《材料力学》第四章 扭转

第四章 扭转
§4—1 工程实例、概念
一、工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。

2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。

3、机器中的传动轴工作时受扭。

4、钻井中的钻杆工作时受扭。

二、扭转的概念
受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用面垂直杆的轴线。

变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。

轴：主要发生扭转变形的杆。

§4—2 外力偶矩、扭矩
一、外力：m （外力偶矩）
1、已知：功率 P 千瓦(KW ），转速 n 转／分(r ／min ； rpm)。

外力偶矩：m)(N 9549⋅=n
P
m 2、已知：功率 P 马力(Ps)，转速 n 转／分(r ／min ；rpm)。

外力偶矩：m)(N 7024⋅=n
P
m 二、内力：T （扭矩） 1、内力的大小：（截面法）
m
T m T m
x
==-=∑00
2、内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断。

（右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。

）
3、注意的问题：（1）、截开面上设正值的扭矩方向；（2）、在采用截面法之前不能将外力简化或平移。

4、内力图（扭矩图）：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。

作法：同轴力图：
§4—3 薄壁圆筒的扭转 一、薄壁圆筒横截面上的应力(壁厚010
1
r t ≤
,0r ：为平均半径） 实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。

1、实验：
2、变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。

纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。

3、切应变（角应变、剪应变）：直角角度的改变量。

4、定性分析横截面上的应力
(1) 00=∴=σε ；（2）00≠∴≠τγ
因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等。

⑶ 因为壁厚远小于直径，所以可以认为切应力沿壁厚均匀分布,而且方向垂直于其半径方向。

5、切应力的计算公式：
dA →τdA →（τdA ）r 0 ；dA=（r 0d α）t ；
πταττπ
2.2
020
200t r td r r dA T A
===⎰⎰
t
r T
2
02πτ=
二、剪切虎克定律
在弹性范围内切应力与切应变成正比关系。

ρττ≤ γτ∝ γτG = )
1(2μ+=
E
G
三、切应力互等定理
在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现的，并且大小相等，方向同时指向或同时背离两个面的交线。

∑=0Y dydz dydz ττ= ∑=0X dxdz dxdz ττ'=' 0=∑Z
M
dy dxdz dx dydz )()(ττ'=
∴ττ'=
§4—4 圆轴扭转时的应力、强度计算
一、圆轴扭转时横截面上的应力（超静定问题）
几何关系：由实验通过变形规律→应变的变化规律 物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式。

一）、几何关系： 1、实验：
2、变形规律：
圆轴线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。

纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。

3、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大小、间距不变，半径仍为直线。

4、定性分析横截面上的应力
(1) 00=∴=σε ；（2）00≠∴≠τγ
因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。

5、切应变的变化规律：
dx
Rd dx b b dx bb tg ϕ
γγ===≈11
x
dx G G x G G d d d tg 11ϕ
ργγρρ⋅='='=≈
dx
d ϕρ
γρ=∴ 二）物理关系：弹性范围内工作时 P ττ≤max
γτG =→ρργτG =→dx
d G ϕ
ρ
τρ= 方向垂直于半径。

应力分布：
实心截面： 空心截面：
三）静力关系：
ρττρρdA dA dA A →→→
A x
G
A x
G A T A A A d d d d d d d 22ρϕ
ϕρρτρ⎰=⎰=⋅⋅⎰= 令A I A p d 2
ρ⎰=→x
GI T p d d ϕ
=→p GI T x = d d ϕ 代入物理关系式x
G
d d ϕ
ρτρ= 得： p
I T ρ
τρ⋅=
——圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。

二、圆轴中τmax 的确定
横截面上——p
P P
W T
I T
I T =
==
max
max max ρρτ （I p —截面的极惯性矩，单位： m 4 mm 4；)(T p W W —抗扭截面模量，单位：m 3 mm 3 ） 整个圆轴上——等直杆：p W T max max =
τ； 变直杆：max max )(
p
W T
=τ 三、公式的使用条件：1、等直的圆轴 2、弹性范围内工作。

四、I p , W p 的确定 ： 1、实心圆截面——
420
32
232
1
22D d d dA I D A
A
P πρπρρπρρρ=
===⎰⎰⎰
3max
16
1
2
D D I I W P
P
p πρ=
== 2、空心圆截面——
)1(32
1
)(3212444422
32
αππρπρρ-=-=
==⎰⎰D d D d dA I D d A
P )1(16
12
43απ-=
=D D
I W P
p ；D d =α
五、圆轴扭转时斜截面上的应力
低碳钢试件：沿横截面断开。

铸铁试件：
沿与轴线约成450的螺旋线断开。

因此还需要研究斜截面上的应力。

方法：取单元体（单元体上的应力认为是均匀分布的） 设：ef 边的面积为 dA 则eb 边的面积为dAcos α
bf 边的面积为dAsin α
cos )sin (sin )cos (0
=++⇒=∑ααταατσαdA dA dA N
sin )sin (cos )cos (0
=+-⇒=∑ααταατταdA dA dA T
ατσα2sin -=∴；αττα2cos =
分析：1、σmax ：α=±45°。

│σmax │=τ（τα=0）。

45°斜截面！
2、τmax ：α=00，
│τmax │=τ（σα=0）。

横截面上！ 结论：
如果材料的抗剪切能力差，构件就沿横截面发生破坏 （塑性材料）；
如果材料的抗拉压能力差，构件就沿450斜截面发生破坏 （脆性材料）。

六、圆轴扭转时的强度计算 1、强度条件：[]ττ≤=p
W T max
max 2、强度计算：
1）校核强度；][max
max ττ≤=
p
W T 2）设计截面尺寸；][max τT W p ≥ （⎪⎭
⎪
⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧-）（空：实：433116 16 αππD D W p ）3）确定外荷载。

m ][max
⇒≤τp W T
§4—5 圆轴扭转时的变形、刚度计算
一、变形：（相对扭转角）
dx GI T
d GI T dx d dx d GI T P
P P
=→=→=ϕϕϕ ⎰=L P
GI Tdx
ϕ——)(x T T = P
GI TL
=
ϕ——T=常量 ∑
=P
GI TL
ϕ——T=常量,且分段。

单位：弧度（rad ）。

GIP ——抗扭刚度。

注意： “T ” 代入其“＋、－”号
P
GI T L
=
=
ϕ
θ m rad
——单位长度的扭转角
二、刚度条件：[]θθ≤=P GI T max max []θπ
θ≤⨯=0
max max 180P GI T m 0 三、刚度计算：
1、校核刚度；[] max θθ≤
2、设计截面尺寸； ]
[max
θG T
I p ≥
3、确定外荷载。

m ] [ max
⇒≤θp GI T
[例] 功率为150 kW ，转速为15.4 转/秒的电动机转子轴如图所示，许用切应力 [τ ]=30 M Pa, 试校核其强
度。

解：①求扭矩及扭矩图
)
.(1055.160*4.15150
9549
95493m N n
P m T BC ⨯====
②计算并校核切应力强度
][MPa 2316
701055.116
136
3max τππτ≤=⋅⨯===D T W T p
[例] 已知：P ＝7.5kW,n=100r/min,许用切应力[τ]＝40MPa,空心圆轴的内外径之比α = 0.5。

求:：实心轴的直径d 1和空心轴的外径D 2。

解：d 1=45 mm D 2 =45 mm d 2 =0.5D 2=23 mm
§4—6 等直圆杆的扭转超静定问题
解扭转超静定问题的步骤：
① 平衡方程；
② 几何方程——变形协调方程；
③ 补充方程：把物理方程（力与变形的关系）代入几何方程得； ④ 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。

[例] 长为 L =2 m 的圆杆受均布力偶 m =20 Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为α =0.8 ，外径 D =0.0226 m ，G =80 GPa ，试求：固定端的反力偶。

解：①杆的受力图如图示，这是一次超静定问题。

平衡方程为：02=-+m m m B A
②几何方程：0=BA ϕ ③ 力的补充方程：
040220)(200
=-=-==⎰⎰
P
A P A L
P BA GI m dx GI x m dx GI x T ϕ
m N 20 ⋅=∴A m
④ 由平衡方程得：m N 20⋅=B m
另:此题可由对称性直接求得结果。

§4—7 非圆截面杆的扭转
一、非圆截面杆与圆截面杆的区别
圆杆扭转时——横截面保持为平面；
非圆杆扭转时——横截面由平面变为曲面（发生翘曲）。

二、研究方法：弹性力学的方法研究 三、非圆截面杆扭转的分类：
1、自由扭转（纯扭转）；
2、约束扭转。

四、分析两种扭转：
1、自由扭转：各横截面翘曲程度不受任何约束（可自由凹凸），任意两相邻截面翘曲程度相同。

受力特点：两端受外力偶作用。

变形特点:相邻两截面翘曲完全相同，纵向长度不变，所以纵向应变等于零。

应力特点：横截面上正应力等于零，切应力不等于零。

2、约束扭转：由于约束条件或受力限制，造成杆各横截面翘曲程度不同。

受力特点：两端受外力偶作用。

变形特点：相邻两截面翘曲不相同，纵向长度发生变化，所以纵向应变不等于零。

应力特点：横截面上正应力不等于零，切应力不等于零。

五、矩形截面杆的自由扭转：
1、分布：
2、应力计算：
长边中点 2max hb
T W T t ατ==
（整个横截面上最大的切应力）。

短边中点 max 1γττ=
3、变形：3hb G TL GI TL t βϕ==
, t
GI T
=θ 对于狭长矩形（即：
10≥b h ）
；3
1
≈≈βα 六、非圆截面杆扭转的有关规律：
1、截面周边各点处切应力的方向与周边平行（相切）。

2、在凸角处的切应力等于零。

扭转变形小结
一、扭转的概念
受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用面垂直杆的轴线。

变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。

二、外力：m （外力偶矩）
m)(N 9549
⋅=n P
m ——功率 P 千瓦，转速 n 转／分。

m)(N 7024⋅=n P
m ——功率 P 马力，转速 n 转／分。

三、内力：T （扭矩）
1、内力的大小确定、画内力图
2、内力的符号规定：右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方，若其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。

几何关系：由实验通过变形规律→应变的变化规律 3、注意的问题 四、薄壁圆筒横截面上的应力t
r T
2
02πτ=
五、剪切虎克定律γτG =
六、圆轴扭转时横截面上的应力（重点） 1、公式推导
几何关系：由实验通过变形规律→应变的变化规律→dx d ϕργρ= 物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律→dx
d G ϕ
ρτρ=
静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式→
p
GI T x = d d ϕ p
I T ρ
τρ⋅=
——圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。

2、圆轴中τmax 的确定 等直杆：p
W T max
max =
τ；变直杆：变直杆： 3、公式的使用条件：（1）、等直的圆轴，（2）、弹性范围内工作。

七、圆轴扭转时斜截面上的应力：ατσα2sin -=；αττα2cos =
八、圆轴扭转时的强度计算 （重点） []ττ≤=p
W T max max ⎪⎭
⎪
⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧-）（空：实：433116 16 αππD D W p 1）校核强度；2）设计截面尺寸；3）确定外荷载。

九、圆轴扭转时的变形：（重点）P GI TL =
ϕ ∑=P
GI TL ϕ ⎰=L P GI Tdx
ϕ
十、刚度计算：（重点）[]θθ≤=P GI T max max []θπ
θ≤⨯=0
max max 180P GI T 1）校核强度；2）设计截面尺寸；3）确定外荷载。

十一、解扭转超静定问题的步骤：（难点）
① 平衡方程；
② 几何方程——变形协调方程；
③ 补充方程：把物理方程（力与变形的关系）代入几何方程得； ④ 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。

十二、非圆截面杆的概念、分类、特点、矩形截面自由扭转简介。