数值分析9

f (0.75)
( 4) 2
(0.75 x4 )(0.75 x5 ) L (0.75) y3 ( x3 x4 )( x3 x5 )
(0.75 x3 )(0.75 x5 ) y4 ( x4 x5 )( x4 x5 )
(0.75 x3 )(0.75 x4 ) y5 0.81343 ( x5 x3 )( x5 x4 )
hi xi 1 xi , i 0,1,2 ,, n 1
插值条件为 P( xi ) fi , i 0,1,, n
设插值多项式 (x)具有如下形式 P
h maxhi
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P( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )(x x1 ) an ( x x0 )(x x1 )( x xn 1 )
f [ x1 , x2 ]
f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 , x4 ] f [ x2 , x3 , x4 ] f [ x3 , x4 ] f [ x0 , x1 ,, x4 ]
f (0.98) L(24) (0.98) 1.09784
f (1.1) L(24 ) (1.1) 1.25513
8
分段低次Lagrange插值的特点
计算较容易
可以解决Runge现象
插值曲线在节点处会出现尖点
但插值多项式分段
插值多项式在节点处不可导
9
§ 3.4 Newton插值法
i
任取三个相邻节点 k 1 , xk , xk 1 ,以[ xk 1 , xk 1 ]为插值区间 x
构造Lagrange二次插值
L(2k ) ( x) yk 1lk 1 ( x) yk lk ( x) yk 1lk 1 ( x)
k 1,2 ,, n 1
1
( x xk )( x xk 1 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) yk L ( x) yk 1 ( xk 1 xk )( xk 1 xk 1 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 )
y* L(2k 1) ( x*)
k 1,2 ,, n 1
若x* x1 (含x* x0 ),则 若x* xn 1 (含x* xn ),则
y * L(21) ( x*)
y* L(2n1) ( x*)
x* x0 和 x* xn 时使用的方法是外插
3
L ( x *) x* x*
在x0 , x1 ,, xk 之间必存在一点 , 使得
f [ x0 , x1 ,, xk ]
f
(k )
( ) k!
用余项的 相等证明
15
差商的计算方法(表格法):
xk f ( xk ) 一阶差商 x0 f ( x0 )
f [ x0 , x1 ]
差商表
三阶差商 四阶差商
二阶差商
x1 f ( x1 )
f [ x0 , x1 ,, xk 2 , xk ] f [ x0 , x1 ,, xk 1 ] f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ] xk xk 1 f [ x1 ,, xk ] f [ x0 ,, xk 1 ] xk x0
(3) 当f（k ) ( x)在包含节点 0 , x1 ,, xk的区间存在时 x ,
(0.36 x0 )(0.36 x2 ) (0.36 x0 )(0.36 x1 ) y1 y2 ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
0.36686
7
f (0.42)
( 1) 2
(0.42 x1 )(0.42 x2 ) (0.42 x0 )(0.42 x2 ) y1 L (0.42) y0 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) (0.42 x0 )(0.42 x1 ) y2 0.43281 ( x2 x0 )( x2 x1 )
x2 f ( x2 ) x3 f ( x3 ) x4 f ( x 4 )
规定函数值为零阶差商
16
二、Newton基本插值公式
设插值多项式
P( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )(x x1 ) an ( x x0 )(x x1 )( x xn 1 )
(k ) 2
( x xk 1 )( x xk ) yk 1 ( xk 1 xk 1 )( xk 1 xk )
k 1,2 ,, n 1
上式称为分段二次Lagrange插值
若x * 为插值点 且x* [ xk , xk 1 ] ,
显然,插值区间
[ xk 1 , xk 1 ]和[ xk , xk 2 ] 都包含x *
我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为
( x xi ) l j (x) i 0 ( x j xi )
n i j
j 0,1,2 ,, n
形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多
由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成
1, x x0 , ( x x0 )(x x1 ), , ( x x0 )(x x1 )( x xn 1 )
满足插值条件 则待定系数为
P( xi ) fi , i 0,1,, n
a0 f 0
f1 f0 a1 f [ x0 , x1 ] x1 x0
a2 f [ x0 , x1 , x2 ] an f [ x0 , x1 ,, xn ]
17
定义3.
称
N n ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )(x x1 ) an ( x x0 )(x x1 )( x xn 1 )
x0
外插
( 1) 2

x1
L x*
( k 1) 2
L(2k ) x*
xk
插
L x*
xk 1
( k 1) 2

L(2n 1 ) ( x *) x* x*
xn 1
xk 2
xk 1
内
xn
外插
4
2. 分段二次插值的误差估计
由于
f ( n1) ( ) Rn ( x) f ( x) Pn ( x) n1 ( x) (n 1)!
那么分段二次插值 2 ( x)的余项为 L
R2 ( x) f ( x) L2 ( x) f ( x) L(2k ) ( x)
f ( ) ( x xk 1 )( x xk )( x xk 1 ) 6
, x [ xk 1 , xk 1 ],
共n+1个多项式的线性组合 那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？
10
显然，多项式组
1, x x0 , ( x x0 )(x x1 ), , ( x x0 )(x x1 )( x xn 1 )
因此，可以作为插值基函数 线性无关，
设插值节点为 xi ,
函数值为 fi , i 0,1,, n
P( x2 ) f 2 a0 a1 ( x2 x0 ) a2 ( x2 x0 )(x2 x1 )
再继续下去待定系数的形式将更复杂 为此引入差商和差分的概念
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一、差商(均差)
定义1. 设f ( x)在互异的节点xi 处的函数值为i , i 0,1,, n f 称
f [ xi , xk ] fk f j xk xi (k i )
i xi
设f (x)在各节点处的数据为
0 0.30
1 0.40
2 0.55
3 0.65
4 0.80
5 1.05
yi 0.30163 0.41075 0.57815 0.69675 0.87335 1.18885
求f ( x )在x 0.36,0.42,0.75,0.98,1.1处的近似值 用分段线性、二 ( 次插值)，
f [ x0 , x1 ,, xk 2 , xk ] f [ x0 , x1 ,, xk 1 ] xk xk 1
为f ( x)关于节点x0 , x1,, xk 1, xk的k阶差商
差商具有如下性质(请同学们自证)：
(1) f ( x)的k阶差商f [ x0 , x1 , , xk 1 , xk ]可由函数值 f ( x0 ), f ( x1 ),, f ( xk )的线性组合表示 且 ,
k (x) ( x x j )
f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ]
f ( xi ) i 0 ( xi x0 )( xi xi 1 )( xi xi 1 )( xi xk )
k
14
(2) 差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变 如
f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x0 , x2 , x1 ] f [ x2 , x1 , x0 ]
且与x有关
1 |R2 ( x)| max | f ( x) | max | ( x xk 1 )(x xk )(x xk 1 ) | xk 1 x xk 1 6 a xb k
1 2 3 3 3 M3 h M 3h3 6 9 27
5
例:
11
P( x)应满足插值条件 P( xi ) fi , i 0,1,, n
有
P( x0 ) f0 a0 P( x1 ) f1 a0 a1 ( x1 x0 )
a0 f 0
f1 f0 a1 x1 x0
f2 f0 f1 f0 x2 x0 x1 x0 a2 x2 x1
为f ( x)关于节点 xi , xk 一阶差商 均差) (
f [ xi , x j , xk ] f [ xi , xk ] f [ xi , x j ] xk x j (i j k )
为f ( x)关于xi , x j , xk的二阶差商
依此类推
13
f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ]
(k ) 2
( x xk 1 )( x xk ) yk 1 ( xk 1 xk 1 )( xk 1 xk )
k 1,2 ,, n 1
f (0.36) L (0.36) y0
( 1) 2
(0.36 x1 )(0.36 x2 ) ( x0 x1 )( x0 x2 )
6
(2). 分段二次Lagrange插值的公式为
( x xk )( x xk 1 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) yk L ( x) yk 1 ( xk 1 xk )( xk 1 xk 1 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 )
还是 y* L(2k 1) ( x*)
2
那么 y* L(2k ) ( x*)
一般
若xk x* xk 1 , 且x * 更接近xk , 则
y * L(2k ) ( x*)
k 1,2 ,, n 1
若xk x* xk 1 , 且x * 更接近xk 1 , 则
二、分段二次Lagrange插值 1. 分段二次插值的构造 分段线性插值的光滑性较差,且精度不高
因此,当节点较多时,可根据情况构造分段二次插值
设插值节点为 xi ,
函数值为 yi , i 0,1,, n
hi xi 1 xi , i 0,1,2 ,, n 1
h maxhi