复变函数课后习题答案全

习题一答案

1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：

（1）

1

32i

+（2）(1)(2)i i i --

（3）131i i i

--（4）821

4i i i -+-

解：（1）1323213i

z i -==

+， 因此：32

Re , Im 1313z z ==-，

（2）3(1)(2)1310

i i i

z i i i -+===---，

因此，31

Re , Im 1010z z =-=，

（3）133335122

i i i

z i i i --=-=-+=

-， 因此，35

Re , Im 32z z ==-，

（4）821

41413z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re 1, Im 3z z =-=，

2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2

）1-+（3）(sin cos )r i θθ+

（4）(cos sin )r i θθ-（5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤

解：（1）2

cos

sin

2

2

i

i

i e π

π

π

=+=

（2

）1-+23

222(cos sin )233

i i e πππ=+=

（3）(sin cos )r i θθ+()2

[cos()sin()]22i

r i re

π

θππ

θθ-=-+-=

（4）(cos sin )r i θ

θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=

（5）2

1cos sin 2sin 2sin cos 222

i i θ

θθ

θθ-+=+ 3． 求下列各式的值： （1

）5)i -（2）100100(1)(1)i i ++-

（3

）(1)(cos sin )

(1)(cos sin )

i i i θθθθ-+--（4）

23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-

（5

6

解：（1

）5)i -5[2(cos()sin())]66

i ππ

=-+- （2）100

100(1)

(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-

（3

）(1)(cos sin )

(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--

（4）2

3

(cos5sin 5)(cos3sin 3)

i i ϕϕϕϕ+- （5

=

（6

=

4．

设12 ,z z i =

=-试用三角形式表示12z z 与12z z 解：1

2cos

sin

, 2[cos()sin()]4

466

z i z i π

π

ππ

=+=-+-，所以

12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212

i i ππππππ

=-+-=+，

5． 解下列方程： （1）5

()

1z i +=（2）440 (0)z a a +=>

解：（1

）z i +=由此

2

5

k i

z i e i

π

=-=-，(0,1,2,3,4)

k=

（2

）z==

11

[cos(2)sin(2)]

44

a k i k

ππππ

=+++，当0,1,2,3

k=时，对应的4

(1),1),1),)

i i i i

+-+---

6．证明下列各题：（1）设,

z x iy

=+

z x y

≤≤+

证明：首先，显然有z x y

=≤+；

其次，因222,

x y x y

+≥固此有222

2()(),

x y x y

+≥+

从而z=≥。

（2）对任意复数

12

,,

z z有222

121212

2Re()

z z z z z z

+=++

证明：验证即可，首先左端22

1212

()()

x x y y

=+++，

而右端2222

11221122

2Re[()()]

x y x y x iy x iy

=+++++-

2222

11221212

2()

x y x y x x y y

=+++++22

1212

()()

x x y y

=+++，由此，左端=右端，即原式成立。

（3）若a bi

+是实系数代数方程1

0110

n n

n

a z a z a z a

-

-

++++=

L

的一个根，那么a bi

-也是它的一个根。

证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，()

n n

z z

=，由此得到：1

0110

()()0

n n

n

a z a z a z a

-

-

++++=

L

由此说明：若z为实系数代数方程的一个根，则z也是。结论得证。（4）若1,

a=则,

b a

∀≠皆有

1

a b

a

ab

-

=

-

证明：根据已知条件，有1

aa=，因此：