斯托克斯公式-环流量与旋度

点 M 的线速度为
l
M
o
( y, x, 0)
r
i j k v r 0 0 x y z
y
x
rot v
y x 0
x
i
y
j
z
k
(0, 0, 2 ) 2
(此即“旋度”一词的来源)
斯托克斯公式①的物理意义:
(rot A) n d S A d s
第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度
第六节
斯托克斯公式
环流量与旋度


一、源自文库托克斯公式
二、空间曲线积分与路径无关的条件 三、环流量与旋度
四、向量微分算子
五、内容与小结
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一、斯托克斯( STOKES ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则, 在包含 在内的一
u u u g rad u x , y , z 梯度:
, , x y z
,
则
u
散度:
P Q R div A x y z A
i
旋度: rot A
x
j
y
k
z
A
P
Q
R
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练习题
例1.利用斯托克斯公式计算积分
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个 边界, 方向如图所示.
z
解: 记三角形域为, 取上侧, 则
o
1
1
1 y
d yd z d zd x d xd y
x y z
x
Dx y
z
x
y
利用对称性
3 d y d z d z d x d x d y 3 d x d y Dx y 2
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可
通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助
曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这
类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕
注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域,则斯托克斯
P d x Q d y R d z 在内与路径无关
在内处处有
Q R R P P Q , , y x z y x z
在内处处有 i
j
y
k
z
rot ( P , Q , R)
x
0
P
Q
R
3.场论中的三个重要概念
设 u u ( x, y , z ) , A ( P , Q , R ) ,
2
Q R R P , z y x z
证毕
例3.验证曲线积分 ( y z ) d x ( z x) d y ( x y )dz
与路径无关, 并求函数
u ( x, y , z )
( x, y , z ) ( 0, 0, 0 )
( y z )d x ( z x) d y ( x y ) d z
(0, 0, 0) (除原点外)
例5.设
的外法向量, 计算 I rot A n dS .

n 为
i
解:
j
y
k
z 2
rot A x
(0 , 0 , 1)
2y
3x
z
I cos d S

8
*四、向量微分算子
定义向量微分算子:
x i y j z k 它又称为▽( Nabla )算子, 或哈密顿( Hamilton ) 算子.
向量场 A 产生的旋度场 穿过 的通量 注意 与 的方向形成右手系! q 例4. 求电场强度 E 3 r 的旋度 . r i j k
为向量场 A 沿 的环流量
解:
rot E x
qx r3
这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋.
y qy r3
z qz r3
y C
则
P d x C P( x, y, z ( x, y)) d x
P( x, y, z ( x, y )) d x d y (利用格林公式) Dx y y n P P z z d xd y Dx y y z y P P o f y cos d S y y D z xy x C fy 1 cos , cos , 2 2 2 2
定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 函数 P, Q, R 在G内 具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价:
(1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有 (2)
与路径无关
P d x Q d y R d z 0 对G内任一分段光滑曲线 , P d x Q d y R d z
公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:


d yd z d zd x d xd y x y z P d x Q d y R d z P Q R
或用第一类曲面积分表示:
cos cos cos x y z d S P d x Q d y R d z P Q R
( x, y , z ) Pd x Qd y Rd z ( x0 , y0 , z0 )
u ( x, y , z )
则
u u ( x x, y , z ) u ( x, y , z ) lim x x 0 x 1 ( x x, y , z ) lim Pd x Qd y Rd z x 0 x ( x, y , z ) 1 x x lim P d x lim p( x x, y, z ) x 0 x x x 0
rot (grad r ) x x r y y r z z r
2
2
2 则 z ,
(0 , 0 , 0)
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设r x y 2 div (grad r ) r ; rot (grad r ) 0 . x y z 提示: grad r , , r r r x 2 2 x r 2 2 y x r y ( ) ( ) r r x , 3 2 3 y x r r r r r ( z ) r2 z2 三式相加即得div (grad r ) z r r3 i j k
1.斯托克斯公式

P d x Q d y R d z

d yd z d zd x d xd y
x y z
P cos
x
Q cos
y z
R cos dS R


P
Q
2.空间曲线积分与路径无关的充要条件
设 P, Q, R 在内具有一阶连续偏导数, 则
例2. 为柱面
轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线,从 z
解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧, 则其法线方向余弦
z


利用斯托克斯公式得
cos cos cos
I

o x
dS
2
0
y
y
x 2
y
z
xy
xz
*二、空间曲线积分与路径无关的条件
①
定义:
P d x Q d y R d z A d s 称为向量场A
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度 .
旋度的力学意义:
设某刚体绕定轴 l 转动, 角速度为 , M为刚体上任一 点, 建立坐标系如图,则 z
(0, 0, ), r ( x, y, z )
P ( x, y , z )
同理可证 故有
du Pd x Qd y Rd z
(3) (4) 若(3)成立, 则必有 u u u P, Q, R x y z
因P, Q, R 一阶偏导数连续, 故有
P u Q y x y x
同理
(cos , cos , cos )
( P cos Q cos R cos ) d s

令 A ( P, Q, R ) , 引进一个向量
记作
rot A
x y z P Q R
i
j
k
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
或
rot A n d S A d s (rot A) n d S A d s
(3) 在G内存在某一函数 u, 使 d u P d x Q d y R d z (4) 在G内处处有
P y

Q Q , x z

R , R y x

P z
证: (4) (1) 由斯托克斯公式可知结论成立; (1) (2) (自证)
(2) (3)
设函数
xy ( x y ) z xy yz zx
0
0
( x,0,0)
y
( x, y,0)
三、 环流量与旋度 斯托克斯公式
Pd x Qd y Rd z

设曲面 的法向量为
n (cos , cos , cos )
曲线 的单位切向量为
则斯托克斯公式可写为
解: 令 P y z , Q z x , R x y P Q Q R R P 1 , 1 , 1 y x z y x y 积分与路径无关, 因此
x d y ( x y) d z
y
z
z
o x
( x, y , z )
1 f x f y
1 f x f y
cos fy cos
P P cos cos d S 因此 P d x y z cos P P cos cos d S z y P P dzdx d xd y z y Q Q 同理可证 Q d y d xd y d yd z x z R R R d x y d y d z x d z d x
(1) 设 u u ( x, y, z ), 则
u
u x u i y u j z
k grad u
2u u grad u

2u x2
2 u y2 2 u z2
u
(2) A P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k , 则
个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有
P d x Q d y R d z (斯托克斯公式)

n
证: 情形1 与平行 z 轴的直线只交于 一点, 设其方程为
z
o x

Dx y

: z f ( x, y ) , ( x, y ) D x y 为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).
A
P Q R x y z
div A
k
i
A x P
j
y
z
rot A
Q
R
高斯公式与斯托克斯公式可写成:
A d v An d S ( A ) n d S A d s
五、内容与小结