阻尼振动受迫振动共振讲课教案
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
总的机械能保持不变，即动能和势 能相互转化
谐振动系统的总能量与振幅的平方 成正比
[例6]一水平放置的弹簧振子，质量
为m，弹性系数为k，当它振动时，
在什么位置动能和势能相等？它从
该位置到达平衡位置所需的最短时
间为多少？
解：(1) 1mv2 1kx2
2
2
m 22 s A 2 ( itn ) k2 c A 2 o (t s)
tmin
2 3
0.12
tmin
2
3 2
4s 3
0.24
0
0.24 x
或
TT
tmin
4
12
4s 3
TT
T
6 12
4
A 0 A x
[ 例 4] 一 弹 性 系 数 为 k 的 轻
弹簧,下挂一质量为m的砝 码。开始时用手托住砝码,
k
使弹簧为原长,放手后砝码
m
开始振动。证明砝码作谐 振动,并写出振动表达式
J mgl
讨论：
单摆和复摆谐振动的频率由系统本 身的性质决定
四.谐振动的能量 以弹簧振子为例:
k m
EEk
Ep
1mv2 2
1kx2 2
1m 2 2 A s2 i( n t )1k2A c2 o ( t s)
2
2
1 kA 2 1 m2 A2
2
2
讨论:
弹簧振子的动能和势能是随时间 (或位移)而变化的
的性质所决定，与A和无关
二.谐振动的旋转矢量表示法
OM A 逆时针旋转
t =0： x0 Acos
t 时刻
M
A
M1
A t A M 0
xAcots()振幅矢量O
x x0
x
参考圆
[例1]用旋转矢量法讨论质点初始时
刻位移为以下情况时谐振动的初相
位： A； -A； 0，且向负方向
运动； -A/2，且向正方向运动
处所需的最短时间
解：(1)设振动表达式为
xAcost()
其中 A0.24m T4s
2
T
2
由旋转矢量法得 0
x0.24cost m 2
0.24
0
0.24 x
(2) t=0.5s:
x0.24cos10.17m
22
Fmam2x0.01()20.17
2 4.1 91 0 3N
(3)
tmin
2
3
由旋转矢量法得
A 0 A y
t=0时
yAcosA
A mg
y0
mg k
k
ymgcos(k t)
k
m
[例5]如图系统，已知物体质量为m， 光滑斜面倾角为,自由转动的定滑 轮半径为R,转动惯量为J,弹簧弹性 系数为k。开始时物体静止,弹簧为 原长,重物下滑后开始振动。(1)证明 重物作谐振动,并写出振动表达式； (2)求重物下滑的最大距离,并用机械 能守恒定律验证
my 0
0
解：建立如图坐标系，原点为 物体静平衡时位置，它距弹簧 y
原长位置为 y0
ky0 mg
y0
mg k
Hale Waihona Puke Baidu
在y处时 mgF mdd2t2y
k
m y0
Fk(yy0)
m0
mgkyky0mdd22yt
d2y dt2
k m
y
y
0
设
k m
则
d2y dt2
2 y
0
----得证
设振动表达式为 yAcost()
t ----简谐振动的相位
----简谐振动的初相位
讨论：
由初始条件可确定A和 ： 设 t =0 时， x x0 v v0
x0 Acos v0Asin
可得
A
x02
v0
2
arctgv0x0
固有频率和固有周期：
k
m
T 2 2 m
k
11 k T 2 m
----周期和频率由振动系统本身
即 2 1----反相
0 即 2 1
----第二个谐振动超前
第一个谐振动
[例2]如图的谐振动x-t 曲线，试求其
振动表达式 解：由图知
x/m
2
A2m,T2s O
2T
1 2t / s
设振动表达式为 xAcost()
v A si nt ()
t=0时：x0 即 0Acos
2
又 v0 即 Asin0 sin0
解： 0
2
A 2
4 3
2
4 或 2 A O
3
3
Ax
三.相位差和相位的超前与落后
设 x1A 1co 1 ts (1) x2A 2co 2 ts (2)
相位差 ( 2 t 2) ( 1 t 1 )
(2 1)t (2 1)
同频率时 21
----初相差与t 无关
讨论：
0 即 2 1 ----同相
1.单摆
由转动定律有
mgslinm2ld2
d2
dt2
gsin
l
dt2 0
很小时有
d2
dt2
g
l
0
l
mg
可得角谐振动表达式
mcost()
其中 g
l
m 为角振幅
2.复摆 由转动定律有 0
mgslin
J
d2
dt2
l
C
很小时有
d2
dt2
mgl
J
0
mg
mcots()
角频率
mgl J
周期 T 2
位移 xAcots()
速度
v
dx
----简谐振动表达式
Asi nt ()
dt
vmsin t()
加速度 a d 2 x 2Acost()
dta2mcost()
即有 a2x
----简谐振动的运动学特征 说明：
A----简谐振动的振幅，为物体离开
平衡位置最大位移的绝对值
----圆频率(2秒内的振动次数)
阻尼振动受迫振动共振
§15-1 机械振动的一般概念
机械振动：物 体在一定位置的 附近作来回往复 的运动(周期性 或非周期性)
成因：物体的惯性和所受的回复力
§15-2 简谐振动
一.简谐振动的特征 简谐振动:物体距平衡位
置的位移(或角位移)随时 间按余弦(或正弦)函数变 化
dd2t2x 2x 0
T2 '
T1 '
T2
解：(1) 取物体静平衡
T1 0
m
x
位置为坐标原 点，沿斜面向
mg
下建立坐标系
设 TT m 系12R 统sg 处kT ix 0于2n R 静 T1 平0 衡0时弹x簧0 伸m长gskxi0n
物体振动时 m T1R gsiT n2R T1Jmdd2t2x
T2k(xx0)
可得
d2x dt2
mkJ
R2
x
0----谐振动
其解为 xAcost()
其中
k
m I R2
由旋转矢量法得
而
A
x0
mgsin
k
xmsgincos( k t)
k
mIR2
(2)物体下滑的最大距离为
s
x0
A
2mgsin
k
由机械能守恒定律
mgsins1ks2
s
2
s 2mgsin
k
三.角谐振动----单摆和复摆
x2cost ()2 m
2
旋转矢量法
2
2
O
x
[例3]质量为0.01kg物体作周期为4s、
振幅为0.24m的简谐振动。t=0时,位
移 x=0.24m 。 求 (1) 谐 振 动 表 达 式 ；
(2)t=0.5s 时 , 物 体 的 位 置 和 所 受 的 力 ；
(3) 物 体 从 初 始 位 置 运 动 至 x=-0.12m
谐振动系统的总能量与振幅的平方 成正比
[例6]一水平放置的弹簧振子，质量
为m，弹性系数为k，当它振动时，
在什么位置动能和势能相等？它从
该位置到达平衡位置所需的最短时
间为多少？
解：(1) 1mv2 1kx2
2
2
m 22 s A 2 ( itn ) k2 c A 2 o (t s)
tmin
2 3
0.12
tmin
2
3 2
4s 3
0.24
0
0.24 x
或
TT
tmin
4
12
4s 3
TT
T
6 12
4
A 0 A x
[ 例 4] 一 弹 性 系 数 为 k 的 轻
弹簧,下挂一质量为m的砝 码。开始时用手托住砝码,
k
使弹簧为原长,放手后砝码
m
开始振动。证明砝码作谐 振动,并写出振动表达式
J mgl
讨论：
单摆和复摆谐振动的频率由系统本 身的性质决定
四.谐振动的能量 以弹簧振子为例:
k m
EEk
Ep
1mv2 2
1kx2 2
1m 2 2 A s2 i( n t )1k2A c2 o ( t s)
2
2
1 kA 2 1 m2 A2
2
2
讨论:
弹簧振子的动能和势能是随时间 (或位移)而变化的
的性质所决定，与A和无关
二.谐振动的旋转矢量表示法
OM A 逆时针旋转
t =0： x0 Acos
t 时刻
M
A
M1
A t A M 0
xAcots()振幅矢量O
x x0
x
参考圆
[例1]用旋转矢量法讨论质点初始时
刻位移为以下情况时谐振动的初相
位： A； -A； 0，且向负方向
运动； -A/2，且向正方向运动
处所需的最短时间
解：(1)设振动表达式为
xAcost()
其中 A0.24m T4s
2
T
2
由旋转矢量法得 0
x0.24cost m 2
0.24
0
0.24 x
(2) t=0.5s:
x0.24cos10.17m
22
Fmam2x0.01()20.17
2 4.1 91 0 3N
(3)
tmin
2
3
由旋转矢量法得
A 0 A y
t=0时
yAcosA
A mg
y0
mg k
k
ymgcos(k t)
k
m
[例5]如图系统，已知物体质量为m， 光滑斜面倾角为,自由转动的定滑 轮半径为R,转动惯量为J,弹簧弹性 系数为k。开始时物体静止,弹簧为 原长,重物下滑后开始振动。(1)证明 重物作谐振动,并写出振动表达式； (2)求重物下滑的最大距离,并用机械 能守恒定律验证
my 0
0
解：建立如图坐标系，原点为 物体静平衡时位置，它距弹簧 y
原长位置为 y0
ky0 mg
y0
mg k
Hale Waihona Puke Baidu
在y处时 mgF mdd2t2y
k
m y0
Fk(yy0)
m0
mgkyky0mdd22yt
d2y dt2
k m
y
y
0
设
k m
则
d2y dt2
2 y
0
----得证
设振动表达式为 yAcost()
t ----简谐振动的相位
----简谐振动的初相位
讨论：
由初始条件可确定A和 ： 设 t =0 时， x x0 v v0
x0 Acos v0Asin
可得
A
x02
v0
2
arctgv0x0
固有频率和固有周期：
k
m
T 2 2 m
k
11 k T 2 m
----周期和频率由振动系统本身
即 2 1----反相
0 即 2 1
----第二个谐振动超前
第一个谐振动
[例2]如图的谐振动x-t 曲线，试求其
振动表达式 解：由图知
x/m
2
A2m,T2s O
2T
1 2t / s
设振动表达式为 xAcost()
v A si nt ()
t=0时：x0 即 0Acos
2
又 v0 即 Asin0 sin0
解： 0
2
A 2
4 3
2
4 或 2 A O
3
3
Ax
三.相位差和相位的超前与落后
设 x1A 1co 1 ts (1) x2A 2co 2 ts (2)
相位差 ( 2 t 2) ( 1 t 1 )
(2 1)t (2 1)
同频率时 21
----初相差与t 无关
讨论：
0 即 2 1 ----同相
1.单摆
由转动定律有
mgslinm2ld2
d2
dt2
gsin
l
dt2 0
很小时有
d2
dt2
g
l
0
l
mg
可得角谐振动表达式
mcost()
其中 g
l
m 为角振幅
2.复摆 由转动定律有 0
mgslin
J
d2
dt2
l
C
很小时有
d2
dt2
mgl
J
0
mg
mcots()
角频率
mgl J
周期 T 2
位移 xAcots()
速度
v
dx
----简谐振动表达式
Asi nt ()
dt
vmsin t()
加速度 a d 2 x 2Acost()
dta2mcost()
即有 a2x
----简谐振动的运动学特征 说明：
A----简谐振动的振幅，为物体离开
平衡位置最大位移的绝对值
----圆频率(2秒内的振动次数)
阻尼振动受迫振动共振
§15-1 机械振动的一般概念
机械振动：物 体在一定位置的 附近作来回往复 的运动(周期性 或非周期性)
成因：物体的惯性和所受的回复力
§15-2 简谐振动
一.简谐振动的特征 简谐振动:物体距平衡位
置的位移(或角位移)随时 间按余弦(或正弦)函数变 化
dd2t2x 2x 0
T2 '
T1 '
T2
解：(1) 取物体静平衡
T1 0
m
x
位置为坐标原 点，沿斜面向
mg
下建立坐标系
设 TT m 系12R 统sg 处kT ix 0于2n R 静 T1 平0 衡0时弹x簧0 伸m长gskxi0n
物体振动时 m T1R gsiT n2R T1Jmdd2t2x
T2k(xx0)
可得
d2x dt2
mkJ
R2
x
0----谐振动
其解为 xAcost()
其中
k
m I R2
由旋转矢量法得
而
A
x0
mgsin
k
xmsgincos( k t)
k
mIR2
(2)物体下滑的最大距离为
s
x0
A
2mgsin
k
由机械能守恒定律
mgsins1ks2
s
2
s 2mgsin
k
三.角谐振动----单摆和复摆
x2cost ()2 m
2
旋转矢量法
2
2
O
x
[例3]质量为0.01kg物体作周期为4s、
振幅为0.24m的简谐振动。t=0时,位
移 x=0.24m 。 求 (1) 谐 振 动 表 达 式 ；
(2)t=0.5s 时 , 物 体 的 位 置 和 所 受 的 力 ；
(3) 物 体 从 初 始 位 置 运 动 至 x=-0.12m