四川省达州市2023届高三第一次诊断测试模拟考试理科数学试题及答案

四川省达州市2023届高三第一次诊断测试模拟考试理科数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合{}
2
M x x x ==，{}lg 0N x x =≤，则M N ⋃等于（ ）
A ．[]0,1
B ．(]0,1
C ．[)0,1
D ．(]1-∞，
2．如图，若向量OZ 对应的复数为z ，则4
z z
+表示的复数为（ ）
A ．1＋3i
B ．－3－i
C ．3－i
D ．3＋i
3．设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，结论乙：“概率满足P （A ）＋P （B ）＝1”，则甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知直线()100,0ax by a b +-=>>与圆224x y +=相切，则22log log a b +的最大值为（ ） A ．3
B ．2
C ．2-
D ．3-
5．执行程序框图，则输出的数值为（ ）
A ．31
B ．32
C ．63
D ．64
6．()5
2x x y ++的展开式中，52x y 的系数为 A ．10 B ．20 C ．30
D ．60
7．已知平面向量a ，b 是非零向量，2a =，()2a a b ⊥+，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ） A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
8．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品. 若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线22
221y x a b
-=(00)a b >>，下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，
离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）
A ．22
1124y x -=
B ．22
3144
y x -=
C ．22
144
x y -=
D ．22
1164
y x -=
9．已知定义在 R 上的函数()f x 满足()()()()11，f x f x f x f x -=-+=-，当
[]1,1x ∈-时，()33f x x x =-，则()2023f 等于（ ）
A ．1
B ．2-
C ．1-
D ．2
10．某顾客在2020年1月1日采用分期付款的方式购买一辆价值2万元的家电，在购买一个月后2月1日第一次还款，且以后每个月1日等额还款一次，如果一年内还清全部贷款（12月1日最后一次还款），月利率为0.5％.按复利计算，则该顾客每个月应还款多少元？（精确到1元，参考值101.005 1.05=，111.005 1.06=）（ ） A ．1767
B ．1818
C ．1923
D ．1946
11．已知函数(
)cos f x x x ωω+在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上不单调，在2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则实数ω
的取值范围为（ ） A ．(]1,2
B ．5,23⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．[]1,2
D ．4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦
12．如图所示，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点P 是棱AD 上一点，且3
a
AP =，过1B ，1D ，P 的平面交平面ABCD 于PQ ，Q 在直线CD 上，则PQ =（ ）
A
B
C
D
二、填空题
13．设变量,x y 满足约束条件：3000x y x y y +-≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为
__________.
14．已知数列 {}n a 满足()1122n n n a a a n -+=+≥，24612a a a ++=，1359a a a ++=，则34a a +等于__________.
15．已知点 ()3,2M -是坐标平面内一定点， 若抛物线22y x =的焦点为F ， 点Q 是抛物线上的一动点， 则MQ QF -的最小值是__________.
16．已知当e
x≥时，不等式
1
1
e ln
a x
x a x
x
+-≥恒成立，则正实数a的最小值为
___________.
三、解答题
17．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin sin sin sin
b C a A b B
c C
+=+．（I）求A；
（Ⅱ）设D是线段BC的中点，若2
c=，AD=a．
18．某种病菌在某地区人群中的带菌率为10%，目前临床医学研究中已有费用昂贵但能准确检测出个体是否带菌的方法. 现引进操作易、成本低的新型检测方法: 每次只需检测x y，两项指标，若指标x的值大于4 且指标y的值大于100，则检验结果呈阳性，否则呈阴性. 为考查该检测方法的准确度，随机抽取50 位带菌者(用“*” 表示)和50 位不带菌者(用“+” 表示)各做 1 次检测，他们检测后的数据，制成如下统计图:
(1)根据独立性检验，完成列联表，判断是否有99.9%以上的把握认为“带菌” 与“检测结果呈阳性” 有关?
(2)现用新型检测方法，对该地区人群进行全员检测，用频率估计概率，求每个被检者“带菌” 且“检测结果呈阳性” 的概率.
附：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K n a b c d
a b c d a c b d
-
==+++ ++++
，.
19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，112AB AC BB ===，，160ABB ∠=.
(1)证明: 1AB B C ⊥；
(2)若12B C =，求1AC 与平面1BCB 所成角的正弦值.
20．平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆22
:14x C y +=， 椭圆2:16x E +214
y =.设点P 为
椭圆C 上任意一点， 过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A B ，
两点， 射线PO 交椭圆E 于点Q . (1)求 OQ OP
的值；
(2)求
ABQ 面积的最大值.
21．已知函数()1
2x f e x k x k +=--(其中e 是自然对数的底数，kⅡR)．
(1)讨论函数()f x 的单调性；
(2)当函数()f x 有两个零点12,x x 时，证明：122x x +>-．
22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为：(()2
2
14x y ++=.以O 为极点，
x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C ，3C 的极坐标方程分别为：2sin ρθ=，
π2cos 6
ρθ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
.
（1）若曲线2C ，3C 相交于异于极点的点Q ，求点Q 的直角坐标；
（2）若直线():l θαρ=∈R 与1C ，2C 相交于异于极点的A ，B 两点，求AB 的最大值. 23．设()|1|2|1|f x x x =--+的最大值为m . （1）求m ；
（2）若22
2,,(0,),2
a c a
b
c b m +∈+∞+=，求ab bc +的最大值.
参考答案：
1．A
【分析】分别解方程和不等式求出集合M 和集合N ，再求并集即可.
【详解】对于集合M ，由2x x =解得0x =或1x =，Ⅱ{}01
M =，， 对于集合N ，不等式lg 0x ≤等价于lg lg1x ≤，
Ⅱlg y x =是定义在()0,∞+上的增函数，Ⅱ01x <≤，Ⅱ{}01N x x =<≤， Ⅱ{}[]010,1M N x x ⋃=≤≤=. 故选：A. 2．D
【解析】利用复数与向量的对应关系可得z ＝1－i ，再利用复数的运算法则即可得出答案. 【详解】由题图可得Z （1，－1），即z ＝1－i ，所以z ＋4
z ＝1－i ＋41i
-＝1－i ＋
4(1)(1)(1)i i i +-+＝1－i ＋
442
i
+＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i . 故选：D.
【点睛】本题考查复数的几何意义、复数与向量之间的对应关系、复数的运算法则. 3．A
【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确答案.
【详解】Ⅱ若事件A 与事件B 是对立事件，则A ⅡB 为必然事件，再由概率的加法公式得P （A ）＋P （B ）＝1；
Ⅱ投掷一枚硬币3次，满足P （A ）＋P （B ）＝1，但A ，B 不一定是对立事件，如：事件A ：
“至少出现一次正面”，事件B ：“出现3次正面”，则P （A ）＝7
8，P （B ）＝18，满足P （A ）
＋P （B ）＝1，但A ，B 不是对立事件. 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查对立事件的理解，属于基础题. 4．D
【分析】由直线与圆相切可得22
14
a b +=
，然后利用均值不等式可得1
8ab ≤，从而可求
22log log a b +的最大值.
【详解】解：因为直线()100,0ax by a b +-=>>与圆224x y +=相切，
2=，即2214a b +=，
因为222a b ab +≥，所以18
ab ≤
， 所以2222
1
log log log log 38
a b ab +=≤=-， 所以22log log a b +的最大值为3-， 故选：D. 5．C
【分析】模拟程序的运行过程，逐步计算即可求出结果． 【详解】解：模拟程序的运行，
0,0S i ==
0021S =+=，满足条件5i <，1i =， 1123S =+=，满足条件5i <，2i =， 2327S =+=，满足条件5i <，3i =，
37215S =+=，满足条件5i <，4i =， 415231S =+=，满足条件5i <，5i =，
531263S =+=，此时，不满足条件5i <，退出循环，输出S 的值为63．
故选：C ． 6．C
【详解】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y 的系数为2
1
2
532C C C =30，故选 C.
考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.
【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解. 7．A
【分析】首先通过条件()
2a a b ⊥+求得·2a b =-，
然后根据数量积的运算公式求出·b cos θ，
进而求解b 在a 方向上投影.
【详解】平面向量a b 、是非零向量，()
22a a a b =⊥+，， ()
2·2?2?||2?42?a a b a a a b a a b a b ∴+=+=+=+0=，则·2a b =-. 设a 与b 夹角为θ，···2a b a b cos θ==-，则2
·1b cos a
θ-==-， b ∴在a 方向上投影为1-.
故选：A 8．B
【分析】首先根据题意得到2
22
22b c a c a b
=⎧⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎩，再解方程组即可.
【详解】设双曲线的一个焦点为(
)0,c ，一条渐近线方程为a
y x b
=
， 则焦点到渐近线的距离2d b =
==，
所以222222
4234b a c
a b c a b
=⎧⎧⎪=⎪⎪=⇒⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎩，即双曲线方程为：22
3144y x -=.
故选：B 9．D
【分析】有题目条件，可得()f x 周期为4，且()f x 图像关于1x =对称，据此可得()2023f . 【详解】因()()11f x f x +=-，则()f x 图像关于1x =对称 又因()()f x f x =-，
则()()()()()()11112f x f x f x f x f x f x +=-⇒+=--⇒+=-
()()()42f x f x f x ⇒+=-+=，即()f x 周期为4.
则()()()()20234505331f f f f =⨯+==-，又当[]1,1x ∈-时，()3
3f x x x =-，则
()12f -=，即()20232f =.
故选：D 10．A
【分析】设每月还款x 元，每月还款按得利计算，11次还款的本利和等于银行贷款按复利计算的本利和，由此可得．
【详解】设每月还款x 元，共还款11个月， 所以10911(1.005 1.005 1.0051)20000 1.005x ⨯++
++=⨯，
11111110
20000 1.00520000 1.00520000 1.061767
1 1.061 1.0051 1.005 1.0050.0051 1.005
x ⨯⨯⨯===≈--+++--． 故选：A ． 11．D
【分析】先运用辅助角公式将函数解析式化为()2sin 6f x x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，则当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，
,6646x ππωππω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，当2,33x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，2,64636x ππωπωπωπ⎛⎫+∈++
⎪⎝⎭，依题意只需462πωππ+>且()23,,363622k k k Z ωππωππππππ⎛⎫⎛⎫
++⊆++∈
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即可. 【详解】依题意，函数()2sin 6f x x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故
462πωππ+>，即43ω>； 因为2,33x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，2,64636x ππωπωπωπ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭；
故()23,,363622k k k Z ωππωππππππ⎛⎫⎛⎫
++⊆++∈
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 则,362
23,3
62k k k k ωπππ
πωππππ⎧+≥+∈Z ⎪⎪⎨⎪+≤+∈Z ⎪⎩，解得：()1323k k k Z ω+≤≤+∈，
而4
3ω>
，且3ππω≥，423
ω<≤，故选D ． 【点睛】本题考查利用函数()sin y A ωx φ=+的单调性求参问题，难度一般.解答时采用整体思想，用x ωϕ+整体的范围与原函数单调区间的关系来求解. 12．A
【分析】连接BD ，由面面平行性质定理，可以证出11B D PQ ∥，所以PQ BD ∥，PDQ BCD ，
利用相似比即可求出PQ .
【详解】
在正方体1111ABCD A B C D -中，11BB DD ∥，11BB DD =， Ⅱ四边形11DD B B 是平行四边形，Ⅱ11B D BD ∥， 又Ⅱ在正方体1111ABCD A B C D -中，平面1111D C B A 平面ABCD ， 平面11B D P
平面1111D C B A 11B D =，平面11B D P
平面ABCD PQ =，
Ⅱ11B D PQ ∥，ⅡPQ BD ∥， ⅡPQD BDC ∠=∠，， 又Ⅱ90PDQ BCD ∠=∠=︒， ⅡPDQ
BCD ，Ⅱ
PQ PD
BD BC
=， 又Ⅱ正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ， ⅡBC a =，233
a a PD AD AP a =-=-
=
，BD =，
Ⅱ23a
PD BD PQ BC a ⨯===. 故选：A. 13．9
2
##4.5
【分析】根据不等式组作出可行域，再结合目标函数的几何意义求最值. 【详解】根据不等式组作出可行域，如图所示
当目标函数2z x y =+经过点33,22⎛⎫
⎪⎝⎭
时，z 取最大值为92
故答案为：9
2
##4.5
14．7
【分析】首先根据题意得到{}n a 是等差数列，再根据等差数列的性质求解即可. 【详解】因为()1122n n n a a a n -+=+≥，所以{}n a 是等差数列， 由等差数列性质可得2464312a a a a ++==，解得44a =. 135339a a a a ++==，解得33a =.
所以347a a +=. 故答案为：7 15．5
2
##2.5
【分析】根据抛物线的性质，做出图像即可得到当MQ 平行于x 轴时，MQ QF -取得最小值，从而得到结果.
【详解】
抛物线的准线方程为1
2
x =-，
过点Q 作QQ '垂直准线于点Q '，
MQ QF MQ QQ '-=-
显然，当MQ 平行于x 轴时，
MQ QF -取得最小值，此时()2,2Q ，
此时1523222
MQ QF -=+-+= 故答案为:5
2.
16．1e
【分析】将问题转化为11
e ln e ln a a x x x x -≤-，设()ln
f x x x =-，根据函数的单调性求出
1
ln a x x
≥
，令()ln h x x x =（[e,)x ∈+∞），利用导数求出其最小值，从而可求出实数a 的取值范围，进而可求得正实数a 的最小值 【详解】由题意得，原不等式可变形为11
e ln a x
x a x x
-
≤-，即11e ln e ln a a x x x x -≤-， 设()ln f x x x =-，则当e x ≥时，1e ()a x
f f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
恒成立，
由()ln f x x x =-，得11()1x f x x x
'
-=-
=， 当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，， 所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 因为e x ≥，0a >，所以1
e 1x >，1a x >， 因为()
f x 在(1,)+∞上单调递增，
所以要使1e ()a
x f f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
，只要1e a x x ≤，
两边取对数得，1
ln a x x ≤，
因为e x ≥，所以1
ln a x x
≥
， 令()ln h x x x =（[e,)x ∈+∞），则()1ln 0h x x '=+>， 所以()h x 在[e,)+∞上单调递增， 所以min ()(e)eln e e h x h ===， 所以11
0ln e
x x <
≤，所以1e a ≥，
所以正实数a 的最小值为1
e ，
故答案为：1
e
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查数学转化思想，解题的关键是将原不等式转化为1
1
e ln e ln a a x x x x -≤-，发现两边形式相同，所以构造函数()ln
f x x x =-，转化为
当e x ≥时，1e ()a
x f f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，再由函数的单调性可得1e a x x ≤，再转化为1ln a x x ≥恒成
立，构造函数()ln h x x x =求出其最小值即可，属于较难题
17．（I ）
3
π
；（Ⅱ）【分析】（I ）先由正弦定理，将所给条件化为222bc b c a =+-，再由余弦定理，即可得出结果；
（Ⅱ）根据题中条件，得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，推出22244a b =-，再由余弦定理得到2242a b b =-+，两式联立求出b ，进而可求出a .
【详解】（I ）根据正弦定理，由sin sin sin sin b C a A b B c C +=+可得222bc a b c +=+，
即222bc b c a =+-， 由余弦定理可得，2221
cos 22
b c a A bc +-=
=， 因为A 为三角形内角，所以3
A π
=
；
（Ⅱ）因为D 是线段BC 的中点，2c =
，AD = 所以ADB ADC π∠+∠=，则cos cos 0ADB ADC ∠+∠=， 所以222222
022AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC
+-+-+=⋅⋅，
即
222
2
1321344022
a a
b a a +-+-+=，整理得22244a b =-； 又22222cos 42a b
c bc A b b =+-=+-，
所以2242244b b b +-=-，解得6b =或8b =-（舍）， 因此2224428a b =-=
，所以a =【点睛】思路点睛：
求解三角形中的边长或面积等问题时，一般需要根据正弦定理，或余弦定理，将题中条件进行转化，得出对应的方程求解即可.
18．(1)列联表见解析，有 99.9%以上的把握认为 “带菌” 与 “检测结果呈阳性” 有关； (2)0.07.
【分析】（1）据已知统计表，求得列联表，结合参考数据和参考公式求得2K ，即可判断； （2）知数据，结合条件概率的计算公式，求解即可. 【详解】（1）22⨯列联表如下：
根据列联表中的数据， 经计算得到
()2
2100354515537.510.82840605050
K ⨯⨯-⨯=
=>⨯⨯⨯，
所以有 99.9%以上的把握认为 “带菌” 与 “检测结果呈阳性” 有关.
（2）设 事件B 表示：被检测者带菌，事件C 表示：被检测者检测结果呈阳性， 则BC 表示：被检者带菌且检测结果呈阳性，
用频率估计概率， 根据题意可知 ()()35
0.10.750
P B P C
B ===，∣， 所以由条件概率公式可知 ()()()0.10.70.07P B
C P B P C
B =⋅=⨯=∣. 19．(1)证明见解析
【分析】（1）作出辅助线，由余弦定理求出1AB ，进而得到222
11BB AB AB =+，由勾股
定理逆定理得到1AB AB ⊥，结合AC AB ⊥，得到线面垂直，证明出1AB B C ⊥； （2）证明出1AB AC ⊥，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角. 【详解】（1）证明: 连接1AB ， 在1ABB 中，111260AB BB ABB ==∠=，，，
由余弦定理得，222
11111
214223cos 2
AB AB BB AB BB ABB ⋅=+-⋅∠=+-⨯⨯
=，
1AB ∴
22211BB AB AB ∴=+，
1AB AB ∴⊥.
又ABC 为等腰直角三角形，且AB AC =，
AC AB ∴⊥，
1AC
AB A =，1,AC AB ⊂平面1AB C ，
AB ∴⊥平面1AB C .
Ⅱ1B C ⊂平面1AB C ， Ⅱ1AB B C ⊥ （2）
11
312AB AB AC BC ====，， 22211B C AB AC ∴=+，
1AB AC ∴⊥，
如图， 以 A 为原点， 1,,AB AC AB 的方向分别为x 轴，y 轴，
z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则()(()()10,0,0,,1,0,0,0,1,0A B B C ， ()
()11,0,3,1,1,0.BB BC ∴=-=-
设平面1BCB 的一个法向量为(),,n x y z =，
由100BB n BC n ⎧⋅
=⎪⎨⋅=⎪⎩，得0
0x x y ⎧-+
=⎪⎨-+=⎪⎩，令1z =，得x y ==
∴平面1BCB 的一个法向量为(
)
331n =
，
，.
()((1110,1,0AC AC CC AC BB =+=+=+-=-，
设1AC 与平面1BCB 所成角的大小为θ，
(
1111,1,sin cos 11AC n AC n AC n
θ-∴==
=
=
+⋅⋅， 1AC ∴与平面1BCB
20．(1)2 (2)
【分析】(1) 设 ()00OQ
P x y OP
λ=，，，根据比例关系得出()00Q x y λλ--，，将点,P Q 的坐标分别代入方程即可求解； (2) 由(1)知，ABQ 的面积为3OAB
S
，将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理和三
角形面积公式求出S =
.
【详解】（1）设 ()00OQ
P x y OP
λ=，，， 由题意知()00Q x y λλ--，. 因为 22
0014x y +=， 又()()22
001164
x y λλ--+=， 即22200()144λ+=x y ， 所以2λ=， 即
2OQ OP
=.
（2）由(1)知，ABQ 的面积为3OAB
S
，
设 ()()1122A x y B x y ，
，，. 将 y kx m =+代入椭圆E 的方程， 可得()222
1484160k x kmx m +++-=，
由 Δ0>， 可得22416m k <+，Ⅱ
则有 212122284161414km m x x x x k k -+=-
=++，. 所以12x x -= 因为直线 y kx m =+与y 轴交点的坐标为()0m ，，
所以OAB 的面积1212S m x x =-
= 设
2
2
14m t k =+， 将y kx m =+代入椭圆C 的方程， 可得 ()222
148440k x kmx m +++-=，
由 Δ0， 可得2214m k +，Ⅱ
由 (1)(2)可知 01t <， 因此S == 故23S ， 当
且仅当 1t =， 即2214m k =+时取得最大值
所以ABQ 面积的最大值为 21．（1）见解析；（2）见解析. 【详解】试题分析：
本题考查导数与函数单调性的关系以及用导数证明不等式的问题．（1）求导数后，根据导函数的符号判断出函数的单调性．（2）根据题意将证明122x x +>-的问题转化为证明12(+1)ln 421
t t
x x t ++=
>-，即证(+1)ln 2(1)t t t >-，构造函数()(+1)ln 2(1)g t t t t =--， 利用函数()g t 的单调性证明即可． 试题解析：
（1）解：Ⅱ()1
2x f x e kx k +=--，
Ⅱ．
Ⅱ当
时，令()0f x '=，解得1ln x k =-+，
Ⅱ当(,1ln )x k ∈-∞-+时，，单调递减； 当(1ln ,)x k ∈-++∞时，，
单调递增．
Ⅱ当时，
恒成立，
Ⅱ函数在R 上单调递增. 综上，当时，
在(,1ln )k -∞-+上单调递减，在(1ln ,)k -++∞上单调递增．
当
时，在R 上单调递增. （2）证明：当时，由（1）知函数
单调递增，不存在两个零点．
所以．
设函数的两个零点为，
则
，
设，
解得
，
所以12(+1)ln 41
t t
x x t ++=-， 要证，
只需证
，
设
设单调递增，
所以，
所以在区间
上单调递增， 所以，
故
． 22．（1
）12⎫
⎪⎪⎝⎭
；
（2
）【分析】（1）分别求出2C 、3C 的直径坐标方程，进而联立两个直角坐标方程，可求出点Q 的直角坐标；
（2）求出1C
的极坐标方程2sin ρθθ=--，设(),A A ρα，(),B B ρα
，从而可得4sin A B AB ρραα=+=-，利用三角函数求最值即可.
【详解】（1）由2sin ρθ=，得22sin ρρθ=，将222
cos sin x y x y ρρθρθ⎧+=⎪
=⎨⎪=⎩
代入，可得2C 的直角坐标方程
为222x y y +=；
由πππ2cos 2cos cos 2sin sin 666ρθθθ⎛
⎫=+=- ⎪⎝
⎭sin θθ-
，得2cos sin ρθρθ=-，
将222
cos sin x y x y ρρθρθ⎧+=⎪
=⎨⎪=⎩
代入，可得3C
的直角坐标方程为22x y y +-.
联立22222x y y x y y ⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩
，解得12
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或00x y ==⎧⎨⎩， 所以点Q
的直角坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭
. （2
）由(()2214x y ++=
，可得2220x y y +++=，将222
cos sin x y x y ρρθρθ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩代入，可得1C
的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ++=
，则2sin ρθθ=--.
设(),A A ρα，(),B B ρα，
则2sin A ραα=--，2sin B ρα=，
所以4sin A B AB ραααρα=-+==(
)αβ=+
（i s n s ββ=， 因为()sin 1αβ+≤，所以AB =(
)αβ+≤ 故AB
的最大值为
【点睛】本题考查普通方程、参数方程及极坐标方程间的转化，考查利用极坐标求弦长，考查计算求解能力，属于中档题.
23．（1）2m =；（2）2．
【分析】（1）采用零点分段法去绝对值3?1()3111,3?1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=---<<⎨⎪--≥⎩
，，，，，结合函数图象可得2m =；
（2）由于22
22
a c
b m ++=,所以222222222()() 2()m a b
c a b b c ab bc =++=++++,所以 2ab bc +.
【详解】（1）3?1()3111,3?1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=---<<⎨⎪--≥⎩
，，，，，画出图象如图，
可知当=1x -时，函数()f x 取得最大值2.
Ⅱ2m =.
（2）Ⅱ22
22
a c
b m ++=，Ⅱ222222222()() 2()m a b
c a b b c ab bc =++=++++， Ⅱ 2ab bc +，Ⅱab bc +的最大值为2， 当且仅当1a b c ===时，等号成立.。