对数运算性质_换底公式
对数的运算及换底公式2012.10.27
关系： １．关系： a b = N
指数式
b = log a N
对数式
a
指数式 a b = N 对数式 log a N = b 底数 对数的底数
N
幂 真数
b
指数 对数
2.特殊对数：1）常用对数 — 以10为底的对数；lg N 特殊对数： ） 为底的对数； 特殊对数 为底的对数 2）自然对数— 以 e 为底的对数；ln N ）自然对数 为底的对数； 3.重要结论：1）log a a = 1；2）log a 1 = 0 重要结论： ） 重要结论 ； ） 4.对数恒等式：a log a N = N 对数恒等式： 对数恒等式
n N = log a N m
n
(a, c ∈ (0,1) U (1,+∞), N > 0) a, b ∈ (0,1) U (1,+∞)
1、计算： (1) log 5 35 －2log 5 、计算：
7 + log 5 7 －log 5 1. 8 3
(2) lg 2 5 + lg 2 lg 5 + lg 2
解法一： 解法一： 解法二： 解法二：
7 7 lg 14 − 2 lg + lg 7 − lg 18 lg 14 − 2 lg + lg 7 − lg 18 3 3 7 7 2 = lg 14 − lg( ) + lg 7 − lg 18 = lg(2 × 7) − 2 lg 3 3 2 + lg 7 − lg(2 × 3 ) 14 × 7 = lg 7 2 = lg 2 + lg 7 − 2(lg 7 − lg 3) ( ) × 18 3 + lg 7 − (lg 2 + 2 lg 3) = lg 1 = 0 =0
对数的概念及运算法则
对数的概念及运算法则对数是数学中的一个概念，它表示一个数相对于一些给定的底数的幂。
在日常生活中，对数经常被用来解释指数增长或减少的情况。
首先，对数的定义是：对于给定的正数a（a ≠ 1），将正数x表达为底数a的幂的等式，即x = a^m (m为任意实数)，称m为x的以a为底的对数，记作m =log[底数a](x)，即m = loga(x)。
对数有以下几个重要特点：1.底数必须是一个正数，并且不能等于12.对数函数中x的取值范围为正实数，因为负数和0的对数不存在。
3.对数的结果m可以是任意实数，包括正数、负数和零。
对数具有一些重要的性质和运算法则，下面介绍其中的一些：1.换底公式：对于任意给定的x和任意的正数a、b（a、b≠1），有以下等式成立：loga(x) = logb(x) / logb(a)换底公式可以将一个对数用另一个底数的对数表示，这样在计算和比较对数时更加方便。
2.加减法法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x、y，有以下等式成立：loga(x * y) = loga(x) + loga(y)loga(x / y) = loga(x) - loga(y)加减法法则可以将对数的乘法和除法分解为对数的加法和减法，简化对数运算。
3.乘方法则：对于任意给定的正数a和任意的正数x和正整数n，有以下等式成立：loga(x^n) = n * loga(x)乘方法则可以将对数中的指数化简为对数本身的乘法。
4.对数的乘法和除法法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x，有以下等式成立：loga(x^b) = b * loga(x)loga(b^x) = x * loga(b)乘法和除法法则可以将指数中的对数化简为对数本身的乘法或除法。
5.对数的幂次法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x，有以下等式成立：a^(loga(x)) = x如果a ≠ 1，则loga(a^x) = x幂次法则可以将对数中的幂次化简为原指数。
对数的运算性质及换底公式
8 2 ( ) 4 9 log3 ( ) 3
(3) lg 100 lg 10
100 lg ( ) 10
归纳猜想： M log a ( ) log a M log a N N （a 0且a 1, M , N 0）
3.计算观察： 3 (1) log 2 (2 )
1 1 （2） 3 36, 求 2 m n
m n
【变式训练】
1 (1) log 3 7 log 2 9 log 49 x log 1 , 求x 4 2
(2) log18 9 a,18 5, 用a, b表示log36 45.
b
总结：
• 1.对数的运算性质
• 2.换底公式
(2) log5 125
(4) log 1 27 log 1 9
3 3
(3) log 2 (2 4 )
3 5
【变式训练】求下列各式的值
(1)3 log 7 2 log 7 9 2 log 7 (
2 2
3 2 2
)
(2)(lg 2) (lg 5) 2 lg 5 lg 2
log 2 (4 8)
log3 (3 9)
(3) lg 10 lg 100
lg (10 100 )
归纳猜想： log a (M N) log a M log a N （a 0且a 1, M , N 0）
2.计算观察：
(1) log 2 8 log 2 4
M (2)log a ( ) log a M log a N N
（a 0且a 1, M , N 0）
(3)log a ( M ) n log a M
对数的换底公式及其推论(含参考答案)
一、复习引入： 对数的运算法则 如果 a>0，a 1，M>0， N>0有：
二、新授内容： 1. 对数换底公式 ： log a N log m N (a>0,a 1， m>0,m 1,N>0) log m a
证明 ：设 log a N=x,则 a x =N
两边取以 m为底的对数： log m a x log m N
2
3=a，则
1 a
log3 2 , 又∵ log 3 7=b,
∴ log 42 56 log 356 log 3 7 3 log 3 2
ab 3
log 3 42 log 3 7 log 3 2 1 ab b 1
5 例 2 计算：① 1 log 0.2 3 ② log 4 3 log 9 2 log 1 4 32
1．证明： log a x 1 log a b log ab x
证法 1：设 log a x p ， log ab x q ， log a b r
则： x a p x (ab) q a qb q b a r
∴ a p ( ab) q a q(1 r ) 从而 p q(1 r )
∵ q 0 ∴ p 1 r 即： log a x 1 log a b （获证）
x log m a log m N
从而得： x log m N ∴ log a N log m N
log m a
log m a
2. 两个常用的推论 :
① log a b log b a 1， log a b log b c log c a 1
② log am b n
n m
log
a
b
（a,b>0
2024版新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.3对数4.3.2对数的运算第2课时换底公式课件
题型 3 实际问题中的对数运算
例3 5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2(1＋
S
)，它表示在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道
N
带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，
S
S
其中 叫做信噪比．当信噪比 比较大时，公式中真数里面的1可以忽
N
N
S
b
将本例条件改为“4 ＝5 ＝10”，求 ＋ 的值．
解析：由4a＝5b＝10，得a＝logபைடு நூலகம்10，b＝log510，
1
2
1
2
所以 + ＝
+
＝lg 4＋2lg 5＝lg (4×25)＝2.
a
b
log4 10
log5 10
学霸笔记：
利用等式运算性质与换底公式求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和
第2课时
换底公式
预学案
共学案
预学案
换底公式❶
1．换底公式
log
log
b＝________(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
loga
2．对数换底公式的重要推论
1
(1)logaN＝
(N＞0，且N≠1；a＞0，且a≠1)．
logN a
m
log an ＝ logab(a＞0，且a≠1，b＞0)．
的值吗？(lg 2，lg 3可利用计算器查得)
(2)把(1)一般化，由对数的定义，你能否用logca，logcb表示logab(a>0，
且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)吗？
对数换底公式
小结
log a N 对数换底公式 logb N log b a, b 0, a, b 1, N 0. a
logb a loga b 1
常用结论
logb a logb c logc a 1
n loga m b loga b m
n
作业
1 1 lg 2 a 10 lg lg 5 2 1 lg 2 1 a lg 3 lg 3 lg 3 b
⑶log35=
2 lg 3 2 lg 2 2a 2b ⑷log1236= lg 3 2 lg 2 2a b
练习
2.已知 log3 4 log 4 8 log8 m log 4 2, 求 m的值.
问题：由上述计算你可得 出什么结论？
对数换底公式
log a N a, b 0, a, b 1, N 0. log b N log a b
证明: 设x=logbN,根据对数定义,有 N=bx. 两边取以a为底的对数,得 logaN=logabx. 而logabx=xlogab,所以 logaN=xlogab. log a N x . 由于b≠1,则logab≠0,解出x得
例2 用科学计算器计算下列对数(精确到0.001):
log248; log310; log8π; log550; log1.0822.
5.585 2.096 5.505
2.431
8.795
练习 1.已知lg2=a,lg3=b,请用a,b表示下列各式的 值. ⑴log36= ⑵log210=
lg 6 lg 2 lg 3 a b lg 3 lg 3 b
lg a lg b log b a log a b 1 lg b lg a
3.2 3.2.1 第二课时 对数的运算性质及换底公式
首页
上一页
下一页
末页
结束
(1)换底公式的主要用途是将不同底数的对数式转化 成同底数的对数式，将一般对数化为常用对数或自然对 数，解决一般对数求值问题．
(2)题目中有指数式与对数式时，要将指数式和对数 式进行互化，统一成一种形式．
首页
上一页
下一页
末页
结束
[活学活用]
1．式子 log32·log227 的值为 A．2
(2)要注意公式的特点，如 logaM·N≠logaM·logaN. (3)对数的运算性质实质上是将积商幂的运算转化为对 数的加减乘运算．
首页
上一页
下一页
末页
结束
2．换底公式：若 a＞0 且 a≠1，N＞0，c＞0 且 c≠1， 则 logaN＝llooggccNa .
[点睛] (1)换底公式的意义是把一个对数式的底数 改变，将不同底的问题转化为同底，便于使用运算性质．
首页
上一页
下一页
末页
[活学活用]
结束
1．lg 5＋lg 20的值是________．
解析：原式＝lg ( 5· 20)＝lg 100＝lg 10＝1. 答案：1 2．已知 lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，则(1)lg 12＝________，
(2)lg 2.4＝________. 解析：(1)lg 12＝lg (3×22)＝lg 3＋2lg 2＝0.477 1＋
首页
上一页
下一页
末页
结束
解对数应用题的步骤 (1)理解题意，弄清各字母的含义； (2)恰当地设未知数，建立数学模型，即已知 ax＝N(a， N 是常数，且 a>0，a≠1)，求 x； (3)在 ax＝N 两边取以 a 为底的对数得 x＝logaN. (4)还原为实际问题，归纳结论．
对数的运算
反思 解决对数应用题的一般步骤
感悟
跟踪训练3 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质 量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝1＋Mm2 000(e为自然对数 的底数，ln 3≈1.099).当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最 大速度(单位：m/s).
解
lg 原式＝
3＋45lg 3－190lg 4lg 3－3lg 3
3
＝1＋445－－319l0gl3g 3 ＝190.
二、对数换底公式的应用
5 例2 (1)计算：(log43＋log83)log32＝____6____.
解析 原式＝log134＋log138log32 ＝2lo1g32＋3lo1g32log32
第四章 4.3 对 数
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件. 2.掌握换底公式及其推论. 3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识梳理 题型探究 随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 对数运算性质
计算速度.
(2)利用结论logab·logba＝1，logan
bm＝
m n
logab化简求值更方便.
3.常见误区：要注意对数的运算性质(1)(2)的结构形式，易混淆.
本课结束
反思
感悟 利用换底公式化简与求值的思路
跟踪训练 2 (1)lloogg8293的值是
√2 A.3
3 B.2
C.1
D.2
解析 方法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，
对数与对数函数知识点及例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象x y> Oxy<a <y = l o g x a 111()) x 轴对称.（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是11xy y y y OA BC D解析：f （x ）=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案：A2.若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由log x 7y =z ⇒x z =7y ⇒x 7z=y ，即y =x 7z . 答案：B5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于 A.42B.22C.41D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A.21B.－21C.2D.－2解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21.8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是xyxyx yxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D.又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B. 答案：C9.设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 A.1B.2C.3D.log 23解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8，∴a +b =3. 答案：C10.方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________. 解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2.∵x ＞0，∴x =2. 答案：2典型例题【例1】 已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为 A.31B.61C.121D.241剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4， ∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241. 答案：D【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间. 解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝.显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称.又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.1-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观.【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x－1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增.注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|.（1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4，∴当x ＝4时，y min ＝lg4.【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f （x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2， 从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47.∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47. （2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 2.已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m 的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点， ∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点.∴－2k =32+k .∴k =－3. ∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）. （2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +xm +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +xm +2m ）min ≥3.又x +xm ≥2m （当且仅当x =xm ，即x =m 时等号成立），∴（x +xm +2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169.小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.。
对数的运算换底公式
02
对数的性质
对数的运算性质
零指数幂
$a^0 = 1$（当$a \neq 0$）
乘方
$a^{m+n} = a^m \times a^n$
什么是常用对数
常用对数是指以10为底的对数，用符号“lg”表示。例如， 对于一个正数a，其常用对数为log10(a)。
常用对数的特点是：对于任意正整数n，有log10(10^n)=n ；一个正数的常用对数等于它的小数点向左移动n个位置后所 得到的整数。
什么是对数单位
对数单位是指以某个数为底的对数的单位，用符号 “lg(a)/lg(b)”表示，其中a和b分别为两个正数。
感谢您的观看
THANKS
简化不同底的对数运算
利用换底公式可以将不同底的对数转化为同底的对数，从而简化计算。
解决实际问题
在科学、工程、经济等领域中，对数的换底公式常常被用来解决实际问题，例如在金融中计算复利、在化学中 计算浓度等。
03
对数的运算
对数的加法运算
总结词
对数的加法运算可以像普通加法一样进行，也可以通过换底公式进行计算。
详细描述
对数的除法运算是通过将指数相除来进行的 。例如，log(a) / log(b) = log(a^b)。此外
，也可以使用换底公式进行计算，即 log(a/b)=log(a)-log(b)。
04
对数的换底公式证明
利用对数的定义证明
要点一
总结词
基于对数的定义，我们可以推导出换底公式。
要点二
对数的运算性质和换底公式
引入课题
在前面，我们已经知道对数式logaN＝x是由指数式ax＝N变化 得来的，二者的关系如图： 指数 幂 对数 真数 底数
底数
引入课题
另一方面，我们又学习过指数运算有如下的运算性质：
那么对数运算又有哪些运算性质呢？这就是本节课的学习内容.
探究点1
问题1:
对数的运算性质
换底公式用途和本质: (1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对
数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题．
(2)换底公式的本质是化为同底，这是解决对数问题的基本方法．
典例精讲：题型一：对数的运算性质
[解析]
题后反思 方法总结：对数运算时公式记忆要准确，特别是要注意： loga(MN)≠logaM· logaN， loga(M±N)≠logaM±logaN.
课堂练习
[解析] (2) log345－log35
课堂练习
2．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示为( A．a－2 C．3a－(1＋a)2 答案： A B．5a－2 D．3a－a2－1 )
归纳小结
1.对数的运算法则及换底公式：
(c>0,且c≠1; b>0)
典例精讲：题型二：运用对数的运算性质求值
【例2】计算 ：
典例精讲：题型二：运用对数的运算性质求值
【例2】计算 ：
典例精讲：题型二：运用对数的运算性质求值
【例2】计算 ：
题后反思
方法总结：1.在对数运算中常有以下技巧：
①lg2+lg5=1；
⑤logab·logba
⑥logab·logbc·logca=1
证明： ∵，
由对数定义得到：logaM=m，logaN=n，loga(M· N)=m+n.
对数函数的运算公式大全
对数函数的运算公式大全对数函数是一种常见的数学函数，可以用于解决许多问题。
下面是对数函数的一些常用运算公式。
1.对数函数的定义：y = logₐ(x),其中，y是以a为底的x的对数。
2.换底公式：如果我们需要计算以不同底的对数，可以使用换底公式：logₐ(x) = log_b(x) / log_b(a)其中，b是我们想要换成的底。
3.对数函数的性质：对数函数具有以下性质：a. log_a(1) = 0,b. log_a(a) = 1,c. log_a(x * y) = log_a(x) + log_a(y),d. log_a(x / y) = log_a(x) - log_a(y),e. log_a(x^k) = k * log_a(x),其中，x,y是正实数，a是大于0且不等于1的实常数，k是任意实数。
4.对数函数的基本公式：a. log_a(1) = 0,b. log_a(a) = 1,c. log_a(a^x) = x,d. a^log_a(x) = x其中，a是大于0且不等于1的实常数，x是正实数。
5.常用对数和自然对数：6.对数函数的反函数：y=a^x其中，a和x的关系可以表示为：x = log_a(y)。
7.对数函数的图像：8.对数函数的应用：对数函数可以用于解决各种问题，例如：a.在复利计算中，可以使用对数函数计算收益率；b.在实际问题中，可以使用对数函数解决指数增长或衰减问题；c.在科学和工程领域，对数函数可以用于测量物理量的幅度范围。
以上是对数函数的一些常用运算公式，它们在数学和实际问题中都有广泛的应用。
对数换底公式总结
对数换底公式总结对数换底公式，也称为换底公式，是对数的一种恒等变形，用于将一个对数转换为以不同底数表示的形式。
这个公式在数学、物理学和工程学等多个领域有着广泛的应用。
换底公式的基本形式是 log(a)(b) = log(c)(b) / log(c)(a)，其中 a、b、c 都是正数，且a ≠ 1，b ≠ 1，c ≠ 1。
这个公式可以用来将任何底数 a 的对数转换为以底数 c 为底的对数，只要满足上述条件。
在换底公式中，log(a)(b) 表示以 a 为底 b 的对数，log(c)(b) 表示以 c 为底b 的对数，log(c)(a) 表示以 c 为底 a 的对数。
通过这个公式，我们可以将任何底数的对数转换为以任意大于零且不等于 1 的数为底的对数。
换底公式的推导过程可以通过对数的定义和性质进行证明。
首先，根据对数的定义，我们有 log(a)(b) = ln(b) / ln(a)，其中 ln 表示自然对数。
然后，我们可以通过换元法，令 t = ln(b)，得到 log(a)(b) = e^t / ln(a)，其中 e 是自然对数的底数。
接着，我们可以将 e^t 替换为以 c 为底 b 的对数，得到 log(a)(b) = log(c)(b) / log(c)(a)。
通过对数换底公式，我们可以解决一些与对数相关的问题，例如求解对数方程、计算对数的运算性质等。
同时，换底公式还可以用于简化对数的计算过程，例如将一个复杂的对数表达式转换为更简单的形式。
需要注意的是，在对数的换底公式中，换底的底数不能为 1 或 0，因为这两个值不符合对数的定义。
此外，在对数换底公式中，等号成立的条件是 a、b、c 都是正数且a≠1，b≠1，c≠1。
如果这些条件不满足，换底公式可能不成立。
总之，对数换底公式是数学中一个重要的恒等式，它可以将一个对数转换为以任意大于零且不等于 1 的数为底的对数。
这个公式在解决与对数相关的问题时非常有用，可以简化计算过程并得到更简单的结果。
对数的运算与换底公式
x2 y 3 2 (2)loga ＝loga(x y)－loga z 3 z ＝logax ＋loga y－loga
解 (1)由 loga2＝m，得 am＝2，由 loga3＝n，得 an＝3，
所以 am＋n＝am· an＝2× 3＝6.
(2)由 logaM＝m，得 am＝M，由 logaN＝n，得 an＝N.
所以 am· an＝am＋n＝M× N，把指数式化为对数式得：loga(M· N)＝m＋n.
探要点、究所然
∴Mn＝(ap)n＝anp，
∴logaMn＝np，将 logaM＝p 代入，
即证得 logaMn＝nlogaM.
当 n＝0 时，显然成立．∴logaMn＝nlogaM.
小结
上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的
运算性质进行恒等变形，然后再根据对数定义将指数式化成对数式．对数运算性质可 以用简易语言表达：“积的对数＝对数的和”，“商的对数＝对数的差”，“正数的 n 次方 的对数＝正数的对数的 n 倍”．有时逆用运算性质，如 lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.
思考 2
答
怎样用常用对数表示 log35?
设 t＝log35，则 3t＝5.两边取常用对数，得 lg 3t＝lg 5，即 t lg 3＝lg 5， lg 5 lg 5 所以 t＝lg 3，故 log35＝lg 3.
探要点、究所然
探究点二 ：换底公式
小结
logcN 一般地，logaN＝ ，其中 a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1.这个公称为对数 logca
对数换底公式
两个推论
logb a loga b 1
n loga m b loga b m
n
思考：(1)对数换底公式的作用是什么？ (2)在什么情况下选用对数换底公式？
(3)在进行对数的化简与计算时，如何选用底数？
九、课外作业
必做题: 教材 P88 习题 B 组 T4 2、 已知 log 7 3 a,log 7 4 b , 试用 a , b 表示 log 48 49 .
3
五、知识应用
题型 利用换底公式化简求值 例 1 计算： （1） log 9 27 ； （2） log8 9 log 27 32
log 3 27 log 3 33 3 解法二: (1) log 9 27 2 log 3 9 log 3 3 2
log 3 32 log 3 25 (2) log 8 9 log 27 32 3 3 log 3 2 log 3 3 2 log 3 3 5 log 3 2 10 3 log 3 2 3 log 3 3 9
知识应用
题型 对数运算在实际问题中的应用
例 3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一 年剩留的质量约为原来的 84%，估计约经过多少年，该物 质的剩留量是原来的一半（结果保留 1 个有效数字）
解：设最初的质量是 1，经过 x 年，剩留量是 y ，则
经过 x 年，剩留量是 y 0.84 ；
法二： 9 8 1 log log 32 21 log 25 33 log log32 27 1 log 3 法二： 2 log 3 5 125 32 3 3 3 log 25 log 331 log 2 5log 3 2 3log 2 3 5 2 2 (3) (5) (1) log 2 5 log3 2 log5 3 15
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3
⑴
log 2 log 8
3 9
____2_
（2） 1 log
值为___2___
6
12
log
6
2
1
2= 的
⑶ log2 8 4 3 log2 8 4 3
_____2________
2a b
（4）若 lg 2 a,lg 3 b, 则 log512 _____1__a__
作业 练习册课时作业（二十七）
2
5 2
已知lg2=a,lg3=b,请用a,b表示下列各式的值.
1.log36=
lg 6 lg 2 lg 3 a b
lg 3 lg 3
b
2.log210=
1 1 lg 2 a
3.log35=
lg 5
lg
10 2
1 lg
2
1a
lg 3 lg 3 lg 3 b
4.log1236=
2 lg 3 2 lg 2 lg 3 2 lg 2
学习任何东西的最佳途径是 依靠自己独立去发现
信心+恒心+方法=成功
复习与回顾 对数的运算法则
如果a 0, a 0, M 0, N 0,则
1log a MN log a M log a N;
2log a M n n • log a M n R;
3log a
M N
log a
M
log a
A. 1 B. 3 C. 90 D.2＋lg9
2
1.解:lg12 =lg(4×3) =lg4＋lg3 =2lg2＋lg3 =2a ＋b
2.解: lg ( 103－102) ＝ lg [102( 10－1)] ＝ lg(102× 9) ＝lg102＋lg9 ＝2＋lg9
3.计算： （1）lg14 2 lg 7 lg 7 lg18
换底公式的应用
1.计算
(1)log9 27
“化异为同”
（2) log 8 9 log 27 32
解
1 log 9
27
log3 27 log3 9
3 2
2log8 9 • log27 32
lg 9 • lg 32 lg 8 lg 27
2 lg 3 • 5lg 2 3lg 2 3lg 3
10 9
（3）(log 43 log83)(log3 2 log9 2) log1 4 32
2a 2b 2a b
已知lg2=a,lg3=b,请用a,b表示下列各式的值.
1.log36=
lg 6 lg 2 lg 3 a b
lg 3 lg 3
b
2.log210=
1 1 lg 2 a
3.log35=
lg 5
lg
10 2
1 lg
2
1a
lg 3 lg 3 lg 3 b
4.log1236=
1.已知 log18 9 = a , 18b = 5 , 用 a, b 表示 log36 45 2.若 log8 3 = p , log3 5 = q , 求 lg 5
3.,求log
a
9
2
3
4.计算：
（1）log
1
3 9+log927+( 14)log4 16
（2）7lg20﹒(
1.已知lg2=a , lg3=b , 请用a ,b 表示 lg12 . 2.计算lg ( 103－102)的结果( )。
A. 1 B. 3 C. 90 D.2＋lg9
2
1.解:lg12 =lg(4×3) =lg4＋lg3 =2lg2＋lg3 =2a ＋b
• 小试身手：
1.已知lg2=a , lg3=b , 请用a ,b 表示 lg12 . 2.计算lg ( 103－102)的结果( )。
1 2
)lg0.7
2 lg 3 2 lg 2 lg 3 2 lg 2
2a 2b 2a b
小结
利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问 题的基本思想法，它在求值或恒等变形中作了重 要作用，在解题过程中应注意：
1．针对具体问题，选择好底数． 2．注意换底公式与对数运算法则结合使用． 3．换底公式的正用与反用．
当堂测试:
N.
对数换底公式
log a
N
log c log c
N a
a, c
0, a, c
1,
N
0.
推论
logb a • log a b 1 (a,b>0,且a,b≠1) logb a • logb c • logc a 1
log am
bn
n m
log a
b
log 1 b log a b
a
• 小试身手：
3
解法一：
解法二：
lg14 2 lg 7 lg 7 lg18 3
lg14 lg( 7)2 lg 7 lg18 3
lg14 2 lg 7 lg 7 lg18
lg(2
7)
3
2
lg
7
3
lg 7 lg(2 32 )
lg 14 7 (7)2 18 3
lg1 0
lg 2 lg 7 2(lg 7 lg 3) lg 7 (lg 2 2 lg 3) 0