2014年高考函数与方程及答案

2014年高考函数与方程及答案
1．[2014·山东卷] 已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )
A. ⎝⎛⎭⎫0，12
B. ⎝⎛⎭
⎫1
2，1 C. (1，2) D. (2，＋∞) 2．[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1­1所示，则下列函数图像正确的是( )
图1­1
A B C D
3．[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，
cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )
A ．f (x )是偶函数
B ．f (x )是增函数
C ．f (x )是周期函数
D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)
4．[2014·新课标Ⅰ] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )
A ．(2，＋∞)
B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，－2)
D ．(－∞，－1) 5．[2014·课标Ⅱ] 设函数f (x )＝3sin
πx m
，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞) B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
6．[2014·湖南卷] 已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
7．[2014·四川卷] 已知f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，x ∈(－1，1)．现有下列命题：
①f (－x )＝－f (x )；②f ⎝⎛⎭
⎫2x
1＋x 2＝2f (x )；③|f (x )|≥2|x |. 其中的所有正确命题的序号是( )
A ．①②③
B ．②③
C ．①③
D ．①②
8．[2014·湖北卷] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝1
2(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．
若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )
A.⎣⎡⎦⎤－16，16
B.⎣⎡⎦⎤－66，66
C.⎣⎡⎦⎤－13，13
D.⎣⎡⎦
⎤－33，33
9．[2014·辽宁卷] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．[－5，－3] B.⎣⎡⎦⎤－6，－9
8 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]
10．[2014·浙江卷] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )
A ．c ≤3
B ．3<c ≤6
C ．6<c ≤9
D ．c >9
11．[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )
A B C D
12．[2014·浙江卷] 设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧x 2＋x ，x <0，－x 2， x ≥0.若f [f (a )]≤2，则实数a 的取值范围是________．
13．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．
14．[2014·山东卷] 已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )＞g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．
15．[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．
16．[2014·江苏卷] 已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋1
2.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．
17.[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，
φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)
①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；
③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ； ④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋x
x 2＋1(x >－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .
1．[2014·山东卷] 已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )
A. ⎝⎛⎭⎫0，12
B. ⎝⎛⎭
⎫1
2，1 C. (1，2) D. (2，＋∞) [解析] 画出函数f (x )的图像，如图所示．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实数，则函数f (x )，g (x )有两个交点，则k ＞1
2
，且k ＜1.故选B.
2.[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1­1所示，则下列函数图像正确的是( )
图1­1
A B C D
[解析] 由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3. 选项A 中的函数为y ＝⎝⎛⎭⎫
13x
，则其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，则其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，则其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，则其函数图像不正确．
3.[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，
cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )
A ．f (x )是偶函数
B ．f (x )是增函数
C ．f (x )是周期函数
D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)
[解析] 由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数； 当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；
当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]； ∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．
4.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )
A ．(2，＋∞)
B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，－2)
D ．(－∞，－1)
[解析] 当a ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1，存在两个零点，不符合题意，故a ≠0.
由f ′(x )＝3ax 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2
a
.
若a <0，则函数f (x )的极大值点为x ＝0，且f (x )极大值＝f (0)＝1，极小值点为x ＝2a ，且f (x )极小值＝f ⎝⎛⎭⎫2a ＝a 2－4a 2，
此时只需a 2－4
a
2>0，即可解得a <－2；
若a >0，则f (x )极大值＝f (0)＝1>0，此时函数f (x )一定存在小于零的零点，不符合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－2)．
5.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设函数f (x )＝3sin πx m
，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值范围是( )
A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)
B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
[解析] 函数f (x )的极值点满足πx m ＝π2
＋k π，即x ＝m ⎝⎛⎭⎫k ＋1
2，k ∈Z ，且极值为±3，问题等价于存在k 0使之满足不等式m 2⎝⎛⎭⎫k 0＋122＋3<m 2
.因为⎝⎛⎭⎫k ＋122的最小值为14，所以只要14
m 2＋3<m 2成立即可，即m 2>4，解得
m >2或m <－2，故m 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
6.[2014·湖南卷] 已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
[解析] 因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.
附加.[2014·湖南卷] 已知函数f (x )＝x 2＋e x －1
2
(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图像上存在关于y 轴对称的点，
则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，1
e
) B ．(－∞，e)
C.⎝⎛⎭⎫－1e ，e
D.⎝
⎛⎭⎫－e ，1e [解析] 依题意，设存在P (－m ，n )在f (x )的图像上，则Q (m ，n )在g (x )的图像上，则有m 2＋e －
m －12
＝m 2＋
ln(m ＋a )，解得m ＋a ＝ee －m －12，即a ＝ee －
m －12
－m (m ＞0)，可得a ∈(－∞，e)．
7．[2014·四川卷] 已知f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，x ∈(－1，1)．现有下列命题：
①f (－x )＝－f (x )；②f ⎝⎛⎭
⎫2x
1＋x 2＝2f (x )；
③|f (x )|≥2|x |.
其中的所有正确命题的序号是( )
A ．①②③
B ．②③
C ．①③
D ．①② [解析] f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x ) ＝ln
1－x 1＋x ＝－ln 1＋x
1－x
＝－[]ln （1＋x ）－ln （1－x ） ＝－f (x )，故①正确；当x ∈(－1，1)时，
2x 1＋x 2
∈(－1，1)，且f
⎝⎛⎭⎫2x 1＋x 2＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋2x 1＋x 2－ln ⎝⎛⎭⎫1－2x 1＋x 2＝ln 1＋
2x
1＋x 21－
2x 1＋x 2
＝ln 1＋x 2＋2x 1＋x 2－2x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x 2＝2ln 1＋x 1－x ＝2[ln(1＋x )－ln(1－x )]＝2f (x )，故②正确； 由①知，f (x )为奇函数，所以|f (x )|为偶函数，则只需判断当x ∈[0，1)时，f (x )与2x 的大小关系即可． 记g (x )＝f (x )－2x ，0≤x ＜1，
即g (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )－2x ，0≤x <1， g ′(x )＝11＋x ＋11－x －2＝2x 2
1－x 2
，0≤x ＜1.
当0≤x ＜1时，g ′(x )≥0，
即g (x )在[0，1)上为增函数，且g (0)＝0，所以g (x )≥0， 即f (x )－2x ≥0，x ∈[0，1)，于是|f (x )|≥2|x |正确． 综上可知，①②③都为真命题，故选A.
8．[2014·湖北卷] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝1
2
(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀
x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )
A.⎣⎡⎦⎤－16，16
B.⎣⎡⎦⎤
－66，66 C.⎣⎡⎦⎤－13，13 D.⎣⎡⎦
⎤－33，33 [解析] 因为当x ≥0时，f (x )＝12()||x －a 2＋||x －2a 2－3a 2，所以当0≤x ≤a 2时，f (x )＝1
2()a 2－x ＋2a 2－x －3a 2＝－x ；
当a 2<x <2a 2时，f (x )＝1
2()x －a 2＋2a 2－x －3a 2＝－a 2；
当x ≥2a 2时，f (x )＝1
2
()x －a 2＋x －2a 2－3a 2＝x －3a 2.
综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧－x ，0≤x ≤a 2，
－a 2，a 2<x <2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.
观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－
66≤a ≤6
6
.故选B. 9．[2014·辽宁卷] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．[－5，－3] B.⎣
⎡⎦⎤－6，－9
8 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]
11．C [解析] 当－2≤x <0时，不等式转化为a ≤x 2－4x －3
x 3
，
令f (x )＝x 2－4x －3
x 3
(－2≤x <0)，
则f ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－（x －9）（x ＋1）
x 4
，故f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此
时有a ≤1＋4－3－1
＝－2.当x ＝0时，g (x )恒成立．当0<x ≤1时，a ≥x 2－4x －3x 3，令个g (x )＝x 2－4x －3
x 3(0<x ≤1)，
则g ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－（x －9）（x ＋1）
x 4
，
故g (x )在(0，1]上单调递增，此时有a ≥1－4－3
1
＝－6.综上，－6≤a ≤－2.
10．[2014·浙江卷] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3<c ≤6 C ．6<c ≤9 D ．c >9
[解析] 由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，
－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c
⇒
⎩⎪⎨⎪⎧－7＋3a －b ＝0，19－5a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，则f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋c ，而0<f (－1)≤3，故0<－6＋c ≤3， ∴6<c ≤9，故选C.
11.[2014·浙江卷] a ( )
A
C [解析] 只有选项
D 符合，此时0<a <1，幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且当x ∈(0，1)时，f (x )的图像在直线y ＝x 的上方，对数函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选D.
12．[2014·浙江卷] 设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，
－x 2， x ≥0.
若f [f (a )]≤2，则实数a 的取值范围是________．
[解析] 函数f (x )的图像如图所示，令t ≥－2，所以f (a )≥－2，则a ≤ 2.
13．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝|x 2＋3x |恰有4个互异的实数根，则实数a 的
取值范围为________．
[解析] 在同一坐标系内分别作出y ＝f (x )与y ＝a |x －1|的图像如图所示．当y ＝a |x －1|与y ＝f (x )的图像相切时，
由⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋a ＝－x 2－3x ，
a >0，
整理得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，则Δ＝(3－a )2－4a ＝a 2－10a ＋9＝0，解得a ＝1或a ＝9.故当y ＝a |x －1|与y ＝f (x )的图像有四个交点时，0<a <1或a >9.
14．[2014·山东卷] 已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )＞g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________． [解析] g (x )的图像表示圆的一部分，即x 2＋y 2＝4(y ≥0)．当直线y ＝3x ＋b 与半圆相切时，满足h (x )>g (x )，
根据圆心(0，0)到直线y ＝3x ＋b 的距离是圆的半径求得|b |
9＋1＝2，解得b ＝210或b ＝－210(舍去)，要使
h (x )>g (x )恒成立，则b ＞210，即实数b 的取值范围是(210，＋∞)．
15．[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．
[解析] 因为f (x )＝x 2＋mx －1是开口向上的二次函数，所以函数的最大值只能在区间端点处取到，所以对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，只需⎩
⎪⎨⎪⎧f （m ）＜0，f （m ＋1）＜0， 解得⎩⎨⎧－22＜m ＜2
2，－32
＜m ＜0，即m ∈⎝⎛⎭⎫－2
2，0.
16、[2014·江苏卷] 已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋1
2.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．
[解析] 先画出y ＝x 2－2x ＋1
2在区间[0，3]上的图像，再将x 轴下方的图像对称到x 轴上方，利用周期为
3，将图像平移至区间[－3，4]内，即得f (x )在区间[－3，4]上的图像如下图所示，其中f (－3)＝f (0)＝f (3)＝0.5，f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.5.
函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)等价于y ＝f (x )的图像与直线y ＝a 有10个不同的交点，由图像可得a ∈⎝⎛⎭
⎫0，12.
17.[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：
①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；
③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ；
④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋x
x 2＋1(x >－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .
其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)
15．①③④ [解析] 若f (x )∈A ，则f (x )的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，一定存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，故①正确．
取函数f (x )＝x (－1＜x ＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得f (x )的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时f (x )没有最大值和最小值，故②错误．
当f (x )∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，所以，当g (x )∈B 时，对于函数f (x )＋g (x )，如果存在一个正数M ，使得f (x )＋g (x )的值域包含于[－M ，M ]，那么对于该区间外的某一个b 0∈R ，一定存在一个a 0∈D ，使得f (a 0)＝b －g (a 0)，即f (a 0)＋g (a 0)＝b 0∉[－M ，M ]，故③正确．
对于f (x )＝a ln(x ＋2)＋x
x 2＋1 (x ＞－2)，当a ＞0或a ＜0时，函数f (x )都没有最大值．要使得函数f (x )有最
大值，只有a ＝0，此时f (x )＝
x
x 2＋1
(x ＞－2)． 易知f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12，所以存在正数M ＝1
2，使得f (x )∈[－M ，M ]，故④正确． 附加12．、[2014·辽宁卷] 已知定义在[0，1]上的函数f (x )满足：
①f (0)＝f (1)＝0；
②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<1
2
|x －y |.
若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为( )
A.12
B.14
C.12π
D.18 12．B [解析] 不妨设0≤y <x ≤1.
当x －y ≤12时，|f (x )－f (y )|<12|x －y |＝12(x －y )≤1
4.
当x －y >12时，|f (x )－f (y )|＝|f (x )－f (1)－(f (y )－f (0))|≤|f (x )－f (1)|＋|f (y )－f (0)|<1
2
|x －1|＋12|y －0|＝－12(x －y )＋12<14.故k min ＝1
4
.
10．[2014·浙江卷] 设函数f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝2(x －x 2)，f 3(x )＝13|sin 2πx |，a i ＝i
99
，i ＝0，1，2，…，99.记I k
＝|f k (a 1)－f k (a 0)|＋|f k (a 2)－f k (a 1)|＋…＋|f k (a 99)－f k (a 98)|，k ＝1，2，3，则( )
A ．I 1<I 2<I 3
B ．I 2<I 1<I 3
C ．I 1<I 3<I 2
D ．I 3<I 2<I 1
10．B [解析] 对于I 1，由于⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫i 992－⎝⎛⎭⎫i －1992＝2i －199
2(i ＝1，2，…，99)，故I 1＝1992(1＋3＋5＋…＋2×99
－1)＝992992＝1；对于I 2，由于2⎪⎪⎪⎪i 99－i －199－⎝⎛⎭⎫i 992＋⎝⎛⎭⎫i －1992＝2992|100－2i |(i ＝1，2，…，99)，故I 2＝2992×2×50（98＋0）2＝100×98992＝992－1
992
<1. I 3＝1
3
sin ⎝⎛⎭⎫2π×199－sin ⎝⎛⎭⎫2π×099＋sin ⎝⎛⎭⎫2π×299－sin ⎝⎛⎭⎫2π×199＋…＋ sin ⎝⎛⎭⎫2π×9999－sin ⎝⎛⎭⎫2π×9899＝ 13⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫2π×2599－2sin ⎝⎛2π×7499≈43>1.故I 2<I 1<I 3，故选B.。