二重积分的概念与性质(共74页).ppt

D
故二重积分可写为 f (x, y)d f (x, y)dxdy o
x
D
D
引例1中曲顶柱体体积:
V D f (x, y) d D f (x, y) d x d y
引例2中平面薄板的质量:
M D ( x, y)d D ( x, y)d x d y
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三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
从而二重积分都是存在的.
(3) f (x,y)在D上有界是二重积分存在的必要条件. 连续是二重积分存在的充分条件
(证明略)
3.【二重积分的几何意义】
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体
1)若 f ( x, y) 0 , f ( x, y)d 表曲顶柱体的体积.
积 的
D
2)若 f ( x, y) 0 , f ( x, y)d 表曲顶柱体体积的负值.
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第一节 二重积分的概念与性质
一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、小结 思考题
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复习和总结
定积分
b
a
f
x
dx
（1）定积分是用来解决哪一类问题？
答：求非均匀分布在区间上的量的求和问题 被积函数是一元函数，积分范围是直线上的区间
（2）解决这一类问题采用了什么思想方法？
n
V
lim 0
i 1
f (i , i ) i
平面薄片的质量:
n
M
lim
0
i 1
(i , i ) i
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二、二重积分的定义及可积性
1.定义 设 f (x, y) 是定义在有界闭区域 D上的有界函数 ,
将区域 D 任意分成 n 个小区域
任取一点
若存在一个常数 I , 使
记作
则称 f (x, y) 可积 , 称 I 为 f (x, y) 在D上的二重积分.
D
二重积分中值定理
几何意义 曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积
y
(i ,i )
•
i
(i ,i )
i
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2．求平面薄片的质量 设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 D，在点
( x, y)处的面密度为( x, y)，假定( x, y)在 D上连续，
平面薄片的质量为多少？
分 =常数时，质量= · ，其中 为面积. 若析为非常数，仍可用“分割, 取近似, 求和, 取极限”解决.
积分类型 二重积分 三重积分 曲线积分 曲面积分
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一、问题的提出——引例
1．曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积×高 【特点】平顶.
z f (x, y)
柱体体积=？
【特点】曲顶.
D
D
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给定曲顶柱体: 底：xoy 面上的闭区域D
D
顶: 连续曲面 侧面：以D的边界为准线 , 母线平行于z 轴的柱面 求其体积. 解法 类似定积分解决问题的思想:
答： “分割,取近似,求和, 取极限”
b f xdx lim n
a
d 0 k1
f k xk
（3）如何计算定积分？
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问题:
现要求解非均匀分布在平面、空间立体上的量的求和问题
所计算的量与多元函数及平面或空间区域有关
推广
被积函数 二元函数 三元函数
积分范围 平面区域 空间区域 一段曲线 一片曲面
积分和
积分表达式
x, y称为积分变量
积分域
被积函数
面积元素
2.【对二重积分定义的说明】
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(1)积分存在时，其值与区域的分法和点
？ 不能 用 i 0 代替 0
的取法无关
(2)存在条件（充分条件）
当 f ( x, y)在有界闭区域上连续时，定义中和式的极
限必存在，即二重积分必存在. 以后总假定 f ( x, y)在所论有界闭域 D上连续
“分割, 取近似, 求和, 取极限”
步骤如下
z
①分割：先分割曲顶柱体 的底，并取典型小区域，
②取近似、 ③求和：用若干
个小平顶柱体体积之和近似 o
表示曲顶柱体的体积，
④取极限：
x
D
得曲顶柱体的体积
n
V
lim 0 i1
f (i ,i ) i .
f (i , i )
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z f (x, y)
D
D
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性质6 设M 、m分别是 f (x, y)在闭区域 D 上的最 大值和最小值， 为 D 的面积，则
m f (x, y)d M
D
二重积分估值不等式
性质7 设函数 f (x, y)在闭区域 D上连续， 为 D 的面积，则在 D 上至少存在一点( ,)使得
f (x, y)d f ( ,)
⑴分割：将薄片分割成若干小块， y
⑵近似：取典型小块，将其近似
(i ,i )
•
看作均匀薄片，
⑶求和：所有小块质量之和
i
近似等于薄片总质量
o
x
n
⑷ 取极限：得薄片总质量
M
lim
0
i 1
( i
,i
) i
.
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两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同
“分割, 取近似, 求和, 取极限”
(2) 所求量的结构式相同 曲顶柱体体积:
1y
D
面密度为f (x, y)占有平面区域D的平面薄片的质量
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[注] 1. 重积分与定积分的区别：
重积分中d 0,定积分中dx 可正可负.
2. 根据分割的任意性，当二重积分存在时，在直角坐标系 下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D
即 x 常数 , y 常数
y
则直角坐标系下面积元素为 d dxdy
代 数
D
3)若 f ( x, y) 1 , 1 d 表区域D的面积.
z
和
a
D
几个特殊结果 (1) kd k ；
D
(2)
a2 x2 y2d 2 π a3 ；
x2 y2a2
3
y
a
x x2 y2 a2
z
(3)
(1 x y)d 1 .
x y1,x0, y0
6
1 z 1 x y
4.【物理意义】 ( x, y)d 在物理上表示 x 1 D
性质1
kf (x, y)d k f (x, y)d .
D
D
性质2 线性性质
[ f (x, y) g(x, y)]d
D
f (x, y)d g(x, y)d .
D
D
逐项积分
[kf (x, y) mg(x, y)]d k f (x, y)d m g(x, y)d
D
D
D
线性性质可以推广至有限个函数的情形。
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性质3 对区域具有可加性
f (x, y)d f (x, y)d f (x, y)d.
D
D1
D2
性质4 若 为D的面积， 1 d d .
D
D
性质5 若在D上 f (x, y) g(x, y), 比较性质
特殊地
则有 f (x, y)d g(x, y)d .
ຫໍສະໝຸດ Baidu
D
D
f (x, y)d f (x, y) d.