选修2-1314《空间向量的正交分解及其坐标表示》教案

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计镇海中学陈科

钧

一、教材分析

本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修2-1）中第三章空间向量与几

何体：第一节“空间向量及其运算”的第四课时；空间向量是平面向量的推广，是近代数学的一个重要工具，是联系代数、几何、三角的重要桥梁，为用空间向量解决立体几何问题做

好铺垫，同时通过不断与平面向量的正交分解及基本定理进行类比学习，不断将三维空间问

题向二维平面问题转化，充分体现了类比与转化思想在研究问题过程中的作用。二、教学目标

1.了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，并会选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。

2.通过类比，转化，归纳，推广等思想，提高观察、分析、抽象概括的能力，进一步培养

学生的空间观念。

3.通过本节课学习，培养学生的积极探究，合作学习，不断创新的思维品质。三、学情分析

学生在这之前已经学习了必修4中的第二章：平面向量，必修2中的第二章：点、直线、平面的位置关系以及第四章第四节：空间直角坐标系。已经掌握了平面向量的相关知识，

空间向量的线性运算与数量积运算，同时体会到平面向量与空间向量的高度和谐性。但同时

学生对向量的推广到空间还缺乏深刻的思考，思维还具有片面性、不严谨的特点，对问题解

决的一般性过程认识还不到位。四、教学重点、难点重点：理解空间向量基本定理及其意义；掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。难点：理解平面向量基本定理及其意义及其证明过程（任意性、唯一性、任意性）。

五、教学策略1.教法分析

为了充分调动学生学习的积极性，采用问题引入，启发诱导、类比探究的模式，培养学生的创新精神，使学生在解决问题的同时，形成一般性的方法，另外恰当运用多媒体技术辅助教学，激发学生的学习兴趣，提高课堂效率。

2.学法分析

让学生通过观察、分析、类比，合作、总结、归纳，培养学生发现问题，分析问题、解决问题的能力，培养不断创新、追求精益求精的“工匠精神”。

六、教学过程

（一）复习引入（开门见山）

微课复习：微课展示共线向量、共面向量的表示方法，提出探究的问题“空间任一向量如何

来表示"

ir

师生活动：假设某一时刻我们对空中的一架飞机进行定点监测，如图，提出向量d此时能r r

否被向量a,b表示出来？1r

生：学生会说不可以. d /飞机P

U 师：追问要想把此时飞机P定位，既向量d表不出来，那我们/

需要如何改进呢？/ 1/

生：再添加一个向量C. 广

师：怎样添加？在地平面上任意取一个可以吗？‘产>

r r r . O r 生：不可以，向量c必需与向量a,b不在同一平面. / a/

r r r

师：换句话说，向量 a,b,c 有什么约束条件？

生：既不共面的三个.

设计意图：通过复习共线向量、平面向量的表示， 引导学生类比到空间向量的表示；

达成两 点

共识：①可以表示；②需要三个不共线的向量。 （二）独立作图，分组探究，生成定理，定理运用

问题2根据问题1的一般方法，及类比平面向量基本定理， 请你尝试给出空间向量基本定理 该如何表述？，同时指出空间向量基本定理与平面向量基本定理的区别

问题3你觉得空间向量的基本定理有哪些注意点，改如何证明（任意性、存在性、唯一性） 师生活动：教师先将学生分成若干组，每组若干人；学生分组探究，组内每个学生发表自己 的意见，由一名同学负责记录，每组再推选一名代表准备发言；在学生充分讨论的前提下， r r r

教师选定一个小组展示探究结果，

如何将空间任意向量用给定的三个不共面向量

a, b, c 表示

（作出分解图形：平行六面体模型；并且引导学生给出严谨、完整的证明） ；

设计意图：分组讨论探究，使每个学生经历利用已知给定的三个不共面向量， 表示空间任意

向量的一般化过程，使学生对所学知识的认识从抽象到具体，从模糊到清晰。 （3）生成定理

在解决问题1的前提下，类比平面向量基本定理，引导学生归纳总结空间向量基本定理； 并且观察、分析它们之间的区别与联系：

注意联系有：（1）空间向量基本定理是平面向量基

本定理的推广，平面向量基本定理是空间向量基本定理的特殊情况（ 2）解决空间向量问题

可转化为平面向量问题；主要区别： （1）基底向量的个数不同，（2）几何背景不同，（3）表

达形式不同。

在得到空间向量基本定理后，

进一步引导学生理解基底选取的任意性问题

（用几何画板

动态演示），在基底确定的情况下，任意向量表示的存在性问题与唯一性问题； 设计意图：通过对两个定理的类比探究，小组讨论，小组展示，通过师生互动、生生互动完

(1) 独立作图 尝试 1 ：如图 1,

uuu 在长方体 ABCD A'B'C'D'中，请标出AB uuu

r uuur

AA'表示的向量.

尝试 2:如图

2, r r r

i, j ,k 是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点

O, 请你通过作图，尝试

lr

用向量i, j *表示向量 p .

、问题的解决，启发,

引导”「当我们选当

任意向量时，我们总是可以找到一个长方体，把 设讷空图：地过作触试,使学生直观的体会， 并能用长方体模型处理， 为一般情况的提出

做好铺垫. （2）小组探究

r r r r r r

问题1如果用任意三个不共面的向量

a,b,c 代替两两垂直的向量i,j,k,你觉得能得出怎么

i, j,k 放在

勺起点的三条侧棱上,

直的向量去表示

in 把p

样的结论?