轴向运动弦线横向振动的控制_能量方法

摘要 基于行波能量的传输原理 , 研究轴向运动弦线 耦合系统的 纵向振动控 制。通过使系 统的能 量耗散 最大而 获
得的 控制器最优控制参数 , 使系统的能量达到最小值 , 从而达到控制弦线横向振动的目的。采用有限差分 法进行数值 模 拟的结果证实此方法的有效性。 关键词 Abstract 轴向运动弦线 横向振动 耦合系统 振动控制 能量 中图分类号 O328 In order to understand the mechanism of energy transfer in an axially moving string with a tensioner and to develop a control strategy for the system, transverse vibration control of an axially moving string is investigated based on the energy transfer princi ple of traveling waves. The energy of the system is minimized via choosing the optimal control coefficient, determined by maximizing the total energy dissipation. Hence the transverse vibration of the string is minimized as well. The finite difference method is employed to solve the governing equation numerically. The simulation results demonstrate the effectiveness of the control approach. Key words Axially moving string; Transverse vibration; Coupled system; Vibration control; Energy Corresponding author : CH EN LiQun , E mail : lqchen @ staff . shu . edu . cn , Tel : + 86 2166134972, Fax : + 86 21 56553692 The project supported by the National Natural Science Foundation of China ( No. 10472060) , the Natural Science Foundation of Shanghai Municipality( No. 04ZR14058) , and Shanghai Leading Academic Discipline Project( No. Y0103) . Manuscript received 20040527, in revised form 20040928.
2
若在 弦 线 中 的 某 一 处 存 在 一 个 限 制 点, 入 射 波
+
[L1 , L]
T !0 ( 1)
在此限制点处将产生反射波 A r e
d
和透
射波 A t e
i( ∃t- % x )
, A t 为透射波的幅值。 相应的反射系数 Ar Ai At Ai
和透射系数定义为 r= t= ( 10)
张 伟
1, 2
陈立群
1,3
( 1. 上海市应用数学和力学研究所 , 上海 200072) ( 2. 福州大学 机械系, 福州 350002) ( 3. 上海大学 力学系, 上海 200436) ZHANG Wei
1, 2
CHEN LiQun
1, 3
( 1. Shanghai Institute o f Applied Mathematics and Mechanics , Shanghai 200072, China ) ( 2. Department o f Mechanics , Fuzhou University , Fuzhou 350002, China ) ( 3. Department of Mechanics , Shanghai University , Shanghai 200436, China )
[ 12 ]
( 0) = #
其中 ! 为张紧器 与铅垂线 间的夹 角,
为张紧 器在
x = l1 处的位移。 从方程 ( 3) ~ ( 5) 可知 , 弦线动力学 方程 ( 3) 和张紧器的动力学方程( 4) 通过边界条件( 5) 相耦合, 形成一个耦合振动系统。
可
3
波的反射和透射分析
对于一无限长的沿轴向运动的弦线 , 其横向振动
i( ∃ t- % x )
d d
其中 W ( X , T ) 为弦线的横向振动位移 , I 和 B 分别为 张紧器的有效惯性矩和有效长度 , 为张紧器相对于 平衡位置的转角, M e 为作用在张紧器上的外力矩, K 为扭转弹簧刚度 ,
1
+ Aue
i( ∃t+ % x )
u
, ,
0 # x # l1
-
位移可以用两个传播方向相反的简谐波的运动叠加表 示 w ( x , t) = A de
i( ∃ t- % x )
d
+ Aue
i( ∃t+ % x )
u
( 8)
其中 ∃ 为波的振动频率, A d 、 % % d 和 A u、 u 分别为沿 x 轴正方向运动的简谐波和沿 x 轴负方向运动的简谐波 的幅值和波数。 在某一频率下幅值 % d 和 % u 满足如下
203
图2
轴向运动弦线的纵向振动位移 ( 1) 图 ( a) 、 ( c) 、 ( e) 为末控弦线 ; ( 2) 图 ( b) 、 ( d) 、 ( f) 为已控弦线 Fig. 2 Transverse vibrat ion displacement of the axially moving string ( 1) Fig. ( a) , ( c) , ( e) for un control led st ing; ( 2) Fig. ( b) , ( d) , ( e) for controlled st ing
202
机
械
强
度
2006 年
向运动弦线耦合振动模型。为控制弦线的纵向振动, 引入作用在张紧器上的作动器 , 控制张紧器的转动角, 通过张紧器和弦线的耦合关系进而达到控制弦线纵向 振动的目的。分 析中采用能量方法得到 最优控制参 数, 使得系统的能量耗散最大 , 有效降低了弦线的横向 振动。最后用有限差分法进行数值模拟 , 证实此方法 的有效性。
[9] [ 10] [ 4] [ 8] [ 6]
轴向运动弦线的横向振动控制是多个技术领域的 重要工程目标, 如动力传送带、 空中缆车索道、 高楼升 降机缆绳、 单索架空索等。尽管这些工程系统元件具 有重要应用前景 , 由于轴向运动而引起的横向振动却 限制了它们在一些工程领域中的应用。因此 , 有必要 引进控制手段来抑制轴向运动弦线的振动
动力学方程( 1) 和( 2) 化为无量纲形式 w t t ( x , t ) + 2 cw x t ( x , t ) - ( 1- c ) w x x ( x , t ) = 0
其中 k f 为控制增益系数, w t ( l 1 , t ) 可通过在张紧器和
第 28 卷 第 2 期
张
伟等 : 轴向运动弦线横向振动的控制 : 能量方法
[ 3] [ 1, 2]
。
基于偏微分方程 Laplace 变换的频域分析是研究 分布参数系 统控制的有效方法 。 Yang 和 Mote 将 频域分析方法应用于轴向运动弦线的主动控制 , 导出 轴向运动弦线闭环系统的传递函数, 并通过根轨迹分 析设计了渐近稳定控制器。 Chung 和 Tan
[ 5]
张紧器动力学方程 I∀ = ( P V )( W
2 L ,X
1
cos
1
- W
+ L ,X
1
cos
2
)B( 2)
K - Me
T !0
假设式 ( 3) 表示的两个子系统仅有一种传输波运 动。 依据上述分析, 弦线构成的两个子系统的自由振动 可由四个相互反射和透射波的分量构成 w 1( x , t) = A de w 2 ( x , t ) = Bd e
分析了轴向运动弦线的振动和能量传输问题。通过引 [ 11] 入一个非 线性反馈边界 控制器, Fung 等 用 Lypunov 方法证明了控制器的渐近稳定性和指数稳定性。 本文在分析轴向运动弦线纵向振动时采用新的轴
将频域分
20040527 收到初稿 , 20040928 收到修改稿。国家自然科学基金资助项目 ( 10472060) 、 上 海市自然科学基 金 ( 04ZR14058) 和 上海市重 点学科建 设 项目 ( Y0103) 。 张 伟 , 男 1971 年 10 月生 , 吉林长春市人 , 汉族。博士研究生 , 研究方向为机械振动及其控制。 E mail: wzhangfz@ eyou. com
( t ) sin !
( 5)
2
运动方程
轴向运动弦线受控系统的模型如图 1 所示。 此模
w t ( x , 0) = v 0 ( x )
t
( 6) ( 7)
来自百度文库
型包括一根弦线和一个张紧器。 考虑长度为 L 、 单位密 度为 、 轴向张力为 P , 以均匀运动通过相距为 L 的两 个固定孔座的均匀弦线横向振动。 为简化系统模型 , 假 设( 1) 忽略系统元件相互间的阻尼影响 ; ( 2) 忽略弦线 的抗弯刚度 ; ( 3) 忽略张紧器的张紧轮相对其质心的 惯性矩。 在上述假设条件下, 运用 Hamilton 原理 推导出弦线和张紧器的动力学方程。
x
[ 0, l 1 ]
2 l ,x
1
-
[ l 1 , 1] cos
1
+
t !0
+ l ,x
1
( 3) ( 4)
i e ∀= ( 1- c ) ( w 边界条件
- w
cos
2
) b - k - me
t !0 w ( 0, t ) = 0
1
w ( 1, t ) = 0
+ 1
w ( l , t) = w ( l , t) = ( t) = b ( t) 初始条件 w ( x , 0) = u 0 ( x ) ( 0) = ∀
i( ∃t- % x )
和
2
分别为张紧器两侧的弦线在
+ Bu e
i( ∃ t+ % x )
u
l1 # x # 1
+
平衡位置 X = L 1 处和张紧器间的夹角。 引入无量纲变量 x = X W ,w= ,t= T L L ie = P 2, c = V L P , l1 = L1 , L
( 11)
4
最佳控制参数选择
为了抑制运动弦线受初始激励扰动而引起的横向 达到控制弦线 ( 12)
I B L L 3, b = L , k = K P , me = Me P L
2
振动, 可通过调整张紧器的旋转角度 振动的目的。 为此, 控制力矩 m e 取为 m e = k f w t( l 1 , t ) b
1
引言
析与行波消去法相结合 , 提出轴向运动弦线一种新的 控制方法 , 从波的传播角度分析, 控制器使通过传感器 的波在边界作动器处全部消除。Ying 和 Tan 用传递 函数和行波消去法研究了作动器和传感器不在边界的 轴向运动弦线横向振动控制。自适应控制是处理参数 不确 定系统 的有 效方法。通过 引入 两个 控制输 入, [ 7] Queiroz 等建立了自适应控制律 , 并给出渐近稳定的 控制条件。 Fung 等设计了用于弦线纵向振动控制的 鲁棒自适应控制器。Wicket 和 Mote 、 Lee 和 Mote
图1 轴向运动弦线受控系统模型
关系 ∃= % d ( 1+ c ) = % u ( 1- c ) Aie
i( ∃ t- % x )
d
Fig. 1 A model of t he axially moving st ring syst em
( 9)
i( ∃ t+ % x )
u
弦线动力学方程 ( WTT + 2 VWXT + V WXX ) - PWXX = 0 X [ 0, L 1 ]
Journal of Mechanical Strength
2006, 28( 2) : 201~ 204
轴向运动弦线横向振动的控制: 能量方法
TRANSVERSE VIBRATION CONTROL OF AN AXIALLY MOVING STRING SYSTEM: ENERGY METHOD