七年级数学上册人教版几何图形初步复习(解析版)(课堂学案及配套作业)

几何图形初步复习（解析版）
【知识点一】立体图形与平面图形
区别：立体图形各部分不都在同一平面内；平面图形各部分都在同一平面内.
联系：立体图形可以展开成平面图形，平面图形可以旋转成立体图形.
考点：(1)从不同方向看立体图形.(2)立体图形的平面展开图.
例1（2022秋•即墨区校级月考）如图所示的几何体是由4个相同的小正方体组成．从左面看到的几何体的形状图为（）
A．B．C．D．
思路引领：根据解答组合体三视图的画法画出该组合体从左面看到的图形即可．
解：从左面看这个几何体，所得到的图形为：
故选：D．
解题秘籍：本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的前提．
针对练习
1．（2020秋•江门期末）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“建”
字一面的相对面上的字是．
思路引领：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“建”与“会”是相对面．故答案为：会．
解题秘籍：本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
2．（2021•东明县二模）如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是（）
A．B．C．D．
思路引领：将A、B、C、D分别展开，能和原图相对应的即为正确答案．
解：A、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误；
B、展开得到，能和原图相对，故本选项正确；
C、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误；
D、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误．
故选：B．
解题秘籍：本题考查了展开图折叠成几何体，熟悉其侧面展开图是解题的关键．3．（2020秋•秦淮区期末）如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是（）
A．B．
C．D．
思路引领：由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
解：因圆柱的侧面展开面为长方形，AC展开应该是两线段，且有公共点C．
故选：A．
解题秘籍：此题主要考查圆柱的侧面展开图，以及学生的立体思维能力．
4．（2021秋•天台县期末）如图1，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？请完成下列问题：
（1）图2是将立方体表面展开的一部分，请将图形补充完整；（画一种即可）
（2）在图2中画出点A到点B的最短爬行路线；
（3）在图2中标出点C，并画出A、C两点的最短爬行路线（画一种即可）．
思路引领：（1）根据题意画出正方体的展开图即可；
（2）根据线段的性质画出图形即可；
（3）根据线段的性质画出图形即可．
解：（1）如图所示，
（2）如图所示，连接AB，线段AB的即为点A到点B的最短爬行路线；
（3）如图所示，线段AC即为A、C两点的最短爬行路线．
解题秘籍：此题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，几何体的展开图，线段的性质：两点之间线段最短，正确的画出图形是解题的关键．
【知识点二】直线、射线、线段
1．直线、射线、线段的区别和联系：
区别：（1）端点个数不同：直线没有端点，射线一个端点，线段两个端点.
（2）延伸方向不同，直线向两方延伸，射线向一个方向延伸，线段无延伸.
联系：（1）都可以用两个点的大写字母表示，直线是用任意两点字母，没有先后顺序；射线是用一个端点字母和任一点字母，端点字母在前；线段只能用两端点字母，没有先后顺序.（2）线段可以度量，直线和射线不可度量.
2．两个性质、一个中点：
（1）直线的性质：两点确定一条直线.
（2）线段的性质：两点之间，线段最短.
（3）线段的中点：把一条线段平均分成两条相等线段的点.
例2（2020秋•永嘉县校级期末）如图，直线l上有A、B两点，AB＝24cm，点O是线段AB 上的一点，OA＝2OB．
（1）OA＝cm，OB＝cm．
（2）若点C是线段AO上一点，且满足AC＝CO+CB，求CO的长．
（3）若动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，设运动时间为t（s），当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动．
①当t为何值时，2OP﹣OQ＝8．
②当点P经过点O时，动点M从点O出发，以3cm/s的速度也向右运动．当点M追上
点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后立即返回，又以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止时，点M也停止运动．在此过程中，点M行驶的总路程为48cm．
思路引领：（1）由OA＝2OB，OA+OB＝24即可求出OA、OB．
（2）设OC＝x，则AC＝16﹣x，BC＝8+x，根据AC＝CO+CB列出方程即可解决．（3）①分两种情形①当点P在点O左边时，2（16﹣2t）﹣（8+t）＝8，当点P在点O 右边时，2（2t﹣16）﹣（8+x）＝8，解方程即可．
②点M运动的时间就是点P从点O开始到追到点Q的时间，设点M运动的时间为ts由
题意得：t（2﹣1）＝16由此即可解决．
解：（1）∵AB＝24，OA＝2OB，
∴20B+OB＝24，
∴OB＝8，0A＝16，
故答案分别为16，8．
（2）设CO＝x，则AC＝16﹣x，BC＝8+x，
∵AC＝CO+CB，
∴16﹣x＝x+8+x，
∴x=8 3，
∴CO=8 3．
（3）①当点P在点O左边时，2（16﹣2t）﹣（8+t）＝8，t=16 5，
当点P在点O右边时，2（2t﹣16）﹣（8+t）＝8，t＝16，
∴t=16
5或16s时，2OP﹣OQ＝8．
②设点M运动的时间为ts，由题意：t（2﹣1）＝16，t＝16，∴点M运动的路程为16×3＝48cm．
故答案为48cm．
解题秘籍：本题考查一元一次方程的应用，两点之间距离的概念，找等量关系列出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型．
针对练习
1．（南充模拟）已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝3cm，则线段AC＝．思路引领：由于C点的位置不能确定，故要分两种情况考虑AC的长，注意不要漏解．解：由于C点的位置不确定，故要分两种情况讨论：
当C点在B点右侧时，如图所示：
AC＝AB+BC＝8+3＝11cm；
当C点在B点左侧时，如图所示：
AC＝AB﹣BC＝8﹣3＝5cm；
所以线段AC等于11cm或5cm，
故答案为：11cm或5cm．
解题秘籍：本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
2．（2019秋•鄞州区期末）已知点C是线段AB的中点，点D是线段BC上一点，下列条件不能确定点D是线段BC的中点的是（）
A．CD＝DB B．BD=1
3AD C．2AD＝3BC D．3AD＝4BC
思路引领：
解：如图，
∵CD＝DB，
∴点D是线段BC的中点，A不合题意；∵点C是线段AB的中点，
∴AC＝BC，
又∵BD=1
3AD，
∴点D是线段BC的中点，B不合题意；
∵点C是线段AB的中点，
∴AC＝BC，2AD＝3BC，
∴2（BC+CD）＝3BC，
∴BC＝2CD，
∴点D是线段BC的中点，C不合题意；
3AD＝4BC，不能确定点D是线段BC的中点，D符合题意．
故选：D．
解题秘籍：本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的定义、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
3．（2021秋•德江县期末）如图，C是线段AB上的一点，M是线段AC的中点，若AB＝8cm，BC＝2cm，则MC的长是（）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
思路引领：由图形可知AC＝AB﹣BC，依此求出AC的长，再根据中点的定义可得MC 的长．
解：由图形可知AC＝AB﹣BC＝8﹣2＝6cm，
∵M是线段AC的中点，
∴MC=1
2AC＝3cm．
故MC的长为3cm．
故选：B．
解题秘籍：考查了两点间的距离的计算；求出与所求线段相关的线段AC的长是解决本题的突破点．
4．（2021秋•长乐区期末）如图，把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短，这样做的道理是（）
A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短
C．两点之间直线最短D．垂线段最短
思路引领：根据线段的性质：两点之间线段最短进行解答．
解：把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短，这样做的道理是两点之间线段最短，
故选：B．
解题秘籍：此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短，是需要记忆内容．
5．如图，在四边形ABCD内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离和OA+OB+OC+OD
最小，并说出你的理由，由本题你得到什么数学结论？举例说明它在实际中的应用．
思路引领：连接AC、BD相交于点O，则点O就是所要找的点；取不同于点O的任意一点P，连接P A、PB、PC、PD，根据两点之间，线段最短，即可得到P A+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，从而可得点O就是所要找的四边形ABCD内符合要求的点．
解：要使OA+OB+OC+OD最小，则点O是线段AC、BD的交点．
理由如下：如果存在不同于点O的交点P，连接P A、PB、PC、PD，
因为点P有可能在AC上，
所以P A+PC也有可能等于AC，即P A+PC≥AC，
同理，PB+PD≥BD，
但因为点P不同于点O，
所以点P不可能同时在AC、BD上，
所以“P A+PC＝AC“与“PB+PD＝BD“不可能同时出现，
所以P A+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，
由本题得到：两点之间，线段最短．
实际应用：把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
解题秘籍：本题考查了两点之间，线段最短，作出图形更助于问题的解决，把问题转化为求两条线段的和是解决问题的关键．
6．点O是线段AB＝28cm的中点，而点P将线段AB分为两部分，AP：PB=2
3：
4
15
，求线
段OP的长．
思路引领：根据线段的比例的性质，可得AP：PB＝10：4，根据按比例分配，可得AP 的长，根据线段中点的性质，可得AO的长，根据线段的和差，可得答案．
解：由比例的性质，得
AP：PB＝10：4．
按比例分配，得
AP ：28×
10
10+4
=20（cm ）． 由线段中点的性质，得 AO =12
AB ＝14（cm ）． OP ＝AP ﹣AO ＝20﹣14＝6（cm ）．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离，利用了比例的性质，线段中点的性质，线段的和差．
7．（2017春•太谷县校级期末）如图，已知C ，D 两点在线段AB 上，AB ＝10cm ，CD ＝6cm ，M ，N 分别是线段AC ，BD 的中点，则MN ＝ cm ．
思路引领：结合图形，得MN ＝MC +CD +ND ，根据线段的中点，得MC =1
2
AC ，ND =12
DB ，然后代入，结合已知的数据进行求解． 解：∵M 、N 分别是AC 、BD 的中点，
∴MN ＝MC +CD +ND =1
2AC +CD +1
2DB =1
2（AC +DB ）+CD =1
2（AB ﹣CD ）+CD =1
2×（10﹣6）+6＝8． 故答案为：8．
解题秘籍：此题考查的知识点是两点间的距离，关键是利用线段的中点结合图形，把要求的线段用已知的线段表示．
8．（2019秋•北仑区期末）如图，C 为射线AB 上一点，AB ＝30，AC 比BC 的1
4多5，P 、Q
两点分别从A 、B 两点同时出发，分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度在射线AB 上沿AB 方向运动，当点P 运动到点B 时，两点同时停止运动，运动时间为t （s ），M 为BP 的中点，N 为MQ 的中点，以下结论：①BC ＝2AC ；②AB ＝4NQ ；③当BP =1
2BQ 时，t ＝12；④M ，N 两点之间的距离是定值．其中正确的结论 （填写序号）
思路引领：根据线段中点的定义和线段的和差关系即可得到结论． 解：∵AB ＝30，AC 比BC 的1
4多5，
∴BC ＝20，AC ＝10， ∴BC ＝2AC ；故①正确；
∵P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度， ∴BP ＝30﹣2t ，BQ ＝t ，
∵M 为BP 的中点，N 为MQ 的中点，
∴PM=1
2BP＝15﹣t，MQ＝MB+BQ＝15，NQ=
1
2MQ＝7.5，
∴AB＝4NQ；故②正确；
∵BP=30−2t，BQ=t，BP=1
2 BQ，
∴30−2t=t
2，解得：t＝12，故③正确，
∵BP＝30﹣2t，BQ＝t，
∴BM=1
2PB＝15﹣t，
∴MQ＝BM+BQ＝15﹣t+t＝15，
∴MN=1
2MQ=
15
2，
∴MN的值与t无关是定值，
故答案为：①②③④．
解题秘籍：本题考查两点间的距离，解题的关键是求出P到达B点时的时间，以及点P 与Q重合时的时间，涉及分类讨论的思想．
9．（2021秋•易县期末）如图，在数轴上有A，B两点，且AB＝8，点A表示的数为6；动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．
（1）写出数轴上点B表示的数是；
（2）当t＝2时，线段PQ的长是；
（3）当0＜t＜3时，则线段AP＝；（用含t的式子表示）
（4）当PQ=1
4AB时，求t的值．
思路引领：（1）根据两点间的距离公式即可求出数轴上点B表示的数；
（2）先求出当t＝2时，P点对应的有理数为2×2＝4，Q点对应的有理数为6+1×2＝8，再根据两点间的距离公式即可求出PQ的长；
（3）先求出当0＜t＜3时，P点对应的有理数为2t＜6，再根据两点间的距离公式即可求出AP的长；
（4）由于t秒时，P点对应的有理数为2t，Q点对应的有理数为6+t，根据两点间的距离
公式得出PQ＝|2t﹣（6+t）|＝|t﹣6|，根据PQ=1
4AB列出方程，解方程即可求解．
解：（1）6+8＝14．
故数轴上点B表示的数是14；
（2）当t＝2时，P点对应的有理数为2×2＝4，Q点对应的有理数为6+1×2＝8，8﹣4＝4．
故线段PQ的长是4；
（3）当0＜t＜3时，P点对应的有理数为2t＜6，故AP＝6﹣2t；
（4）根据题意可得：
|t﹣6|=1
4
×8，
解得：t＝4或t＝8．
故t的值是4或8．
故答案为：14；4；6﹣2t．
解题秘籍：此题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，（4）中解方程时要注意分两种情况进行讨论．
【知识点三】角的比较与运算
1．比较角大小的方法：度量法、叠合法.
2．互余、互补反映两角的特殊数量关系.
3．方位角中经常涉及两角的互余.
4．计算两角的和、差时要分清两角的位置关系.
例3（2020秋•和平区期末）如图：∠AOB：∠BOC：∠COD＝2：3：4，射线OM、ON，分别平分∠AOB与∠COD，又∠MON＝84°，则∠AOB为（）
A．28°B．30°C．32°D．38°
思路引领：首先设出未知数，然后利用角的和差关系和角平分线的定义列出方程，即可求出∠AOB的度数．
解：设∠AOB＝2x°，则∠BOC＝3x°，∠COD＝4x°，
∵射线OM、ON分别平分∠AOB与∠COD，
∴∠BOM=1
2∠AOB＝x°，
∠CON=1
2∠COD＝2x°，
又∵∠MON＝84°，
∴x+3x+2x＝84，
x＝14，
∴∠AOB＝14°×2＝28°．
故选：A．
解题秘籍：本题主要考查了角平分线的定义和角的计算，解题时要能根据图形找出等量
关系列出方程，求出角的度数．
例4（2021秋•北辰区期末）如图所示，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，若∠1＝26°，则∠2的度数为．
思路引领：由图示可得，∠1与∠BOC互余，结合已知可求∠BOC，又因为∠2与∠COB 互补，即可求出∠2的度数．
解：∵∠1＝26°，∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝64°，
∵∠2+∠BOC＝180°，
∴∠2＝116°．
故答案为：116°．
解题秘籍：此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，关键是掌握互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°．
针对练习
1．（2019•隆化县二模）如图，直线AB、CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD＝76°，则∠BOM等于（）
A．38°B．104°C．142°D．144°
思路引领：根据对顶角相等求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOM的度数，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．
解：∵∠BOD＝76°，
∴∠AOC＝∠BOD＝76°，
∵射线OM平分∠AOC，
∴∠AOM=1
2∠AOC=
1
2
×76°＝38°，
∴∠BOM＝180°﹣∠AOM＝180°﹣38°＝142°．
故选：C．
解题秘籍：本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图是解题的关键．
2．（通辽中考）4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为（）A．55°B．65°
C．70°D．以上结论都不对
思路引领：因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，找出4点10分时针和分针分别转动角度即可求出．
解：∵4点10分时，分针在指在2时位置处，时针指在4时过10分钟处，由于一大格是
30°，10分钟转过的角度为10
60
×30°=5°，因此4点10分时，分针与时针的夹角是2
×30°+5°＝65°．
故选：B．
解题秘籍：本题考查钟表时针与分针的夹角．用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°．
3．（渝北区期末）如图，直角三角板的直角顶点在直线上，则∠1+∠2＝（）
A．60°B．90°C．110°D．180°
思路引领：由三角板的直角顶点在直线l上，根据平角的定义可知∠1与∠2互余，从而求解．
解：如图，三角板的直角顶点在直线l上，
则∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°．
故选：B．
解题秘籍：本题考查了余角及平角的定义，正确观察图形，得出∠1与∠2互余是解题的关键．
4．（2021春•未央区月考）如图，要测量两堵围墙形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，可先延长BO得到∠AOC，然后测量∠AOC的度数，再计算出∠AOB的度数．其中依据的原理是（）
A．对顶角相等B．同角的余角相等
C．等角的余角相等D．同角的补角相等
思路引领：根据邻补角的定义以及同角的补角相等得出答案．
解：如图，由题意得，
∠AOC+∠AOB＝180°，
即∠AOC与∠AOB互补，
因此量出∠AOC的度数，即可求出∠AOC的补角，
根据同角的补角相等得出∠AOB的度数，
故选：D．
解题秘籍：本题考查邻补角的定义、同角的补角相等，理解同角的补角相等是正确判断的前提．
5．（2015秋•庆云县期末）计算：①33°52′+21°54′＝；②36°27′×3＝．思路引领：①利用度加度，分加分，再进位即可；②利用度和分分别乘以3，再进位．解：①33°52′+21°54′＝54°106′＝55°46′；
②36°27′×3＝108°81′＝109°21′；
故答案为：55°46′；109°21′．
解题秘籍：此题主要考查了度分秒的计算，关键是掌握在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
6．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中∠α与∠β互余？在哪种摆放方式中∠α与∠β互补？在哪种摆放方式中∠α与∠β相等？
思路引领：根据每个图中的三角尺的摆放位置，容易得出∠α与∠β的关系．
解：（1）根据平角的定义得：∠α+90°+∠β＝180°，
∴∠α+∠β＝90°，
即∠α与∠β互余；
（2）根据两个直角的位置得：∠α＝∠β；
（3）根据三角尺的特点和摆放位置得：
∠α+45°＝180°，∠β+45°＝180°，
∴∠α＝∠β；
（4）根据图形可知∠α与∠β是邻补角，
∴∠α+∠β＝180°；
综上所述：（1）中∠α与∠β互余；（4）中∠α与∠β互补；（2）（3）中，∠α＝∠β．解题秘籍：本题考查了余角和补角的定义；仔细观察图形，弄清两个角的关系是解题的关键．
7．（2012秋•襄城区期末）如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东60°方向有一艘船，同时，从B地发现这艘船在它北偏东30°的方向上，试在图中确定这艘船的位置．
思路引领：根据方向角的概念分别画出过点A与点B的射线，两条射线的交点即为这艘船的位置．
解：如图所示：作∠1＝60°，∠2＝30°，两射线相交于P点，则点P即为所求．
解题秘籍：本题考查的是方位角的画法，解答此题的关键是熟知方向角的描述方法，即用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西，偏多少度．
8．（2019秋•东莞市期末）直角三角板ABC的直角顶点C在直线DE上，CF平分∠BCD．（1）在图1中，若∠BCE＝40°，∠ACF＝；
（2）在图1中，若∠BCE＝α，∠ACF＝（用含α的式子表示）；
（3）将图1中的三角板ABC绕顶点C旋转至图2的位置，若∠BCE＝150°，试求∠ACF 与∠ACE的度数．
思路引领：（1）、（2）结合平角的定义和角平分线的定义解答； （3）根据角平分线的定义、平角的定义以及角的和差关系解答即可． 解：（1）如图1，∵∠ACB ＝90°，∠BCE ＝40°，
∴∠ACD ＝180°﹣90°﹣40°＝50°，∠BCD ＝180°﹣40°＝140°， 又CF 平分∠BCD ，
∴∠DCF ＝∠BCF =1
2∠BCD ＝70°，
∴∠ACF ＝∠DCF ﹣∠ACD ＝70°﹣50°＝20°； 故答案为：20°；
（2）如图1，∵∠ACB ＝90°，∠BCE ＝α°，
∴∠ACD ＝180°﹣90°﹣α°＝90°﹣α，∠BCD ＝180°﹣α， 又CF 平分∠BCD ，
∴∠DCF ＝∠BCF =1
2∠BCD ＝90°−1
2α， ∴∠ACF ＝90°−1
2α﹣90°+α=1
2α； 故答案为：1
2α；
（3）如图2，∵∠BCE ＝150°， ∴∠BCD ＝30°， ∵CF 平分∠BCD ， ∴∠BCF =1
2∠BCD =15°， ∴∠ACF ＝90°﹣∠BCF ＝75°， ∠ACD ＝90°﹣∠BCD ＝60°， ∴∠ACE ＝180°﹣∠ACD ＝120°．
解题秘籍：考查了角的计算和角平分线的定义，主要考查学生的计算能力，求解过程类
似．
9．（2019秋•梁园区期末）如图，已知∠AOB＝60°，∠AOB的边OA上有一动点P，从距离O点18cm的点M处出发，沿线段MO、射线OB运动，速度为2cm/s；动点Q从点O 出发，沿射线OB运动，速度为1cm/s；P、Q同时出发，同时射线OC绕着点O从OA 上以每秒5°的速度顺时针旋转，设运动时间是t（s）．（1）当点P在MO上运动时，PO ＝cm（用含t的代数式表示）；
（2）当点P在线段MO上运动时，t为何值时，OP＝OQ？此时射线OC是∠AOB的角平分线吗？如果是请说明理由．
（3）在射线OB上是否存在P、Q相距2cm？若存在，请求出t的值并求出此时∠BOC 的度数；若不存在，请说明理由．
思路引领：（1）先确定出PM＝2t，即可得出结论；
（2）先根据OP＝OQ建立方程求出t＝6，进而求出∠AOC＝30°，即可得出结论；
（3）分P、Q相遇前相距2cm和相遇后2cm两种情况，建立方程求解，接口得出结论．解：（1）当点P在MO PM＝2t，
∵OM＝18cm，
∴PO＝OM﹣PM＝（18﹣2t）cm，
故答案为：（18﹣2t）；
（2）由（1）知，OP＝18﹣2t，
当OP＝OQ时，则有18﹣2t＝t，
∴t＝6
即t＝6时，能使OP＝OQ，
∵射线OC绕着点O从OA上以每秒5°的速度顺时针旋转，
∴∠AOC＝5°×6＝30°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝30°＝∠AOC，
∴射线OC是∠AOB的角平分线，
（3）分为两种情形．
当P、Q相遇前相距2cm时，
OQ﹣OP＝2
∴t﹣（2t﹣18）＝2
解这个方程，得t＝16，
∴∠AOC＝5°×16＝80°
∴∠BOC＝80°﹣60°＝20°，
当P、Q相遇后相距2cm时，OP﹣OQ＝2
∴（2t﹣18）﹣t＝2
解这个方程，得t＝20，
∴∠AOC＝5°×20＝100°
∴∠BOC＝100°﹣60°＝40°，
综合上述t＝16，∠BOC＝20°或t＝20，∠BOC＝40°．
解题秘籍：此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义，旋转的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
配套作业
1．（2021•芜湖模拟）如图，甲、乙都是由大小相同的小正方体搭成的几何体，关于它们的视图，判断正确的是（）
A．仅主视图相同B．左视图与俯视图相同
C．主视图与左视图相同D．主视图与俯视图相同
思路引领：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，依据三视图进行判断即可．
解：如图所示：
由图可得，主视图与俯视图相同．
故选：D．
解题秘籍：本题考查简单组合体的三视图，掌握三视图的定义是解答本题的关键．2．（2020秋•大丰区月考）如图，三个正方体的六个面都按相同规律涂有红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色，那么涂绿色的对面是色．
思路引领：根据与“白”相邻的是黄、黑、红、绿判断出“白”的对面是“蓝”，与“黄”
相邻的是白、黑、蓝、红判断出“绿”的对面是“黄”．
解：由图可知，与“白”相邻的是黄、黑、红、绿，
所以，“白”的对面是“蓝”，
与“黄”相邻的是白、黑、蓝、红，
所以，“绿”的对面是“黄”．
故答案为：黄．
解题秘籍：此题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，此题关键是抓住图中出现了2次的颜色红和黄的邻面颜色的特点，推理得出它们的对面颜色分别是黑和绿．
3．（2010秋•洛江区期末）如图，把左边的图形折叠起来，它会变为（）
A．B．C．D．
思路引领：本题以小立方体的侧面展开图为背景，考查学生对立体图形展开图的认识．在本题的解决过程中，学生可以动手进行具体折纸、翻转活动，也可以．
解：通过实际动手操作可知正确的为B．
故选：B．
解题秘籍：本题虽然是选择题，但答案的获得需要学生经历一定的实验操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟（想象）折纸、翻转活动，较好地考查了学生空间观念．另外，本题通过考查正方体的侧面展开图，展示了这样一个教学导向，教学中要让学生确实经历活动过程，而不要将活动层次停留于记忆水平．我们有些老师在教学“展开与折叠”时，不是去引导学生动手操作，而是给出几种结论，这样教出的学生肯定遇到动手操作题型时就束手无策了．
4．（2021秋•成都期中）下列图形是正方体的表面展开图的是（）
A．B．C．D．
思路引领：正方体共有11种表面展开图，利用正方体及其表面展开图的特点判断即可．解：A选项能围成正方体；B和C折叠后缺少一个面，故不能折成正方体；D出现了“田”
字格，故不折成正方体能．
故选：A．
解题秘籍：本题考查了几何体的展开图，同时考查了学生的立体思维能力．解题时注意，只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．
5．（2017秋•江岸区校级期末）如图，线段AB上有E、D、C、F四点，点E是线段AC的
中点，点F是线段DB的中点，有下列结论：①EF=1
2AB；②EF=
1
2（AB﹣CD）；③DE=
1
2
（DA﹣DC）；④AF=1
2（DA+AB），其中正确的结论是．
思路引领：根据中点定义可得：AE＝EC=1
2AC，DF＝FB=
1
2DB；对于①②，结合图形，
依据线段的和差关系即可判断正误；同理再判断③和④的正误．解：如图，∵点E是线段AC的中点，点F是线段DB的中点，
∴AE＝EC=1
2AC，DF＝FB=
1
2DB，
∴EF＝AB﹣AE﹣FB
＝AB−1
2（AC+DB）
＝AB−1
2（AB+CD）
=12（AB﹣CD），
故结论①错误，结论②正确；DE＝EC﹣DC
=12AC﹣DC
=12
（AD +DC ）﹣DC =1
2（AD ﹣DC ）， 故结论③正确； AF ＝AB ﹣BF ＝AB −1
2BD
＝AB −12（AB ﹣DA ） =1
2（AB +DA ）， 故结论④正确． 故答案为：②③④．
解题秘籍：本题主要考查了线段中点定义及线段和差的计算，解题时要结合图形认真观察分析，数形结合，理清相关线段之间的关系是解题关键．
6．（2020秋•奉化区校级期末）如图，已知线段AB ＝8，点C 是线段AB 是一动点，点D 是线段AC 的中点，点E 是线段BD 的中点，在点C 从点A 向点B 运动的过程中，当点C 刚好为线段DE 的中点时，线段AC 的长为（ ）
A ．3.2
B ．4
C ．4.2
D ．
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思路引领：由已知条件可得：AD ＝CD ＝CE ，CD ＝CE ，则AB ＝AD +DC +CE +BE ＝3AD +BE ＝3AD +DE ＝3AD +2CD ＝5AD 即可求． 解：∵点D 是线段AC 的中点， ∴AD ＝CD ，
∵点E 是线段BD 的中点， ∴BE ＝DE ，
∵点C 为线段DE 的中点， ∴CD ＝CE ， ∴AD ＝CD ＝CE ，
∵AB ＝AD +DC +CE +BE ＝3AD +BE ＝3AD +DE ＝3AD +2CD ＝5AD ， ∴AD ＝1.6， ∴AC ＝2AD ＝3.2， 故选：A ．
解题秘籍：本题考查了线段中点的定义，熟悉线段的和差关系是解题的关键． 7．（2021秋•济南期末）如图，线段AB ＝16cm ，在AB 上取一点C ，M 是AB 的中点，N 是
AC中点，若MN＝3cm，则线段AC的长是（）
A．6B．8C．10D．12
思路引领：设CM＝a，可得CN＝CM+MN＝a+3，由M是AB的中点，N是AC中点，可
得AM=1
2
AB，AN＝CN＝a+3，由AM＝AN+MN＝8，即可算出a的值，根据AC＝AM+CM
代入计算即可得出答案．
解：设CM＝a，CN＝CM+MN＝a+3，∵M是AB的中点，N是AC中点，
∴AM=1
2
AB=12×16=8，AN＝CN＝a+3，
∵AM＝AN+MN＝8，即a+3+3＝8，
∴a＝2，
∴AC＝AM+CM＝8+2＝10．
故选：C．
解题秘籍：本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点的距离计算的方法进行计算是解决本题的关键．
8．（2006•巴中）巴广高速路的设计者准备在西华山再设计修建一个隧道，以缩短两地之间的里程，其主要依据是（）
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线
思路引领：此题为数学知识的应用，由题意设计巴广高速路，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．
解：要想缩短两地之间的里程，就尽量是两地在一条直线上，因为两点间线段最短．故选：B．
解题秘籍：此题考查知识点两点间线段最短．
9．如图，公路上有A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7七个村庄，现要在这段公路上设一车站，使这七个村庄到车站的路程总和最小，车站应建在何处？
思路引领：根据“当点数为奇数个点时，应设在中点上；当点数为偶数时，应设在中间相邻的两点或其两点之间的任何地方，距离之和为最小”的规律，本题有7个村庄，应设在中点A4上．
解：因为有7个村庄，是奇数个点，所以应设在中间点上，即设在A4点上．。