因式分解及应用 专题训练

因式分解及应用专题训练

一．选择题

1．已知a为任意整数，且（a+13）2﹣a2的值总可以被n（n为自然数，且n≠1）整除，则n的值为（）A．13 B．26 C．13或26 D．13的倍数

2．若x=2n+1+2n，y=2n﹣1+2n﹣2，其中n为整数，则x与y的数量关系为（）

A．x=4y B．y=4x C．x=12y D．y=12x

3．如果x2+x﹣1=0，那么代数式x4+x3+x﹣5的值为（）

A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6

二．填空题

4．已知x﹣2y+2=0，则x2+y2﹣xy﹣1的值为．

5．已知a2+b2+2c2+2ac﹣2bc=0，则a+b等于．

6．若m2=n+2，n2=m+2（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为．

三．解答题

7．因式分解

（1）4a2﹣25b2（2）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4

（3）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）（4）（x2+4）2﹣16x2．

8．如图，在一块边长为acm的正方形纸板四角，各剪去一个边长为bcm（b＜）的正方形，利用因式分解计算当a=13.2，b=3.4时，剩余部分的面积．

9．利用因式分解说明3200﹣4×3199+10×3198能被7整除．

10．上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2=a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：

解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1

∵（x+2）2≥0，

∴当x=﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，

∴（x+2）2+1≥1

∴当（x+2）2=0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，

∴x2+4x+5的最小值是1．

请你根据上述方法，解答下列各题

（1）知识再现：当x=时，代数式x2﹣6x+12的最小值是；

（2）知识运用：若y=﹣x2+2x﹣3，当x=时，y有最值（填“大”或“小”），这个值是；

（3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5=0，求y+x的最小值．

11．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．

解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0

∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．

根据你的观察，探究下面的问题：

（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；

（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．

12．先阅读材料，再回答问题：

材料：分解因式：（x+y）2+2（x+y）+1

解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2，再将“A”还原，原式=（x+y+1）2．上述解题中用到的是“整体思想”，整体思想是数学中常用的一种思想，你能用整体思想回答下列问题吗？

问题：

（1）分解因式：（a+b）（a+b﹣4）+4．

（2）求证：若n为正整数，则代数式n（n+1）（n+2）（n+3）+1的值一定是某一个整数的平方．

*13．先阅读下面例题的解法，然后解答后面的问题．

例：若多项式2x3﹣x2+m分解因式的结果中有因式2x+1，求实数m的值．

解：设2x3﹣x2+m=（2x+1）•A （A为整数）

若2x3﹣x2+m=（2x+1）•A=0，则2x+1=0或A=0

由2x+1=0得x=﹣

则x=﹣是方程2x3﹣x2+m=0的解

所以2×（﹣）3﹣（﹣）2+m=0，即﹣﹣+m=0，所以m=

问题：

（1）若多项式x2+px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数P=；

（2）若多项式x3+5x2+7x+q分解因式的结果中有因式x+1，求实数q的值；

（3）若多项式x4+mx3+nx﹣16分解因式的结果中有因式（x﹣1）和（x﹣2），求实数m、n的值．

*14．已知21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256…

（1）你能根据此推测出264的个位数字是多少？

（2）根据上面的结论，结合计算，试说明（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的个位数字是多少？