实际问题与反比例函数
实际问题与反比例函数
实际问题与反比例函数
前面我们结合实际问题讨 论了反比例函数,看到了反比例 论了反比例函数 看到了反比例 函数在分析和解决实际问题中 所起的作用.下面我们进一步探 所起的作用 下面我们进一步探 讨如何利用反比例函数解决实 际问题. 际问题
市煤气公司要在地下修建一个容积为10 例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的 圆柱形煤气储存室。 圆柱形煤气储存室。 单位： （1）储存室的底面积s（单位：m2）与其深度d(单 有怎样的函数关系？ 位: m）有怎样的函数关系？ 定为500 （2）公司决定把储存室的底面积s 定为500 m2 ， 施工队施工时应该向下掘进多深？ 施工队施工时应该向下掘进多深？ （3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下15 m 当施工队按（ 中的计划掘进到地下15 碰上了坚硬的岩石。为了节约建设资金， 时,碰上了坚硬的岩石。为了节约建设资金，公司 临时改变计划，把储存室的深改为15m 相应的， 15m，相应的 临时改变计划，把储存室的深改为15m 相应的， 储存室的底面积应改为多少才能满足需要？（ ？（精 储存室的底面积应改为多少才能满足需要？（精 确到0.01 m2 ） 确到0.01
U
码头工人以每天30 30吨的速度往一艘轮船 例2 码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船 上装载货物，装载完毕恰好用了8天时间。 上装载货物，装载完毕恰好用了8天时间。 (1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v (1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v 轮船到达目的地后开始卸货 单位： 与卸货时间t 单位： （单位：吨／天）与卸货时间t（单位：天） 之间有怎样的函数关系？ 之间有怎样的函数关系？
(2)由于遇到紧急情况, (2)由于遇到紧急情况,船上的货物必须在 由于遇到紧急情况 不超过5日内卸载完毕, 不超过5日内卸载完毕,那么平均每天至少 要卸多少吨货物? 要卸多少吨货物?
实际问题与反比例函数_精品课件
把y＝
6
000 x
代入，得(x－120)·6
000 x
＝3
000，解得x＝240；
经检验x＝240是原方程的根．
答：若商场计划每天的销售利润为3 000元，则其单价应定为240元．
例2 一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足 函数关系t＝ k ，其图象为如图所示的一段曲线且端点坐标分别为A(40，
d
2.
古埃及文明在（公元前3100年）左右初步实现统一。在法老（图特摩斯三世）统治时期，古埃及帝国成为强大的军事帝
解: 1 0 国10。. 但是古埃(及影1帝响)根国：的一据版战图给圆（各柱只国涵人体盖民亚带的非来体，了没巨积有大欧的公洲灾式领难地，,）造我。成了们巨有大的S物×质损d失=和人员4 伤亡；使帝国主义的力量对比发生了变化，削
句意2分）
一：探寻新航路的热潮
【归纳总结】
活动3 例题与练习
例1 某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运 动鞋的销售工作．已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售 价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：
售价x(元/双) 销售量y(双)
第1天 150 40
第2天 200 30
从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸完，则平均每天卸载48吨.
若货物在不超过5天内卸完,则平均每天至少要卸货48吨.
提出问题：
第18课(东1)晋货南朝物时总期江量南地(工区的作开发总量)是多少？
7.
三角贸易
②④如奥果 斯(b曼2保土)持工耳静其作止阻状碍总态了或量东向西、左方运商工动道，作；那效么小率旗肯(工定向作右飘速动度；如)果与b向工右作运动时，但间速有度小怎于风样速的，那关么小系旗？向右飘动。
人教版九年级数学下册1实际问题与反比例函数
3. 已知一个三角形的面积为1，一边的长为x，这边上的高为y，则
y关于x的函数关系式为 y =
2
，(x>0) 该函数图象在第
Ι 象限。
4. 一辆汽车行驶在一段全程为100千米的高速公路上，那么这辆汽
车行完全程所需的时间t（小时）与它的速度v（千米/小时）之间
的关系式为 t =
100
。
小练习
知识点三：力学，电学等知识中存在着反比例函数。
实战演练
3. 用电器的输出功率P与通过的电流I、用电器的电阻R之间的
关系时 = 2 ，下面说法正确的是( B )
A. 若为定值，则与R成反比例。
B. 若为定值，则2 与R成反比例。
C. 若为定值，则与R成正比例。
D. 若为定值，则2 与R成正比例。
小练习
实战演练
4. 一个物体对桌面的压力为10 N，受力面积为S 2 ，压强为
其图象如图所示。
（1）写出p关于V 的函数解析式;
（2）当气球内气体的气压大于144千帕时,
气球就会爆炸。为了安全起见，气体的体积
应不小于多少立方米? (保留两个有效数字)
答案
解：（1）根据气体温度 = 气体的气压（p）×气体体积（ ）
= 60x1.6 = 96,即pV = 96,可求p关于V的函数解析式:
① 当电路中电压一定时，电流与电阻成反比例关系。
② 当做的功一定时，作用力与力的方向上通过的距离成反比例。
③ 气体质量一定时，密度与体积成反比例关系。
④ 当压力一定时，压强与受力面积成反比例关系。
实际问题
5. 气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体
的气压p(单位:千帕)是气体体积V(单位:立方米)的反比例函数,
实际问题与反比例函数
码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物, 把轮船装载完毕恰好用了8天时间. (1)轮船到达目的地后开始卸货,卸货速度v(单位:吨 /天)与卸货时间t(单位:天)之间有怎样的函数关系?
解：（1）设轮船上的货物总量为k吨，则根据 已知条件有 k=30×8=240， 240 所以v与t的函数式为 v (t>0) t (2)由于遇到紧急情况,船上的货物必须在不超过5天 内卸载完毕,那么平均每天至少要卸多少吨货物? 240 240 ，得 v 48 把t=5代入 v 5 t
4
,得
10 s
15
解得
4
S≈666.67
当储存室的深为15m时,储存室的底面积应改为 666.67
m
2
才能满足需要.
小结
1、通过本节课的学习,你有哪些收获? 2、利用反比例函数解决实际问题的关键: 建立反比例函数模型.
利用反比例函数解决实际问 题时，既要关注函数本身，又要 考虑实际意义。
作业：
240-30×2=180，此时有了新的比例系数180，即
180 v1 (t>0) t1
解得
v1 45
再使用上一小问的思路解得，平均每天至少要卸载45吨。
你能大致地画出这个函数的图像吗？
实际问题中的反比例函数的图象 与纯数学问题中反比例函数图象有何 异同？原因何在？
实际问题中的反比例函数图象一般只是一 个分支或一个分支的一部分，而纯数学问 题是双曲线，原因是它们的自变量取值发 生了变化。
练习2
市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱 形煤气储存室. (1)储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)有 怎样的函数关系?
解: (1)根据圆柱体的体积公式,
26.2 实际问题与反比例函数
26.2 实际问题与反比例函数《262 实际问题与反比例函数》在我们的日常生活和学习中，数学知识无处不在，反比例函数就是其中一个重要的数学工具。
它不仅存在于课本中的数学问题里，更与我们实际生活中的许多现象和问题紧密相连。
让我们先从一个简单的实际问题说起。
假设有一项工作，总量固定为 100 个单位。
如果一个人单独完成这项工作需要 20 小时，那么每小时他能完成的工作量就是5 个单位。
现在假设增加到5 个人一起工作，那么完成工作所需的时间就会相应减少。
因为工作总量不变，而参与工作的人数增加，所以每个人每小时完成的工作量与所需的时间之间就存在反比例关系。
再来看一个关于压力和受力面积的例子。
当我们在雪地上行走时，如果穿上面积较大的雪地鞋，对雪地产生的压强就会较小，我们就不容易陷入雪中。
这是因为压力（人的体重）是固定的，而受力面积越大，压强就越小。
这里的压强和受力面积之间就构成了反比例函数关系。
反比例函数在物理学中也有广泛的应用。
比如，在电学中，电压一定时，电流与电阻成反比例关系。
我们都知道，通过一个导体的电流强度等于电压除以电阻。
当电压不变时，如果电阻增大，电流就会减小；反之，如果电阻减小，电流就会增大。
在工程问题中，反比例函数同样发挥着重要作用。
例如，修建一条公路，工程总量是固定的。
如果每天投入的工人数量增加，那么完成工程所需的天数就会减少；反之，如果工人数量减少，完成工程所需的天数就会增加。
还有一个常见的例子是汽车行驶问题。
假设汽车油箱的油量是固定的，汽车的耗油量与行驶的里程之间就存在反比例关系。
当汽车的耗油量增大时，能够行驶的里程就会减少；而当汽车耗油量降低时，行驶的里程就会增加。
在经济学中，反比例函数也有体现。
比如成本和产量之间的关系。
在总成本一定的情况下，单位产品的成本与产量成反比例关系。
产量越高，单位产品分担的固定成本就越低；产量越低，单位产品分担的固定成本就越高。
反比例函数还可以用来解决资源分配问题。
实际问题与反比例函数-完整版PPT课件
实际问题与反比例函数
1、物理问题转化为与反比例函数有关的数学问题； 2、根据自变量的范围求相应的函数值的范围； 3、注意数形结合.
实际问题与反比例函数
在物理学中，有很多量之间的变化是反比例 函数的关系，因此，我们可以借助于反比例函数 的图象和性质解决一些物理学中的问数
古希腊科学家阿基米德曾 说过：“给我一个支点， 我可以把地球撬动。” 你认为这可能吗？为什么？
阻力
动力
阻力臂
动力臂
阻力×阻力臂=动力×动力臂
实际问题与反比例函数
实际 问题
建立数学模型 运用数学知识解决
反比例 函数
实际问题与反比例函数
小结 1、通过本节课的学习,你有哪些收获?
列实际问题的反比例函数解析式
（1）列实际问题中的函数关系式首先应分析清楚各变 量之间应满足的分式，即实际问题中的变量之间的关系 立反比例函数模型解决实际问题; （2）在实际问题中的函数关系式时，一定要在关系式 后面注明自变量的取值范围。
实际问题与反比例函数
实际问题与反比例函数知识点一：反比例函数的图象应用知识要点1.反比例函数图象的平移：（1（22.反比例函数图象的对称性：典例分析例1、反比例函数的图象经过点)32,3(-M ，将其图象向上平移2个单位后，得到的图象所对应的函数解析式为 _________ .例2、若将反比例函数xky =的图象绕原点O 逆时针旋转90︒后经过点A （-2，3），则反比例函数的解析式为__________.巩固练习：1.反比例函数的图象经过点)32,6(-M ，将其图象向右平移2个单位后，得到的图象所对应的函数解析式为______ .2.已知反比例函数xky =的图象经过点A （-2，3），将它绕原点O 逆时针旋转90︒后经过点A （-2，3），则旋转后的反比例函数的解析式为__________.知识点二：反比例函数的应用知识要点1.方式方法：把实际问题中寻找变量之间的关系，建立数学模型，运用数学知识解决实际问题。
2.常见题型：利用反比例函数求具体问题中的值，解决确定反比例函数中常数k 值的实际问题。
典例分析题型一：反比例函数的实际应用例1、京沈高速公路全长658km ，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t （h ）与行驶的平均速度v （k m /h ）之间的函数关系式为？例2、若r 为圆柱底面的半径，h 为圆柱的高．当圆柱的侧面积一定时，则h 与r 之间函数关系的图象大致是（ ）例3、小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v （米/分），所需时间为t （分）（1）则速度v 与时间t 之间有怎样的函数关系？（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？ （3）如果小林骑车的速度为300米/分，那他需要几分钟到达单位？巩固练习：1.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若2≤x ≤10，则y 与x 的函数图像是（ ）A ．B ．C ．D ．2.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P (kPa )是气体体积V (m 3)的反比例函数，其图象如图所示. 当气球内的气压大于140kPa 时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应（ ）(第2题图) A ．不大于3m 3524 B ．不小于3m 3524 C ．不大于3m 3724D ．不小于3m 37243．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面时，面条的总长度y （m ）是面条的横截面积S （mm 2）的反比例函数，其图象如图所示．⑴写出y （m ）与S （mm 2）的函数关系式；⑵求当面条的横截面积是1.6 mm 2时，面条的总长度是多少米？4.正在新建中的饿某会议厅的地面约5002m ，现要铺贴地板砖. （1）所需地板砖的块数n 与每块地板砖的面积S 有怎样的函数关系？（2）为了使地面装饰美观，决定使用蓝、白两种颜色的地板砖组合成蓝白相间的图案，每块地板砖的规格为80×802cm ，蓝、白两种地板砖数相等，则需这两种地板砖各多少块？5.一场暴雨过后，一洼地存雨水20m 3，如果将雨水全部排完需t 分钟，排水量为a m 3/min ，且排水时间为 5～10min（1）试写出t 与a 的函数关系式，并指出a 的取值范围； （2）当排水量为3m 3/min 时，排水的时间需要多长？ （3）当排水时间4.5分钟时，每分钟排水量多少？题型二：反比例函数与一次函数的交点问题例1、如图，一次函数y =kx +5(k 为常数，且k ≠0)的图象与反比例函数y =-8x的图象交于A (-2,b )，B 两点. (1)求一次函数的表达式；(2)若将直线AB 向下平移m (m >0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m 的值.【思路点拨】(1)将点A 坐标代入反比例函数解析式得b ，将A 坐标代入一次函数解析式得k ； (2)联立两函数解析式，得一元二次方程，有一个公共解则Δ=0，即可求出m 的值. 【解答】（1）∵A (-2,b )在y =-8x上， ∴-2b =-8，b =4.∴A (-2,4). ∵A (-2,4)在y =kx +5上， ∴k ＝12， ∴一次函数为y ＝12x ＋5. (2)向下平移m 个单位长度后，直线为y =12x +5-m ，由题意，得15.82y y x m x=-=+⎧⎪⎨⎪-⎪⎪⎩，整理得12x 2+(5-m )x +8=0， ∵平移后直线与双曲线有且只有一个公共点， ∴Δ=(5-m )2-4×12×8＝0，解得m ＝1或9. 方法归纳：解决一次函数和反比例函数的问题常常从反比例函数突破，求两函数的交点问题通常联立成方程组，转化为方程解决.若两函数图象有两个交点，则对应的一元二次方程的Δ>0;若两函数图象有1个交点，则对应的一元二次方程的Δ=0;若两函数图象没有交点，则对应的一元二次方程的Δ<0.巩固练习：1.如图，已知直线1y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与双曲线2ky x=（x <0）分别交于点C 、D ，且点C 的坐标为（-1，2）．⑴ 分别求出直线及双曲线的解析式； ⑵ 求出点D 的坐标；⑶ 利用图象直接写出当x 在什么范围内取值时，12y y >．2.反比例函数中y =5x-，当x <2时，y 的取值范围是 ；当y ≥-1时，x 的取值范围是 .3.一次函数y =kx+b 与反比例函数y =2x 的图象如图，则关于x 的方程kx+b =2x的解为( ) xyD CBAOA . x l =1，x 2=2B . x l =-2，x 2=-1C . x l =1，x 2=-2D . x l =2，x 2=-题型三：反比例函数求面积类问题例2、如图，点A 、B 在反比例函数ky x的图象上， A 、B 两点的横坐标分别为a 2a （a ＞0），AC ⊥x 轴于点C ，且ΔAOC 的面积为2． ⑴求该反比例函数的解析式；⑵若点（-a ，y 1），（-2a ，y 2）在该反比例函数的图象上，试比较y 1 与y 2的大小；⑶求ΔAOB 的面积．例3、如图，一次函数y =-x +2的图象与反比例函数y =-3x的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于D 点，且C 、D 两点关于y 轴对称. (1)求A 、B 两点的坐标； (2)求△ABC 的面积.巩固练习：1.如图，在△AOB 中，∠ABO ＝90°，OB ＝4，AB ＝8，反比例函数y =kx在第一象限内的图象分别交OA ，AB 于点C 和点D ，且△BOD 的面积S △BOD ＝4. (1)求反比例函数解析式； (2)求点C 的坐标.2.如图，在直角坐标系xOy 中，直线y =mx 与双曲线y =nx相交于A (-1，a )、B 两点，BC ⊥x 轴，垂足为C ，△AOC 的面积是1. (1)求m 、n 的值； (2)求直线AC 的解析式.课后作业1．如图1，一次函数y x b =+与反比例函数ky x=的图象相交于A 、B 两点，若已知一个交点为A （2，1），则另一个交点B 的坐标为（ ）图1A . （2，－1）B .（－2，－1）C . （－1，－2）D . （1，2）2．点P 为反比例函数图象上一点，如图2，若阴影部分的面积是12个（平方单位），则解析式为 __________3.如图3，利用函数图象解不等式xx 1<，则不等式的解集为______________4．不解方程，利用函数的图象判断方程02=-x x的解的个数为_____________ 5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A (1，0)，与反比例函数y ＝mx(x ＞0)的图象相交于点B (2，1). (1)求m 的值和一次函数的解析式；(2)结合图象直接写出：当x >0时，不等式kx +b >mx的解集.6.如图，一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象过点P (-32，0)，且与反比例函数y =m x(m ≠0)的图象相交于点A (-2,1)和点B . (1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求点B 的坐标，并根据图象回答：当x 在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？7.已知一次函数y =kx -6的图象与反比例函数y =-2kx的图象交于A 、B 两点，点A 的横坐标为2. (1)求k 的值和点A 的坐标； (2)判断点B 的象限，并说明理由.。
实际问题与反比例函数
17．2实际问题与反比例函数（1）一、教学目标1．利用反比例函数的知识分析、解决实际问题2．渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力二、重点、难点1．重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题2．难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式3．难点的突破方法：用函数观点解实际问题，一要搞清题目中的基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题，看看各变量间应满足什么样的关系式（包括已学过的基本公式），这一步很重要；二是要分清自变量和函数，以便写出正确的函数关系式，并注意自变量的取值范围；三要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质，特别是图象，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题。
教学中要让学生领会这一解决实际问题的基本思路。
三、例题的意图分析教材第57页的例1，数量关系比较简单，学生根据基本公式很容易写出函数关系式，此题实际上是利用了反比例函数的定义，同时也是要让学生学会分析问题的方法。
教材第58页的例2是一道利用反比例函数的定义和性质来解决的实际问题，此题的实际背景较例1稍复杂些，目的是为了提高学生将实际问题抽象成数学问题的能力，掌握用函数观点去分析和解决问题的思路。
补充例题一是为了巩固反比例函数的有关知识，二是为了提高学生从图象中读取信息的能力，掌握数形结合的思想方法，以便更好地解决实际问题四、课堂引入寒假到了，小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰，突然发现前面有一处冰出现了裂痕，小明立即告诉同伴分散趴在冰面上，匍匐离开了危险区。
你能解释一下小明这样做的道理吗？五、例习题分析例1．见教材第57页分析：（1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，容积为104，底面积是S，深度为d，满足基本公式：圆柱的体积＝底面积×高，由题意知S是函数，d是自变量，改写后所得的函数关系式是反比例函数的形式，（2）问实际上是已知函数S的值，求自变量d的取值，（3）问则是与（2）相反例2．见教材第58页分析：此题类似应用题中的"工程问题"，关系式为工作总量＝工作速度×工作时间，由于题目中货物总量是不变的，两个变量分别是速度v和时间t，因此具有反比关系，（2）问涉及了反比例函数的增减性，即当自变量t取最大值时，函数值v取最小值是多少？例1．（补充）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气体体积V（立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种压强单位）（1）写出这个函数的解析式；（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？分析：题中已知变量P与V是反比例函数关系，并且图象经过点A，利用待定系数法可以求出P与V的解析式，得，（3）问中当P大于144千帕时，气球会爆炸，即当P不超过144千帕时，是安全范围。
初中数学 反比例函数在实际问题中的应用有哪些
初中数学反比例函数在实际问题中的应用有哪些反比例函数在实际问题中有许多应用，下面列举一些常见的应用场景：1. 速度和时间的关系：在物理学和运动学中，速度和时间之间的关系通常可以用反比例函数来描述。
例如，当一个物体以恒定速度运动时，它所用的时间与所走的距离成反比。
反比例函数可以帮助我们计算在给定速度下所需的时间，或者在给定时间内所能达到的距离。
2. 工作和时间的关系：在工程学和生产领域中，工作和时间之间的关系通常可以用反比例函数来描述。
例如，如果一台机器在单位时间内完成的工作量是恒定的，那么完成某项工作所需的时间与工作量成反比。
反比例函数可以帮助我们计算在给定工作量下所需的时间，或者在给定时间内可以完成的工作量。
3. 面积和边长的关系：在几何学中，许多图形的面积和边长之间存在反比例关系。
例如，正方形的面积与边长的平方成反比，圆的面积与半径的平方成反比。
反比例函数可以帮助我们计算在给定面积下的边长，或者在给定边长下的面积。
4. 电阻和电流的关系：在电学中，电阻和电流之间的关系通常可以用反比例函数来描述。
根据欧姆定律，电阻与电流成反比。
反比例函数可以帮助我们计算在给定电阻下的电流，或者在给定电流下的电阻。
5. 质量和密度的关系：在物理学中，物体的质量和密度之间通常存在反比例关系。
根据定义，密度等于物体的质量除以其体积。
因此，当质量增加时，密度会减小，反之亦然。
反比例函数可以帮助我们计算在给定密度下的质量，或者在给定质量下的密度。
6. 投资和收益的关系：在金融领域中，投资和收益之间通常存在反比例关系。
例如，当我们投资的金额增加时，相同的投资收益率下的收益会减少。
反比例函数可以帮助我们计算在给定投资金额下的收益，或者在给定收益率下的投资金额。
这些都是反比例函数在实际问题中的一些常见应用。
通过将实际问题转化为反比例函数的形式，我们可以更好地理解和解决这些问题，并在实际生活中应用数学知识。
2、实际问题与反比例函数汇总
反比例函数实际应用一、知识点详解在中考试题中对反比例函数应用的考查主要有两种形式，一是确定实际问题中的反比例函数解析式，这类问题一般属于跨学科问题，除了要了解一些基本生活常识外还要掌握常见的物理学公式；二是判断实际问题中的函数图象，这类问题一般会综合考查一次函数和二次函数，正确解答这类问题的关键是确定函数关系式，同时注意自变量的取值范围。
二、知识点拨1、实际问题中常见的反比例关系现实世界中有许多含有反比例函数关系和性质的现象，常见的主要有以下几种：（1）面积S 一定，长方形的长a 与宽b 之间的反比例函数关系：a ＝Sb。
（2）体积V 一定，圆柱体的底面积S 与高d 之间的反比例函数关系：S ＝Vd ；（3）压力N 一定，压强P 与接触面积S 之间的反比例函数关系：P ＝NS；（4）质量m 一定，气体压强p 与气体体积V 之间的反比例函数关系：p ＝mV ；（5）功率P 一定，速度v 与所受阻力F 之间的反比例函数关系：v ＝PF；（6）路程S 一定，匀速行驶速度v 与时间t 之间的反比例函数关系：v ＝St ；（7）电压U 一定，电路中电流I 与电阻R 之间的反比例函数关系：I ＝UR；2、反比例函数模型的建立1. 条件：实际问题中的两个变量在变化过程中，它们的积为定值；2. 过程：（1）用两个不同字母表示变量； （2）确定k 的值； （3）建立函数关系式；（4）利用图象及其性质解决问题。
3、实际问题中反比例函数的特点1. 实际问题中反比例函数自变量的取值是有一定范围的，一般情况取正数，有时取正整数，所以在实际问题中，具体问题需要具体分析其自变量、函数的取值。
2. 实际问题中反比例函数的图象往往是在第一象限中的部分或其中的某一段，这与自变量的取值范围有关。
三、经典例题 能力提升类例1 填空题（1）在对物体做功一定的情况下，力F （牛）与此物体在力的方向上移动的距离s （米）成反比例函数关系，其图象如图所示，P （5，1）在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是__________米。
数学实际问题与反比例函数
渐近线
双曲线有两条渐近线，分别是x轴和y轴。当x趋 近于0或y趋近于0时，双曲线无限接近这两条渐 近线。
对称性
反比例函数的图像关于原点对称，即如果点(x, y) 在图像上，那么点(-x, -y)也在图像上。
实验改进
针对实验反思中发现的问题和不足， 提出改进措施和建议。
实验拓展
在反思和改进的基础上，进一步拓 展实验内容和范围，深化对反比例 函数的研究。
06
结论与展望
研究结论
反比例函数在实际问题中的应用广泛性
本研究通过多个实际案例的分析，证实了反比例函数在描述和解决现实生活中的多种问题 时的有效性，如物理、经济、工程等领域。
反比例函数的性质
当 $k > 0$ 时，反比例函数在第一、三象限内单调 递减；当 $k < 0$ 时，反比例函数在第二、四象限 内单调递增。
02
数学实际问题中的反比例关系
生活中的反比例关系
速度、时间和距离的关系
当距离一定时，速度和时间成反比。例如，从家到学校的距离是固定的，如果 走路速度越快，所需时间就越短。
培养学生的数学应用能力和问题解决能力
通过实际问题与反比例函数的结合，帮助学生理解数学在实际生 活中的应用，并提高其数学应用能力和问题解决能力。
反比例函数的概念
反比例函数的定义
形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常数，$k neq 0$）的 函数称为反比例函数。
反比例函数的图像
反比例函数的图像是一条双曲线，位于第一、三象 限或第二、四象限。
函数的连续性
反比例函数在其定义域内是连 续的，但在x=0处没有定义， 因此不连续。
人教版九年级数学下册 26.2 实际问题与反比例函数【名校课件+集体备课】
队施工时应该向下掘进多深?实际上是已知什么
条件，求什么？如何解答？
解: 把S=500代入
解得
d=20
s=
104 d
,得
500 =
104 d
如果把储存室的底面积定为500 ²,施工时应向
地下掘进20m深.
新课进行时
(3)求当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时,碰上了坚硬
的岩石.为了节约建设资金,储存室的底面积应改为多少才能满
新课进行时
核心知识点二 用反比例函数解决工程问题
例2：码头工人以每天30吨的速度往 一艘轮船上装载货物,把轮船装载完 毕恰好用了8天时间. (1)轮船到达目的地后开始卸货,卸货 速度v(单位:吨/天)与卸货时间t(单位: 天)之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况,船上的货物必 须在不超过5日内卸载完毕,那么平均 每天至少要卸多少吨货物?
新课进行时
解：（1）根据电学知识，当 U=220 时，得 P 2202 R
即输出功率 P 是电阻 R 的反比例函数，函数解析式
为 P 2202
①
R
（2）根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越
小．把电阻的最小值 R=110 代入 ① 式，得到功率的最大
值
P 2202 44（0 W）；
110
解：（1）药物释放过程：y 2（t 0 t 2 ），
药物释放完毕后：y
2（t
2
3 ）.
3
3t 3
随堂演练
（2）据测定，当空气中每立方米 的含药量降低到 0.25 毫克以下时， 学生方可进入教室，那么从药物 释放开始，至少需要经过多少小 时后，学生才能进入教室？
解：（2）当 y = 0.25 毫克时，由 y 2
实际问题与反比例函数课件
说一说
我的收获我来说反比例函数解决实际问题，确定K的值非常重要, 若k未知时应首先由已知条件求出k值.
2. “最多” 、“至少”等问题的解决方法：可以用方程、 不等式、图像等方法予以解决.
做一做
（评测练习）
相信自己 ！
1.填空：A、B两城市相距720km，一列火车从A城去B城. (1)火车的速度v(km/h)和行驶的时间t(h)之间的函数关 720 v ＝ 系式是 . t (2)若到达目的地后，按原路返回，并要求在3h内回到 A城，则返回的速度应不低于 240 (km/h) . 2.选择：已知甲、乙两地相距s（单位：km）,汽车从甲地 匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t(单位：h)关于行驶速 度v（单位：km/h）的函数图像是（ C ）
26.2 实际问题与反比例函数 第二课时
学习目标：
学会把实际问题转化为数学问题，进一步理解反 比例函数关系式的构造，掌握用反比例函数解决实际 问题的方法.
重难点:
重点 ：用反比例函数解决实际问题. 难点 ：构建反比例函数的数学模型.
学一学
例1.码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载
货物,把轮船装载完毕恰好用了8天时间. (1)轮船到达目的地后开始卸货,卸货速度v(单位:吨 /天)与卸货时间t(单位:天)之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况,船上的货物必须在不超过5日 内卸载完毕,那么平均每天至少要卸多少吨货物?
试一试
（2014年云南省，第17题6分）将油箱注满k升油后，轿车科行 驶的总路程S（ 单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之 间是反比例函数关系S= （k是常数，k≠0）．已知某轿车油箱注 满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700 千米．
《实际问题与反比例函数》课件
解：当 V =60 时，p =100，则 pV=6
000，
A.气压 p 与体积 V 表达式为 p= ，则 k＞0，故不符
合题意；
6 000
B.当 p=70时，V=
＞80，故不符合题意；
70
C.当体积 V 变为原来的一半时，对应的气压 p 变为原
来的2倍，故不符合题意；
D.当60≤V≤100时，气压 p 随着体积 V 的增大而减小，
600
∴ F 关于l 的函数解析式为F= .
600
当 l=1.5 m 时，F= =400 (N).
1.5
600
对于函数 F=
，当 l =1.5 m时，F
=400 N，此时杠
杆平衡. 因此，撬动石头至少需要400 N的力.
例3 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力
臂分别为 1200 N 和 0.5 m.
对地面的压强减小，就不会陷入泥中了.
如果人和木板对湿地地面的压力合计为 600 N，那么，
(1)木板面积 S 与人和木板对地面的压强 p 有怎样的函
数关系？
600
解：(1) p 是 S 的反比例函数， =
，S＞0．
(2)当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？
解：(2)当 S=0.2
m2
时， =
(W 是常数).
(2)当压力 F 一定时，压强 p 与受力面积 S 成反比例，
即=
(F 是常数).
新知探究 跟踪训练
1.有一个可以改变体积的密闭容器内装有
一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积
时，气体的密度也会随之改变，密度 ρ (单
《实际问题与反比例函数》反比例函数PPT优秀课件(第1课时)
巩固练习
解：（1）煤的总量为：0.6×150=90（吨）， ∵x•y=90，∴ y 90 ． x
（2）函数的图象为：
（3）∵每天节约0.1吨煤，
∴每天的用煤量为0.6-0.1=0.5（吨）， ∴ y 90 90 180 （天），
x 0.5 ∴这批煤能维持180天．
探究新知
考点 3 利用反比例函数解答行程问题
v 7200 240 30
答：他骑车的平均速度是 240 米/分.
课堂检测
(3) 如果刘东骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少需要几分 钟到达单位?
解：把 v =300 代入函数解析式得：
7200 300 ， t
解得：t =24． 答：他至少需要 24 分钟到达单位．
课堂检测
拓广探索题
链接中考
解：（1）由题意可得：100=vt， 则 v 100 ；
t
（2）∵不超过5小时卸完船上的这批货物， ∴t≤5， 则 v 100 20 ，
5
答：平均每小时至少要卸货20吨．
课堂检测 基础巩固题
1．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速 度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的 速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为（ A ）
在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠
的工程，所需天数 y（天）与每天完成的工程量 x（ m/天）
的函数关系图象如图所示
y(天)
（1）请根据题意，求 y 与 x 之间的函数 50
表达式；
解：y 1200 .
x
O 24
x(m/天)
课堂检测
(2) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖 水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？
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§26.2.1实际问题与反比例函数（1）
备课时间：上课时间：
【教学目标】
知识与技能
1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题．
2．能综合利用几何、方程、反比例函数的知识解决一些实际问题．过程与方法
1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．
2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．
情感、态度与价值观
1．积极参与交流，并积极发表意见．
2．体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．
【教学重点】
掌握从实际问题中建构反比例函数模型
【教学难点】
从实际问题中寻找变量之间的关系．关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想．【教学过程】
一、创设问题情境，引入新课
活动1
问题：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全，迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务的情境．
(1)请你解释他们这样做的道理．
(2)当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化?
(3)如果人和木板对湿地的压力合计600N，那么?
①用含S的代数式表示p，P是S的反比例函数吗?为什么?
②当木板面积为0.2m2时，压强是多少?
③如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大?
④在直角坐标系中，作出相应的函数图象．
⑤请利用图象对(2)(3)作出直观解释，并与同伴交流．
学生分四个小组进行探讨、交流．领会实际问题的数学煮义，体会数与形的统一．
二、讲授新课
活动2
[例1]市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室．
(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系?
(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该
向下挖进多深?
(3)当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m 时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15m ，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)。
三、自主探究
活动3
练习：
如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种窖积为1升(1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗．
(1)漏斗口的面积S 与漏斗的深d 有怎样的函数关系?
(2)如果漏斗口的面积为100厘米2，则漏斗的深为多少?
解：(1)根据圆锥体的体积公式，我们可以设漏斗口的面积为Scm ，，漏斗的深为dcm ，则容积为1升＝l 立方分米＝1000立方厘米．
所以，13
S ·d ＝1000，
S ＝3000d
． (2)根据题意把S ＝100cm 2
代入S ＝3000d ,中，得 100＝3000d
． d ＝30(cm)．
所以如果漏斗口的面积为100cm 2，则漏斗的深为30cm ． 活动4
练习；
(1)已知某矩形的面积为20cm 2，写出其长y 与宽x 之间的函数表达式。
(2)当矩形的长为12cm 时，求宽为多少?当矩形的宽为4cm ，求其长为多少?
(3)如果要求矩形的长不小于8cm ，其宽至多要多少?
四、课堂小结
本节课你有哪些收获？
布置作业
C 组作业：
B 组作业：
A 组作业：
教学反思。