线性代数复习题分析

复习题
一、填空题
1. 设A 为3阶方阵，B 为2阶方阵，A *为A 的伴随矩阵，|A | =2，|B | =
4
1，⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=B O O A C 2*
，则C =_________. 2．设实矩阵A ＝)(ij a 3
3⨯，ij A 为ij a 的代数余子式，且ij ij A a =（i ,j =1,2,3）,011≠a ，
则│A │＝ .
3．设向量组321,,ααα线性无关, 向量组213213,,l m αααααα---线性相关，则常数m l ,满足的条件是 .
4．设A 为4阶方阵，且R (A ) =2，A *为A 的伴随矩阵，则齐次线性方程组*=0A x 的基础解系所含解向量的个数为 .
5．二次型 3231212
322
2132122423) , ,(x x x x x x tx x x x x x f +++++=正定，则t 的取值范围是 .
6．二次型3231212322
213212242) , ,(x x x x x x x x x x x x f ++--+=的规范形为 ．
7．设⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=142530121-A ，则13-A = ．
8．已知向量组321 ,ααα线性无关，若313221 , , , αααααα+++t 也线性无关，则
t ．
9．设B 为3阶非零矩阵，满足O AB =，若2)(=A R ，则秩R (B )= ．
10．已知矩阵⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=013121201*A ，且0<A ，则=A A * ．
11．若实对称矩阵A 与B =⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--220210001合同，则二次型Ax x T 的正惯性指数为 ．
12．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000111E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=001012E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=010021E ，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=100022E 为数域F 上的
线性空间22⨯F 的一组基，向量⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=4321α在这组基下的坐标为 ． 13．设矩阵⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=100220345A ，*A 为A 的伴随矩阵，则()=-1*A .
14．设向量组()()()t 5,3,,1,3,1,1,0,1321=-==ααα线性相关，则=t . 15．设B 为3阶非零矩阵，满足O AB =，若()2=A R ，则秩()=B R .
16．已知矩阵⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=426213213A ，则=n A . 17．二次型()31212
322
21321222,,x x x ax x x x x x x f +-++=正定时，a 应满足的条件是 .
18．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00011E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=02202E ，⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡=30003E 为数域F 上的所有二阶对称阵构成的线性空间的一组基，向量⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=5442α在这组基下的线性表示为 . 二、选择题
1．设A 为3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B ，再把B 的第2列加到第3列得C ，则满足C AQ =的可逆矩阵Q 为（ ）．
(A) ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡101001010； (B) ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡100101010； (C) ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡100001110； (D) ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡110001010． 2．已知12324369t ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
A ，≠
B O 且=AB O ，则下面结论正确的是（ ）． （A ）若6t =，则()1R =B ； （B ）若6t =，则()2R =B ； （
C ）若6t ≠，则()2R =B ； （
D ）若6t ≠，则()1R =B ．
3．设向量组()I 321,,ααα；（Ⅱ）4321,,,αααα；（Ⅲ）5321,,,αααα．如果各向量组
的秩分别为()()3R R I =II =，R (Ⅲ) =4 则向量组54321,,,ααααα+的秩为（ ）． (A) 2； (B) 3； (C) 4； (D) 5．
4．设2λ=是非奇异阵A 的一个特征值，则211
()3
-A 有一个特征值为（ ）．
（A ）43； （B ）14； （C ）12； （D ）34
．
5．不能相似对角化的矩阵是（ ）
(A) ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡000030121； (B) ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡300010121； (C) ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡333222111； (D) ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡653542321． 6．设100002,020⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
A 则与A 合同的矩阵是（ ）． （A ）100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
； （B ）100010009⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （C ）100010001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ ； （D ）100010001⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 7．与矩阵⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=200010
001
A 相似的矩阵是（ ） (A) ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-21
011
0001；(B) ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡100020101；(C) ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡100120001；(D) ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡120120001．
8．设A 、B 为n 阶可逆矩阵，⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡=B O O A C ，则C 的伴随矩阵*C =( ) (A) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡**B B O O A A ； (B) ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡**B A O O A B ； (C) ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡**A B O O B A ； (D) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡**A A O O B B ． 9．已知矩阵A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=12422421x 与⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=45y Λ相似，则（ ） (A) 5,4==y x ；(B) 5 ,3==y x ；(C) 4,3==y x ；(D) 4,5==y x ． 10．设A 为3阶方阵， , ,321ααα是A 的列向量组，则=A （ ）． (A) ,, 123ααα； (B) , ,313221αααααα+++；
(C) , ,321211αααααα+++； (D) ,, 321ααα---
11．设A 是n 阶方阵，n 维非零列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，P 是n 阶可逆矩阵，则矩阵1-PAP 属于特征值λ的特征向量是（ ） (A) αP ； (B) αT P ； (C) α-1P ； (D) α． 12．n 元实二次型f =x T Ax 为正定的充分必要条件是( )．
(A) 0>A ； (B ) 存在n 阶矩阵C ，使A =C T C ；
(C) 负惯性指数为零； (D) A 合同于单位矩阵 ．
13. 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵，则下列结论正确的是 ( ).
（A ）当n m >时，必有行列式0≠AB ； （B ）当n m >时，必有行列式0=AB ； （C ）当m n >时，必有行列式0≠AB ； （D ）当m n >时，必有行列式0=AB .
14．设非齐次线性方程组b Ax =所对应的齐次线性方程组为0=Ax ，则下面结论中正确的是（ ）.
(A) 若0=Ax 有唯一解，则b Ax =必有唯一解； (B) 若0=Ax 有唯一解，则b Ax =必无解；
(C) 若0=Ax 有无穷多个解，则b Ax =也有无穷多个解； (D) 若b Ax =有无穷多个解，则0=Ax 也有无穷多个解.
15．已知A 有三个线性无关的特征向量，2=λ是⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=5334111y x A 的二重特征值，则（ ）.
(A)22=-=y x ，；(B)11-==y x ，；(C)22-==y x ，；(D)11=-=y x ，． 16．设A 为n 阶可逆方阵，λ是A 的一个特征值，则A 的伴随矩阵*A 有一个特征值一定是（ ）.
(A) n A 1-λ； (B)A 1-λ； (C)A λ； (D)n
A λ．
17．设A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反称矩阵，则下列矩阵中为反称矩阵的是 ( ).
(A) BA AB -； (B) BA AB +； (C) ()2
AB ； (D) BAB .
18．实二次型Ax x f T =为正定的充分必要条件是( ).
(A) A 合同于单位矩阵； (B) 存在n 阶矩阵C ，使C C A T =； (C ) 0>A ； (D) 负惯性指数为零.
三、计算及证明题
1.设T
(1,0,1)α=-，矩阵T
αα=A ，n 为正整数，a 为非零实数，求行列式
n a -E A 的值．
2．已知,2 ,2E AB B A A A =--=若⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=260130001A ，求1)(--B A 及矩阵B .
3.设矩阵⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=001010100B ，已知矩阵A 相似于B ，求)()2(E A E A -+-R R ．
4. 设向量组321,,ααα是向量空间3
R 的一组基，求由基32
13
1,51,ααα到基313221,,αααααα+++的过渡矩阵.
5．设A 是n 阶正定矩阵，n ααα,,,21Λ为n 维非零列向量，满足0=j i ααA ，
),,2,1, ,(n j i j i Λ=≠，试证n ααα,,,21Λ线性无关．
6．设矩阵⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡++++=x a a a a a x a a a a a x a a a a a x a n n
n
n
Λ
M M M M ΛΛ
Λ3333
22
22
111
1A ，计算A ．
7．已知⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=242363121
A ， (1) 求)(A R ；(2) 求n A ．
8．求向量组T 1)1 ,1 ,2 ,1(-=α，T 2)2 ,5 ,4 ,0(--=α，T 3)0 , ,0 ,2(t =α
T 4)1 ,4 ,2 ,3(-+-=t α的秩和一个极大无关组．
9．设矩阵A ，B 为3阶矩阵，且满足E B B A --=12，其中E 为3阶单位矩阵，
(1) 证明E A 2-可逆；(2) 已知A =⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-100021021，求矩阵B ．
10．设A 为3阶方阵，P 为3阶可逆方阵，且AP P -1⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=200020001，若P = ), ,(321ααα，Q ), ,(3211αααα+=，求AQ Q 1-．
11．设3阶矩阵
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2132γγαA ，⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=21γγβB ， 其中21γγβα，，，均为3维行向量，且18=A ，2=B ，求B A -.
12．设线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++-=-+=+++3
321123421
4324321x x x ax ax x x x x x ， 问a 为何值时方程组有解？并在有解时，求方程组的通解.
13．设矩阵⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=222101001A 满足B A AB 2-=，求矩阵B .
14．对于n 阶方阵A ，如果存在整数k 使O A k =，则称A 为幂零矩阵.设O A ≠，试证A 不能相似对角化.
15．设有两组基()()()T
T
T
===0,1,1,1,0,1,1,1,0321ξξξ；()(),0,1,1,0,0,121T
T
==ηη
()T
=1,1,13η，求由基321,,ξξξ到321,,ηηη的过渡矩阵，并求32153ηηηα++=在
基321,,ξξξ下的坐标.
四、
1、已知非齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=++=+++.
0,13,
0224321
4324321x cx ax x x x x x x x x 如果()T 1111ξ=--是方程
组的一个解，试求方程组的通解．
2、设向量组T 1)5,1,2(-=α，T 2)10,2,(a =αT
3)4,1,1(-=α
T ),,1(c b =β．试问：当c b a ,,满足什么条件时，
(1) β 可有 , ,321ααα线性表示，且表示式惟一； (2) β 不能由 , ,321ααα线性表示；
(3) β 可由 , ,321ααα线性表示，但表示式不惟一？并求出一般的表示．
3、设向量组
()()(),
2,73,2,,3,5,1,1,1,1,3,1321T T T +=--==p ααα()(),10,144,1,,6,10,,24T T =--=ααp
（1）p 为何值时，4321,,,αααα线性无关？并在此时将向量α用4321,,,αααα线性表示；
（2）p 为何值时，
4321,,,αααα线性相关？并在此时求它的秩和一个极大无关组.
五、
1、设二次型31232221321222),,(x bx x x ax x x x f +-+=，b >0，其中二次型的矩阵A 的
特征值之和为1，特征值之积为-12． （1）求b a ,的值；
（2）求一个正交变换 x = Py 把二次型f 化为标准形．
2、已知实二次型32212
2
2132144),,(x x x x x tx x x x f --+=的矩阵A 有一个特征值为1．(1) 求t ；(2) 用正交变换将实二次型化为标准形，并求所用的正交变换．
3、已知实二次型()3231212322
21321662355,,x x x x x tx x x x x x x f -+-++=的矩阵A 有一个特征值为0．(1) 设20<<t ，求t ；(2) 用正交变换将实二次型化为标准形，求所用的正交变换，并指出二次型()1,,321=x x x f 表示何种曲面．。