，若︒=∠6021PF F ，则椭圆的离心率为（ ）2． 在平面直角坐标系中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦距为2，以O 圆心，a 为半径作圆，过点)0,(2ca 作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝ 。
3． 若椭圆的两个焦点把长轴分成三等份，则椭圆的离心率为？4． 椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F1，则满足1ABF ∆为等边三角形的椭圆的离心率是？5． 设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且垂直于x 轴的弦的长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的离心率是 。