灰色综合评价讲解
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灰色系统是明晰程度介乎于白色系统和黑色系统 之间的系统。
社会经济系统常常呈现灰色特征。
系统工程理论
回顾
概率论和数理统计研究“随机不确定”问题，考 察随机现象发生的统计规律，要求大样本。
模糊数学研究“认知不确定”问题，其研究对象 具有内涵明确但外延模糊的特点。
灰色系统理论研究小样本、贫信息的不确定性系 统。
数据来源：中国统计年鉴2006
系统工程理论
灰色关联分析
原始数据矩阵：
109.7 120.3 135.8 159.9 183.1
Y
15.5 49.5
16.2 53.9
17.1 62.4
21.0 73.9
23.1
87.0
44.6 50.2 56.3 65.0 73.0
国内生产总值 第一产业产值 第二产业产值 第三产业产值
2001 2002 2003 2004 2005
国内生产总值 109.7 120.3 135.8 159.9 183.1
第一产业产值 15.5 16.2 17.1 21.0 23.1
第二产业产值 49.5 53.9 62.4 73.9 87.0
第三产业产值 44.6 50.2 56.3 65.0 73.0
系统工程理论
灰色关联分析
设系统有 m 个行为序列，每个序列有 n 个数据
点：
Y0 y0 1, y0 2,, y0 n Y1 y1 1, y1 2,, y1 n Y2 y2 1, y2 2,, y2 n
Ym ym 1, ym 2,, ym n
其中 Y0为参考序列， Y1,Y2,为,Y比m 较序列。
行为序列可以是时间序列和指标序列等。
系统工程理论
灰色关联分析 构造原始数据矩阵：
y01 y02 y0n
Y
y11
y12
y1n
ym1 ym1 ymn
其中，
参考序列
第 1 个比较序 列
第 m 个比较序
列
yij yi j i 0,1, 2,, m; j 1, 2,, n
系统工程理论
灰数的基本概念
灰色系统理论中关于灰数运算与灰代数系统的研 究一直备受瞩目，但迄今尚无满意进展。
灰数常以其“核”作为代表。 一般地，若灰数取值的分布信息已知，数学期望 便是其核。 灰数的运算可转化为其核的运算，核的运算结果 就是运算结果的核。
系统工程理论
灰数的基本概念
有一类灰数在某个基本值附近变动。在系统分析 过程中，常以此基本值替代灰数来进行系统分析，此 基本值被称为灰数的白化值，记为 。求灰数白化值 的过程被称为灰数的白化。将灰数白化有多种方法。
r02
r0m
其中，第 i 个比较序列与参考序列之间的灰色关联度
1 n
r0i
n
r0 j
j 1
i 1, 2,, m
显然， 愈r0i 大，则第 i 个比较序列在整体上与参
考序列愈接近。
系统工程理论
灰色关联分析
灰色关联分析例题一：
我国2001年～2005年国内生产总值及第一产业、 第二产业和第三产业的相关数据(单位:千亿元)见下 表，请以国内生产总值为特征序列计算灰色关联度。
采用初值像可以求出灰色关联度矩阵为
0.5664
R
0.7875
0.8546
灰色关联分析例题一的MATLAB 程序
第三产业产值
系统工程理论
灰色关联分析
灰色关联分析例题二：
请比较1988年各发达国家的企业 R&D 经费来源 比
例与美国的相似政程府度（。%）相关数企据业见（%下）表。 其它（%）
然后，将各序列数据标准化。
系统工程理论
灰色关联分析
数据标准化的方法有：
初值像
xij
yij yi1
i 0,1, 2,, m; j 1, 2,, n
均值像
xij
yi
yij yi 1n n j 1
yij
i 0,1, 2,, m; j 1, 2,, n i 0,1, 2,, m
系统工程理论
灰色关联分析
区间值像
xij
yij
min j
yij
max j
yij
min j
yij
i 0,1, 2,, m; j 1, 2,, n
一般地，三种数据标准化方法不宜混用，可根据 实际情况选用其一。
系统工程理论
灰色综合评价 定义灰色关联系数：
rij
min min
i
j
x0 j
xij
max max
回顾
系统的类型 按照人们对系统的认识程度，系统可分为
黑色系统 —— 只明确系统与环境关系，对于系统内部的结 构、层次关系、组成元素和实现机理等一无所知。
白色系统 —— 一切都明朗化，既明确系统与环境之间的相 互作用关系，也明确系统内部结构、元素和特征。
系统工程理论
回顾 灰色系统
—— 部分明确系统与环境的关系、系统结构和实 现过程等。
灰色系统理论的重要特点是“少数据建模”。
系统工程理论
灰数的基本概念
白数 —— 取值完全确定的数。 黑数 —— 取值范围不能确定的数。 灰数 —— 只知其取值范围而不知其确切值的数。 信息不完全是“灰”的基本含义。应用中，灰数 是指在某个区间或某个数集内取值的不确定数。 比如，设有一灰数 ，a,若a ，a则 a 成 为白数；若 a 且 a，则 成为黑数。
因而，第 i 个比较序列的第 j 个数据 xij i 1, 2,3 距其参考序列的第 j 个数据x0 j愈近，则 愈 x0 j xij
小，灰色关联系数 rij就愈大，即二者间的关联程度愈 高。
显然， rij 。0,1
系统工程理论
灰色关联分析
比较序列与参考序列之间的灰色关联度矩阵：
r01
R
i
j
x0 j
xij
x0 j xij
max max
i
j
x0 j
xij
i 1, 2, , m;
j
1, 2, , n
其中， 0为,1分辨系数，常取
， 0.5
min min
i
j
x0 j
xij
为两级最小差，max max
i
j
x0 j为 x两ij 级最大差。
Fra Baidu bibliotek
系统工程理论
灰色关联分析
分析灰色关联系数的定义式，可以看出，分辨系 数、两级最小差和两级最大差均为常数。
等权均值白化
设有区间灰数 ，a,则a 其等权均值白化值
1 2
a
a
当区间灰数的分布信息缺乏时，常使用其等权均
值白化值。
系统工程理论
灰色关联分析
关联度 —— 评价对象与标准对象的接近程度。
关联分析 —— 通过计算 比较序列与参考序 列的关联度来定量 分析二者间的接近 程度。
y
30 0
20
1
10
2
1 2 3 4 5t
社会经济系统常常呈现灰色特征。
系统工程理论
回顾
概率论和数理统计研究“随机不确定”问题，考 察随机现象发生的统计规律，要求大样本。
模糊数学研究“认知不确定”问题，其研究对象 具有内涵明确但外延模糊的特点。
灰色系统理论研究小样本、贫信息的不确定性系 统。
数据来源：中国统计年鉴2006
系统工程理论
灰色关联分析
原始数据矩阵：
109.7 120.3 135.8 159.9 183.1
Y
15.5 49.5
16.2 53.9
17.1 62.4
21.0 73.9
23.1
87.0
44.6 50.2 56.3 65.0 73.0
国内生产总值 第一产业产值 第二产业产值 第三产业产值
2001 2002 2003 2004 2005
国内生产总值 109.7 120.3 135.8 159.9 183.1
第一产业产值 15.5 16.2 17.1 21.0 23.1
第二产业产值 49.5 53.9 62.4 73.9 87.0
第三产业产值 44.6 50.2 56.3 65.0 73.0
系统工程理论
灰色关联分析
设系统有 m 个行为序列，每个序列有 n 个数据
点：
Y0 y0 1, y0 2,, y0 n Y1 y1 1, y1 2,, y1 n Y2 y2 1, y2 2,, y2 n
Ym ym 1, ym 2,, ym n
其中 Y0为参考序列， Y1,Y2,为,Y比m 较序列。
行为序列可以是时间序列和指标序列等。
系统工程理论
灰色关联分析 构造原始数据矩阵：
y01 y02 y0n
Y
y11
y12
y1n
ym1 ym1 ymn
其中，
参考序列
第 1 个比较序 列
第 m 个比较序
列
yij yi j i 0,1, 2,, m; j 1, 2,, n
系统工程理论
灰数的基本概念
灰色系统理论中关于灰数运算与灰代数系统的研 究一直备受瞩目，但迄今尚无满意进展。
灰数常以其“核”作为代表。 一般地，若灰数取值的分布信息已知，数学期望 便是其核。 灰数的运算可转化为其核的运算，核的运算结果 就是运算结果的核。
系统工程理论
灰数的基本概念
有一类灰数在某个基本值附近变动。在系统分析 过程中，常以此基本值替代灰数来进行系统分析，此 基本值被称为灰数的白化值，记为 。求灰数白化值 的过程被称为灰数的白化。将灰数白化有多种方法。
r02
r0m
其中，第 i 个比较序列与参考序列之间的灰色关联度
1 n
r0i
n
r0 j
j 1
i 1, 2,, m
显然， 愈r0i 大，则第 i 个比较序列在整体上与参
考序列愈接近。
系统工程理论
灰色关联分析
灰色关联分析例题一：
我国2001年～2005年国内生产总值及第一产业、 第二产业和第三产业的相关数据(单位:千亿元)见下 表，请以国内生产总值为特征序列计算灰色关联度。
采用初值像可以求出灰色关联度矩阵为
0.5664
R
0.7875
0.8546
灰色关联分析例题一的MATLAB 程序
第三产业产值
系统工程理论
灰色关联分析
灰色关联分析例题二：
请比较1988年各发达国家的企业 R&D 经费来源 比
例与美国的相似政程府度（。%）相关数企据业见（%下）表。 其它（%）
然后，将各序列数据标准化。
系统工程理论
灰色关联分析
数据标准化的方法有：
初值像
xij
yij yi1
i 0,1, 2,, m; j 1, 2,, n
均值像
xij
yi
yij yi 1n n j 1
yij
i 0,1, 2,, m; j 1, 2,, n i 0,1, 2,, m
系统工程理论
灰色关联分析
区间值像
xij
yij
min j
yij
max j
yij
min j
yij
i 0,1, 2,, m; j 1, 2,, n
一般地，三种数据标准化方法不宜混用，可根据 实际情况选用其一。
系统工程理论
灰色综合评价 定义灰色关联系数：
rij
min min
i
j
x0 j
xij
max max
回顾
系统的类型 按照人们对系统的认识程度，系统可分为
黑色系统 —— 只明确系统与环境关系，对于系统内部的结 构、层次关系、组成元素和实现机理等一无所知。
白色系统 —— 一切都明朗化，既明确系统与环境之间的相 互作用关系，也明确系统内部结构、元素和特征。
系统工程理论
回顾 灰色系统
—— 部分明确系统与环境的关系、系统结构和实 现过程等。
灰色系统理论的重要特点是“少数据建模”。
系统工程理论
灰数的基本概念
白数 —— 取值完全确定的数。 黑数 —— 取值范围不能确定的数。 灰数 —— 只知其取值范围而不知其确切值的数。 信息不完全是“灰”的基本含义。应用中，灰数 是指在某个区间或某个数集内取值的不确定数。 比如，设有一灰数 ，a,若a ，a则 a 成 为白数；若 a 且 a，则 成为黑数。
因而，第 i 个比较序列的第 j 个数据 xij i 1, 2,3 距其参考序列的第 j 个数据x0 j愈近，则 愈 x0 j xij
小，灰色关联系数 rij就愈大，即二者间的关联程度愈 高。
显然， rij 。0,1
系统工程理论
灰色关联分析
比较序列与参考序列之间的灰色关联度矩阵：
r01
R
i
j
x0 j
xij
x0 j xij
max max
i
j
x0 j
xij
i 1, 2, , m;
j
1, 2, , n
其中， 0为,1分辨系数，常取
， 0.5
min min
i
j
x0 j
xij
为两级最小差，max max
i
j
x0 j为 x两ij 级最大差。
Fra Baidu bibliotek
系统工程理论
灰色关联分析
分析灰色关联系数的定义式，可以看出，分辨系 数、两级最小差和两级最大差均为常数。
等权均值白化
设有区间灰数 ，a,则a 其等权均值白化值
1 2
a
a
当区间灰数的分布信息缺乏时，常使用其等权均
值白化值。
系统工程理论
灰色关联分析
关联度 —— 评价对象与标准对象的接近程度。
关联分析 —— 通过计算 比较序列与参考序 列的关联度来定量 分析二者间的接近 程度。
y
30 0
20
1
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2
1 2 3 4 5t