金融风险管理风险价值度
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VaR与预期损失(CVaR)
操作员风险。监管每年99%的最大损失1000 万，交易员设定自己交易每天99.9%最大损 失1000万，但有0.9%的损失时5000万
VaR是刻画极端损失，预期损失是在损失超 过VaR的条件下损失的期望值。CVaR
CV E a [L R |L Va ] R
11
两笔贷款叠加损失分布
L
200
1100
2000
Pr
0.9604
0.0392 0.0004
参考书上计算，在2.5%的小概率事件发生条件下，尾条件期望是 1114.4万 源自文库114.4< 820+820
尾条件期望满足次可加性
21
【例8-6】假设两笔1年期贷款A和B，面值均为1000万， 每笔贷款违约率均为1.25%，两笔贷款要么都不违约，那 么每笔贷款可各盈利20万；要么一个违约另一个不违约， 违约的损失额服从[0,1000]上均匀分布。求1年展望期 99%置信区间的VaR 【解】A的VaR: 违约损失额超过200万的概率是 1%=1.25%×80%，故VaR=200万 B的VaR也是200万。 A+B的VaR：两笔贷款至少有一笔贷款违约的概率是2.5%。 损失大于600万的概率是2.5%×40%=1%，但是同时会有 一笔盈利20万。故组合的VaR=580万
第i个成分 V的 a： RCi
(Va)R
xi
xi
N
欧拉定V 理a： R
i
(Va)R xi xi
N i
Ci
成分V的aR即,Ci
教材有误
34
8.8 回顾测试
35
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37
38
39
40
41
42
43
44
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单个资产VaR的计算
设{Pt}为某金融工具的价格的时间序列，Rt 为收益，在金融市场价格的随机游动假说
24
25
26
27
8.6.2 自相关性的影响
记第i天投资组合价值变化量为Pi ,它满足一阶自相关假定：
Pi与Pi1相关系数是，Var(Pi ) 2, i 1,2,...,T.可知： Var(Pi Pi1) 2 2 2 2 2(1 ) 2
T
同样，可以求 Pi的方差计算公式（题8.11）： i 1
下，Pt 服从独立的正态分布。
由以下收益（Rt）的定义Rt=（Pt- Pt-1）/ Pt-1可知，当Pt-1已知时，收益序列{ Rt }服从 独立的正态分布，设
Rt ~ 令Zt
=N(（Rtu–, u） )/
t
,则有Zt服从标准正态分布，
Zt ~ N （0，1）
由对风险值的定 义，得到下式
P[R< R*]= P[Zt < (R* - u )/ t]=c
两笔贷款叠加损失分布
L
200
1100
2000
Pr
0.9604
0.0392 0.0004
叠加贷款97.5%置信区间单笔单款VaR=1100
VaR(A+B)=1100
VaR违反次可加性
20
【例8-7】假设两笔独立贷款A与B，损失分布如下
独立贷款损失分布
L
100
1000
Pr
0.98
0.02
1年展望期97.5%置信区间单笔单款CVaR=820 在2.5%的小概率事件发生的条件下，80%的可能是发生了1000元损 失，20%的可能是发生了100元损失，故有条件期望为820万
VaRT
VaR1 T •VaR(1)
28
29
30
8.6.3-置信水平
置信水平。对置信水平的选择在一定程度上反映了对风险
的偏好。选择较大的置信水平意味着其对风险比较厌恶
Morgan与美洲银行选择95％ 花旗银行选择95.4％ 大通曼哈顿银行选择97.5％ 美国信孚银行选择99％
作为金融监管部门的巴塞尔委员会则要求采用99％的置信 水平，这与其稳健的风格是一致的。
比如AA级要求破产概率为0.03%以下，则置信度 要在99.97%以上
31
8.6.3 置信区间
假设L 损 ~N 失 (0,2)则V ：aXR N（ -1X） .....8..1.)( VaXR * N（ -1 X*） VaXR * VaXR N N （ （ --11X X*） ） ....8..4 ()
金融风险管理
第八章 风险价值度 （VaR-在险价值）
本章主要内容
VaR 定义 VaR测算
正态分布下VaR的测算—-方差-协方差方法 历史模拟方法 Monte Carlo模拟方法
VaR优缺点 VaR的应用举例
2
VaR
Delta，Gamma，Vega等只度量单一风险 （利率、基础资产价格、股指等）造成的风险暴露 金融机构的交易组合往往取决于成百上千的市场变量 希腊值并不能体现整体风险 现实需要新的风险度量工具-VaR
2[T 2(T 1) 2(T 2) 2 2(T 3) 3 ... 2T1] T 2....(8 3)
(1) Pr(Pi
VaR1)
X%
Pr
Pi 0
VaR1
X%
T
(2) Pr
T
Pi
i 1
VaRT
X % Pr
Pi
i 1
VaRT
X%
VaR1
VaR(T )
xi
边际VaR取值可正可负，大小与β系数有关
33
【问题】一个出 新现 的或 交者 易现存出 交对 易投 的资 退V组 a的 R合影响如何
【方1】 法计算新组合布 的， 损求 失解 分V新 aR-的 --工作量大
【方2法 】递V增a： R 一个新的交者 易现 出存 现交 或易的资 退组 出V合 对 a的 R投影
580>200+200 即 VaR(A+B)>VaR(A)+VaR(B)
22
23
【注】 X为 若 置 记 信度， L服资 N 从( 产 02)， , 损那 失么 Pr (L Va RX) PrL(-0Va-0 R)X NV (a)R X V aRN1(X) VaR N1(X)...【 ...8 .例 -.9.】
48
作业题
8.3, ,,,,, 8.4, ,,,,,,
8.5, 8.6, 8.9
49
5
8.1 VaR 的定义
某交易组合10天时损失不超过500万的概率是98% 某交易组合T天时损失不超过V元的概率为X% 某交易组合T天时收益大于-V元的概率为1-X%
6
7
VaR:正常市场条件和一定信置水平X下（90%~ 95%），
某资产组合在未来特的定一段时间内所面临最的大可能损失。
V(t): t时刻资产组合的价值
13
VaR是理想的风险度量工具么？
14
15
16
17
VaR是理想的风险度量工具么？
Artzner(1997)等提出了风险度量的一致性标准:单调性、次 可加性、正齐次性、平移不变性,
假定从实数集合映射ρ:V→R, 映射ρ如果对所有满足:
①单调性: X , Y ∈V , X ≤Y 则ρ( X) ≥ρ( Y) ;
9
【例8-3,8-4】假设某1年期项目损失分布如下，求1 年展望期， (1)99%置信信度下的VaR (2)99.5%置信信度下的VaR
L
-200 400
1000
Pr
0.98
0.15
0.5
(1 )P (L V) a 9 R % 9 Va 2 R ;0 V0 a 4R 00 (2 )P (L V) a 9 R .5 9 % V a [4 R ,0 10 );00 取 Va 7R 00
当损失分布时 非 (8， 正 1)和 态 (84分 )近布 似程度差
32
8.7 边际VaR、递增VaR和成分VaR
某资产组合有多个组成成分，第i个成分占 资产的比例为xi,即：L(x1,. xn), VaR(x1,. xn)。那 么 xi的变化对VaR有何影响？
.第 i个成分V 的 aR 边 (V际 a)R
L V(t t) V(t): t到t t时间段内资产损失额
P(LVaR) X
FL(VaR) P(L VaR) XVaR FL1(X) 【例8-1】假定某资产组合6在 个月时收益服N从(200,1000)的正态分布.
求6个月展望期在 99%置信水平下的 VaR
【解】P(LVaR) 99% P(L -VaR) 99%
P( L-200 -VaR-200) 99%
1000
1000
P( -VaR-200) 99% -VaR-200 2.33VaR 2130
1000
1000
8
P(LVaR) X FL(VaR) P(LVaR) XVaR FL1(X)
【例8- 2】假定某资产组合在个一 1年的项目 收益额服从 [5000,5000]上均匀分布 . 求1年展望期在 99%置信水平下V的aR 【解】P(LVaR) 99%P(L -VaR) 99% -VaR -4900VaR 4900
3
4
VaR
巴塞尔协议成员国用VaR计算不同地区银行资本 金（市场风险，信用风险，操作风险）。
VaR已成为目前金融界测量市场风险的主流方法。 由J.P.Morgan推出的用于计算 VaR的Risk Metrics风险控制模型更是被众多金融机构广泛采 用。目前国外一些大型金融机构已将其所持资产 的VaR风险值作为其定期公布的会计报表的一项 重要内容加以列示。
对给定的置信水平c，对应的标准正态分布的分位点为（由标准正态分布表查表可得），
所以有(R* - u )/ t = 简单推导可得
R*=u + a t
代入VaR的定义，得到一下结果：
Var（绝对）= -uW - a tW
Var（相对）= -a tW
正如上面讲到的，实践中经常用到相对Var，亦即采用Var（相对）= -a tW
12
8.4 VaR与资本金
巴塞尔协议规定
➢ 监管市场风险要求的资本金等于在10天展望期的99%VaR 的一定倍数
➢监管操作风险和信用风险要求的资本金等于在一年（225天） 展望期的99.9%VaR的一定倍数；
【例】假设某交易组合对应于1年展望期99.9%置信区间的 VaR为5000万元。意味着，从概率上讲，1年内损失超过 5000万的概率为0.1%---千年等一回
②平移不变性: X ∈V , K∈R 则ρ( X + K) =ρ( X) -K; ③同质性性: X ∈V , h > 0 , λX ∈V则 ρ( λ X) = λρ( X) ; ④次可加性: X , Y , X + Y ∈V 则 ρ( X + Y) ≤ρ( X) +ρ( Y) 称这 个映射ρ满足风险度量的“一致性”要求.
18
VaR与一致性
VaR不是一致度量标准；不满足次可加性 标准差和方差也不是一致度量标准 CVaR是一致风险度量标准。
19
【例8-5】假设两笔独立贷款A与B，损失分布如下
独立贷款损失分布
L
100
1000
Pr
0.98
0.02
1年展望期97.5%置信区间单笔单款VaR=100
VaR(A)+VaR(B)=200
VaR与预期损失(CVaR)
操作员风险。监管每年99%的最大损失1000 万，交易员设定自己交易每天99.9%最大损 失1000万，但有0.9%的损失时5000万
VaR是刻画极端损失，预期损失是在损失超 过VaR的条件下损失的期望值。CVaR
CV E a [L R |L Va ] R
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两笔贷款叠加损失分布
L
200
1100
2000
Pr
0.9604
0.0392 0.0004
参考书上计算，在2.5%的小概率事件发生条件下，尾条件期望是 1114.4万 源自文库114.4< 820+820
尾条件期望满足次可加性
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【例8-6】假设两笔1年期贷款A和B，面值均为1000万， 每笔贷款违约率均为1.25%，两笔贷款要么都不违约，那 么每笔贷款可各盈利20万；要么一个违约另一个不违约， 违约的损失额服从[0,1000]上均匀分布。求1年展望期 99%置信区间的VaR 【解】A的VaR: 违约损失额超过200万的概率是 1%=1.25%×80%，故VaR=200万 B的VaR也是200万。 A+B的VaR：两笔贷款至少有一笔贷款违约的概率是2.5%。 损失大于600万的概率是2.5%×40%=1%，但是同时会有 一笔盈利20万。故组合的VaR=580万
第i个成分 V的 a： RCi
(Va)R
xi
xi
N
欧拉定V 理a： R
i
(Va)R xi xi
N i
Ci
成分V的aR即,Ci
教材有误
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8.8 回顾测试
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单个资产VaR的计算
设{Pt}为某金融工具的价格的时间序列，Rt 为收益，在金融市场价格的随机游动假说
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8.6.2 自相关性的影响
记第i天投资组合价值变化量为Pi ,它满足一阶自相关假定：
Pi与Pi1相关系数是，Var(Pi ) 2, i 1,2,...,T.可知： Var(Pi Pi1) 2 2 2 2 2(1 ) 2
T
同样，可以求 Pi的方差计算公式（题8.11）： i 1
下，Pt 服从独立的正态分布。
由以下收益（Rt）的定义Rt=（Pt- Pt-1）/ Pt-1可知，当Pt-1已知时，收益序列{ Rt }服从 独立的正态分布，设
Rt ~ 令Zt
=N(（Rtu–, u） )/
t
,则有Zt服从标准正态分布，
Zt ~ N （0，1）
由对风险值的定 义，得到下式
P[R< R*]= P[Zt < (R* - u )/ t]=c
两笔贷款叠加损失分布
L
200
1100
2000
Pr
0.9604
0.0392 0.0004
叠加贷款97.5%置信区间单笔单款VaR=1100
VaR(A+B)=1100
VaR违反次可加性
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【例8-7】假设两笔独立贷款A与B，损失分布如下
独立贷款损失分布
L
100
1000
Pr
0.98
0.02
1年展望期97.5%置信区间单笔单款CVaR=820 在2.5%的小概率事件发生的条件下，80%的可能是发生了1000元损 失，20%的可能是发生了100元损失，故有条件期望为820万
VaRT
VaR1 T •VaR(1)
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8.6.3-置信水平
置信水平。对置信水平的选择在一定程度上反映了对风险
的偏好。选择较大的置信水平意味着其对风险比较厌恶
Morgan与美洲银行选择95％ 花旗银行选择95.4％ 大通曼哈顿银行选择97.5％ 美国信孚银行选择99％
作为金融监管部门的巴塞尔委员会则要求采用99％的置信 水平，这与其稳健的风格是一致的。
比如AA级要求破产概率为0.03%以下，则置信度 要在99.97%以上
31
8.6.3 置信区间
假设L 损 ~N 失 (0,2)则V ：aXR N（ -1X） .....8..1.)( VaXR * N（ -1 X*） VaXR * VaXR N N （ （ --11X X*） ） ....8..4 ()
金融风险管理
第八章 风险价值度 （VaR-在险价值）
本章主要内容
VaR 定义 VaR测算
正态分布下VaR的测算—-方差-协方差方法 历史模拟方法 Monte Carlo模拟方法
VaR优缺点 VaR的应用举例
2
VaR
Delta，Gamma，Vega等只度量单一风险 （利率、基础资产价格、股指等）造成的风险暴露 金融机构的交易组合往往取决于成百上千的市场变量 希腊值并不能体现整体风险 现实需要新的风险度量工具-VaR
2[T 2(T 1) 2(T 2) 2 2(T 3) 3 ... 2T1] T 2....(8 3)
(1) Pr(Pi
VaR1)
X%
Pr
Pi 0
VaR1
X%
T
(2) Pr
T
Pi
i 1
VaRT
X % Pr
Pi
i 1
VaRT
X%
VaR1
VaR(T )
xi
边际VaR取值可正可负，大小与β系数有关
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【问题】一个出 新现 的或 交者 易现存出 交对 易投 的资 退V组 a的 R合影响如何
【方1】 法计算新组合布 的， 损求 失解 分V新 aR-的 --工作量大
【方2法 】递V增a： R 一个新的交者 易现 出存 现交 或易的资 退组 出V合 对 a的 R投影
580>200+200 即 VaR(A+B)>VaR(A)+VaR(B)
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【注】 X为 若 置 记 信度， L服资 N 从( 产 02)， , 损那 失么 Pr (L Va RX) PrL(-0Va-0 R)X NV (a)R X V aRN1(X) VaR N1(X)...【 ...8 .例 -.9.】
48
作业题
8.3, ,,,,, 8.4, ,,,,,,
8.5, 8.6, 8.9
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8.1 VaR 的定义
某交易组合10天时损失不超过500万的概率是98% 某交易组合T天时损失不超过V元的概率为X% 某交易组合T天时收益大于-V元的概率为1-X%
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VaR:正常市场条件和一定信置水平X下（90%~ 95%），
某资产组合在未来特的定一段时间内所面临最的大可能损失。
V(t): t时刻资产组合的价值
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VaR是理想的风险度量工具么？
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VaR是理想的风险度量工具么？
Artzner(1997)等提出了风险度量的一致性标准:单调性、次 可加性、正齐次性、平移不变性,
假定从实数集合映射ρ:V→R, 映射ρ如果对所有满足:
①单调性: X , Y ∈V , X ≤Y 则ρ( X) ≥ρ( Y) ;
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【例8-3,8-4】假设某1年期项目损失分布如下，求1 年展望期， (1)99%置信信度下的VaR (2)99.5%置信信度下的VaR
L
-200 400
1000
Pr
0.98
0.15
0.5
(1 )P (L V) a 9 R % 9 Va 2 R ;0 V0 a 4R 00 (2 )P (L V) a 9 R .5 9 % V a [4 R ,0 10 );00 取 Va 7R 00
当损失分布时 非 (8， 正 1)和 态 (84分 )近布 似程度差
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8.7 边际VaR、递增VaR和成分VaR
某资产组合有多个组成成分，第i个成分占 资产的比例为xi,即：L(x1,. xn), VaR(x1,. xn)。那 么 xi的变化对VaR有何影响？
.第 i个成分V 的 aR 边 (V际 a)R
L V(t t) V(t): t到t t时间段内资产损失额
P(LVaR) X
FL(VaR) P(L VaR) XVaR FL1(X) 【例8-1】假定某资产组合6在 个月时收益服N从(200,1000)的正态分布.
求6个月展望期在 99%置信水平下的 VaR
【解】P(LVaR) 99% P(L -VaR) 99%
P( L-200 -VaR-200) 99%
1000
1000
P( -VaR-200) 99% -VaR-200 2.33VaR 2130
1000
1000
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P(LVaR) X FL(VaR) P(LVaR) XVaR FL1(X)
【例8- 2】假定某资产组合在个一 1年的项目 收益额服从 [5000,5000]上均匀分布 . 求1年展望期在 99%置信水平下V的aR 【解】P(LVaR) 99%P(L -VaR) 99% -VaR -4900VaR 4900
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VaR
巴塞尔协议成员国用VaR计算不同地区银行资本 金（市场风险，信用风险，操作风险）。
VaR已成为目前金融界测量市场风险的主流方法。 由J.P.Morgan推出的用于计算 VaR的Risk Metrics风险控制模型更是被众多金融机构广泛采 用。目前国外一些大型金融机构已将其所持资产 的VaR风险值作为其定期公布的会计报表的一项 重要内容加以列示。
对给定的置信水平c，对应的标准正态分布的分位点为（由标准正态分布表查表可得），
所以有(R* - u )/ t = 简单推导可得
R*=u + a t
代入VaR的定义，得到一下结果：
Var（绝对）= -uW - a tW
Var（相对）= -a tW
正如上面讲到的，实践中经常用到相对Var，亦即采用Var（相对）= -a tW
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8.4 VaR与资本金
巴塞尔协议规定
➢ 监管市场风险要求的资本金等于在10天展望期的99%VaR 的一定倍数
➢监管操作风险和信用风险要求的资本金等于在一年（225天） 展望期的99.9%VaR的一定倍数；
【例】假设某交易组合对应于1年展望期99.9%置信区间的 VaR为5000万元。意味着，从概率上讲，1年内损失超过 5000万的概率为0.1%---千年等一回
②平移不变性: X ∈V , K∈R 则ρ( X + K) =ρ( X) -K; ③同质性性: X ∈V , h > 0 , λX ∈V则 ρ( λ X) = λρ( X) ; ④次可加性: X , Y , X + Y ∈V 则 ρ( X + Y) ≤ρ( X) +ρ( Y) 称这 个映射ρ满足风险度量的“一致性”要求.
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VaR与一致性
VaR不是一致度量标准；不满足次可加性 标准差和方差也不是一致度量标准 CVaR是一致风险度量标准。
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【例8-5】假设两笔独立贷款A与B，损失分布如下
独立贷款损失分布
L
100
1000
Pr
0.98
0.02
1年展望期97.5%置信区间单笔单款VaR=100
VaR(A)+VaR(B)=200