二元二次方程组的解法

课题:21.6 (1) 二元二次方程组的解法

时间: 2009年3月13日执教:沈茂宏

三、教学目标

1、知道“代入消元法”的基本思想和一般步骤；

2、掌握由“代入法”解由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组；

3、通过对二元二次方程组解法的学习，渗透“消元”、“降次”的数学思想

方法，从而提高分析问题和解决问题的能力.

4、体会数学知识之间的内在联系，养成深入观察、分析的良好习惯

四、教学重点

会用“代入消元法”解由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组；理解解二元二次方程组的基本思想．

五、教学难点

观察分析题目特点，选用适当的表达形式，使解题过程尽量简便

六、教学过程

1、复习提问：（1）解二元一次方程组的基本思路是什么？

（2）解二元一次方程组有哪几种方法？

2、引入：我们已经会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，这节课我们将学习二元二次方程组的解法.

3、新课：

（1）首先观察昨天应用题列出的一个方程组，思考能否借用二元一次方程

组的解法解决它们？221 (1)13 (2)

y x x y =+⎧⎨+=⎩ 学生思考，解答.

引导性提示：解二元二次方程组的基本思想和解二元一次方程组类似，都是通过“消元”，化二元为一元.。以上方法同样叫做代入消元法。

教师板书： 解：将（1）代入（2），得 ()2

2113x x ++=.

整理，得260x x +-=,

解得123, 2x x =-=.

把13x =-代入（1），得 12;y =-

把22x =代入（1），得2 3.y = 所以原方程组的解是 1212

32 2; 3.x x y y =-=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 变式：2210 (1)13 (2)

x y x y -+=⎧⎨+=⎩ 探讨思路 （2）、再变式——反馈练习：

解方程组： 22210 (1)10 (2)

x y x y ⎧+-=⎨-+=⎩

问可否用先用含y 的代数式表示x ？

学生解决，黑板展示，集体纠错.

小结：对于由一个二元一次方程和二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法.

（3）再变式——探讨思路

解方程组 22210 (1)23 5 (2)x y x y ⎧+-=⎨-=⎩

时用含x 的代数式表示y ，按代入法解这个方程组，可得关于x 的方程是 ？

（4）再变式——例题分析

例 解方程组： 224915 (1)23 5 (2)

x y x y ⎧-=⎨-=⎩

学生用常规的代入消元法解决后，请学生对这个方程组进一步分析和观察，可以发现（1）能进行因式分解，分解后可见方程（2）是（1）的一个因式，利用“等量代换”可得到以下解法：

解： 方程（1）可变形为 ()()232315 (3)x y x y -+=

把（2）代入（3）中，得 ()52315x y += 即233x y +=

于是，原方程组化为 233235

x y x y +=⎧⎨-=⎩

解这个二元一次方程组，得213x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩

所以原方程组的解是 213x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩

. 小结：这道例题采用“整体代入”的方法，将二元二次方程组化为二元一次方程组，这也是一种“降次”的策略，要通过比较让学生认识到“整体代入”的简便性，从而加强审题的意识.加深对合理运算重要性的理解.

七、 课内检测

1）解二元二次方程组的方法的基本思想是 ，把它转化为解一元方程的问题。

2）解方程组22132x y x y x =+⎧⎨--=⎩

一般用 法。 3）解方程组 2 2 3210

x y x y ⎧-=⎨+=⎩时用含x 的代数式表示y ，按代入法解这个方程

组，可得关于x 的方程是

4）解方程组： 24 (1)26 (2)y x x y ⎧=⎨+=⎩

5）解方程组： 2256 3 (1)2 1 (2)

x xy y x y ⎧-+=⎨-=⎩

拓展 ——以上3）4）两题可否用加减消元法？

八、课堂小结

这节课我们学习了由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组的解法，通过这节课的学习你们对解二元二次方程组的基本思想和方法有什么认识？请总结一下采用代入消元法解方程组的一般步骤. 还有什么问题？

九、课后练习

1）用代入消元法解方程组 6 8

x y xy ⎧+=⎨=⎩可得它的解是 。

2）解方程组：221 4 4

x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩（C 层免做） 3）解方程组：22(3)9 20x y x y ⎧-+=⎨+=⎩

（C 层免做） 4）解方程组：227 320

x y x y x y ⎧+=⎪⎨+++-=⎪⎩ 5）解方程组：28 ()2 4 x y x y x ⎧+=-⎪⎨++=⎪⎩

6）已知由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是1 2x y =⎧⎨=⎩ 1 2

x y =-⎧⎨=-⎩你能写出一个这样的方程组吗？ 7）从方程组22 8 x y m x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩

中消去y,得到关于x 的二次方程。当m=3时，这个关于x 的方程有几个实数解？当m=4时呢？m=5时呢？

8）选做：已知方程组22 =0 420

x y m x x y ⎧-+⎪⎨+++=⎪⎩有两组相等实数解，求m 的值。 十、反思

通过变式训练引导学生观察题目特点选择合适方法解题效果良好。课内检测中第三四题解好后提问对比加减消元法，有助于学生对解二元二次方程组的基本策略的理解，效果良好。课内检测中的前两题可以用口头讨论的形式出现，笔算再换两题会更好些。第一题填空题加一问：或是（）把它转化为一元二次方程组，更好。