第五章 刚体的转动
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y P(t+dt) P(t) d
0
x
2. 角速度和角加速度 d d d 2 2
dt
dt dt
3. 线量与角量的关系
y
s r
a t r
v 方向垂直 于
v r a n r 2
和 r 组成的平面
0
v r △θ
△s
x
v r
转 轴
转动的轴线可变也可不 变，若轴线固定不动， 则称定轴转动。作定轴 转动的刚体上的各点， 在运动中都绕同一转轴 作不同半径的圆周运动。 而且，刚体上各点在相 同时间内转过相同的角 度。
刚体的一般运动 可以当作由一平动和一绕瞬时轴的转动组合而成
绕轴转动 车轮绕 轴转动
转轴平动
转轴 轮轴平动
平动和转动（转轴位置变）
M
T
T m mg v0
对物体有： 对滑轮有：
T - mg = m a
①
-TR = J = M R2 /2 ② ③ ④
角量和线量的关系： a = R 运动学关系： v = v0 + at = 0
设一刚体绕定轴转动，某质元受内力 f i内 和 外力 Fi外 作用
矢量式：
m i
ri
法向式：
切向式： 以 遍乘切向式两端： 转轴
将遍乘
后的切向式求和得：
m i
刚体所受的合外力矩
ri
定义：
M J
J mi ri
2
刚体的转动惯量 转动定律
其中M为刚体所受的合外力矩
说明：（1）M, J, 均对同一轴而言，且具有瞬时性； （2）改变刚体转动状态的是力矩； （3）转动惯量是刚体转动惯性的度量。
例2、质量为m、长度为l 的均质细直棍，对通过其中心O且 与棍斜交成θ 角的轴的转动惯量。 X
解：取OX轴如图所示，则棍上任
一段元dx的质量
至转轴的距离
， O’
O d
m l
r
转动惯量：
l
J
讨论：
①当
2 r dm
l2
2 ( x sin )
2
dx
1 12
ml 2 sin 2
10s时飞轮的角速度；(3)设飞轮半径为0.5m，求在t = 10s时飞轮边缘点的线速度和切向与法向加速度。 解 (1) 设0 为初角速度，由题意得
1800 0 2πn 2π rad/s 60π rad/s 60 0, t 20 s
飞轮均匀减速，为匀变速转动，角加速度为
F
问：一对作用力与反作用力的力 矩和等于多少？ 零 由此推知：质点组对任一轴的内力矩 之和为零。
F//
r
归结起来：
力
矩： M r F
M 有两个方向，可用正、负表示。 合力矩：
F F
三、定轴转动 转轴固定的转动
特点 刚体中任一点都在垂直于轴的平面内 作半径不同的圆周运动 在同一时间间隔内，各质点的角位移相等 同一时刻，各质点的角速度和角加速度相等
转轴 转轴
转轴
描述刚体定轴转动的物理量 1. 角位置，角位移 角位置 ：位矢与 ox 轴夹角。 角位移 d ：dt 时间内角位置增量。 运动方程： ( t ) 定轴转动只有两个转动方向。 规定： 位矢从o x 轴逆时针方向转动时角位 置 为正，反之，为负。
⊥
F ∥
o d P
M M1 M 2
M z F1 d 1 F2 d 2
而且有： 与转轴垂直但通过转轴的力不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。
二、转动定律 力矩是改变转动状态的原因，即产生角加速度的原因。 转动物体也有保持原有转动状态不变的惯性，在一定力 矩作用下，转动惯性大的物体获得的角加速度小，反之则大。 所以，物体的角加速度与力矩成正比，与转动惯性成反比。 若用J 表示转动惯性（J 称为转动惯量）则有：
对物体有： 对滑轮有： mg - T = m a TR = J = M R2 /2
h
角量和线量的关系： a = R 运动学关系： v2 = v02 + 2ah = 2ah
mg a m v
④解方程得：
在该题中如果在滑轮上加一恒力矩，使物 体以v0 的速度匀速上升，撤去力矩后，问过 多少时间后滑轮开始反向运动？ 解：分析：撤去力矩后，滑轮和物体受力 和前面完全一样 。因此对物体应用牛顿第二 定律和对滑轮应用转动定律。
二、刚体的平动和转动 平动 刚体上的任一直线，在各时刻的位置始终保持 彼止平行的运动，叫做平动。如车刀、活塞等。 其中各点的速度、加速度相等，运动轨迹相同 整个刚体可当作质点来处理，满足牛顿定律
转动 如果刚体上的任意一条直线的方位在运动中变了，则称刚
体作转动。
转 轴 转轴 放 大 转 轴
时，
即为棍对于过它的中心
且与棍垂直的转轴的转动惯量。 ②过棒一端 O’、仍与棍斜交成角 的轴的转动惯量J。
由平行轴定理 ：
O
O’ d
r
例3、求质量为m ，半径为R 的细圆环对过环心垂直于环面 的转轴的转动惯量。
解：圆环的线密度为 = m/2R 环上取小质元 dm= dl = R d
dl
对应关系 转轴
2 r dm
r
dm
3、J与下列因素有关： ①与刚体的总质量有关 ②与质量的分布有关
③与转轴的位置有关
4、转动惯量J 的计算方法：（可将质量元变为线元、面元、 体元积分求得） 例1、有一均匀细杆，杆长为 l ，质量为 m ，c 为杆的中点。 设转轴 oo’ 通过 c 点且与杆垂直，杆绕轴转动，求转动惯量 Jc=？ 0’ 解：取x 轴方向如图，杆的质量线密度 0 为 = m/l ，取小质元dm = dx ，则 C x 0
0 60π rad/s 3π rad/s2 t 20
从开始制动到停止转动飞轮的角位移 及转数N 分 1 2 别为 0 t at 600 π rad 2 600π N 300 2π 2π （2）t = 10s 时飞轮的角速度为
0 t 30π rad/s
J r dm
2
R
0
1 1 4 2 r dr R mR 2 2 2
3
即圆盘对其中心轴的转动惯量为 J =mR2/2 。所以定滑 轮绕中心轴的转动惯量为 J = mR2/2 ，滑轮绕其过边缘一 点的平行轴的转动惯量为 J = mR2/2 + mR2 。（平行轴定 理）转动惯量的计算只是对规则物体而言，对不规则的物 体的转动惯量只能用实验的方法得出。
例6、一质量为M 、半径为R 的定滑轮上面绕有细绳，绳的一 端固定在滑轮上（略去轮轴处的摩檫，绳不可伸长不计质 量），另一端挂有一质量为m 的物体而下垂。求物体m 由静 止下落h 高度时的速度和此时轮的角速度。
解：①对象：M 刚体 m 质点 M
T1 T2 m
②受力分析：如图所示
③依牛顿第二定律与转动定律列 方程（注意 T1 = T2 = T ）
是定值，刚体的运动称为： 匀角速转动 若 是定值，刚体的运动称作：匀变速转动（或
若
匀加速转动) 刚体的定轴转动的公式与一维直线运动的公式 相似：
例题5-1 飞轮转速为1800r/min，因制动而均匀 地减速，经20s停止转动。(1)求角加速度和从制动开 始到停止转动飞轮转过的转数；(2)求制动开始后t =
第五章
刚体的转动
§5-1 刚体的平动、转动和定轴转动 §5-2 力矩 转动定律 转动惯量
§5-3 刚体定轴转动动能 力矩的功
§5-4 绕定轴转动的刚体的角动量 和角动量守恒定律
§5-1 刚体的平动、转动和定轴转动
一、刚体（理想模型） 在任何外力作用下，形状大小均不发生改变的物 体称为刚体。或者说运动中物体上任二点的间距不变。 说明： 1. 理想模型； 2. 在外力作用下，任意两点间均不发生相对位移； 3. 内力无穷大的特殊质点系。
d 轴
J R dm
2
2
0
m R d R 2 mR 2 2R
3 3
例4、求质量为m ，半径为R 的薄圆盘对过圆心垂直于盘面 的转轴的转动惯量。 dr 2 解：圆盘的面密度为 = m/R 取一半径为 r ，宽为 dr 的圆环为质元 r dm = 2r dr 轴
牛顿第二定律与转动定律的对应关系 物理量：质点 刚体 规 律：质点 刚体 m J
M
牛顿第二定律 转动定律
例：问：力矩 M 大，是否 大？
（M 大， 大，
不一定
的变化大。 可为0）
大，是否 M 大 ？
不一定
（ 大，并不代表它的变化大，有可能它的 M = 0，匀角速转动。） 对转动定律 M = J 应注意： ① 式中各量是对于同一轴而言，且 与M 的符号（转向） 相同。 ②该定律不但对固定轴（转轴）成立，对质心轴也成立。 ③该定律是力矩的瞬时作用规律。
m 2 2 J (r1 r2 ) 2
mr 2 ml 2 J 4 12
r
圆柱体 转轴过 r 中心与几何轴相垂
l
细棒转轴 过中心 与棒相垂 球体 转轴沿直径
l
2r
ml J 12
2 J mr 2 5
2
细棒转轴 过端点 与棒相垂 球壳 转轴沿直径
l
2r
ml 2 J 3
2 J mr 2 3
（3）t = 10s 时，飞轮边缘上一点的线速度为 v r 4.71 m/s 相应的切向加速度及法向加速度为
at r 4.71 m/s an ω2 r 4 .44 103 m/s2
2
§5-2 力矩、转动定律、转动惯量
一、力矩 1、定义：
力矩的表示式 ：M r F
J B J c md
2
几种常用简单几何形状、密度均匀物体的转动惯量
圆环 转轴通过中心 与环面垂直 圆盘 转轴通过中心 与盘面垂直 圆柱体 转轴沿 几何轴
r r
J mr
2
圆环 转轴沿直径 圆筒
r
r2 r1
1 J mr 2 2
1 J mr 2 转轴沿 2 几何轴 1 J mr 2 2
x
dx
若将转轴移到A点，求 JA=？ 仍有小质元dm= dx，（ =m/l） A
0’ C x 0
dx
x
可见转轴不同，转动惯量是不同的。 那么将转轴从C点平行移到A点转动惯量改变了多少？
移项得： JA= JC + md2
（转动惯量的平行轴定理）
d B
C
平行轴定理：刚体对某轴的转动惯量 J ， 等于刚体对通过质心的平行轴的转动惯量 Jc ，加上刚体质量 m 乘以两平行轴之 间的距离d 的平方。即： 过质心的转轴
三、转动惯量 1、转动惯量的定义： ①对质点：J = m r 2 其中 r 为到转轴的距离。
m1
r1 r2 m 2
②对分离的刚性质点组： J
mi ri
2
m3
r3
③对质量连续分布的刚体对转轴的转动惯量：
转轴
J
2、转动惯量的物理意义：J是描述 刚体转动惯性大小的量度。(对比平 动 m 是物体平动惯性大小的量度）
转轴到力的作用点的矢径与作用力的叉积。
力矩是矢量
大小： 方向：
M
r
F
2、注意：①合力为零，合力矩不一定为零 F （F1=F2） 1 F2
转轴
②合力矩为零，合力不一定为零
力矩 合力 ③中心力（过转轴的力）的 力矩 ≡ 0。 ④当力不在垂直于转轴的平面内， 只有
F2
r2
r1
F1
F//对转轴力矩有贡献。
M
1 J
写 成 等 式 M kJ
在国际单位制中，k = 1 则上式为
M J
转动定律
它说明了力矩的瞬时作用规律。什么时刻有力矩作用于 物体，物体什么时刻就有角加速度。转动定律相当重要， 其在转动中的地位就相当于质点运动中的牛顿第二定律。
转动定律可由牛顿第二定律推求,推导的基本思想： 把刚体看作质元 的切向式与法向式。 的集合，对 用牛顿第二定律
例5、如图所示，求大圆盘的实心部分对O 轴（垂直于盘面） 的转动惯量。 （已知 R = 2 r ，大盘质量为M ，小盘质量为 m）
解：由于转动惯量有可加性，所以先 分别求出大盘和小盘对O 轴的转动惯 量，再把小盘的除去即得大盘实心部 分对O 轴的转动惯量。
R
0 M
r m
大盘对O 轴的转动惯量：J1 = MR2/2 小盘对O 轴的转动惯量：J2 = mr2/2 + mr2 = 3mr2/2 所以实心部分对O 轴的转动惯量为：
0
x
2. 角速度和角加速度 d d d 2 2
dt
dt dt
3. 线量与角量的关系
y
s r
a t r
v 方向垂直 于
v r a n r 2
和 r 组成的平面
0
v r △θ
△s
x
v r
转 轴
转动的轴线可变也可不 变，若轴线固定不动， 则称定轴转动。作定轴 转动的刚体上的各点， 在运动中都绕同一转轴 作不同半径的圆周运动。 而且，刚体上各点在相 同时间内转过相同的角 度。
刚体的一般运动 可以当作由一平动和一绕瞬时轴的转动组合而成
绕轴转动 车轮绕 轴转动
转轴平动
转轴 轮轴平动
平动和转动（转轴位置变）
M
T
T m mg v0
对物体有： 对滑轮有：
T - mg = m a
①
-TR = J = M R2 /2 ② ③ ④
角量和线量的关系： a = R 运动学关系： v = v0 + at = 0
设一刚体绕定轴转动，某质元受内力 f i内 和 外力 Fi外 作用
矢量式：
m i
ri
法向式：
切向式： 以 遍乘切向式两端： 转轴
将遍乘
后的切向式求和得：
m i
刚体所受的合外力矩
ri
定义：
M J
J mi ri
2
刚体的转动惯量 转动定律
其中M为刚体所受的合外力矩
说明：（1）M, J, 均对同一轴而言，且具有瞬时性； （2）改变刚体转动状态的是力矩； （3）转动惯量是刚体转动惯性的度量。
例2、质量为m、长度为l 的均质细直棍，对通过其中心O且 与棍斜交成θ 角的轴的转动惯量。 X
解：取OX轴如图所示，则棍上任
一段元dx的质量
至转轴的距离
， O’
O d
m l
r
转动惯量：
l
J
讨论：
①当
2 r dm
l2
2 ( x sin )
2
dx
1 12
ml 2 sin 2
10s时飞轮的角速度；(3)设飞轮半径为0.5m，求在t = 10s时飞轮边缘点的线速度和切向与法向加速度。 解 (1) 设0 为初角速度，由题意得
1800 0 2πn 2π rad/s 60π rad/s 60 0, t 20 s
飞轮均匀减速，为匀变速转动，角加速度为
F
问：一对作用力与反作用力的力 矩和等于多少？ 零 由此推知：质点组对任一轴的内力矩 之和为零。
F//
r
归结起来：
力
矩： M r F
M 有两个方向，可用正、负表示。 合力矩：
F F
三、定轴转动 转轴固定的转动
特点 刚体中任一点都在垂直于轴的平面内 作半径不同的圆周运动 在同一时间间隔内，各质点的角位移相等 同一时刻，各质点的角速度和角加速度相等
转轴 转轴
转轴
描述刚体定轴转动的物理量 1. 角位置，角位移 角位置 ：位矢与 ox 轴夹角。 角位移 d ：dt 时间内角位置增量。 运动方程： ( t ) 定轴转动只有两个转动方向。 规定： 位矢从o x 轴逆时针方向转动时角位 置 为正，反之，为负。
⊥
F ∥
o d P
M M1 M 2
M z F1 d 1 F2 d 2
而且有： 与转轴垂直但通过转轴的力不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。
二、转动定律 力矩是改变转动状态的原因，即产生角加速度的原因。 转动物体也有保持原有转动状态不变的惯性，在一定力 矩作用下，转动惯性大的物体获得的角加速度小，反之则大。 所以，物体的角加速度与力矩成正比，与转动惯性成反比。 若用J 表示转动惯性（J 称为转动惯量）则有：
对物体有： 对滑轮有： mg - T = m a TR = J = M R2 /2
h
角量和线量的关系： a = R 运动学关系： v2 = v02 + 2ah = 2ah
mg a m v
④解方程得：
在该题中如果在滑轮上加一恒力矩，使物 体以v0 的速度匀速上升，撤去力矩后，问过 多少时间后滑轮开始反向运动？ 解：分析：撤去力矩后，滑轮和物体受力 和前面完全一样 。因此对物体应用牛顿第二 定律和对滑轮应用转动定律。
二、刚体的平动和转动 平动 刚体上的任一直线，在各时刻的位置始终保持 彼止平行的运动，叫做平动。如车刀、活塞等。 其中各点的速度、加速度相等，运动轨迹相同 整个刚体可当作质点来处理，满足牛顿定律
转动 如果刚体上的任意一条直线的方位在运动中变了，则称刚
体作转动。
转 轴 转轴 放 大 转 轴
时，
即为棍对于过它的中心
且与棍垂直的转轴的转动惯量。 ②过棒一端 O’、仍与棍斜交成角 的轴的转动惯量J。
由平行轴定理 ：
O
O’ d
r
例3、求质量为m ，半径为R 的细圆环对过环心垂直于环面 的转轴的转动惯量。
解：圆环的线密度为 = m/2R 环上取小质元 dm= dl = R d
dl
对应关系 转轴
2 r dm
r
dm
3、J与下列因素有关： ①与刚体的总质量有关 ②与质量的分布有关
③与转轴的位置有关
4、转动惯量J 的计算方法：（可将质量元变为线元、面元、 体元积分求得） 例1、有一均匀细杆，杆长为 l ，质量为 m ，c 为杆的中点。 设转轴 oo’ 通过 c 点且与杆垂直，杆绕轴转动，求转动惯量 Jc=？ 0’ 解：取x 轴方向如图，杆的质量线密度 0 为 = m/l ，取小质元dm = dx ，则 C x 0
0 60π rad/s 3π rad/s2 t 20
从开始制动到停止转动飞轮的角位移 及转数N 分 1 2 别为 0 t at 600 π rad 2 600π N 300 2π 2π （2）t = 10s 时飞轮的角速度为
0 t 30π rad/s
J r dm
2
R
0
1 1 4 2 r dr R mR 2 2 2
3
即圆盘对其中心轴的转动惯量为 J =mR2/2 。所以定滑 轮绕中心轴的转动惯量为 J = mR2/2 ，滑轮绕其过边缘一 点的平行轴的转动惯量为 J = mR2/2 + mR2 。（平行轴定 理）转动惯量的计算只是对规则物体而言，对不规则的物 体的转动惯量只能用实验的方法得出。
例6、一质量为M 、半径为R 的定滑轮上面绕有细绳，绳的一 端固定在滑轮上（略去轮轴处的摩檫，绳不可伸长不计质 量），另一端挂有一质量为m 的物体而下垂。求物体m 由静 止下落h 高度时的速度和此时轮的角速度。
解：①对象：M 刚体 m 质点 M
T1 T2 m
②受力分析：如图所示
③依牛顿第二定律与转动定律列 方程（注意 T1 = T2 = T ）
是定值，刚体的运动称为： 匀角速转动 若 是定值，刚体的运动称作：匀变速转动（或
若
匀加速转动) 刚体的定轴转动的公式与一维直线运动的公式 相似：
例题5-1 飞轮转速为1800r/min，因制动而均匀 地减速，经20s停止转动。(1)求角加速度和从制动开 始到停止转动飞轮转过的转数；(2)求制动开始后t =
第五章
刚体的转动
§5-1 刚体的平动、转动和定轴转动 §5-2 力矩 转动定律 转动惯量
§5-3 刚体定轴转动动能 力矩的功
§5-4 绕定轴转动的刚体的角动量 和角动量守恒定律
§5-1 刚体的平动、转动和定轴转动
一、刚体（理想模型） 在任何外力作用下，形状大小均不发生改变的物 体称为刚体。或者说运动中物体上任二点的间距不变。 说明： 1. 理想模型； 2. 在外力作用下，任意两点间均不发生相对位移； 3. 内力无穷大的特殊质点系。
d 轴
J R dm
2
2
0
m R d R 2 mR 2 2R
3 3
例4、求质量为m ，半径为R 的薄圆盘对过圆心垂直于盘面 的转轴的转动惯量。 dr 2 解：圆盘的面密度为 = m/R 取一半径为 r ，宽为 dr 的圆环为质元 r dm = 2r dr 轴
牛顿第二定律与转动定律的对应关系 物理量：质点 刚体 规 律：质点 刚体 m J
M
牛顿第二定律 转动定律
例：问：力矩 M 大，是否 大？
（M 大， 大，
不一定
的变化大。 可为0）
大，是否 M 大 ？
不一定
（ 大，并不代表它的变化大，有可能它的 M = 0，匀角速转动。） 对转动定律 M = J 应注意： ① 式中各量是对于同一轴而言，且 与M 的符号（转向） 相同。 ②该定律不但对固定轴（转轴）成立，对质心轴也成立。 ③该定律是力矩的瞬时作用规律。
m 2 2 J (r1 r2 ) 2
mr 2 ml 2 J 4 12
r
圆柱体 转轴过 r 中心与几何轴相垂
l
细棒转轴 过中心 与棒相垂 球体 转轴沿直径
l
2r
ml J 12
2 J mr 2 5
2
细棒转轴 过端点 与棒相垂 球壳 转轴沿直径
l
2r
ml 2 J 3
2 J mr 2 3
（3）t = 10s 时，飞轮边缘上一点的线速度为 v r 4.71 m/s 相应的切向加速度及法向加速度为
at r 4.71 m/s an ω2 r 4 .44 103 m/s2
2
§5-2 力矩、转动定律、转动惯量
一、力矩 1、定义：
力矩的表示式 ：M r F
J B J c md
2
几种常用简单几何形状、密度均匀物体的转动惯量
圆环 转轴通过中心 与环面垂直 圆盘 转轴通过中心 与盘面垂直 圆柱体 转轴沿 几何轴
r r
J mr
2
圆环 转轴沿直径 圆筒
r
r2 r1
1 J mr 2 2
1 J mr 2 转轴沿 2 几何轴 1 J mr 2 2
x
dx
若将转轴移到A点，求 JA=？ 仍有小质元dm= dx，（ =m/l） A
0’ C x 0
dx
x
可见转轴不同，转动惯量是不同的。 那么将转轴从C点平行移到A点转动惯量改变了多少？
移项得： JA= JC + md2
（转动惯量的平行轴定理）
d B
C
平行轴定理：刚体对某轴的转动惯量 J ， 等于刚体对通过质心的平行轴的转动惯量 Jc ，加上刚体质量 m 乘以两平行轴之 间的距离d 的平方。即： 过质心的转轴
三、转动惯量 1、转动惯量的定义： ①对质点：J = m r 2 其中 r 为到转轴的距离。
m1
r1 r2 m 2
②对分离的刚性质点组： J
mi ri
2
m3
r3
③对质量连续分布的刚体对转轴的转动惯量：
转轴
J
2、转动惯量的物理意义：J是描述 刚体转动惯性大小的量度。(对比平 动 m 是物体平动惯性大小的量度）
转轴到力的作用点的矢径与作用力的叉积。
力矩是矢量
大小： 方向：
M
r
F
2、注意：①合力为零，合力矩不一定为零 F （F1=F2） 1 F2
转轴
②合力矩为零，合力不一定为零
力矩 合力 ③中心力（过转轴的力）的 力矩 ≡ 0。 ④当力不在垂直于转轴的平面内， 只有
F2
r2
r1
F1
F//对转轴力矩有贡献。
M
1 J
写 成 等 式 M kJ
在国际单位制中，k = 1 则上式为
M J
转动定律
它说明了力矩的瞬时作用规律。什么时刻有力矩作用于 物体，物体什么时刻就有角加速度。转动定律相当重要， 其在转动中的地位就相当于质点运动中的牛顿第二定律。
转动定律可由牛顿第二定律推求,推导的基本思想： 把刚体看作质元 的切向式与法向式。 的集合，对 用牛顿第二定律
例5、如图所示，求大圆盘的实心部分对O 轴（垂直于盘面） 的转动惯量。 （已知 R = 2 r ，大盘质量为M ，小盘质量为 m）
解：由于转动惯量有可加性，所以先 分别求出大盘和小盘对O 轴的转动惯 量，再把小盘的除去即得大盘实心部 分对O 轴的转动惯量。
R
0 M
r m
大盘对O 轴的转动惯量：J1 = MR2/2 小盘对O 轴的转动惯量：J2 = mr2/2 + mr2 = 3mr2/2 所以实心部分对O 轴的转动惯量为：