大学物理 第1章 质点运动学习题解答

第1章质点运动学习题解答
1-1 如图所示，质点自A 点沿曲线运动到B 点，A 点和B 点的矢径分别为A r 和B r。

试在图中标出位移r
∆和路程s ∆，同时对||r ∆和r ∆的意义及它们与矢径的关系
进行说明。

解：r
∆和s ∆如图所示。

||r
∆是矢径增量的模||A B r r -，即位移的大小；r ∆是矢径模的增量A B A B r r r r -=-||||
，
即矢径长度的变化量。

1-2 一质点沿y 轴作直线运动，其运动方程为32245t t y -+=（SI ）。

求在计时开始的头3s 内质点的位移、平均速度、平均加速度和所通过的路程。

解：32245t t y -+=，2624t v -=，t a 12-=
)(18)0()3(m y y y =-=∆
)/(63
s m y
v =∆=
)/(183
)0()3(2s m v v a -=-=
s t 2=时，0=v ，质点作反向运动
)(46|)2()3(|)0()2(m y y y y s =-+-=∆
1-3 一质点沿x 轴作直线运动，图示为其t v -曲线图。

设0=t 时，m 5=x 。

试根据t v -图画出：(1)质点的t a -曲线图；(2)质点的t x -曲线图。

解：⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤-≤≤+≤≤+-=)106( 5.775)62( 5.215)20( 2020t t t t t t v
（1）dt
dv
a =
，可求得： ⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤-≤≤+≤≤+-=)106( 5.775)62( 5.215)20( 2020t t t t t t v
质点的t a -曲线图如右图所示 （2）dt
dx
v = ，⎰⎰=t x vdt dx 00， 可求得：
20≤≤t 时，
⎰⎰
+-=t
x
dt t dx 0
5
)2020(， 520102+-=t t x
62≤≤t 时，
⎰⎰⎰
+++-=t
x
dt t dt t dx 2
20
5
)5.215()2020(， 30154
52
-+=
t t x 106≤≤t 时，
⎰⎰⎰⎰
-++++-=t
x
dt t dt t dt t dx 6
62
20
5
)5.775()5.215()2020(，
210754
152
-+-
=t t x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧
≤≤-+-≤≤-+≤≤+-=∴)106( 210754
15)62( 30154
5
)20( 520102
22t t t t t t t t t x
质点的t x -曲线图如右图所示。

1-4 如图所示，路灯距地面的高度为H ，在与路灯水平距离为s 处，有一气球
由离地面h 处开始以匀速率0v 上升（H h <）。

建立图示坐标系，在气球上升的高度小于H 时，求气球影子M 的速度和加速度与影子位置的关系。

解：
x s x H t v h -=
+0，即t v h H Hs
x 0
--= Hs
x v t v h H HSv dt dx
v o 2020)(=
--== 2
232
02s
H x v dx vdv dt dv a === 1-5 一质点在Oxy 平面内运动，运动方程为j t i t r
)219(22-+= (SI)。

(1)求质
点运动的轨道方程并画出运动轨道；(2)计算1s 末和2s 末质点的瞬时速度和瞬时加速度；(3)在什么时刻质点的位置矢量与其速度矢量恰好垂直？这时，它们的x 、
y 分量各为多少？(4)在什么时刻质点离原点最近？算出这一距离。

解：j t i t r )219(22-+=，j t i dt r d v 42-==，j dt
v d a
4-==
(1) t x 2=，2219t y -=
消t ，得轨道方程：2
192
x y -=，
其曲线为开口向下的抛物线，如右图。

（2）j i v
42)1(-=，j i v 82)2(-=
j a
4)1(-=，j a 4)2(-=
(3)0=⋅r v
，0)219(442=--t t t 解得：01=t ，)(32s t =
01=t 时，0)0(=x ，19)0(=y ，2)0(=x v ，0)0(=y v
32=t 时，6)3(=x ，1)3(=y ，2)3(=x v ，12)3(-=y v
以上物理量均为国际单位。

（4）222)219(4t t r -+=
令
0=dt
dr
，解得)(3s t ±= )(08.637)3(m r ==±
1-6 一物体沿x 轴运动，其加速度和位置的关系满足x a 62+=(SI)。

物体在0=x 处的速度为10 m/s ，求物体的速度和位置的关系。

解：00=x ，)/(100s m v =
dx
dv
v dt dx dx dv dt dv x =⋅==
+62 ⎰
⎰+=v
x dx x vdv 10
)62(
100462++=x x v
1-7 一质点沿x 轴作直线运动，初始速度为零，初始加速度为0a ，出发后每经过时间间隔τ秒加速度就均匀增加0a ，求出发后t 秒，质点的速度和距出发点的距离。

解：t a a dt dv
a τ
00+==
⎰
⎰+
=v
t
dt t a a dv 0
0)(τ
2002t a t a v τ+
=，dt
dx
v =
⎰
⎰+
=x
t
dt t a t a dx 0
2
00)2(τ
3020621
t a t a x τ
+=
1-8 一艘正在沿直线行驶的快艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即2kv a -=，式中k 为正常数。

试证明快艇在关闭发动机后又行驶x 距离时的速度为kx e v v -=0，式中0v 是发动机关闭瞬时的速度。

解：dx
dv
v dt dx dx dv dt dv kv =⋅==
-2 ⎰⎰-=v
v x kdx v dv
00
，kx v v -=0
ln kx e v v -=0
1-9 一飞轮的转速在5s 内由900rev/min 均匀地减到800rev/min 。

求：(1)飞轮的角加速度；(2)在此5s 内飞轮的总转数；(3)再经几秒飞轮将停止转动。

解：)/(6029000s rad πω⨯=
，)/(60
2800s rad π
ω⨯= （1）)/(09.23
220
s rad t
=-
=-=
π
ωωβ （2）3
251502120π
πβωθ-
=+=∆t t )(8.702rev N =∆=
π
θ
（3）t βω+=0 )(40s t =-
=β
ω
1-10 一质点在水平面内作圆周运动，半径m 2=R ，角速度2kt =ω，式中k 为正常数。

当0=t 时，4/π0-=θ，第2s 末质点的线速度大小为32m/s 。

用角坐标
表示质点的运动方程。

解：22kt R v ==ω
s m v /32)2(=，4=k ，
24t dt
d ==
θ
ω ⎰⎰
=-
t dt t d 0
24
4θπ
θ
)(4
3
43rad t π
θ-
=
1-11 一质点沿半径为0.01m 的圆周运动，其运动方程为226t t -=θ(SI)。

求：(1)法向加速度与切向加速度大小恰好相等时的角位置1θ；(2)质点要回头运动时的角位置2θ。

解：226t t -=θ，t dt d 46-==
θω，)/(42s rad dt
d -==ω
β )/(04.02s m R a t -==β
)/()46(01.0222s m t R a n -==ω
（1）n t a a =，4)46(2=-t ，解得：)(11s t =，)(22s t =
s t 11=时)(41rad =θ s t 22=时)(41rad =θ
（2）046=-=t ω
解得)(5.1s t =，此时质点要回头运动。

s t 5.11=时)(5.42rad =θ
1-12 一质点从静止出发沿半径m 3=R 的圆周运动，切向加速度为3=t a m/s 2。

(1)经过多少时间它的总加速度a
恰好与半径成45°角？(2)在上述时间内，质点所经过的路程和角位移各为多少？
解： 3==dt
dv a t m/s 2
，t dt a v t t 30==⎰ （1）n t a a =时，a
恰好与半径成45°角
33
)3(2
=t ，解得)(1s t = （2）dt ds v =，⎰⎰=t s tdt ds 003，22
3t s = )(5.1)1(m s s ==∆ )(5.0rad R
s
=∆=
∆θ 1-13 质点M 作平面曲线运动，自O 点出发经图示轨迹运动到C 点。

图中，OA 段为直线，AB 、BC 段分别为不同半径的两个1/4圆周。

设0=t 时，M 在O 点，已知运动方程为2530t t s += (SI)，求2=t s 时刻，质点M 的切向加速度和法向加速度的大小。

解：s t 2=时m s 80=此时质点在大圆上 t dt ds
v 1030+==
)/(102s m dt dv a t ==
30
)1030(2
2t R v a n +==
s t 2=时)/(3.832s m a n =
1-14 一质点沿半径为R 的圆周按202
1
bt t v s -=的规律运动，其中0v 和b 都是常
数。

求：(1)质点在t 时刻的加速度；(2)t 为何值时，加速度在数值上等于b ；(3)当加速度大小为b 时质点已沿圆周运行了几圈？
解：bt v dt ds v -==0，b dt
dv
a t -==，R bt v R v a n 202)(-== （1）2
402
2
2)(R
bt v b a a a n
t -+=+= （2）b a =，b R bt v b =-+2
4
02
)(，00
=-bt v ，b v t 0= （3）当加速度大小为b 时，b v
t 0=代入得b v s 22
0=
Rb
v R s
n ππ422
0==
1-15 一个半径为0.1=R m 的轻质圆盘，可以绕过其盘心且垂直于盘面的转轴转动。

一根轻绳绕在圆盘的边缘，其自由端悬挂一物体。

若该物体从静止开始匀加速地下降，在2=∆t s 内下降的距离4.0=h m 。

求物体开始下降后3s 末，盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度的大小。

解：221at h =
，)/(2.0222s m t
h
a a t === t t a v v t 2.00=+=，
s t 3=时)/(6.0s m v =，)/(36.022
s m R
v a n == 1-16 已知质点在水平面内运动，运动方程为j t t i t r )515(52
-+= (SI)，求1=t s
时的法向加速度和切向加速度的大小及轨道曲率半径。

解：j t t i t r
)515(52-+=，j t i v )1015(5-+=，j a 10-=
1=t s 时，j i v
55)1(+=与x 轴成 45，)/(25s m v =
)/(2545cos 2s m a a n ==
v
v ' 0
4510
10
雨地v 雨车
v 雨车
' )/(2545sin 2s m a a t == )(252
m a v n
==ρ
1-17 公路旁一高为H 的建筑物上有一物体以初速0v 作平抛运动，一汽车以u 的速度在公路上行驶，如图所示。

在图示坐标系下，以物体抛出的瞬时为计时零点，并设该瞬时两坐标系重合。

求车上观察者观测到该物体的运动方程及轨道方程。

解：以在面为S 系，车为S '系
S 系：t v x 0=，2
2
1gt H y -
= 运动方程为j gt H i t v r
)2
1(20-+=物地
轨道方程为2
22v gx H y -=
S '系：
j gt H i t u v i ut j gt H i t v r r r
)21()(-)21(2020-+-=-++＝＝地车物地物车
t u v x ）（-0='，22
1
gt H y -='
轨道方程为2
02
)
(2u v x g H y -'-=' 1-18 一人骑车以10km/h 速率自东向西行驶时观察到雨滴垂直下落；当他的行驶速率增加至20km/h 时观察到雨滴与人前进方向成135°角下落。

求雨滴相对于地的速度。

解：车地雨车雨地＝v v v +
如图所示，利用矢量合成法，易得：
)/(14.1445
cos h km v v =
雨车雨地＝
机地
v 气地
v 机气
v 车地
雨地
1-19 飞机驾驶员要往正北飞行，而风相对地面以10m/s 的速率由东向西刮来。

如果飞机的速率（在静止空气中的速率）为30m/s 。

试问，驾驶员应取什么航向？飞机相对于地面的速率为多少？
解：气地机气机地＝v v v +
如图所示，有：
30
10sin =
α， 解得： 47.19=α
)/(28.28cos s m v v =α机气机地＝
飞机航向为北偏东 47.19，对地速度为
s m /28.28
1-20 当一列火车以120km/h 的速率向东行驶时，相对于地面竖直下落的雨滴在列车的窗子上形成的雨迹偏离窗上竖直方向30°。

.求雨滴相对于地面的速度和相对于列车的速度。

解：车地雨车雨地＝v v v +
如图所示，有：
)/(6.20730
h km tg v v =
车地雨地＝
)/(24030
sin h km v v ==
车地雨车
1-21 一快艇正以17m/s 的速率向东行驶，有一架直升飞机准备降落在艇的甲板上。

海上刮着12m/s 的北风。

若艇上的海员看到直升飞机以5m/s 的速度垂直降下，试问直升飞机相对于海水和相对于空气的速度各为如何？（以正南为x 轴正方向，正东为y 轴正方向，竖直向上为z 轴正方向建立坐标系）
11 解：j v 17=艇海，k v 5-=机艇，i v 12=风海
k j v v v 517-=+=艇海机艇机海
k
j i v v v v v v v v v 51712--+-=+++=+=风海艇海机艇海风艇海机艇艇风机艇机风＝ 以上单位物理量的单位均为：m/s 。