高中数学知识点精讲精析 总体和样本

18.1 总体和样本

要点精讲

1．用样本的数字特征估计总体的数字特征

（1）众数、中位数

在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；

将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列，处在中间位置上的一个数据（或中间两位数据的平均数）叫做这组数据的中位数；

（2）平均数与方差

如果这n个数据是，那么叫做这n个数据平均数；

如果这n个数据是，那么叫做这n个数据方差；同时叫做这n个数据的标准差。

2．频率分布直方图、折线图与茎叶图

样本中所有数据（或数据组）的频率和样本容量的比，就是该数据的频率。所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做频率分布，可以用频率分布直方图、折线图、茎叶图来表示。

频率分布直方图：

具体做法如下：

（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；

（2）决定组距与组数；

（3）将数据分组；

（4）列频率分布表；

（5）画频率分布直方图。

注：频率分布直方图中小正方形的面积=组距×=频率。

折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。

总体密度曲线：当样本容量足够大，分组越多

典型例题

【例1】某工厂人员及工资构成如下：

(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数；

(2)这个问题中，平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗？为什么？

【答案】由表格可知：众数为200.

∵2 200＋1 500=3 700>1100＋2 000十100=3 200，

∴中位数为220.

平均数为（2200+1500+1100+2000+100)÷23

=6 900÷23=300.

虽然平均数为300元／周，但由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上,其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平．平均数受数据中的极端值的影响校大，妨碍了对总体估计的可靠性，这时平均数反而不如众数、中位数更客观．

【解析】本题着眼于众数、中位数、平均数各自的特点，以及其适应对象．

【例2】对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度(m/s)的数据如下：

甲：27，38，30，37，35，31；

乙：33，29，38，34，28，36.

根据以上数据，试判断他们谁更优秀． 【答案】x 甲=61(27+38+30+37+35+31)= 6198

＝33，

s2甲=61[(27-33)2+(38-33)2+…+(31-33)2]=61

×94≈15.7

x 乙=61(33+29+38+34+28+36)=6198

=33

s2乙=61[(33-33)2+(29-33)2+…+(36-33)2]=61

×76≈12.7 ∴x 甲=x 乙, s2甲＞s2乙.说明甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀． 【解析】这显然是要计算两组数据的x 与s2，然后加以比较并作出判断．虽然两人的平均速度相同,但乙的方差较小,说明乙比甲更稳定. 温馨提示: 本题若仅由乙甲x x ，易产生这两人成绩一样好的错觉，这表明在实际问题中，仅靠期望值（即平均数）不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度（即方差或标准差）：标准差大说明取值分散性大；标准差小说明取值分散性小或者说取值比较集中、稳定．