阿基米德三角形 徐竞
第80讲、阿基米德三角形(学生版)2025高考数学一轮复习讲义
第80讲阿基米德三角形知识梳理如图所示，AB 为抛物线22(0)x py p =>的弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，分别过,A B 作的抛物线的切线交于点P ，称PAB △为阿基米德三角形，弦AB为阿基米德三角形的底边．1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．2、若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内定点()00 C x y ，，则另一顶点P 的轨迹为一条直线．3、若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．4、底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为38a p．5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为2p ．6、点P 的坐标为1212,22x x x x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；7、底边AB 所在的直线方程为()121220; x x x py x x +--=8、PAB △的面积为3128PAB x x S p-=．9、若点P 的坐标为()00,x y ，则底边AB 的直线方程为()000x x p y y -+=．10、如图1，若E 为抛物线弧AB 上的动点，点E 处的切线与PA ，PB 分别交于点C ，D ，则||||||||||||AC CE PD CP ED DB ==.11、若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在点E 处的切线与阿基米德三角形PAB △的边PA ，PB 分别交于点C ，D ，则2EABPCDS S = ．12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的23．图1必考题型全归纳题型一：定点问题例1．（2024·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知点()0,1A -，()0,1B ，动点P 满足PB AB PA BA =⋅．记点P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）设D 为直线=2y -上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别是E ，F ．证明：直线EF 过定点．例2．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知动圆M 恒过定点10,8F ⎛⎫⎪⎝⎭，圆心M 到直线14y =-的距离为1,8d d MF =+．(1)求M 点的轨迹C 的方程；(2)过直线1y x =-上的动点Q 作C 的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，证明：直线AB 恒过定点．例3．（2024·全国·高二专题练习）已知平面曲线C 满足：它上面任意一定到10,2⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到直线32y =-的距离小1.(1)求曲线C 的方程；(2)D 为直线12y =-上的动点，过点D 作曲线C 的两条切线，切点分别为A B ､，证明：直线AB 过定点；(3)在（2）的条件下，以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.变式1．（2024·陕西·校联考三模）已知直线l 与抛物线2:2(0)C x py p =>交于A ，B 两点，且OA OB ⊥，OD AB ⊥，D 为垂足，点D 的坐标为(1,1)．(1)求C 的方程；(2)若点E 是直线4y x =-上的动点，过点E 作抛物线C 的两条切线EP ，EQ ，其中P ，Q 为切点，试证明直线PQ 恒过一定点，并求出该定点的坐标．变式2．（2024·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．对于抛物线C ：2y ax =给出如下三个条件：①焦点为10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭；②准线为12y =-；③与直线210y -=相交所得弦长为2．(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线C 的方程；(2)已知ABQ 是（1）中抛物线的“阿基米德三角形”，点Q 是抛物线C 在弦AB 两端点处的两条切线的交点，若点Q 恰在此抛物线的准线上，试判断直线AB 是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由．变式3．（2024·湖北武汉·高二武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知抛物线2:C y ax =（a 是常数）过点(2,2)P -，动点1,2D t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；(2)当1t =时，求直线AB 的方程；(3)证明：直线AB 过定点．变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知动点P 在x 轴及其上方，且点P 到点(0,1)F 的距离比到x 轴的距离大1.（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）若点Q 是直线4y x =-上任意一点，过点Q 作点P 的轨迹C 的两切线QA ､QB ，其中A ､B 为切点，试证明直线AB 恒过一定点，并求出该点的坐标.题型二：交点的轨迹问题例4．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()0,F c (0)c >到直线:20l x y --=．(1)求抛物线C 的方程；(2)设点0(P x ，0)y 为直线l 上一动点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q ；(3)过（2）中的点Q 的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，求1l ，2l 交点M 满足的轨迹方程．例5．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点；椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率2e =．(1)求椭圆E 的方程；(2)经过A 、B 两点分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，切线1l 与2l 相交于点M ．证明：点M 定在直线1y =-上；(3)椭圆E 上是否存在一点M '，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A ''、(M B A '''、B '为切点），使得直线A B ''过点F ？若存在，求出切线M A ''、M B ''的方程；若不存在，试说明理由．例6．（2024·全国·高三专题练习）已知动点Q 在x 轴上方，且到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大1.（1）求动点Q 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,1P 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点A ，B 分别异于原点O ，在曲线C 的A ，B 两点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 交于点M ，求证：M 在定直线上.变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线:4l x =的距离之比为12，记P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点(4,0)M 的直线与曲线C 交于,A B 两点，,R Q 分别为曲线C 与x 轴的两个交点，直线,AR BQ 交于点N ，求证:点N 在定直线上．变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知点F 为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，点M 、N 在抛物线上，且M 、N 、F 三点共线.若圆22:(2)(3)16P x y -+-=的直径为MN .（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点F 的直线l 与抛物线交于点A ，B ，分别过A 、B 两点作抛物线C 的切线1l ，2l ，证明直线1l ，2l 的交点在定直线上，并求出该直线.变式7．（2024·全国·高三专题练习）下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整．(1)圆222:O x y r +=上点()00,M x y 处的切线方程为．理由如下：．(2)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点()00,x y 处的切线方程为；(3)(,)P m n 是椭圆22:13x L y +=外一点，过点P 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，如图，则直线AB 的方程是．这是因为在()11,A x y ，()22,B x y 两点处，椭圆L 的切线方程为1113x x y y +=和2213x x y y +=．两切线都过P 点，所以得到了1113x m y n +=和2213x my n +=，由这两个“同构方程”得到了直线AB 的方程；(4)问题（3）中两切线PA ，PB 斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为()y n k x m -=-，由22()33y n k x m x y -=-⎧⎨+=⎩，得222(13)6()3()30k x k n km x n km ++-+--=，化简得Δ0=，得222(3)210m x mnk n -++-=．若PA PB ⊥，则由这个方程可知P 点一定在一个圆上，这个圆的方程为．（5）抛物线22(0)y px p =>上一点()00,x y 处的切线方程为00()y y p x x =+；（6）抛物线2:4C x y =，过焦点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作抛物线的两条切线1l 和2l ，设()11,A x y ，()22,B x y ，则直线1l 的方程为112()x x y y =+．直线2l 的方程为222()x x y y =+，设1l 和2l 相交于点M ．则①点M 在以线段AB 为直径的圆上；②点M 在抛物线C 的准线上．题型三：切线垂直问题例7．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的方程为24x y =，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B .（1）若点P 坐标为()0,1-，求切线,PA PB 的方程；（2）若点P 是抛物线C 的准线上的任意一点，求证：切线PA 和PB 互相垂直.例8．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的方程为24x y =，点P 是抛物线C 的准线上的任意一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，点M 是AB 的中点.（1）求证：切线PA 和PB 互相垂直；（2）求证：直线PM 与y 轴平行；（3）求PAB 面积的最小值.例9．（2024·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆1Γ和抛物线2Γ有相同的焦点(1,0)，椭圆1Γ的离心率为12，抛物线2Γ的顶点为原点.(1)求椭圆1Γ和抛物线2Γ的方程；(2)设点P 为抛物线2Γ准线上的任意一点，过点P 作抛物线2Γ的两条切线PA ，PB ，其中,A B 为切点.设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆1C 和抛物线2C 有相同的焦点()1,0，椭圆1C 过点31,2G ⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线2C 的顶点为原点．()1求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；()2设点P 为抛物线2C 准线上的任意一点，过点P 作抛物线2C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．①设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值；②若直线AB 交椭圆1C 于C ，D 两点，PAB S ，PCD S 分别是PAB ，PCD 的面积，试问：PABPCDS S 是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由．变式9．（2024·全国·高三专题练习）抛物级22(0)x py p =>的焦点F 到直线2py =-的距离为2.（1）求抛物线的方程；（2）设直线1y kx =+交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，分别过A ，B 两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为P ，求证：PF AB ⊥.变式10．（2024·河南驻马店·校考模拟预测）已知抛物线E ：()220x py p =>的焦点为F ，点P 在E 上，直线l ：20x y --=与E 相离．若P 到直线l 的距离为d ，且PF d +的最小值为2．过E 上两点,A B 分别作E 的两条切线，若这两条切线的交点M 恰好在直线l 上．（1）求E 的方程；（2）设线段AB 中点的纵坐标为n ，求证：当n 取得最小值时，MA MB ⊥．题型四：面积问题例10．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的方程为()220x py p =>，点3,2A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭是抛物线上的一点，且到抛物线焦点的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）点Q 为直线12y =-上的动点，过点Q 作抛物线C 的两条切线，切点分别为D ，E ，求QDE △面积的最小值．例11．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线22x py =上一点()0,1M x 到其焦点F 的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）如图，过直线:2l y =-上一点A 作抛物线的两条切线AP ，AQ ，切点分别为P ，Q ，且直线PQ 与y 轴交于点N ．设直线AP ，AQ 与x 轴的交点分别为B ，C ，求四边形ABNC 面积的最小值．例12．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点到原点的距离等于直线:440l x y --=的斜率.（1）求抛物线C 的方程及准线方程；（2）点P 是直线l 上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，求PAB 面积的最小值.变式11．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>上的点R 的横坐标为1，焦点为F ，且||2RF =，过点(4,0)P -作抛物线C 的两条切线，切点分别为A 、B ，D 为线段PA 上的动点，过D 作抛物线的切线，切点为E （异于点A ，B ），且直线DE 交线段PB 于点H .(1)求抛物线C 的方程；(2)（i ）求证：||||AD BH +为定值；（ii ）设EAD ，EBH △的面积分别为12S S ，，求12133S S S =+的最小值.变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知点A （﹣4，4）、B （4，4），直线AM 与BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为﹣2，点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）Q 为直线y=﹣1上的动点，过Q 作曲线C 的切线，切点分别为D 、E ，求△QDE 的面积S 的最小值．变式13．（2024·河南开封·河南省兰考县第一高级中学校考模拟预测）已知点()F ，平面上的动点S 到F 的距离是S 40+=的距离的2倍，记点S 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过直线:2l y =上的动点()(),22P s s >向曲线C 作两条切线1l ，2l ，1l 交x 轴于M ，交y 轴于N ，2l 交x 轴于T ，交y 轴于Q ，记PNQ V 的面积为1S ，PMT △的面积为2S ，求12S S ⋅的最小值．题型五：外接圆问题例13．（2024·全国·高三专题练习）已知P 是抛物线C ：2134y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=- ．（1）试判断直线AB 是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；（2）设点M 是PAB 的外接圆圆心，求点M 的轨迹方程．例14．（2024·高二单元测试）已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=- .（1）判断点()0,1D 是否在直线AB 上？说明理由；（2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆心，点M 到x 轴的距离为d ，点()1,0N ，求MN d -的最大值.例15．（2024·全国·高三专题练习）已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=- .（1）判断点()0,1D -是否在直线AB 上？说明理由；（2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆心，求点M 的轨迹方程.题型六：最值问题例16．（2024·全国·高三专题练习）如图已知()2,P t -是直线2x =-上的动点，过点P 作抛物线24y x =的两条切线，切点分别为,A B ，与y 轴分别交于,C D.（1）求证：直线AB 过定点，并求出该定点；（2）设直线AB 与x 轴相交于点Q ，记,A B 两点到直线PQ 的距离分别为12,d d ；求当12AB d d +取最大值时PCD 的面积.例17．（2024·湖南·高三校联考阶段练习）在直角坐标系xoy 中，已知抛物线()2:20C x py p =>，P 为直线1y x =-上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，当P 在y 轴上时，OA OB ⊥.(1)求抛物线C 的方程；(2)求点O 到直线AB 距离的最大值.例18．（2024·辽宁沈阳·校联考二模）从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的轴，根据光路的可逆性，平行于抛物线的轴射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处，这一性质被广泛应用在生产生活中．如图，已知抛物线()2:21C x py p =>，从点()4,9发出的平行于y 轴的光线照射到抛物线上的D 点，经过抛物线两次反射后，反射光线由G 点射出，经过点()1,5-．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知圆()22:34M x y +-=，在抛物线C 上任取一点E ，过点E 向圆M 作两条切线EA 和EB ，切点分别为A 、B ，求EA EB ⋅ 的取值范围．变式14．（2024·贵州·高三校联考阶段练习）已知抛物线()2:20C x py p =>上的点()02,y 到其焦点F 的距离为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)已知点D 在直线l ：=3y -上，过点D 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，直线AB 与直线l 交于点M ，过抛物线C 的焦点F 作直线AB 的垂线交直线l 于点N ，当MN 最小时，求ABMN 的值.变式15．（2024·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考阶段练习）已知抛物线2:4C y x =，点P 为直线2x =-上的任意一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则点()0,1M 到直线AB 的距离的最大值为（）A ．1B ．4C ．5D题型七：角度相等问题例19．设抛物线2:C y x =的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB ．例20．（2024·全国·高三专题练习）已知F ，F '分别是椭圆221:171617C x y +=的上、下焦点，直线1l 过点F '且垂直于椭圆长轴，动直线2l 垂直1l 于点G ，线段GF 的垂直平分线交2l 于点H ，点H 的轨迹为2C .(1)求轨迹2C 的方程；(2)若动点P 在直线:20l x y --=上运动，且过点P 作轨迹2C 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，试猜想PFA ∠与PFB ∠的大小关系，并证明你的结论的正确性.例21．（2024·江苏南通·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆22=>交于点M，N（异于原点O），MN恰为该圆的+-=与抛物线2:2(0)C x py pG x y:(1)1直径，过点E（0，2）作直线交抛物线于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．(1)求证：点P的纵坐标为定值；∠=∠．(2)若F是抛物线C的焦点，证明：PFA PFBy x=的焦点为F，动点P 变式16．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，设抛物线C：2x y--=上运动，过P作抛物线C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，在直线l：20求证：AFB BFP∠=∠.变式17．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点E(0，2)，以OE为直径的圆与抛物线C∶x2=2py(p>0)交于点M，N(异于原点O)，MN恰为该圆的直径，过点E作直线交抛物线与A，B两点，过A，B两点分别作拋物线C的切线交于点P.（1）求证∶点P的纵坐标为定值；（2）若F是抛物线C的焦点，证明∶∠PFA=∠PFB。
高中数学圆锥曲线系统讲解第27讲《阿基米德三角形》练习及答案
第27讲 阿基米德三角形知识与方法1.如图1所示，不妨设抛物线为()220x py p =>，抛物线上A 、B 两点处的切线交于点P ，则：（1）设AB 中点为M ，则PM 平行于（或重合）抛物线的对称轴；（2）PM 的中点S 在抛物线上，且抛物线在点S 处的切线平行于弦AB .2．如图2所示，不妨设抛物线为()220x py p =>，抛物线上A 、B 两点处的切线交于点P ，则：（1）若弦AB 过抛物线内的定点Q ，则点P 的轨迹是直线；特别地，若弦AB 过定点()0,m ()0m >，则点P 的轨迹是直线y m =−；（2）若弦AB 过抛物线内的定点Q ，则以Q 为中点的弦与（1）中点P 的轨迹平行. 3．如图3所示，不妨设抛物线为()220x py p =>，抛物线上A 、B 两点处的切线交于点P ，若AB 过焦点F ，则点P 的轨迹为抛物线准线，PA PB ⊥，PF AB ⊥，且PAB 的面积的最小值为2p .4．如图4所示，不妨设抛物线为()220x py p =>，抛物线上A 、B 两点处的切线交于点P ，则：（1）PFA PFB ∠=∠；（2）2AF BF PF ⋅=提醒：阿基米德三角形在小题和大题中都可能涉及，小题可以直接用性质速解，大题则必须给出详细的求解过程.典型例题【例1】己知点()1,1P −在抛物线()220y px p =>的准线上，过点P 作抛物线的切线，切点为A 、B ，则直线AB 的斜率k =_______.【解析】点()1,1P −在抛物线()220y px p =>的准线上⇒抛物线的准线为1x =−⇒抛物线的焦点为()1,0F ，由阿基米德三角形性质，直线AB 过F 且PF AB ⊥，而101112PF k −==−−−，所以直线AB 的斜率为2.【答案】2变式1 已知点()2,1M −和抛物线2:4C x y =，过C 的焦点F 且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点，若90AMB ∠=︒，则k =_______.【解析】由题意，M 在抛物线C 的准线上，直线AB 过点F 且90AMB ∠=︒，所以MAB 是阿基米德三角形，如图，由阿基米德三角形性质，MF AB ⊥，而11120MF k −−==−−，所以直线AB 的斜率为1.【答案】1变式2 已知抛物线2:4C x y =，过点()1,1P −作抛物线C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则经过P 、A 、B 三点的圆的方程为______.【解析】由题意，点P 在抛物线C 的准线上，则PA PB ⊥，PF AB ⊥，且直线AB 过焦点()0,1F ，所以经过P 、A 、B 三点的圆就是以AB 为直径的圆，直线PF 的斜率为11210−−=−−， 所以直线AB 的斜率为12，其方程为112y x =+，设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立21124y x x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 整理得：2240x x −−=， 故122x x +=，()12121232y y x x +=++=，从而AB 中点为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，1225AB y y =++=，所以经过P 、A 、B 三点的圆的方程为()22325124x y ⎛⎫−+−= ⎪⎝⎭.【答案】()22325124x y ⎛⎫−+−= ⎪⎝⎭变式3 已知过抛物线22x y =焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，抛物线在A 、B 处的切线交于点C ，则ABC 面积的最小值为______.【解析】由阿基米德三角形性质，当直线AB 过焦点F 时，ABC 面积的最小值为21p =. 【答案】1变式4 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，抛物线C 在A 、B 两点处的切线相交于点P ，若3AF =，则PF =_______. 【解析】设AFO α∠=，则231cos AF α==+，所以1cos 3α=−，故()2231cos 1cos 2BF παα===+−−， 由阿基米德三角形性质，2AF BF PF ⋅=所以2PF ==.【答案】2【例2】抛物线2:2C x py =()0p >的焦点为F ，且F 与圆()22:21I x y ++=上的点的距离的最大值为4. （1）求p 的值；（2）若点Q 在圆I 上，QA 、QB 是抛物线C 的两条切线，A 、B 是切点，当IQ AB ∥时，求直线AB 与y 轴交点的坐标. 【解析】解：（1）由题意，342p+=，所以2p =. （2）显然直线AB 斜率存在，可设其方程为y kx m =+，由（1）知抛物线C 的方程为24x y =，联立24y kx m x y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得：2440x kx m −−=，由韦达定理，124x x k +=，124x x m =−，设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由24x y =可得24x y =，所以2x y '=，故直线QA 的方程为()211142x x y x x −=−，整理得：21124x x y x =−，同理，直线QB 的方程为22224x x y x =−，联立2112222424x x y x x xy x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩解得：1222x x x k +==，124x x y m ==−，所以点Q 的坐标Wie ()2,k m −， 因为点Q 在圆I 上，所以()22421k m +−+=①， 因为IQ AB ∥，所以22mk k−=，从而222k m =−， 代入式①可得()()22221m m −+−+=解得：3m =，又2220k m =−≥，所以2m ≤，故3m =， 从而直线AB 与y轴的交点的坐标为(0,3.【反思】对于开口向上（或向下）的抛物线的阿基米德三角形大题，通常采用设两个切点，写出切线方程并联立求出交点坐标，同时将切点弦所在直线与抛物线联立，结合韦达定理计算的方法来处理.强化训练1.（★★★）已知点()2,1P −在抛物线()2:20C y px p =>的准线上，过P 作抛物线C 的切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】()2,1P −在准线上4p ⇒=⇒抛物线的焦点为()2,0F，由阿基米德三角形性质，直线AB 过F ，且PF AB ⊥，而101224PF k −==−−−，所以直线AB 的斜率为4， 故直线AB 的方程为()42y x =−【答案】()42y x =−2.（★★★）已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，抛物线在A 、B 两点处的切线相交于点P ，则PAB 面积的最小值为_______. 【解析】当AB 过焦点时，阿基米德三角形面积的最小值为24p =. 【答案】43.（★★★）已知抛物线2:2C y x =和点1,12P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，过C 的焦点F 且斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若0PA PB ⋅=，则k =_______.【解析】由题意，1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，点P 在抛物线的准线上，且PA PB ⊥，所以PAB 是阿基米德三角形，从而PF PB ⊥，直线PF 的斜率1011122PF k −==−−−，故直线AB 的斜率为1. 【答案】14.（★★★）已知抛物线2:4C x y =，过点()0,1P x −作抛物线C 的两条切线，切点分别为A 和B ，若经过P 、A 、B 三点的圆被x 轴截得的弦长为4，则0x =______.【解析】由题意，点P 在抛物线C 的准线上，则PA PB ⊥，PF AB ⊥，且AB 过焦点()0,1F ，直线PF 的斜率为001120x x −−=−−，所以直线AB 的斜率为02x ，其方程为012x y x =+，设()11,A x y ，()22,B x y 联立02124x y x x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 整理得：20240x x x −−=，所以1202x x x +=，()201212022x y y x x x +=+=+， 从而AB 中点为200,12x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，212024AB y y x =++=+， 因为PA PB ⊥，所以经过P 、A 、B 三点的圆就是以AB 为直径的圆，该圆的半22220014222x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：01x =±.【答案】1±5.（★★★★）已知抛物线2y x =和点()0,1P ，若过某点C 可作抛物线的两条切线，切点分别为A 和B ，且满足1233CP CA CB =+，则ABC 的面积为______.【解析】()()12123333CP CA CB CP CP PA CP PB PA PB =+⇒=+++⇒=−⇒P 、A 、B 三点共线，设直线AB 的方程为1y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，不妨设0k >, 联立21y kx y x=+⎧⎨=⎩消去y 整理得：210x kx −−=，判别式240k =+>， 由韦达定理12x x k +=，121x x =−，又2PA PB =−，所以122x x =−，联立12121212x x kx x x x+=⎧⎪=−⎨⎪=−⎩可解得：k =，所以12x x +，设AB 中点为D ，则122D x x x +==， 代入1y kx =+得51244D y =⨯+=， 由阿基米德三角形性质知CD x ⊥轴且点C 在直线1y =−上， 所以()59144CD =−−=，故121199922418216ABCSCD x x =⋅−=⨯⨯=⨯=.6.（★★★★★）已知动圆过点()0,1F ，且与直线:1l y =−相切.（l ）求动圆圆心的轨迹E 的方程； （2）设P 为一动点，过P 作曲线E 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 和B ，且PA PB ⊥，直线AB 与圆224x y +=相交于C 、D 两点，设点P 到直线AB 的距离为d ，是否存在点P ，使得24AB CD d ⋅=?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由. 【解析】（1）由题意，动圆圆心到点F 的距离和到定直线l 的距离相等, 所以动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为24x y =.（2）显然直线AB 的斜率存在，故可设其方程为y kx m =+，设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，联立24y kx mx y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得：2440x kx m −−=，由韦达定理，124x x k +=，124x x m =−，由24x y =得24x y =，所以2xy '=，故直线PA 的方程为()211142x x y x x −=−，整理得：21124x x y =−，同理，直线PB 的方程为22224x x y =−，联立2112222424x x y x x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩解得：1222x x x k +==，124x x y m ==−，所以点P 的坐标为()2,k m −，因为PA PB ⊥， 所以12122x x m ⋅=−=−，故1m =，从而AB 过点F ， 所以()212122444AB y y k x x k =++=++=+， 原点到直线AB，故CD =点P 到直线AB 的距离d ==所以24AB CD d ⋅=等价于()()2244161k k +⋅=+， 化简得：2101k =+，无解，故不存在点P ，使得|24AB CD d ⋅=.。
抛物线阿基米德三角形二级结论推广
抛物线阿基米德三角形问题是一个数学领域的经典问题，在本文中，我们将结合相关数学理论和实际运用进行深入探讨、分析及推广。
一、抛物线阿基米德三角形概念及原理抛物线阿基米德三角形是通过将一个抛物线分成若干小等分，然后将每个小等分的顶点与该小等分所在的位置上的斜率相连，将所有这些相连的线段所形成的图形，称为抛物线的阿基米德三角形。
该问题的提出是为了研究曲线上的直线与曲线的交点及其有关性质。
二、抛物线阿基米德三角形的基本性质及特点1. 抛物线的阿基米德三角形具有三条相交于一个点的特点，该点即为抛物线的焦点。
2. 抛物线的阿基米德三角形形状具有一定的规律性，不同抛物线的阿基米德三角形形状可能有所不同，但都具备三条相交于一个点的共同特点。
3. 抛物线的阿基米德三角形结构清晰简洁，可以通过数学方法进行精确的构造。
三、抛物线阿基米德三角形的实际应用1. 数学教育领域：抛物线阿基米德三角形可以作为数学教学中的经典案例，通过该案例的讲解和分析，可以帮助学生更深入地理解曲线与直线的交点问题，增强他们的数学思维和分析能力。
2. 工程设计领域：在工程设计中，抛物线阿基米德三角形的相关理论可以应用于某些特定的曲线结构问题的求解和设计，为工程设计师提供一种新的思路和方法。
3. 计算机图形学领域：在计算机图形学中，抛物线阿基米德三角形的相关理论可以帮助程序设计师更好地理解和处理曲线与直线的交点问题，提高程序设计的精确度和效率。
四、抛物线阿基米德三角形问题的二级结论推广1. 根据抛物线阿基米德三角形的相关理论，可以进行进一步的推广和拓展，将抛物线阿基米德三角形的概念和原理应用于更加复杂和多样化的曲线和图形结构中，发现新的数学规律和特点。
2. 抛物线阿基米德三角形问题的二级结论推广可以帮助人们更深入地理解曲线与直线的交点问题，并在实际问题的解决中更加灵活地运用相关数学理论和方法。
五、结语通过对抛物线阿基米德三角形问题的深入探讨、分析及推广，我们可以更好地理解曲线与直线的交点问题，并将相关数学理论和方法应用于实际问题的解决中，为促进数学理论和实际应用的结合做出更大的贡献。
抛物线——阿基米德三角形
解析几何——阿基米德三角形知识点：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形。
因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的2/3预备知识：1.过抛物线px y 22=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00x x p y y +=2.过抛物线px y 22-=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00x x p y y +-=3.过抛物线py x 22=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00y y p x x +=4.过抛物线py x 22-=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00y y p x x +-=阿基米德三角形有一些有趣的性质：性质1：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，M 为弦AB 中点，则过A 的切线方程为11()y y p x x =+，过B 的切线方程为22()y y p x x =+，联立方程组得1122211222()()22y y p x x y y p x x y px y px =+⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩解得两切线交点Q (122y y p ，122y y +)，进而可知QM ∥x 轴.性质2：QM 的中点P 在抛物线上，且P 处的切线与AB 平行．证明：由性质1知Q (122y y p ，122y y +)，M 1212(,22x x y y ++，易得P 点坐标为21212()(,82y y y y p ++，此点显然在抛物线上；过P 的切线的斜率为121222p p y y y y =++=ABk ，结论得证．性质3如图，连接AI 、BI ，则△ABI 的面积是△QST 面积的2倍．证明：如图，这里出现了三个阿基米德三角形，即△QAB 、△TBI 、△SAI ；应用阿基米德三角形的性质：弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23；设BI 与抛物线所围面积为1S ，AI 与抛物线所围面积为2S ，AB 与抛物线所围面积为S ，则123322ABI QAB QST S S S S S =--- =12333222QST S S S S --- =123()2QST S S S S --- =32ABI QST S S - ，∴ABI S = 2QST S ．性质4：若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内的定点C ，则另一顶点Q 的轨迹为一条直线证明：设Q (x ，y )，由性质1，x =122y y p ，y =122y y +，∴122y y px=由A 、B 、C 三点共线知10122221210222y y y y y y y x p p p--=--，即21121020y y y y x y x +--2102y py =-，将y =122y y +，122y y px =代入得00()y y p x x =+，即为Q 点的轨迹方程.性质5：抛物线以C 点为中点的弦平行于Q 点的轨迹．利用两式相减法易求得以C 点为中点的弦的斜率为0p y ，因此该弦与Q 点的轨迹即直线l 平行．性质6若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．证明：如上图，设l 方程为0ax by c ++=，且11(,)A x y ，22(,)B x y ，弦AB 过点C 00(,)x y ，由性质2可知Q 点的轨迹方程00()y y p x x =+，该方程与0ax by c ++=表示同一条直线，对照可得00,c bp x y a a ==-，即弦AB 过定点C （c a ，bp a-）.性质7（1）若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q 的轨迹为准线；反之，若阿基米德三角形的顶点Q 在准线上，则底边过焦点．（2）若阿基米德三角形的底边过焦点，则阿基米德三角形的底边所对的角为直角，且阿基米德三角形面积的最小值为2p ．证明（2）：若底边过焦点，则00,02p x y ==，Q 点轨迹方程为2p x =-即为准线；易验证1QA QB k k ⋅=-，即QA ⊥QB ，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q 为直角顶点；∴|QM |=122x x ++2p =22124y y p++2p ≥122||4y y p +2p =224p p +2p =p ，而121||()2QAB S QM y y =- ≥12||||QM y y ⋅≥2p性质8底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为38a p．证明：|AB |=a ，设Q 到AB 的距离为d ，由性质1知1212||22x x y y d QM p +≤=-221212244y y y y p p +=-=212()4y y p-，设直线AB 方程为：x my n =+，则2221(1)()a m y y =+-∴221()y y -≤2a ，∴d ≤24a p ，即S =12ad ≤38a p.性质9在阿基米德三角形中，∠QFA =∠QFB ．证明：如图，作AA '⊥准线，BB '⊥准线，连接QA '、QB '、QF 、AF 、BF ，则1'FA y k p=-，显然'1FA QA k k ⋅=-，∴FA '⊥QA ，又∵|AA '|=|AF |，由三角形全等可得∠QAA '=∠QAF ，∴△QAA '≅△QAF ，∴|QA '|=|QF |，∠QA 'A =∠QFA ，同理可证|QB '|=|QF |，∠QB 'B =∠QFB ，∴|QA '|=|QB '|，即∠QA 'B '=∠QB 'A '∴∠QA 'A =∠QA 'B '+900=∠QB 'A '+900=∠QB 'B ,∴∠QFA =∠QFB ，结论得证．特别地，若阿基米德三角形的底边AB 过焦点F ，则QF ⊥AB.性质10|AF |·|BF |=|QF |2．证明：|AF |·|BF |=12(()22p p x x +⋅+=21212()24p p x x x x +++=212(2y y p +22124y y ++24p ，而|QF |2=221212()()222y y y y p p +-+=212()2y y p +22124y y ++24p =|AF |性质11在抛物线上任取一点I （不与A 、B 重合），过I 作抛物线切线交QA 、QB 于S 、T ，则△QST 的垂心在准线上．证明：设211(2,2)A pt pt 、222(2,2)B pt pt 、233(2,2)I pt pt ，易求得过B 、I 的切线交点T 2323(2,())pt t p t t +，过T 向QA 引垂线，其方程为1231232()4t x y p t t pt t t +=++，它和抛物线准线的交点纵坐标123123()4y p t t t pt t t =+++，显然这个纵坐标是关于123,,t t t 对称的，因此从S 点向QB 引垂线，从Q 点向ST 引垂线，它们与准线的交点也是上述点，故结论得证．例1：（2019年台州高三期末21）设点P 为抛物线2:y x Γ=外一点，过点P 作抛物线Γ的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ．（Ⅰ）若点P 为(1,0)-，求直线AB 的方程；（Ⅱ）若点P 为圆22(2)1x y ++=上的点，记两切线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求1211||k k -的取值范围．解：（Ⅰ）设直线PA 方程为11x m y =-，直线PB 方程为21x m y =-.由121,,x m y y x =-⎧⎨=⎩可得2110y m y -+=.因为PA 与抛物线相切，所以21=40m ∆-=，取12m =，则1A y =，1A x =.即(1,1)A .同理可得(1,1)B -.所以AB ：1x =.（Ⅱ）设00(,)P x y ，则直线PA 方程为1100y k x k x y =-+，直线PB 方程为2200y k x k x y =-+.由11002,,y k x k x y y x =-+⎧⎨=⎩可得211000k y y k x y --+=.因为直线PA 与抛物线相切，所以1100=14()k k x y ∆--+20101=441=0x k y k -+.同理可得20202441=0x k y k -+,所以1k ，2k 时方程200441=0x k y k -+的两根.所以0120y k k x +=，12014k k x =.则12k k -==.又因为2200(2)1x y ++=，则031x -≤≤-，所以1211||=k k -1212=k k k k-4,⎡∈⎣.P A B Oxy例2：已知点H (0,-8),点P 在x 轴上,动点F 满足PF ⊥PH ,且PF 与y 轴交于点Q ,Q 是线段PF 的中点.(1)求动点F 的轨迹E 的方程;(2)点D 是直线l :x-y-2=0上任意一点,过点D 作E 的两条切线,切点分别为A ,B ,证明:直线AB 过定点.解:(1)设F (x ,y ),y ≠0,P (m ,0),Q (0,n ),则 =(-m ,-8), =(-m ,n ),∵PF ⊥PH ,∴m 2-8n=0,即m 2=8n ,=0, ,∴ =− , = 2,代入m 2=8n ,得x 2=4y (y ≠0).故轨迹E 的方程为x 2=4y (y ≠0).(2)证明:设D (x 0,x 0-2),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∵直线DA 与抛物线相切,且y'= 2,∴k DA = 12,∴直线DA 的方程为y= 12x-y 1,∵点D 在DA 上,∴x 0-2= 12x 0-y 1,化简得x 0x 1-2y 1-2x 0+4=0.同理,可得B 点的坐标满足x 0x 2-2y 2-2x 0+4=0.故直线AB 的方程为x 0x-2y-2x 0+4=0,即x 0(x-2)-2(y-2)=0,∴直线AB 过定点(2,2).练习1.已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM 与BM 相交于点M，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为﹣2，点M 的轨迹为曲线C．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）Q 为直线y=﹣1上的动点，过Q 做曲线C 的切线，切点分别为D、E，求△QDE 的面积S 的最小值．练习2．如图，点F 是抛物线τ：22x py =（0p >）的焦点，点A 是抛物线上的定点，且()2,0AF = ，点B ，C 是抛物线上的动点，直线AB ，AC 斜率分别为1k ，2k ．（1）求抛物线τ的方程；（2）若212k k -=，点D 是抛物线在点B ，C 处切线的交点，记BCD ∆的面积为S ，证明S 为定值．欢迎扫码关注公众号“数学HOME”，获取本文（包括练习详解）及更多资料的WORD版。
抛物线阿基米德三角形常用结论高中
抛物线、阿基米德三角形常用结论一、抛物线1. 抛物线的定义抛物线是一种特殊的曲线，其定义可以由平面上的点P到给定直线上一点F的距离等于P到另一固定点D的距离的平方的约束条件定义。
2. 抛物线的常用方程抛物线的常用方程形式为y = ax^2 + bx + c 或者 x = ay^2 + by + c。
其中a、b、c为常数，a≠0。
3. 抛物线的性质（1）抛物线的对称轴与顶点抛物线的对称轴是其顶点处的垂直平分线。
（2）抛物线的焦点和直线抛物线的焦点是与其对称轴上的一个定点F，直线是与抛物线平行于其对称轴的直线。
二、阿基米德三角形1. 阿基米德三角形的定义阿基米德三角形是一种特殊的三角形，其三边分别由三个与三个同一直线上的点相连而得到。
这三个点一般是由同一圆的直径上得到。
2. 阿基米德三角形的常用结论（1）阿基米德三角形的边长关系公式设阿基米德三角形的边长分别为a、b、c，其边长关系可由公式a^2 = b^2 + c^2得到。
（2）阿基米德三角形的面积公式设阿基米德三角形的三角形边分别为a、b、c，其面积S可由公式S = 1/2 * b * c * sinA得到。
其中A为a对应的角度。
三、高中数学中抛物线和阿基米德三角形的应用1. 抛物线在物理学中的应用在物理学中，抛物线常常用来描述抛体运动的轨迹。
抛出的物体在水平方向上的运动可以用抛物线方程描述。
2. 阿基米德三角形在几何学中的应用在几何学中，阿基米德三角形经常用于解决三角函数相关问题。
在求解三角函数值时，可以利用阿基米德三角形的边长关系进行变换，从而简化计算。
四、结语抛物线和阿基米德三角形作为数学中的重要内容，在高中数学教学中被广泛应用。
通过对其定义、性质以及应用的深入了解，不仅可以增加数学知识的广度和深度，还能够帮助学生更好地理解数学的应用价值。
希望学生们能够加强对抛物线和阿基米德三角形的学习，不断提升数学思维能力和解决问题的能力。
抛物线和阿基米德三角形作为数学中重要的内容，不仅在高中数学教学中被广泛应用，而且在科学研究和工程技术中也发挥着重要作用。
专题一-阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形的性质阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。
阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的。
阿基米德三角形的性质：设抛物线方程为x2=2py，称弦AB为阿基米德三角形的底边，M为底边AB的中点，Q为两条切线的交点。
性质1 阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴。
性质2 阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点Q的轨迹为。
性质3 抛物线以C为中点的弦与Q点的轨迹。
性质4 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。
性质5 底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为。
性质6 若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为抛物线的，且阿基米德三角形的面积的最小值为。
性质7 在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB。
性质8 在抛物线上任取一点I（不与A、B重合），过I作抛物线切线交QA、QB于S、T，则△QST 的垂心在上。
性质9 |AF|·|BF|=|QF|2.性质10 QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB。
性质11 在性质8中，连接AI、BI，则△ABI的面积是△QST面积的倍。
例 1 （2005江西卷，理22题）如图，设抛物线2:C yx 的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点. （1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA =∠PFB . 解：（1）设切点A 、B 坐标分别为221110(,)(,)(()x x x x x x 和，∴切线AP 的方程为：20020;x x y x 切线BP 的方程为：21120;x x yx解得P 点的坐标为：0101,2PPx x x y x x所以△APB 的重心G 的坐标为 ， 222201010101014(),3333P pPGx y y y y x x x x x x x x y所以234p GG y y x ，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：221(34)20,(42).3xyx yx x 即（2）方法1：因为221000111111(,),(,),(,).4244x x FAx x FP x x FB x x 由于P 点在抛物线外，则||0.FP∴201010012220111()()2444cos ,1||||||||()4x x x x x x x x FP FA AFPFP FA FP FP x x同理有20110110122211111()()2444cos ,1||||||||()4x x x x x x x x FP FB BFPFP FB FP FP xx∴∠AFP =∠PFB . 方法2：①当101000,,0,0,x x x x x y 时由于不妨设则所以P 点坐标为1(,0)2x ，则P 点到直线AF 的距离为：211111||14;:,24x x dBF yx x 而直线的方程即211111()0.44x x x yx所以P 点到直线BF 的距离为：221111112222211||11|()|()||42442121()()44x x x x x x d x x x所以d 1=d 2，即得∠AFP =∠PFB . ②当100x x 时，直线AF 的方程：2020011114(0),()0,4044x yx x x x yx x 即直线BF 的方程：212111111114(0),()0,444x yx x x x yx x 即所以P 点到直线AF 的距离为： 22201010010001122220111|()()||)()||42424121()44x x x x x x x x x x x d xx x ，同理可得到P 点到直线BF 的距离102||2x x d ，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP =∠PFB例2 (2006全国卷Ⅱ，理21题)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →（λ＞0）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ． （Ⅰ）证明FM →·AB →为定值；（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f (λ)的表达式，并求S 的最小值． 解：(Ⅰ)由已知条件，得F (0，1)，λ＞0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由AF →＝λFB →， 即得 (－x 1，1－y )＝λ(x 2，y 2－1)，⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝λx 2 ①1－y 1＝λ(y 2－1) ②将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝14x 22代入得 y 1＝λ2y 2 ③ 解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4， 抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ． 所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是 y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x －x 2)＋y 2， 即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －14x 22．解出两条切线的交点M 的坐标为(x 1＋x 22，x 1x 24)＝(x 1＋x 22，－1)． ……4分 所以FM →·AB →＝(x 1＋x 22，－2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12)－2(14x 22－14x 12)＝0 所以FM →·AB →为定值，其值为0． ……7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝12|AB ||FM |．|FM |＝(x 1＋x 22)2＋(－2)2＝14x 12＋14x 22＋12x 1x 2＋4 ＝y 1＋y 2＋12×(－4)＋4 ＝λ＋1λ＋2＝λ＋1λ．因为|AF |、|BF |分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝(λ＋1λ)2． 于是 S ＝12|AB ||FM |＝(λ＋1λ)3，由λ＋1λ≥2知S ≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4．例3（2007江苏卷，理19题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0,)C c 任作一直线，与抛物线2y x 相交于AB 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l yc 交于,P Q ，（1）若2OA OB，求c 的值；（5分） （2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。
专题3阿基米德三角形微点2阿基米德三角形综合训练
专题3 阿基米德三角形微点2 阿基米德三角形综合训练A．1B3．阿基米德（公元前287文学家.他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形A ．（2）（3）（4）B ．（1）（（2020·云南师大附中高三月考）4．过抛物线()220y px p =>的焦点(1)若AP PB ⊥，证明：直线(2)若分别记PMN ，ABQ 23．过抛物线的一条弦的中点作平行于抛物线对称轴的平行线（或与对称轴重合）抛物线于一点，称以该点及弦的端点为顶点的三角形为这条弦的阿基米德三角形（1）指出抛物线M 的焦点坐标和准线方程；（2）求ABC 的面积（用a ，b ，c 表示）；（3）称AB 的阿氏ABC 为一阶的；AC 、BC 的阿氏ACD 、BCE 为二阶的；AD 、DC 、CE 、EB 的阿氏三角形为三阶的；……，由此进行下去，记所有的()*k k ∈N 阶阿氏三角形的面积之和为k S ，探索k S 与1k S +之间的关系，并求()12lim n n S S S →∞+++ .参考答案：设()11,A x y 、()22,B x y ，设直线联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得22y -由韦达定理可得212y y p =-，1y +对于命题①，抛物线22y px =在点同理可知，抛物线22y px =在点B 联立2112y y y px ⎧=+⎪⎪⎨，解得2y x ⎧=⎪⎪⎨设()11,A x y ，()12,B x y ，则212y px =设直线:2p AB my x =-，p ⎧【详解】易知，焦点(0,1)F ，准线方程1y =-，直线AB 斜率必然存在，设22212),(,),0,04x B x x x ><，0(,1)P x -，联立24x y =化简得24=-；又PF ⊥AB 可得0PF AB ⋅= ，即()02,2x x ⎛-⋅- ⎝2x，过P 作//PM y 轴交AB 于M 点，可得M 为AB 中点，故221211441x x S S PM x x x x ⎛⎫+⎪=+=⋅-=⋅+⋅- ⎪【详解】选项：内接三角形的面积384⨯=2232y px y x p ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，解得11x y ⎧=⎪⎨⎪⎩2,2p px y x'=，21px y ='=，故切线方程为）设弦AC 、BC 的阿氏三角形依次为38ADC BECA C a S S x x ∆∆+=-+ 14ADC BEC ABC S S S ∆∆∆∴+=上述讨论表明，k 阶中的每一个阿氏三角形都可以生成的面积之和是前者面积的1。
专题一 阿基米德三角形的性质讲课教案
专题一阿基米德三角形的性质阿基米德三角形的性质阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。
阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的。
阿基米德三角形的性质：设抛物线方程为x2=2py，称弦AB为阿基米德三角形的底边，M为底边AB的中点，Q为两条切线的交点。
性质1 阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴。
性质2 阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点Q的轨迹为。
性质3 抛物线以C为中点的弦与Q点的轨迹。
性质4 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。
性质5 底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为。
性质6 若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为抛物线的，且阿基米德三角形的面积的最小值为。
性质7 在阿基米德三角形中，∠QFA =∠QFB 。
性质8 在抛物线上任取一点I （不与A 、B 重合），过I 作抛物线切线交QA 、QB 于S 、T ，则△QST 的垂心在 上。
性质9 |AF |·|BF |=|QF |2.性质10 QM 的中点P 在抛物线上，且P 处的切线与AB 。
性质11 在性质8中，连接AI 、BI ，则△ABI 的面积是△QST 面积的 倍。
例1 （2005江西卷，理22题）如图，设抛物线2:C y x =的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA =∠PFB .解：（1）设切点A 、B 坐标分别为2201110(,)(,)(()x x x x x x ¹和， ∴切线AP 的方程为：20020;x x y x --= 切线BP 的方程为：21120;x x y x --=解得P 点的坐标为：0101,2P P x x x y x x +==所以△APB 的重心G 的坐标为 ，222201010101014(),3333P pPG x y y y y x x x x x x x x y -+++++-====所以234p G G y y x =-+，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：221(34)20,(42).3x y x y x x --+-==-+即 （2）方法1：因为2201000111111(,),(,),(,).4244x x FA x x FP x x FB x x +=-=-=-uu u r uu u r uu u r由于P 点在抛物线外，则||0.FP ¹uu u r∴201001001111()()4cos ,||||||x x x x x x x x FP FA A FPFP FA FP +?--+×?==uu u r uu u ruu u r uu u r uu u r同理有201101101111()()4cos ,||||||x x x x x x x x FP FB BFPFP FB FP +?--+×?==uu u r uu u ruu u r uu u r uu u r ∴∠AFP =∠PFB .方法2：①当1010000,,0,0,x x x x x y =?=时由于不妨设则所以P 点坐标为1(,0)2x ，则P点到直线AF 的距离为：211111||14;:,24x x d BF y x x -=-=而直线的方程即211111()0.44x x x y x --+= 所以P 点到直线BF的距离为：22111111221||11|()|()||42124x x x x x x d x -++===+所以d 1=d 2，即得∠AFP =∠PFB .②当100x x ¹时，直线AF 的方程：20200011114(0),()0,4044x y x x x x y x x --=---+=-即直线BF 的方程：212111111114(0),()0,4044x y x x x x y x x --=---+=-即所以P 点到直线AF 的距离为：22201010010001120111|()()||)()||24124x x x x x x x x x x x d x +---++-===+，同理可得到P 点到直线BF 的距离102||2x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP =∠例2 (2006全国卷Ⅱ，理21题)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →（λ＞0）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．（Ⅰ）证明FM →·AB →为定值；（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f (λ)的表达式，并求S 的最小值． 解：(Ⅰ)由已知条件，得F (0，1)，λ＞0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由AF →＝λFB →， 即得 (－x 1，1－y )＝λ(x 2，y 2－1)， ⎩⎨⎧－x 1＝λx 2 ①1－y 1＝λ(y 2－1) ②将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝14x 22代入得 y 1＝λ2y 2 ③解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4，抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ． 所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x －x 2)＋y 2，即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －14x 22．解出两条切线的交点M 的坐标为(x 1＋x 22，x 1x 24)＝(x 1＋x 22，－1)． ……4分 所以FM →·AB →＝(x 1＋x 22，－2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12)－2(14x 22－14x 12)＝0 所以FM →·AB →为定值，其值为0． ……7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝12|AB ||FM |． |FM |＝(x 1＋x 22)2＋(－2)2＝14x 12＋14x 22＋12x 1x 2＋4 ＝y 1＋y 2＋12×(－4)＋4 ＝λ＋1λ＋2＝λ＋1λ．因为|AF |、|BF |分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以 |AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝(λ＋1λ)2．于是 S ＝12|AB ||FM |＝(λ＋1λ)3，由λ＋1λ≥2知S ≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4．例3（2007江苏卷，理19题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0,)C c 任作一直线，与抛物线2y x =相交于AB 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于,P Q ， （1）若2OA OB?uu u r uu u r，求c 的值；（5分）（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。
阿基米德三角形的性质及应用——2021年高考全国乙卷理科压轴题背景探究
阿基米德三角形的性质及应用——2021年高考全国乙卷理科
压轴题背景探究
阿基米德三角形是一种具有特殊性质的三角形，它由阿基米德提出，在几何学中有着广泛的应用。
阿基米德三角形的性质有：
1、阿基米德三角形的三个内角相等，每个内角等于
$60^{\circ}$；
2、阿基米德三角形的三条边满足勾股定理，即两边之和大于
第三边；
3、阿基米德三角形的三条边满足比例关系，即两边之比等于
第三边。
阿基米德三角形的应用：
1、在建筑学中，阿基米德三角形用来构建桥梁、楼梯、屋顶
等建筑物；
2、在航海学中，阿基米德三角形用来测定船只在海上的位置；
3、在机械学中，阿基米德三角形用来设计齿轮系统、传动系
统等；
4、在几何学中，阿基米德三角形用来推导许多几何定理，如勾股定理、三角形内角和定理等。
微专题 阿基米德三角形
微专题 阿基米德三角形基础回顾：圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形。
特殊地，过抛物线22=y px 的焦点F 任作一条弦AB ，抛物线在点,A B 处的两条切线相交于点M ，∆MAB 为阿基米德三角形.B A ,在其准线L 的上投影分别为B A '',,则有如下结论：1. 交点M 在22=y px 准线上2. 切线交点与弦中点连线平行于对称轴3. 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点4. ⊥MA MB ，⊥MF AB5. MN 与抛物线的交点平分线段MN6. MB 平分BA B '∠, 7.MA 平分角AB A '∠8. 2MF FB FA =⋅ 9. MAB S ∆2min p = 二、典例解析题型一 两切线交点的轨迹1. 过抛物线22=y px 的焦点F 任作一条弦AB ，抛物线在点,A B 处的两条切线相交于点M ，则M 在22=y px 的准线上 ，且⊥MA MB ，⊥MF AB ，证明：设直线AB 的方程为2=+px my .由22,,2⎧=⎪⎨=+⎪⎩y px p x my 可得2220y pmy p --=.显然0∆> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则122y y pm +=，212y y p =-.抛物线在,A B 两点的切线方程分别为()11y y p x x =+，()22y y p x x =+.解之得1212,2,2⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩y y x p y y y 由此求得两切线的交点坐标12(,)22+-y y P M所以M 在22=y px 的准线上.22212121⋅=⋅==--AM BMp p p p k k y y y y p,∴⊥MA MB(,)=-MF p pm ，2121(,)=--AB x x y y()()()21212121022p p MF AB p x x pm y y p my my pm y y ⎛⎫⋅=---=+----= ⎪⎝⎭∴⊥MF AB .题型二 阿基米德三角形面积的最小值2.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y 2＝4px （p ＞0），弦AB 过焦点，△ABQ 为其阿基米德三角形，则△ABQ 的面积的最小值为_______．解：由于若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上，且△P AB 为直角三角型，且角P 为直角，S ＝P A •PB ≤，由于AB 是通径时，即AB ＝2p 最小，故S ≤p 2，故答案为：p 2．题型三 阿基米德三角形的形状的判断2. 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上． 设抛物线y 2＝2px （p ＞0），弦AB 过焦点，△ABQ 为阿基米德三角形，则△ABQ 为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．随Q 位置变化前三种情况都有可能 解：如图所示．设Q，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．则，．设直线AB ：my ＝x ﹣，联立，化为y 2﹣2pmy ﹣p 2＝0，得到y 1+y 2＝2pm ，．设过点A 的切线为，联立，化为，∵直线是抛物线的切线，∴＝0，化为pk 1＝y 1．设过点B 的切线为，同理可得pk 2＝y 2． ∴p 2k 1k 2＝y 1y 2．∴，解得k 1k 2＝﹣1．∴．即△ABQ 是直角三角形．故选：B ．题型四 阿基米德三角形的判断.4若M 在22=y px 的准线上，且⊥MA MB ，则,MA MB 是抛物线的两条切线,∆MAB 为阿基米德三角形.证明：过22=y px 的焦点F 任作一条弦AB ，过B A ,分别作抛物线的两条切线,设它们交于点M ',则M '在22=y px 的准线上，且B M A M '⊥'，由抛物线的焦点弦的性质知，2=-px 是以AB 为直径的圆的切线，又M 在2=-px 上，且⊥MA MB ，则可得'M 与M 重合.所以,MA MB 是抛物线的两条切线.∆MAB 为阿基米德三角形.方法总结：1.圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形。
阿基米德三角形及其性质
1
1
2
2
3
3
易求得过 B、I 的切线交点 T (2 pt t , p(t t )) ，
23
2
3
过 T 向 QA 引垂线，其方程为
2t x y p(t t ) 4 pt t t ，
1
2
3
123
它和抛物线准线的交点纵坐标
y p(t t t ) 4 pt t t ，
123
123
显然这个纵坐标是关于 t , t , t 对称的，因此从 S 点向 Q 123
2p
2
M ( x1 x2 , y1 y2 ) ，易得 P 点坐标为
2
2
( ( y1 y2 )2 , y1 y2 ) ，此点显然在抛
8p
2
物线上；过 P 的切线的斜率为
p y1 y2
2p y1 y2
= kAB ，结论得证．
2
阿基米德三角形的性质
性质 3 如图，连接 AI、BI，则△ABI 的面积是△QST 面积的 2 倍． 证明：如图，这里出现了三个阿基米德三角形，即△QAB、△TBI、△SAI； 应用阿基米德三角形的性质：
t－ 2＝8t， 2＝16t2，
B
A
OQ
E
D
F
P
解得 t＝－1，此时SS△△QPDAEB＝2， 故存在 t＝－1，使△QAB 与△PDE 的面积之比是常数 2.
阿基米德三角形的性质
性质 4 若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内定点 C，则另一顶点
Q 的轨迹为一条直线．
证明：设 Q(x，y)，由性质 1，x= y1 y2 ，y= y1 y2 ，
F
（1）求△APB 的重心 G 的轨迹方程. A
阿基米德三角形
高考解析几何热点——阿基米德三角形阿基米德三角形 圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形.一条弦与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线交于Q 点，△ABQ 即为阿基米德三角形.证明以下性质所需要的结论：抛物线的切线与切点弦抛物线)0(22>=p px y 上一点),(00y x P 处的切线方程是)(00x x p y y +=； 抛物线)0(22>=p px y 外一点),(00y x P 所引两条切线，切点为A 、B ，则切点弦AB 所在直线方程为 )(00x x p y y +=.抛物线)0(22>=p py x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(00y y p x x +=； 抛物线)0(22>=p py x 外一点),(00y x P 所引两条切线，切点为A 、B ，则切点弦AB 所在直线方程为：)(00y y p x x +=.性质1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.证明：设1122(,),(,)A x y B x y ，M 为弦AB 中点，则过A 的切线方程为11()y y p x x =+，过B 的切线方程为：22()y y p x x =+，联立方程组得：1122211222()()22y y p x x y y p x x y px y px =+⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩解得两切线交点1212,22y y y y Q p⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而可知x QM //轴. 性质2：若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内定点C ，则另一顶点Q 的轨迹为一条直线.证明：设(,)Q x y ，),(00y x C 由性质1得1212,22y y y y x y p +==，所以 122y y px =。
由,,A B C 三点共线知 10122221210222y y y y y y y x p p p--=-- 即 221121020102y y y y x y x y py +--=-将 1212,22y y y y y px +== 代入得 00()y y p x x =+，即为Q 点的轨迹方程. 特别地，弦AB 过抛物线的焦点)0,2(p F ，Q 点的轨迹方程为抛物线准线：2p x -=.性质3：若直线l 与抛物线没有公共点，点Q 直线l 上的动点，则切点弦AB 一定过抛物线内的某一定点.证明：设l 方程为0ax by c ++=，且1122(,),(,)A x y B x y ，弦AB 过点00(,)C x y ，由性质2可知Q 点的轨迹方程为00()y y p x x =+，该方程与0ax by c ++=表示同一对照可得00,c bp x y a a ==-，即弦AB 过定点,c bp C aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 特别地，若点Q 是准线：2p x -=上的动点，则切点弦AB 一定过焦点)0,2(p F .l性质4：在阿基米德三角形中，QFA QFB ∠=∠.证明：如图，作AA '⊥准线，BB '⊥准线，连接,,,,AQ QB QF AF BF ''，则1FA y k p '=-， 显然1'-=⋅QA FA k k ，所以 FA QA '⊥，又因为 AA AF '=，由三角形全等可得 QAA QAF '∠=∠，所以,QAA QAF QA QF QA A QFA '''≅⇒=∠=∠ 同理可得 ,QB QF QB B QFB QA QB QA B QB A ''''''''=∠=∠⇒=⇒∠=∠ 所以 009090QA A QA B QB A QB B QFA QFB ''''''∠=∠+=∠+=∠⇒∠=∠ 性质5：2AF BF QF ⋅=证明：2121212()2224p p p p AF BF x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22221212244y y y y p p ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭而222222212121212222244y y y y y y y y p p QF AF BF p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+=++=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
阿基米德三角形
（Ⅰ）证明→ FM·→ AB 为定值； （Ⅱ）设△ABM 的面积为 S，写出 S＝f(λ)的表达式，并求 S 的 最小值．
阿基米德三角形的性质
性质 10 |AF|·|BF|=|QF|2．
证明：|AF|·|BF|= (x1
p 2
)
(
x2
p) 2
=
x1x2
p 2
( x1
x2 )
p2 4
= ( y1 y2 )2 + y12 y22 + p2 ，
Q 点的轨迹即直线 l 平行．
阿基米德三角形的性质
性质 6 若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定
点．
证明：如上图，设 l 方程为
ax by c 0 ，且 A(x1, y1) ，
l
B(x2 , y2 ) ，弦 AB 过点 C (x0 , y0 ) ，由
y
| MA MB | (2x)2 (2 2 y)2 ,
A
OM (OA OB) (x, y) (0, 2) 2 y
由已知得 (2x)2 (2 2y)2 2y 2 ， 化简得曲线 C 的方程： x2 4 y
OQ DF
P
B
Ex
（2）假设存在点 P（0，t）（t<0）满足条件，则直线 PA 的方程
ABI
2S
QST ．
2012年江西卷 理科第20题
已知三点 O(0, 0), A(2,1), B(2,1) ，曲线 C 上任意一点
M（x，y）满足| MA MB | OM (OA OB) 2 ．
（1）求曲线 C 的方程；
（2）动点 Q(x0 , y0 ) （ 2 x0 2 ）在曲线 C 上，
一个阿基米德三角形结论的证明和应用老版
阿基米德三角形 徐竞电子教案
• A.6
B.7
C.8
D.9
解析：易得点C在抛物线的准线上，故易得CAB为阿基米德三角形，
C 90,CF AB
由射影定理知，AF • BF CF 2 8 故选C
•题2（2014辽宁，10）.已知点 A(2,3在) 抛物线C： y2 2 p的x 准线上， 过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线 BF的斜率为（ ）
A．12 B．23 C．34 D．43
解析：易得F (2,0),由阿基米德三角形知AF BF,
又k AF
3, 4
kBF
4, 3
选D
• 随堂练习1.（2005年江西卷，理22题）：
•
如图，设抛物线
C
:
y
x2的焦点为F，动点Q在准线l
:
y
1上运动，
4
过Q作抛物线C的两条切线QA、QB，且与抛物线C分别相切于A、
可以从以下几个方面考虑：1、点P的轨迹 2、PA与PB的关系。 3、FA与FB的关系。 4、点P,A,B三点坐标之间的关系
(1)点P的轨迹是抛物线的准线，方程为：y p 2
(2)两切线互相垂直，即PA PB;
(3)PF AB;
(4)点A, P, B三点的横坐标成等差数列，即点P的坐标为( xA xB , p )
(1)证明：FM • AB为定值；
(2)设ABM的面积为S,写出S f ()的表达式，并求S的最小值。
提示：(1)为定值0 (2) FM
λ
1 λ
,
AB (
λ
1 )2,S 1 AB • FM (
λ
2
λ
1 )3 λ
阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形的性质【概念】一、阿基米德三角形：抛物线（圆锥曲线）的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形（如图一SAB ∆即为阿基米德三角形）.重要结论：抛物线与弦之间所围成区域的面积（图二中的阴影部分）为阿基米德三角形面积的三分之二.图（一） 图（二）阿基米德运用逼近的方法证明了这个结论. 【证明】：如图（三）SM 是SAB ∆中AB 边上的中线，则SM 平行于x 轴（下面的性质1证明会证到），过M '作抛物线的切线，分别交SA 、SB 于,A B ''，则A AM ''∆、B BM ''∆也是阿基米德三角形，可知A C '是A AM ''∆中AM '边上的中线，且A C '平行于x 轴，可得点A '是SA 的中点，同理B '是SB 的中点，故M '是SM 的中点，则SA B S ''∆是M AB S '∆的12，由此可知：A A C S '''''∆是C M A S ''∆的12，B B D S '''''∆是D M B S ''∆的12，以此类推，图（二）中蓝色部分的面积是红色部分而知的12，累加至无穷尽处，便证得重要结论.【性质1】：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴. 【证明】：设),(11y x A ，),(22y x B ，M 为弦AB 的中点，则过A 的切线方程为)(11x x p y y +=，过B 的切线方程为)(22x x p y y +=，联立方程，1212px y =，2222px y =，解得两切线交点)2,2(2121y y p y y Q +【性质2】：若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内的定点C ，则另一顶点Q 的轨迹为一条直线；【证明】：设),(11y x A ，),(22y x B ，00(,)C x y 为抛物线内的定点，弦AB 的过定点C ，则过A 的切线方程为)(11x x p y y +=，过B 的切线方程为)(22x x p y y +=，则设另一顶点(),Q x y ''，满足11()y y p x x ''=+且22()y y p x x ''=+，故弦AB 所在的直线方程为()yy p x x ''=+，又由于弦AB 过抛物线内的定点00(,)C x y ，故00()y y p x x ''=+，即点Q 的轨迹方程为直线00()y y p x x =+ .【性质3】：抛物线以C 点为中点的弦平行于Q 点的轨迹；【证明】：由【性质2】的证明可知：点Q 的轨迹方程为直线00()y y p x x =+ .因为点C 为弦AB 的中点，故Q 的轨迹方程为121222y y x x y p x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，斜率122p k y y =+；而弦AB 所在的直线方程为()yy p x x ''=+，由【性质1】的证明可知：122y y y +'=，122y yx p'=，故弦AB 所在的直线方程为121222y y y y y p x p ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，斜率122pk y y =+，又因为直线AB 与Q 的轨迹方程不重合，故可知两者平行. 【性质4】：若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点（若直线l 方程为：0ax by c ++=，则定点的坐标为,c bp C aa ⎛⎫− ⎪⎝⎭；【证明】：任取直线l ：0ax by c ++=上的一点()0,o Q x y ，则有000ax by c ++=，即00a cy x b b=−−┅①，过点Q 作抛物线22y px =的两条切线，切点分别为,A B ，则又由【性质2】的证明可知：弦AB 所在的直线方程为00()y y p x x =+，把①式代入可得：()00a c x y p x x b b ⎛⎫−−=+ ⎪⎝⎭，即0a c y p x px yb b ⎛⎫−−=+ ⎪⎝⎭，令0a y p b −−=且 0c px y b +=，可得：弦AB 所在的直线过定点,c bp C a a ⎛⎫− ⎪⎝⎭.【性质5】：底边为a 的阿基米德三角形的面积最大值为pa 83；【证明】：AB a =，设Q 到AB 的距离为d ，由性质1知：22212121212122()22444x x y y y y y y y y d QM p p p p++−≤=−=−=（直角边与斜边），设直线AB 的方程为 x my n =+，则2221(1)()a m y y =+−，所以2322121()428a a y y a d s ad p p−≤⇒≤⇒=≤. 【性质6】：若阿基米德三角形的底边过焦点，顶点Q 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值为2p ；【证明】：由性质2，若底边过焦点，则00,02p x y ==，Q 点的轨迹方程是2px =−，即为准线；易验证1QA QB k k ⋅=−，即QA QB ⊥，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q 为直角顶点。
再探抛物线背景下阿基米德三角形
㊀㊀㊀㊀㊀１４０数学学习与研究㊀２０２３ ０１再探抛物线背景下阿基米德三角形再探抛物线背景下阿基米德三角形Һ陆清煌㊀（福建省惠安第一中学，福建㊀泉州㊀３６２１００）㊀㊀ʌ摘要ɔ抛物线背景下阿基米德三角形在历年高考中重复出现，若学生对此背景不熟悉，那么在做题时很难快速找到解题思路，解法也会较为繁杂．在教学过程中发现，若学生对该类三角形的常见推论有了解那么确实有利于学生在遇到相关题目时快速入手，甚至 秒杀 ．因此，文章将介绍几个在教学过程中常见的阿基米德三角形推论．ʌ关键词ɔ高中数学；阿基米德三角形；抛物线性质阿基米德对圆锥曲线产生兴趣源于学习欧几里得的‘二次曲线“，后人对他最为赞赏的是他对抛物线的研究．阿基米德三角形的概念：过圆锥曲线弦ＡＢ作两条切线交于点Ｑ，则称әＱＡＢ为阿基米德三角形．抛物线背景下的阿基米德三角形是高考重难点，阿基米德三角形自１９６５年出现在我国高等学校入学统一考试后就经常出现在高考题中，如２００５年江西卷理２２题，２００６全国Ⅱ卷理２１题，２００７江苏卷理１９题，２０１２年福建卷文２１题，２０１２年福建卷理１９题，２０１４年辽宁卷理１０题，２０１８年全国Ⅲ卷理１６题．可以预见，今后围绕该三角形性质的高考试题还会出现，因此在教学中教师引导学生对该三角形在抛物线背景下的推论了解是必要的．下面介绍抛物线背景下阿基米德三角形常见的一些推论．在证明时均以抛物线ｙ２＝２ｐｘ为例，弦ＡＢ为阿基米德三角形的底边，ＡＢ的中点为Ｍ．㊀图１性质１㊀阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的对称轴．证明：设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），Ｍ为弦ＡＢ中点，则过Ａ的切线方程为ｙ１ｙ＝ｐ（ｘ＋ｘ１），过Ｂ的切线方程为ｙ２ｙ＝ｐ（ｘ＋ｘ２），联立方程组得ｙ１ｙ＝ｐ（ｘ＋ｘ１）ｙ２ｙ＝ｐ（ｘ＋ｘ２）ｙ２１＝２ｐｘ１ｙ２２＝２ｐｘ２ìîíïïïï．解得两切线交点Ｑｙ１ｙ２２ｐ，ｙ１＋ｙ２２æèçöø÷，进而可知ＱＭʊｘ轴．㊀图２性质２㊀若阿基米德三角形的底边即弦ＡＢ过抛物线内定点Ｃ，则另一顶点Ｑ的轨迹为一条直线．证明：设Ｑ（ｘ，ｙ），由性质１，ｘ＝ｙ１ｙ２２ｐ，ｙ＝ｙ１＋ｙ２２，ʑｙ１ｙ２＝２ｐｘ．由Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线知ｙ１－ｙ２ｙ２１２ｐ－ｙ２２２ｐ＝ｙ１－ｙ０ｙ２１２ｐ－ｘ０，即ｙ１ｙ２＋２ｐｘ０＝（ｙ１＋ｙ２）ｙ０，将ｙ＝ｙ１＋ｙ２２，ｙ１ｙ２＝２ｐｘ代入得ｙ０ｙ＝ｐ（ｘ＋ｘ０），即为Ｑ点的轨迹方程．性质３㊀若直线ｌ与抛物线没有公共点，以ｌ上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．证明：如图２，设ｌ方程为ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０，且Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），弦ＡＢ过点Ｃ（ｘ０，ｙ０），由性质２可知Ｑ点的轨迹方程ｙ０ｙ＝ｐ（ｘ＋ｘ０），该方程与ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０表示同一条直线，对照可得ｘ０＝ｃａ，ｙ０＝－ｂｐａ，即弦ＡＢ过定点Ｃｃａ，－ｂｐａ()．性质４㊀若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Ｑ的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为ｐ２．㊀图３证明：由性质２，若底边过焦点，则ｘ０＝ｐ２，ｙ０＝０，Ｑ点轨迹方程为ｘ＝－ｐ２即为准线；易验证ｋＱＡ㊃ｋＱＢ＝－１，即ＱＡʅＱＢ，故阿基米德三角形为直角三角形，且Ｑ为直角顶点；ʑ｜ＱＭ｜＝ｘ１＋ｘ２２＋ｐ２＝ｙ２１＋ｙ２２４ｐ＋ｐ２ȡ２｜ｙ１ｙ２｜４ｐ＋ｐ２＝２ｐ２４ｐ＋ｐ２＝ｐ，而ＳәＱＡＢ＝１２｜ＱＭ｜（ｙ１－ｙ２）ȡ｜ＱＭ｜㊃｜ｙ１ｙ２｜ȡｐ２．㊀图４性质５㊀在阿基米德三角形中，øＱＦＡ＝øＱＦＢ．证明：作ＡＡᶄ，ＢＢᶄ垂直于准线，垂足分别为Ａᶄ，Ｂᶄ，如图４，对ｙ２＝２ｐｘ两边求导得２ｙｙᶄ＝２ｐ⇒ｙᶄ＝ｐｙ⇒ｋＱＡ＝ｐｙ１，又ｋＦＡᶄ＝－ｙ１ｐ，所以ｋＱＡ㊃ｋＦＡᶄ＝－１⇒ＱＡʅＦＡᶄ，又ＡＡᶄ＝ＡＦ，设ＡᶄＦ与ＱＡ交于Ｃ，则әＡＣＡᶄɸәＡＣＦ⇒øＱＡＡᶄ＝øＱＡＦ⇒әＱＡＡᶄɸәＱＡＦ⇒ＱＡᶄ＝ＱＦ，øＱＡᶄＡ＝øＱＦＡ，同理可证ＱＢᶄ＝ＱＦ，øＱＢᶄＢ＝øＱＦＢ，ʑＯＡᶄ＝ＱＢᶄ，即øＱＡᶄＢᶄ＝øＱＢᶄＡᶄ．øＱＡᶄＡ＝øＱＡᶄＢᶄ＋９０ʎ＝øＱＢᶄＡᶄ＋９０ʎ＝øＱＢᶄＢ⇒øＱＦＡ＝øＱＦＢ．我们不妨从以下题型来巩固阿基米德三角形在抛物线中推论．例１㊀设抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０），弦ＡＢ过焦点，ＱＡ，ＱＢ是抛物线两条切线则әＡＢＱ为（㊀㊀）．Ａ．锐角三角形Ｂ．直角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．随Ｑ位置变化前三种情况都有可能关系㊀㊀㊀１４１㊀数学学习与研究㊀２０２３０１㊀图５解㊀如图５，结合题意绘出图像：设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂｘ１，ｙ２()，则ｙ２１＝２ｐｘ１，ｙ２２＝２ｐｘ２，设直线ＡＢ：ｍｙ＝ｘ－ｐ２，联立ｍｙ＝ｘ－ｐ２ｙ２＝２ｐｘ{，整理得ｙ２－２ｐｍｙ－ｐ２＝０，则㊀ｙ１＋ｙ２＝２ｐｍ，ｙ１ｙ２＝－ｐ２，设过点Ａ的切线为ｋ１（ｙ－ｙ１）＝ｘ－ｙ２１２ｐ，联立ｋ１（ｙ－ｙ１）＝ｘ－ｙ２１２ｐｙ２＝２ｐｘ{，整理得ｙ２－２ｐｋ１ｙ＋２ｐｋ１ｙ１－ｙ２１＝０，则Δ＝－２ｐｋ１()２－４２ｐｋ１ｙ１－ｙ２１()＝０，即ｐｋ１＝ｙ１．设过点Ｂ的切线为ｋ２ｙ－ｙ２()＝ｘ－ｙ２２２ｐ，同理可得ｐｋ２＝ｙ２，则ｐ２ｋ１ｋ２＝ｙ１ｙ２＝－ｐ２，即ｋ１ｋ２＝－１，１ｋ１ｋ２＝－１，故әＡＢＱ是直角三角形，故选Ｂ．点睛㊀本题考查学生对 阿基米德三角形 的理解，也可用性质４秒杀．例２㊀抛物线上任意两点Ａ，Ｂ处的切线交于点Ｐ，称әＰＡＢ为 阿基米德三角形 ．当线段ＡＢ经过抛物线焦点Ｆ时，әＰＡＢ具有以下特征：①Ｐ点必在抛物线的准线上；②әＰＡＢ为直角三角形，且ＰＡʅＰＢ；③ＰＦʅＡＢ．若经过抛物线ｙ２＝４ｘ焦点的一条弦为ＡＢ，阿基米德三角形为әＰＡＢ，且点Ｐ的纵坐标为４，则直线ＡＢ的方程为（㊀㊀）．Ａ．ｘ－２ｙ－１＝０Ｂ．２ｘ＋ｙ－２＝０Ｃ．ｘ＋２ｙ－１＝０Ｄ．２ｘ－ｙ－２＝０解㊀由题意可知，抛物线ｙ２＝４ｘ的焦点Ｆ的坐标为（１，０），准线方程为：ｘ＝－１，由әＰＡＢ为 阿基米德三角形 ，且线段ＡＢ经过抛物线ｙ２＝４ｘ焦点，可得Ｐ点必在抛物线的准线上，ʑ点Ｐ（－１，４），ʑ直线ＰＦ的斜率为：４－０－１－１＝－２，又ȵＰＦʅＡＢ，ʑ直线ＡＢ的斜率为１２，ʑ直线ＡＢ的方程为：ｙ－０＝１２（ｘ－１），即ｘ－２ｙ－１＝０，故选Ａ．点睛㊀本题考查抛物线的性质，可用性质１秒杀．㊀图６例３㊀如图６，抛物线ｘ２＝２ｐｙ（ｐ＞０）上有两个不同的点Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），以Ａ，Ｂ为切点的抛物线的切线ＰＡ，ＰＢ相交于Ｐ．给出如下结论，其中正确的为（㊀㊀）（１）若弦ＡＢ过焦点，则әＡＢＰ为直角三角形且øＡＰＢ＝９０ʎ；（２）点Ｐ的坐标是ｘ１＋ｘ２２，ｘ１ｘ２２æèçöø÷；（３）әＰＡＢ的边ＡＢ所在的直线方程为ｘ１＋ｘ２()ｘ－２ｐｙ－ｘ１ｘ２＝０；（４）әＰＡＢ的边ＡＢ上的中线与ｙ轴平行（或重合）．Ａ．（２）（３）（４）Ｂ．（１）（２）Ｃ．（１）（２）（３）Ｄ．（１）（３）（４）解㊀由题意设Ａｘ１，ｘ２１２ｐæèçöø÷，Ｂｘ２，ｘ２２２ｐæèçöø÷，ｘ１＜ｘ２，由ｘ２＝２ｐｙ，得ｙ＝ｘ２２ｐ，则ｙᶄ＝ｘｐ，所以ｋＰＡ＝ｘ１ｐ，ｋＰＢ＝ｘ２ｐ，若弦ＡＢ过焦点，ʑｘ１ｘ２＝－ｐ２，ʑｋＰＡ㊃ｋＰＢ＝－ｐ２ｐ２＝－１，ʑＰＡʅＰＢ，故（１）正确；以点Ａ为切点的切线方程为ｙ－ｘ２１２ｐ＝ｘ１ｐ（ｘ－ｘ１），以点Ｂ为切点的切线方程为ｙ－ｘ２２２ｐ＝ｘ２ｐｘ－ｘ２()，联立消去ｙ得ｘ＝ｘ１＋ｘ２２，将ｘ＝ｘ１＋ｘ２２代入ｙ－ｘ２１２ｐ＝ｘ１ｐ（ｘ－ｘ１），得ｙ＝ｘ１ｘ２２ｐ，所以Ｐｘ１＋ｘ２２，ｘ１ｘ２２ｐæèçöø÷，故（２）错误；设Ｎ为抛物线弦ＡＢ的中点，Ｎ的横坐标为ｘＮ＝ｘ１＋ｘ２２，因此则直线ＰＮ平行于ｙ轴，即平行于抛物线的对称轴，故（４）正确；设直线ＡＢ的斜率为ｋ＝ｙ２－ｙ１ｘ２－ｘ１＝ｘ２２２ｐ－ｘ２１２ｐｘ２－ｘ１＝ｘ１＋ｘ２２ｐ，故直线ＡＢ的方程为ｙ－ｘ２１２ｐ＝ｘ１＋ｘ２２ｐ（ｘ－ｘ１），化简得ｘ１＋ｘ２()ｘ－２ｐｙ－ｘ１ｘ２＝０，故（３）正确，故选Ｄ．点睛㊀如果能灵活运用阿基米德三角形的结论，能使运算量变得更小．训练１㊀过抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点Ｆ作抛物线的弦与抛物线交于Ａ，Ｂ两点，Ｍ为ＡＢ的中点，分别过Ａ，Ｂ两点作抛物线的切线ｌ１，ｌ２相交于点Ｐ．әＰＡＢ又常被称作阿基米德三角形．下面关于әＰＡＢ的描述：①Ｐ点必在抛物线的准线上；②ＡＰʅＰＢ；③设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则әＰＡＢ的面积Ｓ的最小值为ｐ２２；④ＰＦʅＡＢ；⑤ＰＭ平行于ｘ轴．其中正确的个数是（㊀㊀）．Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５详解㊀先证明出抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）在其上一点ｘ０，ｙ０()处的切线方程为ｙ０ｙ＝ｐｘ＋ｐｘ０．证明如下：由于点ｘ０，ｙ０()在抛物线ｙ２＝２ｐｘ上，则ｙ２０＝２ｐｘ０，㊀㊀㊀㊀㊀１４２数学学习与研究㊀２０２３ ０１联立ｙ２＝２ｐｘｙ０ｙ＝ｐｘ＋ｐｘ０{，可得２ｙ０ｙ＝ｙ２＋２ｐｘ０，即ｙ２－２ｙ０ｙ＋ｙ２０＝０，Δ＝０，所以，抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）在其上一点ｘ０，ｙ０()处的切线方程为ｙ０ｙ＝ｐｘ＋ｐｘ０．㊀图７如图７所示，设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），设直线ＡＢ的方程为ｘ＝ｍｙ＋ｐ２，联立ｘ＝ｍｙ＋ｐ２ｙ２＝２ｐｘ{，消去ｘ得ｙ２－２ｍｐｙ－ｐ２＝０，由韦达定理可得ｙ１ｙ２＝－ｐ２，ｙ１＋ｙ２＝２ｍｐ，对于命题①，抛物线ｙ２＝２ｐｘ在点Ａ处的切线方程为ｙ１ｙ＝ｐｘ＋ｐｘ１，即ｙ１ｙ＝ｐｘ＋ｙ２１２，同理可知，抛物线ｙ２＝２ｐｘ在点Ｂ处的切线方程为ｙ２ｙ＝ｐｘ＋ｙ２２２，联立ｙ１ｙ＝ｐｘ＋ｙ２１２ｙ２ｙ＝ｐｘ＋ｙ２２２ìîíïïïï，解得ｘ＝ｙ１ｙ２２ｐ＝－ｐ２ｙ＝ｙ１＋ｙ２２＝ｍｐìîíïïïï，所以点Ｐ的横坐标为－ｐ２，即点Ｐ在抛物线的准线上，①正确；对于命题②，直线ｌ１的斜率为ｋ１＝ｐｙ１，直线ｌ２的斜率为ｋ２＝ｐｙ２，ʑｋ１ｋ２＝ｐ２ｙ１ｙ２＝－１，所以，ＡＰʅＰＢ，②正确；对于命题④，当ＡＢ垂直于ｘ轴时，由抛物线的对称性可知，点Ｐ为抛物线的准线与ｘ轴的交点，此时ＰＦʅＡＢ；当ＡＢ不与ｘ轴垂直时，直线ＡＢ的斜率为ｋＡＢ＝１ｍ，直线ＰＦ的斜率为ｋＰＦ＝ｍｐ－ｐ＝－ｍ，ʑｋＡＢ㊃ｋＰＦ＝－１，则ＰＦʅＡＢ．综上，ＰＦʅＡＢ，④正确；对于命题③，｜ＡＢ｜＝１＋ｍ２㊃ｙ１－ｙ２，｜ＰＦ｜＝ｐ２＋ｙ１＋ｙ２２æèçöø÷２＝ｐ２＋ｍ２ｐ２＝ｐ１＋ｍ２，所以，ＳәＰＡＢ＝１２｜ＡＢ｜㊃｜ＰＦ｜＝１２１＋ｍ２㊃ｙ１－ｙ２㊃ｐ１＋ｍ２＝ｐ２ｍ２＋１()㊃ｙ１＋ｐ２ｙ１＝ｐ２㊃ｍ２＋１()㊃ｙ１＋ｐ２ｙ１()ȡｐ２ˑ２ｙ１㊃ｐ２ｙ１＝ｐ２，当且仅当ｍ＝０ｙ１＝ʃｐ{时，等号成立，③错误；对于命题⑤，当ＡＢ垂直于ｘ轴时，由抛物线的对称性可知，点Ｐ为抛物线的准线与ｘ轴的交点，此时直线ＰＭ与ｘ轴重合，⑤错误．故选：Ｂ．点睛㊀本题考查抛物线的几何性质，考查了抛物线的焦点弦的几何性质以及韦达定理法的应用，如果能灵活运用阿基米德三角形的结论，能使运算量变得更小．训练２㊀已知抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点为Ｆ，过Ｆ且倾斜角为π４的直线ｌ与抛物线相交于Ａ，Ｂ两点，｜ＡＢ｜＝８，过Ａ，Ｂ两点分别作抛物线的切线，交于点Ｑ．下列说法正确的是（㊀㊀）．Ａ．ＱＡʅＱＢＢ．әＡＯＢ（Ｏ为坐标原点）的面积为４２Ｃ．１｜ＡＦ｜＋１｜ＢＦ｜＝２Ｄ．若Ｍ（１，１），Ｐ是抛物线上一动点，则｜ＰＭ｜＋｜ＰＦ｜的最小值为５２详解㊀如图８所示，ȵｌ过点Ｆ且倾斜角为π４，ʑ直线ｌ的方为ｘ＝ｙ＋ｐ２，与抛物线方程联立，得ｙ２－２ｐｙ－ｐ２＝０，㊀图８设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则ｙ１＋ｙ２＝２ｐ，ｙ１ｙ２＝－ｐ２，ʑｘ１＋ｘ２＝３ｐ，ｘ１ｘ２＝ｙ１ｙ２()２４ｐ２＝ｐ２４，又｜ＡＢ｜＝ｐ＋ｘ１＋ｘ２＝４ｐ＝８，ʑｐ＝２，ʑｙ２＝４ｘ；不妨设ｙ１＞０，当ｙ＞０时，ｙᶄ＝１ｘ，ʑ过Ａ的切线斜率为ｋＡ＝ｙᶄｘ＝ｘ１＝１ｘ１，同理可得过Ｂ的切线斜率为ｋＢ＝ｙᶄｘ＝ｘ２＝－１ｘ２，ʑｋＡｋＢ＝－１ｘ１ｘ２＝－２ｐ＝－１，ʑＱＡʅＱＢ，故Ａ正确；ＳәＡＯＢ＝１２｜ＯＦ｜㊃ｙ１－ｙ２＝１２ｙ１＋ｙ２()２－４ｙ１ｙ２＝１２８ｐ２＝２２，故Ｂ错误；１｜ＡＦ｜＋１｜ＢＦ｜＝２ｐ＝１，故Ｃ错误；设点Ｍ到准线的距离为ｄ，若Ｍ（１，１），则｜ＰＭ｜＋｜ＰＦ｜ȡｄ＝１＋ｐ２＝２，则Ｄ错误．ʌ点睛ɔ本题考查抛物线的几何性质，能灵活运用阿基米德三角形的结论达到秒杀．通过以上题型我们可以知道灵活运用阿基米德三角形的结论的重要性．过焦点型阿基米德三角形作为二级结论务必熟知．ʌ参考文献ɔ［１］吴跃生．再谈抛物线的阿基米德三角形的性质［Ｊ］．数学通讯，１９９９（８）：３３－３４．［２］黄俊生．例谈阿基米德三角形在高考解题中的应用［Ｊ］．福建中学数学；２０１９（５）：３６－３７．。
专题一阿基米德三角形地性质
阿基米德三角形的性质阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。
阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的。
阿基米德三角形的性质：设抛物线方程为x2=2py，称弦AB为阿基米德三角形的底边，M为底边AB的中点，Q为两条切线的交点。
性质1 阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴。
性质2 阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点Q的轨迹为。
性质3 抛物线以C为中点的弦与Q点的轨迹。
性质4 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。
性质5 底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为。
性质6 若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为抛物线的，且阿基米德三角形的面积的最小值为。
性质7 在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB。
性质8 在抛物线上任取一点I（不与A、B重合），过I作抛物线切线交QA、QB于S、T，则△QST的垂心在上。
性质9 |AF|·|BF|=|QF|2.性质10 QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB。
性质11 在性质8中，连接AI、BI，则△ABI的面积是△QST面积的倍。
例1 （2005江西卷，理22题）如图，设抛物线2:C y x =的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点. （1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA =∠PFB . 解：（1）设切点A 、B 坐标分别为221110(,)(,)(()x x x x x x ¹和， ∴切线AP 的方程为：20020;x x y x --= 切线BP 的方程为：21120;x x y x --= 解得P 点的坐标为：0101,2P P x x x y x x +== 所以△APB 的重心G 的坐标为 ，222201010101014(),3333P pPG x y y y y x x x x x x x x y -+++++-====所以234p G G y y x =-+，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：221(34)20,(42).3x y x y x x --+-==-+即 （2）方法1：因为2201000111111(,),(,),(,).4244x x FA x x FP x x FB x x +=-=-=-uu u r uu u r uu u r由于P 点在抛物线外，则||0.FP ¹u uu r∴201001001111()()4cos ,||||||x x x x x x x x FP FA A FPFP FA FP +?--+×?==uu u r uu u ruu u r uu u r uu u r同理有201101101111()()4cos ,||||||x x x x x x x x FP FB BFPFP FB FP +?--+×?==uu u r uu u ruu u r uu u r uu u r∴∠AFP =∠PFB .方法2：①当1010000,,0,0,x x x x x y =?=时由于不妨设则所以P 点坐标为1(,0)2x ，则P点到直线AF 的距离为：211111||14;:,24x x d BF y x x -=-=而直线的方程即211111()0.44x x x y x --+= 所以P 点到直线BF的距离为：22111111221||11|()|()||42124x x x x x x d x -++===+所以d 1=d 2，即得∠AFP =∠PFB .②当100x x ¹时，直线AF 的方程：202000011114(0),()0,4044x y x x x x y x x --=---+=-即直线BF 的方程：212111111114(0),()0,4044x y x x x x y x x --=---+=-即所以P 点到直线AF 的距离为：22201010010001120111|()()||)()||24124x x x x x x x x x x x d x +---++-===+，同理可得到P 点到直线BF 的距离102||2x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP =∠PFB例2 (2006全国卷Ⅱ，理21题)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →（λ＞0）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ． （Ⅰ）证明FM →·AB →为定值；（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f (λ)的表达式，并求S 的最小值． 解：(Ⅰ)由已知条件，得F (0，1)，λ＞0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由AF →＝λFB →， 即得 (－x 1，1－y )＝λ(x 2，y 2－1)，⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝λx 2 ①1－y 1＝λ(y 2－1) ②将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝14x 22代入得 y 1＝λ2y 2 ③ 解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4， 抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ． 所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是 y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x －x 2)＋y 2， 即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －14x 22．解出两条切线的交点M 的坐标为(x 1＋x 22，x 1x 24)＝(x 1＋x 22，－1)． ……4分 所以FM →·AB →＝(x 1＋x 22，－2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12)－2(14x 22－14x 12)＝0 所以FM →·AB →为定值，其值为0． ……7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝12|AB ||FM |．|FM |＝(x 1＋x 22)2＋(－2)2＝14x 12＋14x 22＋12x 1x 2＋4 ＝y 1＋y 2＋12×(－4)＋4 ＝λ＋1λ＋2＝λ＋1λ．因为|AF |、|BF |分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝(λ＋1λ)2．于是 S ＝12|AB ||FM |＝(λ＋1λ)3，由λ＋1λ≥2知S ≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4．例3（2007江苏卷，理19题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0,)C c 任作一直线，与抛物线2y x =相交于AB 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于,P Q ，（1）若2OA OB ?u u u r u u u r，求c 的值；（5分）（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。
简谈新课改高考复习中的阿基米德三角形
简谈新课改高考复习中的阿基米德三角形
陈潜勇
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2010(000)015
【摘要】2010年3月19日，舟山、嘉兴、绍兴、湖州、衢州五地市数学高考复习研讨会在衢州高级中学举行，五地市的数学教研员及高三数学教师近360人参
加了本次研讨会．研讨会紧紧围绕“高考数学创新题的命题特点与导向”这一主题，由教学观摩和专家讲座两个部分组成．19日上午，该校贾林义老师为研讨会奉上
了一堂颇受好评的教学观摩课．
【总页数】1页(P42-42)
【作者】陈潜勇
【作者单位】浙江省舟山市普陀第三中学,316100
【正文语种】中文
【中图分类】G632.474
【相关文献】
1.从新课改高考卷谈2011年数学高考复习策略
2.新课改中不可忽视的"第三者"--
简析新课改中家长角色的转变3.谈新课改下小学数学生本课堂的实施——以常态
课《三角形的面积》的教学实录为例4.谈新课改下小学数学生本课堂的实施——
以常态课《三角形的面积》的教学实录为例5.阿基米德三角形性质在高考数学中
的应用
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1 答案：过定点F(0, ), 证明略 4
A
B
x Q l
•
随堂练习2（2006全国卷II，理21题）：
•
已知抛物线 x2 4 y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且
AF BF ( 0).过A, B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M . (1)证明： FM AB为定值； (2)设ABM的面积为S , 写出S f ( )的表达式，并求S的最小值。
5.如何求过圆锥曲线外一点向它引两条切线，两切点 连线的方程。
B A
P
• •
教学目标： 1、了解特殊位置的阿基米德三角形
•
•
2、通过对特殊位置下的阿基米德三角形的研究
熟练掌握圆锥曲线的设而不求法
•
•
3、掌握解析几何中证明垂直的方法
4、掌握求切点弦所在直线方05年江西卷，理22题）： 如图，设抛物线 C : y x2的焦点为F，动点Q在准线l : y 1 上运动， 4 过Q作抛物线C的两条切线QA、QB，且与抛物线C分别相切于A、 B两点.(1)证明：直线AB过定点，并求出定点坐标；（2）略
提示： (1)为定值0
由 λ 1 λ
(2) FM λ 1 λ , AB ( λ
1 λ )2 , S 1 1 3 AB FM ( λ ) 2 λ
2(当且仅当λ 1时取“ “），故S 4,S的最小值为4
课堂小结：
1.一个阿基米德三角形
2.关键点：阿基米德三角形两 个垂直关系、三个顶点坐标之 间的关系。 3. 方法：求导法；主元法；设而 不求法。 4.证明直线垂直的两种方法：利用斜率、 利用向量
活跃的阿基米德三角形
平舆一高 徐竞
给 我 一 个 支 点 ， 我 就 可 以 移 动 整 个 地 球
阿基米德是 伟大数学家与力 学家,并享有“数 学之神”的称号。
阿基米德 三角形
阿基米德三角形名称的由来
抛物线的弦与过弦的端点的两条切 线所围的三角形，这个三角形又常被称 为阿基米德三角形，因为阿基米德最早 利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与 抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿 基米德三角形面积的2/3．