连续系统的零输入响应与零状态响应 《信号与系统》课件

各种系统响应定义
（1)自由响应：也称固有响应，由系统本身特性决定， 与外加激励形式无关。对应于齐次解。
强迫响应：形式取决于外加激励。对应于特解。 (2)暂态响应：是指激励信号接入一段时间内，完全
响应中暂时出现的有关成分，随着时 间t 增加，它将消失。 稳态响应：由完全响应中减去暂态响应分量即得 稳态响应分量。
t
0 vL ( ) d
(t 0)
故电路等效为起始状态为零的电感L和电流源 iL (0 )u(t)
的并联。
五．系统响应划分
自由响应＋强迫响应 (Natural+forced)
暂态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state）
零输入响应＋零状态响应 (Zero-input+Zero-state)
) d
1 C
0 0
iC ( ) d
1 C
t
0 iC ( ) d
vC
(0
)
1 C
0 0
iC ( ) d
1 C
t
0 iC ( ) d
令t 0 ,
vC
(0
)
vC
(0
)
1 C
0 0
iC ( ) d
0
如果ic (t)为有限值
如果ic (t)为 t
0 0
iC
(
)
dБайду номын сангаас
0
,此时vC (0 ) vC (0 )
但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电 压强迫作用于电感，0 到 0 状态就会发生跳变。
当系统用微分方程表示时，系统从 0 到 0 状 态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是
否包含 t 及其各阶导数项。
1．电容电压的突变
由伏安关系
vC
(t)
1 C
t
iC ( ) d
1
C
0
iC
(
电容的等效电路
电感的等效电路
系统的完全响应 可以看作
外加激励源 起始状态等效激励源
共同作用的结果
系统的完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 ( 线性系统具有叠加性 )
电容器的等效电路
vC (0 ) 0, t 0
1
vC (t) C
t
iC ( ) d
1 C
0
iC
(
)d
1 C
t
0 iC ( ) d
值求出待定系数。
系统零状态响应，是在激励作用下求系统方 程的非齐次解，由状态值 vC 0 和iL 0 为零决定的 初始值求出待定系数。
求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所 以引出卷积积分法。
系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积，
即 rt etht
例题 例题
六．对系统线性的进一步认识
由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线 性的。 (1)响应可分解为：零输入响应＋零状态响应。
vC
(0
)
1 C
t
0 iC ( ) d
t0
电路等效为起始状态为零的电容与电压源 vC (0 )u t
的串联
等效电路中的
电容器的起始 状态为零
电感的等效电路
iL (0 ) 0， t 0
iL (t)
1 L
t
vL ( ) d
1 L
0
vL
(
) d
1 L
t
0 vL ( ) d
1
iL (0 ) L
dt
在r t中t 0 时刻有9u t
u t 表示0到0的相对跳变函数，所以，
r 0 r 0 6
r 0 6 r 0 6 1 5
数学描述
由方程 d r t 3r t 2 t 可知
dt
方程右端含 t 项，它一定属于 d r t
设
d
r t
a t b
dt
t cu t
(3)零输入响应：考虑原始时刻系统储能的作用（起 始状态等于零），由系统的外加激 励信号产生的响应。
各种系统响应定义
零状态响应：不考虑原始时刻系统储能的作用（起 始状态等于零），由系统的外加激励 信号产生的响应。
求解
系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次
解，由非零的系统状态值 vC 0 和iL 0 决定的初始
阶跃电流作 用于电感时：
iL (0 ) iL (0 )
1
L
0 0
vL
(
)
d
1 L
,
此时iL 0 iL 0
例题
三．冲激函数匹配法确定初始条件
配平的原理：t 0 时刻微分方程左右两端的 (t)及
各阶导数应该平衡(其他项也应该平衡，我们讨论 初始条件，可以不管其他项）
例：d
dt
r
t
3r
t
2
t
(2)零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状 态响应对于各激励信号呈线性。
(3)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响 应对于各起始状态呈线性。
dt
则 r t a t bu t
代入方程 a t b t cu t 3a t 3bu t 2 t
得出
a 2 b 3a
0
c 3b 0
a 2 解得 b 6
c 18
例题 例题
四．起始状态与激励源的等效转换
在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效 转换。即可以将原始储能看作是激励源。
已知r
0
1,
求r
0
d rt 3rt 2 t
dt
2 t 3 t 2 t
2
6 t 6 t
ut :
6ut
表示0 到0 相对单位跳变函数
该过程可借助数学描述
分析
方程右端含2 t
方程右端不含 t
d dt
r
t
中的6
t
d r t 中必含2 t
dt
r t 中包含3 t
d r t 必含 6 t 以平衡3r t 中的6 t
2-2 连续系统的零输入响应与零状态 响应 《信号与系统》课件
一．起始点的跳变
0
0
O
t
0状态、起始状态
r
k
0
r
0
,
d
r
d
0 t
,
d
2
r d
0
t2
,
dn1 r 0
d t n1
0 状态、初始条件 、导出的起始状态
r
k
0
r
0
,
d
r
d
0 t
,
d
2
r d
0
t2
,
dn1 r 0
d t n1
1
C
0 0
iC ( ) d
1 C
，此时vC
(0
)
vC (0 )
1 C
2．电感电流的突变
iL (t)
1 L
t
vL ( ) d
iL (0
)
iL (0 )
1 L
0 0
vL
(
)
d
如果 vL (t) 为有限值，
冲激电压或
0 0
vL ( ) d
0
，
此时iL (0 )
iL (0 )
如果vL (t)为 (t) ，
我们来进一步讨论 vC (0 ) vC (0 ) 的条件。
iL (0 ) iL (0 )
说明
对于一个具体的电网络，系统的 0状态就是系 统中储能元件的储能情况;
一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感 中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的
换路定则：vC 0 vC 0 , iL 0 iL 0 .