几何描点法

2
2
思考：在整个定义域内是增函数么？
应用提升
• 例1（书上P44例6有变动）
求函数y

tan


2
x


3
的定义域，值域，并指出它的周期性，
奇偶性，单调性，对称中心，作出它的大致草图
解：
定义域： {x | x 2k 1，k Z} 值域：R
3
周期：T 2 奇偶性：非奇非偶

3 8

4

8
O
8
4
3 8
X
正切函数的性质与图像
（1）正切曲线图象如何作：
几何描点法（利用三角函数线）
思考:画正切函数选取哪一段好呢?画多长一段呢?
正切函数的性质与图像
(四)单调性：观察图像
正切函数在 ， ，k Z中为递增函数，由周期性知，
2 2
正切函数在 k， k ，k Z中是增函数。
2
2
y cos x : 定义域为R，值域[1,1]
最大值1,此时x 2k ;最小值-1, 此时x 2k ;
复习回顾
-6 -5
-4 -3
-2 -
y y=sinx
1 o
-1
2 3
4 5
6 x
y y=cosx
1
-6 -5 -4 -3 -2
- -1
xA
2
2
O
u 正切线AT向Ov轴的正方向无限延伸；
(2)
所以正切函数的值域是实数集R.
利用正切线画出一个周期内的正切函数图象
作法如下：
Y
1.作直角坐标系，并在直角
坐标系y轴左侧作单位圆.
2.找横坐标（把 x
轴上 到 这一
22 段分成8等份）
3.把单位圆右半圆中作出正 切线并平移.
4.找交叉点，用平滑的曲线把 这些点连起来.
正切函数的基本性质
课后作业
1．书本P45练习，做书上. 2．P46习题A组6,7,8,9；B组2 做本子上 3.《作业本》同步练习

2
,
2

内
是增函数，又由正切
函数的周期性可知，
正切函数在开区间


2

k
,
2

k

,
(4)
k Z 内都是增函数.
v
值域
A 如图（1）,当x大于 且无限接近 时，
Ox u
2
2
T 正切线AT向Ov轴的负方向无限延伸；
(1)
v
T 如图（2）,当x小于 且无限接近 时，
(三)奇偶性:
由诱导公式tan(-x
)=-tanx,x

R,x


2

k
,
k

Z
y tan x, x k k z 为奇函数,图像关于原点对称
2
单调性
v
T
xA
O
u
(2)
v
xA
O
u
T
(3)
如图(1)(2),由正切线
v
的变换规律可得，正
Ox
(1)
v x
O
A
u
T
T
A
u
切函数在

-6 -5 -6 -5
-4 -3 -4 -3
复习回顾
-2 -
y y=sinx
1 o
-1
2 3
y y=cosx
1
-2
- -1

2 3
4 5 4 5
6 x 6 x
四.单调性：
正弦函数在[ 2k , 2k ](k Z )上是单调递增的,从 1到1;
1
-2 -
o
-1
2 3
4 5
6 x
y y=cosx
1
-6 -5 -4 -3 -2
- -1

2 3 4
5
6 x
五.定义域 、值域及取到最值时相应的x的集合:
y sin x : 定义域为R，Βιβλιοθήκη Baidu域[1,1]
最大值1,此时x 2k ;最小值-1, 此时x 2k ;
2
2
在[ 2k , 3 2k ](k Z )上是单调递减的,从1到 1
2
2
余弦函数在区间[2k ,2k ](k Z)上是单调递增,从 1到1:
在区间[2k ,2k ](k Z)上是单调递减,从1到1
-6 -5
-4 -3
复习回顾
y y=sinx
练习2.如果、 ( , )且 tan cot ,
2 那么必有（ ）
A.
B.
C. 3 D. 3
2
2
应用提升
例3.求函数y tan x 1 的定义域 3 tan x
例4.试讨论函数y loga tan x的单调性
小结回顾
单调区间：（ 5 2k，1 2k），k Z 33
对称中心：(k- 2 , 0), k Z 3
应用提升
例2.比较tan 13 与tan 17 的大小 ?
4 5
应用提升
练习1：试着画出y | tan x | 和y tan | x |
并讨论它们的单调性，周期性和奇偶性.
1.4.3 正切函数 的图象和性质
复习回顾
一.正弦余弦函数的作图： 几何描点法（利用三角函数线） 五点法作简图
二.周期性： 函数y Asin(x )和y Acos(x )，x R的周期T 2
| | 三.奇偶性：
y sin x为奇函数，图像关于原点对称； y cosx为偶函数图像关于y轴对称。
(2) y sin x, y cosx与y Asin(x ), y Acos(x )间的换元思想
正切函数的性质与图像
(二)周期性 :
由诱导公式 tan(x+ )=tanx,x R, x k , k Z
2
可以知道 是正切函数的一个正周期
问题:是否是最小的正周期呢?

2 3 4
5
6 x
六.对称轴和对称点：
y sin x的对称轴：x k , 对称点：(k ,0);
2
y cos x的对称轴：x k , 对称点：(k ,0);
2 七.y sin x和y cosx的图像性质的研究思想：
(1)充分利用图像- - - -数形结合的思想