(完整版)浅谈中值定理在解题中的应用
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其次，认真分析，精确而巧妙的构造出辅助函数．
做到这两点，便可顺利地完成命题的证明．
2.3关于根的存在性
根的存在定理：若函数 在闭区间 上连续，且 与 异号（即 ），则至少存在一点 ，使得
即方程 在 内至少有一个根．
罗尔定理告诉我们，若 在 上连续，在 内可导， ，则存在 ，使得 ．换句话说，在函数的等值点之间，有导函数的根．因此，证明导函数有根，只要证明函数本身有等值点即可．
证明：当 时，不等式中等号成立
即
当 时，令
则 在区间 上满足Lagrange中值定理的条件
故存在 ，使得
从而
综上 ．
2.2 关于证明等式
证明等式常利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理．证明时常常从要证的结论入手，写成 的形式，并且构造相应的辅助函数，即可证得命题．
例3设 在 上连续，在 内可导，且 ， ，则 ， ，使得 ．
（ii）验证 （与 ）在 上满足中值定理的条件．
（iii）应用中值定理及已知条件解答问题P．
其中步骤（i）是关键，通常也是难点所在；步骤（ii）则比较容易；步骤（iii）是对综合能力的考验．
微分中值定理的应用十分广泛，在此仅对几方面的应用进行归类介绍．
2.1关于证明不等式
应用微分中值定理（含泰勒（Taylor）公式）及其导出的结论证明不等式,首先介绍泰勒公式的表达形式．
浅谈中值定理在解题中的应用
微分中值定理给出区间端点函数值与其内点导数值的关系．用它可以从 的导数的某些性质推出 的某些性质．如果 在 上连续，且在 内可导，则在 内存在一数 ,使 成立．
中值定理虽然是就闭区间说的，但是不必拘于 ，只要 在开区间（有限或无限）上处处有导数，在 内的任何两点 都可以代替 ，使 之间总有一个 ,满足
这里的闭区间可以换成其它各种区间，例如 ， ， 等．
证明函数的单调性主要应用拉格朗日中值定理，下面举例进行分析说明．
例6 证明：若函数 在 可导， 单调增加，且 ，则函数
在 也单调增加．
证明：对任意 ,且
则 在区间 与 均满足Lagrange中值定理条件
于是分别存在
使
由于 单调增加,且 ,所以
从而 ,即函数 在 单调增加．
证明：设
则
即 （ 为常数）
又因为 ，所以
故 ，即 ．
例8 定义在实数集 上的函数，如对任意 ，有 其中 是常数，则 是常值函数．
证明：对任意 ， 的改变量为 ，
由条件有
即
两边关于 ，取极限得
所以
由中值定理得：
即
故 在R上为常值函数．
2.6利用微分中值定理求极限
计算数列和函数的极限时，常遇到的是“ ”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”等形式．经过简单的变换，它们一般均可化为“ ”型或“ ”型的极限。其中有时“ ”也以差的形式出现，即“ ”型．这时我们就可以利用微分中值定理把差化成积之后，在积的极限中，用等价无穷小进行代换，起到化繁为简的作用．另外，微分中值定理把函数差变成其间的导数值，这种转化往往可以变难为易。
分析与解答：作辅助函数 ，则 在 上连续，由于 ， ,故 ， ，使得 ．
由Lagrange中值定理， 或 ，使得
即证．
例4设 ，证明 ,其中 在 与 之间．
分析：要证的等式是两个固定点 ， 以及中间值 的表达式，作变形，使 ， 与 分离，再生成改变量的商，利用中值定理证明，具体步骤为：
（1） 与 ， 分离 ；
微分中值定理有三种常用形式，即罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理．
2微分中值定理的应用
微分中值定理反映了函数增量与区间某个点导数值之间的关系，从而可用导数பைடு நூலகம்研究可微函数值之间的相互关系及其变化性态．
应用中值定理主要有以下3个基本步骤：
（i）根据已给问题P的特点，确定或构造辅助函数 （与 ）及相应的区间 ．
例5设 在 上连续，在 内可导，且 ， ．试证至少存在一个 ，使 ．
分析：
可令 ．
证明：令
则显然 在 上连续，在 内可导
又
由根的存在定理可知:
， 使
又 ，对 在 上用Rolle中值定理，存在
使得
即 ．
从以上例题的证明过程可见，在应用根的存在性定理证明某些问题时，选取合适的辅助函数，可收到事半功倍的效果．
以上为微分中值定理在解题中几个方面的应用作了简单总结分析．利用微分中值定理解决问题时，通常需要构造一个辅助函数，由这个辅助函数满足某个中值定理的条件而得到要证明的结论，而构造性方法是高等数学中一个重要的分析技巧，这往往成为解题的关键所在．
2.5证明函数恒为常数
证明函数恒为常数主要应用的是拉格朗日中值定理的推论，现将其主要的两个推论介绍如下：
推论1：若在 内， ，则在 内 为一常数．
推论2：若在 内， ，则在 内 （ 为常数）．
例7若 ，求证： ．
分析：在三角函数部分解题中见到过这种题型，应用公式 ,解得 ， 的值可能为 ．此种解法较繁琐，在这里用推论1证明．
此类问题的证明过程如下：
（1）作辅助函数 ；
（2）验证 满足罗尔中值定理的条件,
由此即得出命题证明．
2.4关于函数的单调性
2.4.1函数单调性与其导函数符号间的关系
定理：设 在区间 上可导，则 在 上递增（减）的充要条件是：
由些可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的联系．
2.4.2函数单调性的判定法
定理：设函数 在 上连续，在 内可导．
(1) 如果在 内 ，那么函数 在 上单调增加；
(2)如果在 内 ，那么函数 在 上单调减少．
如果把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），那么结论也成立．
由此可见，这个判断函数增减性的方法简单到只需确定导函数的符号．
特别提醒：这个方法的使用条件是，函数在闭区间上连续，开区间内可导．
（2）产生改变量的商 ；
（3）作辅助函数 ，
只需在 上用柯西中值定理即可．
证明：由于
则 不在 与 之间
令
，
则 与 在 与 所限定的区间上满足Cauchy中值定理的条件
即
整理得
结论得证．
通过对以上例题的分析和解答，我们可以看出应用中值定理证明等式或不等式的关键在于：
首先，仔细观察，对待证式子进行适当的变换；
例9求 ．
解：因为 和 可以看成指数函数 在 和 两点处的函数值．
又因为 ，故由微分中值定理得
其中
于是
故得 ．
例10 ．
解：令
显然 在[x，x+1]（x 0）上满足Lagrange中值定理
得
其中
所以 ．
．当不定式中的“ ”以同一函数在不同的两点之差的形式出现时，利用微分中值定理求极限，有统一、简便和易于掌握的优点．
定理：若函数 在点 存在直至n阶导数，则有
即
(*)
定理中(*)式称为函数 在点 处的泰勒（Taylor）公式．
对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达．多项式就是非常简单的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算就能计算出函数值．因此我们希望用多项式来近似表达函数．泰勒公式就是将满足某些条件的函数 转化为多项式函数．证明某些与高阶导数有关的命题时常用到泰勒公式．
微分中值定理证明不等式内容十分丰富，在此仅举两例．
例1证明：当 时， ．
分析：构造函数 ，对任意 ，可将 利用泰勒公式展开．再逐步构造不等式 的中间部分 ，根据已知条件 ，即可证明．
证明：令 ,由Taylor公式知
对 ，存在 ，使
，
由 ，有 ，故
即当 时， ．
例2已知 ，证明不等式 ．
分析：本题可分为两种情况进行讨论．当 时，等号显然成立.当 时，构造辅助函数 ， 在 上满足Lagrange中值定理条件，即可证明.
做到这两点，便可顺利地完成命题的证明．
2.3关于根的存在性
根的存在定理：若函数 在闭区间 上连续，且 与 异号（即 ），则至少存在一点 ，使得
即方程 在 内至少有一个根．
罗尔定理告诉我们，若 在 上连续，在 内可导， ，则存在 ，使得 ．换句话说，在函数的等值点之间，有导函数的根．因此，证明导函数有根，只要证明函数本身有等值点即可．
证明：当 时，不等式中等号成立
即
当 时，令
则 在区间 上满足Lagrange中值定理的条件
故存在 ，使得
从而
综上 ．
2.2 关于证明等式
证明等式常利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理．证明时常常从要证的结论入手，写成 的形式，并且构造相应的辅助函数，即可证得命题．
例3设 在 上连续，在 内可导，且 ， ，则 ， ，使得 ．
（ii）验证 （与 ）在 上满足中值定理的条件．
（iii）应用中值定理及已知条件解答问题P．
其中步骤（i）是关键，通常也是难点所在；步骤（ii）则比较容易；步骤（iii）是对综合能力的考验．
微分中值定理的应用十分广泛，在此仅对几方面的应用进行归类介绍．
2.1关于证明不等式
应用微分中值定理（含泰勒（Taylor）公式）及其导出的结论证明不等式,首先介绍泰勒公式的表达形式．
浅谈中值定理在解题中的应用
微分中值定理给出区间端点函数值与其内点导数值的关系．用它可以从 的导数的某些性质推出 的某些性质．如果 在 上连续，且在 内可导，则在 内存在一数 ,使 成立．
中值定理虽然是就闭区间说的，但是不必拘于 ，只要 在开区间（有限或无限）上处处有导数，在 内的任何两点 都可以代替 ，使 之间总有一个 ,满足
这里的闭区间可以换成其它各种区间，例如 ， ， 等．
证明函数的单调性主要应用拉格朗日中值定理，下面举例进行分析说明．
例6 证明：若函数 在 可导， 单调增加，且 ，则函数
在 也单调增加．
证明：对任意 ,且
则 在区间 与 均满足Lagrange中值定理条件
于是分别存在
使
由于 单调增加,且 ,所以
从而 ,即函数 在 单调增加．
证明：设
则
即 （ 为常数）
又因为 ，所以
故 ，即 ．
例8 定义在实数集 上的函数，如对任意 ，有 其中 是常数，则 是常值函数．
证明：对任意 ， 的改变量为 ，
由条件有
即
两边关于 ，取极限得
所以
由中值定理得：
即
故 在R上为常值函数．
2.6利用微分中值定理求极限
计算数列和函数的极限时，常遇到的是“ ”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”等形式．经过简单的变换，它们一般均可化为“ ”型或“ ”型的极限。其中有时“ ”也以差的形式出现，即“ ”型．这时我们就可以利用微分中值定理把差化成积之后，在积的极限中，用等价无穷小进行代换，起到化繁为简的作用．另外，微分中值定理把函数差变成其间的导数值，这种转化往往可以变难为易。
分析与解答：作辅助函数 ，则 在 上连续，由于 ， ,故 ， ，使得 ．
由Lagrange中值定理， 或 ，使得
即证．
例4设 ，证明 ,其中 在 与 之间．
分析：要证的等式是两个固定点 ， 以及中间值 的表达式，作变形，使 ， 与 分离，再生成改变量的商，利用中值定理证明，具体步骤为：
（1） 与 ， 分离 ；
微分中值定理有三种常用形式，即罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理．
2微分中值定理的应用
微分中值定理反映了函数增量与区间某个点导数值之间的关系，从而可用导数பைடு நூலகம்研究可微函数值之间的相互关系及其变化性态．
应用中值定理主要有以下3个基本步骤：
（i）根据已给问题P的特点，确定或构造辅助函数 （与 ）及相应的区间 ．
例5设 在 上连续，在 内可导，且 ， ．试证至少存在一个 ，使 ．
分析：
可令 ．
证明：令
则显然 在 上连续，在 内可导
又
由根的存在定理可知:
， 使
又 ，对 在 上用Rolle中值定理，存在
使得
即 ．
从以上例题的证明过程可见，在应用根的存在性定理证明某些问题时，选取合适的辅助函数，可收到事半功倍的效果．
以上为微分中值定理在解题中几个方面的应用作了简单总结分析．利用微分中值定理解决问题时，通常需要构造一个辅助函数，由这个辅助函数满足某个中值定理的条件而得到要证明的结论，而构造性方法是高等数学中一个重要的分析技巧，这往往成为解题的关键所在．
2.5证明函数恒为常数
证明函数恒为常数主要应用的是拉格朗日中值定理的推论，现将其主要的两个推论介绍如下：
推论1：若在 内， ，则在 内 为一常数．
推论2：若在 内， ，则在 内 （ 为常数）．
例7若 ，求证： ．
分析：在三角函数部分解题中见到过这种题型，应用公式 ,解得 ， 的值可能为 ．此种解法较繁琐，在这里用推论1证明．
此类问题的证明过程如下：
（1）作辅助函数 ；
（2）验证 满足罗尔中值定理的条件,
由此即得出命题证明．
2.4关于函数的单调性
2.4.1函数单调性与其导函数符号间的关系
定理：设 在区间 上可导，则 在 上递增（减）的充要条件是：
由些可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的联系．
2.4.2函数单调性的判定法
定理：设函数 在 上连续，在 内可导．
(1) 如果在 内 ，那么函数 在 上单调增加；
(2)如果在 内 ，那么函数 在 上单调减少．
如果把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），那么结论也成立．
由此可见，这个判断函数增减性的方法简单到只需确定导函数的符号．
特别提醒：这个方法的使用条件是，函数在闭区间上连续，开区间内可导．
（2）产生改变量的商 ；
（3）作辅助函数 ，
只需在 上用柯西中值定理即可．
证明：由于
则 不在 与 之间
令
，
则 与 在 与 所限定的区间上满足Cauchy中值定理的条件
即
整理得
结论得证．
通过对以上例题的分析和解答，我们可以看出应用中值定理证明等式或不等式的关键在于：
首先，仔细观察，对待证式子进行适当的变换；
例9求 ．
解：因为 和 可以看成指数函数 在 和 两点处的函数值．
又因为 ，故由微分中值定理得
其中
于是
故得 ．
例10 ．
解：令
显然 在[x，x+1]（x 0）上满足Lagrange中值定理
得
其中
所以 ．
．当不定式中的“ ”以同一函数在不同的两点之差的形式出现时，利用微分中值定理求极限，有统一、简便和易于掌握的优点．
定理：若函数 在点 存在直至n阶导数，则有
即
(*)
定理中(*)式称为函数 在点 处的泰勒（Taylor）公式．
对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达．多项式就是非常简单的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算就能计算出函数值．因此我们希望用多项式来近似表达函数．泰勒公式就是将满足某些条件的函数 转化为多项式函数．证明某些与高阶导数有关的命题时常用到泰勒公式．
微分中值定理证明不等式内容十分丰富，在此仅举两例．
例1证明：当 时， ．
分析：构造函数 ，对任意 ，可将 利用泰勒公式展开．再逐步构造不等式 的中间部分 ，根据已知条件 ，即可证明．
证明：令 ,由Taylor公式知
对 ，存在 ，使
，
由 ，有 ，故
即当 时， ．
例2已知 ，证明不等式 ．
分析：本题可分为两种情况进行讨论．当 时，等号显然成立.当 时，构造辅助函数 ， 在 上满足Lagrange中值定理条件，即可证明.