高等流体力学第5讲

第五讲 气动函数及压力波
一、 气流参数
（一）滞止参数
如果按照一定的过程将气流速度滞止到零，此时气流的参数就叫做滞止参数。

滞止状态的概念可以很形象地用图5-1来表示。

它是假想把某一点处的气流引入一个容积很大的贮气箱，使其速度滞止到零。

根据一元稳定绝能流动的能量方程式
22
1122
1122
h v h v +=+ 可知气体的焓值随气流速度的减小而增大。

如果把气流由速度v 1=v （焓h 1=h ）绝能地滞止到v 2=0，此时所对应的焓值h 2就称为滞止焓，用符号h *表示，则
*21
2
h h v =+
如果研究的是定热比容的完全气体，h =c p T ，则式（9一22）可改
p c v T T /2
12
*
+
= （5－1） 式中 T *称为滞止温度，它是把气流速度绝能滞止到零时的温度。

将式(5—1)两边同除以T ，则有
2
*
222
1111/1/()12212p kR k v T T v c T v T k c -=+=+=+
- 所以
*21
1Ma 2
k T T -=+
（5－2） 前面得到了滞止温度与温度的比与Ma 数的关系式，下面我们来推导一下其它滞止参数的表达式。

完全气体的状态方程和滞止状态的状态方程可表示为p =ρRT 和p *=ρRT * ，两者相除则有
***()()p p ρρT T =。

（a ） 对等熵流动有p */ ρ*k =常数，p / ρk =常数，两者相比，则有
**()k p p ρρ=。

（b ） 由式（a ）和（b ）可得
图5-1 滞止参数模型
**
21
1
1()
(1Ma )2
k k
k k k p p T T ---==+ （5－3）
11
*
*
21
1
1()(1Ma )2
k k k ρρT T ---==+ （5－4）
由式（9－2、3、4）可知，气流参数与其滞止参数的比值只是气流Ma 数的函数。

这种函数关系是分析和计算气体流动的基础，在气体动力学中占有非常重要地位。

这里应强调的是，在气体动力学中，引进滞止状态的概念是把它作为一个参考状态。

对一元流动来讲，每个截面都对应有自己的滞止状态，而与实际流动中的过程无关。

也就是说，滞止参数是一个点函数。

引入滞止焓后，一元稳定流动的能量方程可表式为
*
1*2h h w q s -=- （5－5） 对绝能流动而言，有
*
*21h h =或*h =常数。

由此可知：一元稳定绝能流动的滞止焓沿流程为一常数，同佯对完全气体，因为
h *=c p T *，所以其滞止温度也保持不变。

通过进一步的理论分析可证明，在绝能等熵流动中，所有的滞止参数沿流程都不变。

（二）临界状态参数
将c 2=kRT 及c *2=kRT *引入到绝能等熵的能量方程后，则有
22*121
c v k
RT k k +==--常数 （5－6） 由上式可知，c 与v 的关系函数满足椭圆方
程，关系曲线如图5-2所示。

从中可以看出，
在气流由滞止状态绝能地向最大流速状态
的变化过程中，必然要经历这样一种状态.即v =c 或Ma=1的状态。

气体动力学中称这种状态为临界状态，所对应的气流参数称为气
流的临界状态参数，并标以下标cr ，如p cr 、T cr 、v cr 和c cr 等。

显然，v cr =c cr 。

在式(5－6)中令c =v =c cr ，则可得
cr c =
（5－7）
max /cr v c = （5－8） 利用Ma 数的定义、式(5－2)、(5－3)和（5－4），可得
*/2/(1)cr T T k =+， （5－9）
*
1
/[2/(1)]k
k cr p p k -=+， （5－10） 1*1
/[2/(1)]
k cr ρρk -=+。

（5－11）
图5-2 c v 曲线 c
对空气，k =1.4，则有p cr /p *=0.5283。

应该指出，在一元流动的每一个截面上，都有相应于该截面的临界参数，如同在气流的每一个截面上都有相应的滞止参数一样。

如果气流在某个截面上的Ma 数恰好等于1，则该截面上的气流状态就是临界状态，该截面上气流的参数就是临界参数，该截面叫做临界截面。

在绝能等熵流动过程中，因为沿流道所有滞止参数保持不变，所以所有的临界参数也保持不变。

（三）速度系数
在气体动力学中，除了用马赫数作为无量纲参数以外，往往也用气流速度与临界声速 之比作为无量纲速度，称为速度系数，并用符号λ来表示，即
cr λv c = （5－12） 与Ma 数相比，应用λ数的最大好处是，在绝能流动中，当气体速度趋于v max 时，c 下降为零，Ma 数趋于无穷大，这样在作图时v =v max 附近的情况就无法表示出来。

而
max max cr λv c == （5－13） 这样就消除了上述困难。

2221
Ma 21Ma
2
k λ+=+ （5－14） 或
2
2221Ma 11
λ
k λk +=-+ （5－15）
上述关系可以作成如图5-3所示的图线。

可见，
当 Ma=0时，λ=0；
当 Ma<1时，λ<1 (亚声速)； 当 Ma=1时，λ=1；
当 Ma>1时，λ>1 (超声速)；
当Ma→∞
时，max λλ=
因此，λ数和Ma 数一样也是表示亚声速或超声速气流的一个简单标志。

另外，气流参数与滞止参
数的比也可以用λ数来表示，把式（5－14)代入式（5－2、3、4），得到 *2
1(1)1
k T T λk -=-
+ （5－16） *
211(1)1
k
k k p p λk --=-+ （5－17）
1
*
211(1)1
k k ρρλk --=-+ （5－18）
λ
图5-3 λ～Ma 曲线
二、气体动力学函数及其应用
从前面的分析中可以看出，气流滞止参数与气流参数之比可以用气流的Ma 数或λ数的函数来表示。

后面还将会看到，流量公式和动量方程式也可以用Ma 数或λ数的函数表示出来。

这些Ma 数或λ数的函数叫做气体动力学函数。

（一）函数τ(λ)、π(λ)和ε(λ)、
在气体动力学中，令
*2
1()11
k τλT λk -==-
+ （5－19） *
211()(1)1k
k k πλp p λk --==-+ （5－20）
1
*
211()(1)1
k k ελρρλk --==-+ （5－21）
对空气(k =1.4)来说，函数τ(λ)、π(λ)和ε(λ)随λ数的变化如图5-4a 所示，这三个函数均为单减函数。

另外，这三个函数也可用Ma 数表示如下：
*21
(Ma)1/(1Ma )2
k τT T -==+
（5－22） *
21
1(Ma)1/(1Ma )2k
k k πp p --==+ （5－23）
1
*
21
1(Ma)1/(1Ma )2
k k ερρ--==+ （5－24）
函数τ(Ma)、π(Ma)和ε(Ma)随Ma 的变化如图5-4所示。

例5－3 用风速管测得空气流中一点的总压p *=9.81×104Pa ，静压p =8.44×104Pa ，用热电偶测得该点空气流的总温T *=400K ，试求该点气流的速度v 。

解：由式（5－22）可得 4
*
4
8.4410()0.869.8110πλp p ⨯===⨯。

由气动函数表（k =1.4）查得λ=0.5025，则气流速度为
π(λ), ε( λ), τ(λ) λ
0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 τ(λ)
ε( λ) π(λ)
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 (a)
2.4
图5-4 函数π, ε, τ曲线
Ma
0.5 1.0 1.5 2.0
2.5
3.0 3.5
(b)
τ(Ma) ε (Ma) π(Ma)
0.2
0.0.0.8 1.0 π(Ma), ε(Ma),
cr v λc ==
0.5025187m/s ==。

（二）流量函数
气动计算中往往是先给定气流的滞止参数和λ数(或Ma 数)，如果直接按公式m
ρAv = 来计算流量，则必须先根据给定的滞止参数和λ数求出v 和ρ。

但这佯计算是很麻烦的，下面我
们就来寻求用λ函数表示的流量公式。

由流量公式可得
()cr cr cr cr
ρv
m ρAv ρv A ρv == ，
1
1
*21
1
*
/11(1)
(1)11
/k k cr cr cr ρv ρρk k λλλk k ρv ρρ----==--++，
11
2
1111()(1)21
k k k k λλk --+-=-+。

将上式用q (λ)表示，并称为流量函数，即
11
21
111()()(1)21
k k k k q λλλk --+-=-+ （5－25）
则有
()cr cr m
q λρv A = 。

式中ρcr 和c vr 均可表示为
11
**
1
1*
22()()11
k k cr p ρρk RT k --==++，
cr cr v c ==
所以有
*()m
Aq λ= （5－26）
其中1
112-+⎪⎭
⎫
⎝⎛+=
k k
k R k K 。

对空气， k =1.4， R =287.4J/(kg·K)，则K =0.0404。

q (λ)随λ数的变
化如图5-5a 所示。

当λ=0时，q (λ)=0；当λ=1时，q (λ)=1，取最大值；当λ=λmax 时，q (λ)=0。

由
此可见，q (λ)在临界截面处取最大值。

流量函数q (λ)也可以表示成Ma 数的函数q (Ma)，q (Ma)随Ma 数的变化如图5-5b 所示。

引入流量函数后，一元稳定流动的连续方程又可表示为
*()m K Aq λ== 常数 （5－27）
由式(9－54)，在绝能等熵流动的条件下，由于p *和T *保持不变，则有
()Aq λ=常数 （5－28） 由此可以得出下列重要结论:
1.当气流为亚声速（λ<1）时，由图5-5可见，随λ数的增大，q (λ)也随之增大，因此，相应的流管截面积必须减小。

所以，对亚声速流动讲，流管截面积减小时流速增大；流管截面积增大时则流速减小。

2.当气流为超声速(λ>1)时，随λ数的增大，q (λ)却减小，因此，相应的流管截面积必须增大。

所以，对超声速流动，流管截面积增大时，流速增大；流管截面积减小时，则流速减小。

3．当λ=1时，q (λ)达到最大值，相应的截面积应该是流管的最小截面积。

即对绝能等熵流动而言，临界面必是流管中的最小截面。

但这只是必要条件，也就是说流管的最小截面并不一定是临界截面。

从上述结论可以知道，要将气流绝能等熵地由亚声速流动加速为超声速流动，管道必须做成先收缩后扩张的形状，即拉伐尔喷管，如图9－11所示。

关于这个问题的细节将在后面讨论。

有时候已知条件不是气流的滞止压力而是气流压力，此时流量公式中的q (λ)可用另一个气动函数y (λ)来代替。

()()()q λm K A y λπλ== ， （5－29）
在图5-5a 中也给出了y (λ)随λ数的变化情况。

例5－4 有一扩压器(见图5-7)，设出口截面积和进口截面积之比A 2/A 1=2.5，己知进口截面上空气流的λ1=0.80，求出口截面积上空气流的λ2。

0.6 0.4 1.0 0.2 Ma
0.8 0
0.8
1.6
2.4 λ
y (λ)
q (λ) (a)
1.0
2.0
3.0
0.2
0.4 0.6 0.8 1.0
q (Ma) (b) y (λ)
q (λ)
图5-5 函数q 曲线
解：因为流动是绝能等熵的，故T *1=T *2及p *1=p *2。

由式（5－29）可得
**12()()λλ=。

故
1
212
()()A q λq λA =
由气动函数表(k =1.4)查得，当λ1=0.80时，q (λ1)=0.9518。

代入上式，则得
20.9518
()0.3802.5
q λ=
= 由图5-5a 可以看出，由q (λ)值找λ数时，一个q (λ)值可以找到两个λ数，一个小于1，一个大小1，究竟取哪一个要由其它条件决定，根据上面的q (λ2)值，从表上可以查出两个λ2值为0.247或1.825。

因为λ1=0.80，说明扩压器进口为亚声速气流，如前所述，对于亚声速气流，流管截面积增大的流速减小，故扩压器出口λ1>λ2，因此，应取λ2=0.24。

三、弱扰动在气流中的传播
前面我们已经知道，弱扰动相对于气体是以声速向周围传播的。

本节将研究弱扰动在气流中的传播规律，特别是在超声速气流中的传播规律。

现在先讨论最简单的情况，即弱扰动在静止气体中的传播规律。

假定有一个静止的弱扰动源位于o 点，如图5-8a 所示，它在气体中所产生的扰动是以球面波形式向周围传播的。

如果介质的粘性耗散不予考虑的话，随着时间的推移，这个扰动可以传播整个流场。

显然，在不同时刻发出的扰动将构成一系列同心球面。

如果气体不是静止的，而以小于声速的速度流动着，则弱扰动的传播规律有些变化。

此时，扰动源所发出的弱扰动波仍然是一系列球面波，但是，由于气体在流动，并且带着扰动波向下波移动，各时刻球面波的运动情况如图5-8b 所示。

此时，逆流方向的传播速度为c －v ，顺流方向的传播速度为c +v ，其他方向上的传播速度介于c －v 和c +v 之间。

由此可见，弱扰动波在亚声速气流中仍可逆流传播，即在亚声速气流中弱扰动泼可以传遍整个流场。

如果气流恰好以声度c 流动，则弱扰动的传播情况如图5-8c 所示。

在逆流方向上，弱扰动波的传播速度恰与气流速度相抵消，使得弱扰动波不能逆流传播。

由图可见，随着时间的无限推移，弱扰动波将传遍o 点下游的半个流场。

图5-6拉伐尔喷管.
2
图5-7例5－4图
若气流速度v 大于声速c ，这时气体向下游运动的速度v 比弱扰动波相对于气体的传播速度c 还要大，扰动不仅不能逆流传播，并且被限制在一定的区域内传播。

从o 点发出的扰动波在第一秒末、第二秒末、第三秒末……所到达的位置如图5-8d 所示。

因此，弱扰动在超声速气流中的传播被限制在以o 点为顶点的一系列球面的公切圆锥之内，这个圆锥称为马赫锥，马赫锥以外的区域为“寂静区”。

圆锥面称为马赫波，圆锥的母线与来流方向的夹角称为马赫角，用符号μ来表示。

马赫角的大小反映了受扰动区域的大小，并且直接取决于气流的马赫数。

这是因为t 时刻球面波的半径为ct ，球心向下移动距离为时vt ，由三角关系得，sin μ=ct /cv =c /v =1/Ma ，即
1
1sin Ma
μ-= 从上述分析中我们不难看出，弱扰动波能不能传遍整个流场，是亚声速气流与超声速气流的一个根本差别。

气体动力学中的膨胀波、微弱压缩波和激波等流动现象与上述结论有着十分密切的关系。

四、气流中的压力波简介
膨胀波和激波是超声速气流特有的重要现象。

一般来讲，超声速气流在加速时要产生膨胀波，减速时要产生激波。

由于篇幅的限制这里只简要地介绍气流中压力波的形成和基本概念，有关膨胀波和激波的相交和反射的计算等更深层次的问题，请读者可在此基础上参阅气体动力学方面书籍进一步学习。

一、膨胀波。

图5-8 弱扰动在气流中的传播
v
(a ) v =0
(b ) v <c
v
(c ) v=c
(d ) v >c
图5-9为超声速气流沿外凸壁流动，壁面在o 点处向外折转了一个微小的角度dθ。

由于壁面的微小折转，使原来平行流动的气流参数也随之发生了微小的变化，即受到了微弱的扰动。

因此，壁面折转处（扰动源）必然要产生一道马赫波oL ，由壁面的折转所产生的扰动只能传播到oL 以后的流场，而不能传播到oL 之前。

所以oL 之前的气流参数不会发生变化，而气流经过oL 后参数发生了一个微小的变化。

由于波后气流向外折转了dθ角平行于壁面oB ，使气流的截面积增大了。

设来流的截面积为A ，从图中的几何关系可得（单宽）面积为
sin A oD μ=， 流经oL 后的截面积变为
sin()A dA oD μd θ+=-，
式中的dθ称为气流的折转角，逆时针为正，顺时针为负。

所以， A dA A +>。

根据前面的分析可知，超声速气流当截面积变大时加速，压力、密度和温度都会降低。

当气流的折转角不是微分量时，
即折转一个有限量时，气流的参数就将发
生一个有限的变化。

由于超声速气流流经
这道马赫波oL 后发生膨胀（气流加速），因此将这种马赫波称为膨胀波。

应该指出，超声速气流产生膨胀波不仅仅局限于这种情形，其他情况下也会产生膨胀波。

例如从火箭或飞机发动机尾喷管射出的超声速气流，如果出口截面上的压力大于大气压力，气流在出口截面后也会产生膨胀波。

二、弱压缩波
图5-10所示的情形刚好与图5-9的情况相反，壁面在o 点处向内折转了一个微小的角度dθ。

在折转处将产生一道马赫波oL ，气流在流过oL 后流动方向也要向内折转一个角度dθ，与壁面oB 平行，气流参数发生一个微小的变化，从图中的几何关系可得到气流截面积在oL 前后分别为s i n A o D μ=和sin()A dA oD μd θ+=-，但由于此时的dθ>0，因此有
A dA A +<。

根据超声速气流的流动规律，气流截面积变小时减速，压力、密度和温度都会增大。

由于超声速气流流经这道马赫波后受到压缩（气流减速），因此将这种马赫波称为弱压缩波。

当气流的折转角不是微分量而是一个有限量时，与膨胀波的情形不同，这时会产生激波。

三、激波
超声速气流被压缩时一般都会产生激波，气流通过激波时的压缩过程是在一个非常小的距离内完成的，理论计算和实测结果表明，激波的厚度大约在2.5×10-5cm 左右，这个量级
A
图5-9 膨胀波
A
图5-10 压缩波
已经和分子的自由行程是同一个量级的了。

可以想象，气流在这样小的范围内完成一个显著的压缩过程，其内部的物理过程必然是非常地剧烈。

按照激波的形状可将激波划分成以下几
种情况：○
1正激波：波面为一个垂直于气流的平面，见图5-11a ；○2斜激波：波面为一斜面，一般见于楔形物体的绕流中，见图5-11b ；○
3曲线激波：波面形状为曲面，一般出现在钝型物体的前面，见图5-11c 。

下面就以等直径管道内加速运动的活塞为例来说明激波的形成过程。

设有一根很长的等直径管道，管中充满着静止的气体，管子的左端有一个活塞，活塞向右加速运动运动以压缩气体。

为了便于说明问题，设想活塞从静止加速到速度v 的过程分解为很多个阶段，每个阶段中活塞只有一个微小的速度增量Δv 。

当活塞速度从0加速到Δv 时，活塞附近的气体首先受到压缩，压力、密度和温度都略有提高，这时在气体中产生一道压缩波并向右传播，其传播速度是尚未受到压缩的气体中的声速c 1。

这时候再将活塞由Δv 加速到2Δv ，管内会产生第二道弱压缩波。

这道弱压缩波的在第一道压缩过的气流中向右传播，由于其波前的气体已经受到了第一道波的压缩，其温度要高于未受到压缩的气体，由此可知，第二道波的传播速度要大于第一道波，即c 2>c 1。

依此类推，活塞每一次加速气体中就会多一道弱压缩波。

这样，当活塞的运动速度达到v 时，就会在管道中形成若干道弱压缩波，且后面的波速要大于前面的波速，随着时间的推移，这些波将聚集在一起称为一道波，这道波不再是弱压缩波了，而是激波。

以后只要活塞以不变的速度v 向右运动就能维持一个强度不变的激波。

【习题】在人头上400m 上空有一架飞机，飞机前进了800m 时，此人才听到的飞机的声音。

大气的温度为288K 。

试求该飞机的飞行马赫数、速度及听到飞机的声音时飞机已飞行过其头顶多少时间。

正激波 Ma>1 Ma<1 (a)
斜激波 Ma>1
(b)
曲线激波
(c)
图5-11 激波的分类。