线性代数第二节
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amn要xn条件0是系数矩阵之秩r(A)小于未知数个数n ,且在
能得出其任一解的通解式中含有n-r(A)个任意常数.
证明 对m证 明n的系对数m 矩 n阵的A系,可数建矩立阵标A准,可形建分立解标准
A=P从N定Q,理其看A中=出PP,NQ，Q分齐,其别次中是方Pm程,Q阶组分、若别n有阶是非的m阶平满、凡秩n解矩阶，阵的则,满于必秩是矩阵 方有程无组限A多x=个方0,解程可.组写A成x=P0N,Q可x写=0成,若PN记QQx=x=0 ,y若(y记是与Qxx=为y(y是
之具有相同系数矩阵的方程组 Ax b 或者
Ax 0 为其对应齐次方程组(也称为导出组).
与齐次方程组不同，非齐次方程组不一定有解，
而有如下重要的相容性定理.
定理4 对非齐次方程组 Ax b 的相容性，有
如下结论： (1) 当 r( A) r( A) 时，方程组相容，即有解.
其实，若 r(A) r(A) n, 则方程组 Ax b 有惟
带有n-r(A)个任意常数.
(2) 当 r(A) r( A) 时，方程组不相容，即无解.
证明 对 A证施明以对将AA变施成以矩将阵AN变1的成行矩初阵等N1变的换行，初等
有
有
A ~ [N1 ]A ~ [N1 ]
例5 对方程组
kx1 x2 x3 5
3x1 2x2 kx34 18 5k
第二节 线性代数方程组的解 线性代数方程组的解
一个存在解的线性代数方程组称为是相容的, 否则就是不相容或矛盾方程组. 利用矩阵的概念可 理性地描述一般齐次[线性]方程组的通解以及非其 次方程组相容的条件及相容显性代数方程组解的结 构.
4.2.1 齐次方程组
m n的齐次线性代数方程组为
CH4 H2 CO CO2 H2O C C2H6
1 0 1 1 0 1 2 C
B
37
4
2
0
0
2
0
6 H
0 0 1 2 1 0 0 O
现讨论经过一段时间反应后，怎样通过化学分析
及数学计算的方法确定系数内各组分的含量.
解 一般地讲，系统内各组分（分子）物质的量
ni与各个原子物质的量bj有关系
n1 b1
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1 a22 x2 a2n xn 0
am1x1 am2 x2 amn xn 0
(4-4)
或写成矩阵-向量形式
Ax 0
(4-4)
其中m n矩阵A=[aij]为方程组的系数矩阵, xT=[x1 , x2 … xn]是n维未知数向量,而m维零向量0是取自由
一一对应的一n一维对向应量的,因n维有向x=量Q-,1y因)则有可x=将Q-A1yx)=则0写可成 将 Ax= PNy=0,即NPyN=y0=. 0,即Ny=0.
必要性 用必反要证性法,用设反r(A证)=法N,设且rA(xA=)=0有N,平且凡Ax解=0. 有
例4 求下列齐次方程组的通解：
x1 2x2 4x3 x4 0 (1)2x1 4x2 8x3 2x4 0
x2 2x3
2
问k取何值时方程组有惟一解，无限多解或无解.
在无限多解时求出通解.
解一 利用行初等变换，可把讨论相容性与 求解解过二程结根合据进方行程：组是的特点，常可利用行列式
进行讨k 论1. 1 5
k 0 1
3
A (13)
按2 克k拉默18法 5则k ，系r31~(数1) 行3列0式不k 为 4零时14方 程5k
一般的m n非齐次线性代数方程组的矩阵-向
量形式为
Ax b
(4-5)
称m n矩阵A=[aij]为其系数矩阵，分块形式的
m (n+1)矩阵 A [ Ab] 为方程组的增广矩阵，
x=[x1 x2 … xn]T是n维的未知数向量, b=[b1 b2 … bm]T是m维自由项(或右端项)非零向量. 称与
3x1 6x2 2x3
0
x1 2x2 3x3 0
(2)32xx11
6x2 5x2
10x3 0 7x3 0
x1 2x2 4x3 0
x1 2x2 3x3 x4 0 (3)2x1x144x2x246x3x334x4x400
x1 2x2 3x3 4x4 0
解
4.2.2 非齐次方程组
一确定的解. 若r(A) r(A) n, 方程组有无限多个解，其通解
定理4 对非齐次方程组 Ax b 的相容性，有
如下结论：
(1) 当 r( A) r( A) 时，方程组相容，即有解.
其实，若 r(A) r(A) n, 则方程组 Ax b 有惟
一确定的解.
若r(A) r(A) n, 方程组有无限多个解，其通解
a1n xn 0 a项2n(或xn右端0项)向量.
因为齐次方程组 (4.4)
a即m零n x解n 0
x0
有个明显的平凡解，
所以总是相容的. 于是,对齐次方程组,只需研究其
在何种情况下有非平凡解,以及在有非零解的条件
下,怎样表示出其所有的解.
a2n xn 0 定理3 方程组(4.4) 存在非平凡解的充分必
例6 试解线性代数方程组
x1 x2 3x3 x4 1 3x1 x2 3x3 4x4 4 x1 5x2 9x3 8x4 0
解
下面用一个示例来帮助理解线性代数方程组具 有无限多解的实际意义.
例7* (复杂化学反应的计量)设在一个化学反应 系统内有N种组分，相互间发生着许多的化学反应. 若这些组分(分子)物质的量分别为n1,n2,…, nN, 又若总共涉及L种原子，物质的量各为b1, b2,…, bL, 于是可写出此系统的L N原子矩阵B,如对第2章例3 所示的系统，原子矩阵为
B
LN
n2
b2
能得出其任一解的通解式中含有n-r(A)个任意常数.
证明 对m证 明n的系对数m 矩 n阵的A系,可数建矩立阵标A准,可形建分立解标准
A=P从N定Q,理其看A中=出PP,NQ，Q分齐,其别次中是方Pm程,Q阶组分、若别n有阶是非的m阶平满、凡秩n解矩阶，阵的则,满于必秩是矩阵 方有程无组限A多x=个方0,解程可.组写A成x=P0N,Q可x写=0成,若PN记QQx=x=0 ,y若(y记是与Qxx=为y(y是
之具有相同系数矩阵的方程组 Ax b 或者
Ax 0 为其对应齐次方程组(也称为导出组).
与齐次方程组不同，非齐次方程组不一定有解，
而有如下重要的相容性定理.
定理4 对非齐次方程组 Ax b 的相容性，有
如下结论： (1) 当 r( A) r( A) 时，方程组相容，即有解.
其实，若 r(A) r(A) n, 则方程组 Ax b 有惟
带有n-r(A)个任意常数.
(2) 当 r(A) r( A) 时，方程组不相容，即无解.
证明 对 A证施明以对将AA变施成以矩将阵AN变1的成行矩初阵等N1变的换行，初等
有
有
A ~ [N1 ]A ~ [N1 ]
例5 对方程组
kx1 x2 x3 5
3x1 2x2 kx34 18 5k
第二节 线性代数方程组的解 线性代数方程组的解
一个存在解的线性代数方程组称为是相容的, 否则就是不相容或矛盾方程组. 利用矩阵的概念可 理性地描述一般齐次[线性]方程组的通解以及非其 次方程组相容的条件及相容显性代数方程组解的结 构.
4.2.1 齐次方程组
m n的齐次线性代数方程组为
CH4 H2 CO CO2 H2O C C2H6
1 0 1 1 0 1 2 C
B
37
4
2
0
0
2
0
6 H
0 0 1 2 1 0 0 O
现讨论经过一段时间反应后，怎样通过化学分析
及数学计算的方法确定系数内各组分的含量.
解 一般地讲，系统内各组分（分子）物质的量
ni与各个原子物质的量bj有关系
n1 b1
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1 a22 x2 a2n xn 0
am1x1 am2 x2 amn xn 0
(4-4)
或写成矩阵-向量形式
Ax 0
(4-4)
其中m n矩阵A=[aij]为方程组的系数矩阵, xT=[x1 , x2 … xn]是n维未知数向量,而m维零向量0是取自由
一一对应的一n一维对向应量的,因n维有向x=量Q-,1y因)则有可x=将Q-A1yx)=则0写可成 将 Ax= PNy=0,即NPyN=y0=. 0,即Ny=0.
必要性 用必反要证性法,用设反r(A证)=法N,设且rA(xA=)=0有N,平且凡Ax解=0. 有
例4 求下列齐次方程组的通解：
x1 2x2 4x3 x4 0 (1)2x1 4x2 8x3 2x4 0
x2 2x3
2
问k取何值时方程组有惟一解，无限多解或无解.
在无限多解时求出通解.
解一 利用行初等变换，可把讨论相容性与 求解解过二程结根合据进方行程：组是的特点，常可利用行列式
进行讨k 论1. 1 5
k 0 1
3
A (13)
按2 克k拉默18法 5则k ，系r31~(数1) 行3列0式不k 为 4零时14方 程5k
一般的m n非齐次线性代数方程组的矩阵-向
量形式为
Ax b
(4-5)
称m n矩阵A=[aij]为其系数矩阵，分块形式的
m (n+1)矩阵 A [ Ab] 为方程组的增广矩阵，
x=[x1 x2 … xn]T是n维的未知数向量, b=[b1 b2 … bm]T是m维自由项(或右端项)非零向量. 称与
3x1 6x2 2x3
0
x1 2x2 3x3 0
(2)32xx11
6x2 5x2
10x3 0 7x3 0
x1 2x2 4x3 0
x1 2x2 3x3 x4 0 (3)2x1x144x2x246x3x334x4x400
x1 2x2 3x3 4x4 0
解
4.2.2 非齐次方程组
一确定的解. 若r(A) r(A) n, 方程组有无限多个解，其通解
定理4 对非齐次方程组 Ax b 的相容性，有
如下结论：
(1) 当 r( A) r( A) 时，方程组相容，即有解.
其实，若 r(A) r(A) n, 则方程组 Ax b 有惟
一确定的解.
若r(A) r(A) n, 方程组有无限多个解，其通解
a1n xn 0 a项2n(或xn右端0项)向量.
因为齐次方程组 (4.4)
a即m零n x解n 0
x0
有个明显的平凡解，
所以总是相容的. 于是,对齐次方程组,只需研究其
在何种情况下有非平凡解,以及在有非零解的条件
下,怎样表示出其所有的解.
a2n xn 0 定理3 方程组(4.4) 存在非平凡解的充分必
例6 试解线性代数方程组
x1 x2 3x3 x4 1 3x1 x2 3x3 4x4 4 x1 5x2 9x3 8x4 0
解
下面用一个示例来帮助理解线性代数方程组具 有无限多解的实际意义.
例7* (复杂化学反应的计量)设在一个化学反应 系统内有N种组分，相互间发生着许多的化学反应. 若这些组分(分子)物质的量分别为n1,n2,…, nN, 又若总共涉及L种原子，物质的量各为b1, b2,…, bL, 于是可写出此系统的L N原子矩阵B,如对第2章例3 所示的系统，原子矩阵为
B
LN
n2
b2