《测试技术》(李迪 张春华 著) 课后习题答案 华南理工大学教材供应中心

若测量周期分别为 1s 时，即 ω1 = 2πf =
则 A1 (ω ) =
1 + (τω1 ) 2
∴振幅误差= 1 − A(ω1 ) = 1 − 0.9 =
4-3 求 周 期 信 号 x(t ) = 0.5cos10t + 0.2 cos(100t − 45 ) 通 过 传 递 函 数 为
o
H (s) =
+∞
案
a 2π j
−∞
∫ x(t )e
− jwt
dt
(此处无
1 也对π
3-5 求指数衰减振荡信号 x(t ) = e − at sin ω0t 的频谱。√ 解：∵ ω 0 = 2πf 0
⎯⎯ → j [δ ( f + f 0 ) − δ ( f − f 0 )] 由于 sin 2π f 0t ←⎯ ⎯
= lim
=
e − aτ 2a
3-8 求正弦波和方波的互相关函数。√ 解： x(t ) = sin ωt ， y (t ) = ⎨
T
1 Rxy (τ ) = lim ∫ x(t ) y (t + τ )dt T →∞ T 0
=
1 T0
T0
∫ x(t ) y(t + τ )dt
0
=
3π /2 −τ 2π −τ ω π /2−τ [ ∫ − sin ωtdt + ∫ sin ωtdt + ∫ − sin ωtdt ] 2π τ π /2 −τ 3π /2 −τ
FT
1 2
由频移性质 x(t )e
± j 2π f0t
FT ⎯⎯ → X ( f + f0 ) ←⎯ ⎯
若令 a = j 2π f 0' ，则 f 0 =
'
∴ F [ x(t )] =
a a −1 [δ ( f + f 0 + ) − δ ( f − f0 + )] 。 2π j 2j 2π j
3-6 余弦信号 x(t ) = X cos ωt 的绝对均值 μ x 和均方根值 xrms 。√ 解： T0 = 2π
x(t ) = 10sin(62.8t ) 的稳态响应的均值显示。√
解：
网
1 的一阶装置后，试求其包括瞬态 τ s +1
Q H ( jω ) =
3155072 (1 + 0.01 jω )(1577536 + 176 jω − ω 2 ) 1 1256 2 × 1 + 0.01 jω 1256 2 + 1256 × 0.07 jω + ( jω ) 2 H 2 ( jω ) = 1256 2 1256 2 + 1256 × 0.07 jω + ( jω ) 2
1 ⎡ ω 2⎤ 2 ω 2 ⎢1 − ( ) ⎥ + 4 × ζ ( ) ωn ⎦ ωn ⎣ 2ζ
2
= 1.31
ω ωn = −10.6 0 φ (ω ) = − arctan ω 2 1− ( ) ωn (2) Q ζ = 0.7 A(ω ) = 0.975
第五章 模拟信号的调理与转换
5-1 使用图 5.43 所示的简单惠斯登电桥，精确确
案
ϕ (ω2 ) = − arctan(τω2 ) = −26.57 o
4-6 将信号 cos ωt 输入一个传递函数为 H ( s ) = 过程在内的输出 y (t ) 的表达式。√
解： 我们课上一般求出稳态相应，对于包括瞬态过程在内的输出比较复杂，不要求。 4-7 频 率 函 数 为
3155072 的 系 统 对 正 弦 输 入 (1 + 0.01jω )(1577536 + 176 jω − ω 2 )
ζ = 0.14 ， 问使用该传感器作频率为 400Hz 的正弦力测试时， 其幅值比 A(ω ) 和相角差 ϕ (ω )
各为多少？若该装置的阻尼比可改为 ζ = 0.7 ，问 A(ω ) 和 ϕ (ω ) 又将如何变化？√
课
2 41ωn 1.5 4-8 试求传递函数分别为 和 的两环节串联后组成的系统的 2 3.5s + 0.5 s 2 + 1.4ωn s + ωn
解： φ x2 = Rx (0) = A cos 0 = A
xrms = Rx (0) = A
3-16 三个余弦信号 x1 (t ) = cos 2π t 、 x2 (t ) = cos 6π t 、 x3 (t ) = cos10π t 进行采样，采样频 率 f s = 4Hz ，求三个采样输出序列，比较这三个结果，画出 x1 (t ) 、 x2 (t ) 、 x3 (t ) 的波 形及采样点位置并解释频率混叠现象。√ 解：∵
∴σ z = 0.98 。
√2-9 用米尺逐段丈量一段 10m 的距离， 设丈量 1m 距离的标准偏差为 0.2mm。如何表示间 接测量的函数式？求测此 10m 距离的标准差。 解： 参见书 P27-28 页的内容。 √2-14 用千分尺重复测量某小轴工件直径 10 次， 得到的测量数据为 25.031， 25.037， 25.034， 25.036，25.038，25.037，25.036，25.033，25.039，25.034mm。如不计其他不确定度来源， 试估计最佳值及其标准不确定度。 解： 参见书 P36 页例题 2.8
1 1 + (τω2 ) 2
= 0.894
课
4-4 4-5
后
≈ 0.5 cos(10t − 2.86o ) + 0.18 cos(100t − 71.57 o ) 。
答
∴ y (t ) = 0.5 × 0.99875cos(10t − 2.86o ) + 0.2 × 0.894 cos(100t − 45o − 26.57o )
o
又因为 x(t ) = 0.5cos10t + 0.2 cos(100t − 45 ) 令 x1 (t ) = 0.5cos10t 则： A(ω1 ) =
1 1 + (τω1 ) 2
= 0.99875
ϕ (ω1 ) = − arctan(τω1 ) = −2.86o
令 x2 (t ) = 0.2 cos(100t − 45o ) 则： A(ω2 ) =
− 0.020 = −0.04% 5.000
√2-8 设间接测量量 z = x + y ，在测量 x 和 y 时是一对一对同时读数的。测量数据如下表。 试求的 z 标准偏差。 测量序号 1 100 51 2 104 51 3 102 54 4 98 50 5 103 51 6 101 52 7 99 50 8 101 50 9 105 53 10 102 51
第二章 测量结果的数据处理及误差分析
√2-3 用标准测力机检定材料试验机， 若材料试验机的示值为 5.000MN， 标准测力仪输出力 值为 4.980MN，试问材料机在 5.000MN 检定点的示值误差、示值的相对误差各为多少? 解： 示值误差= 4.980 − 5.000 = −0.020 ， 示值的相对误差=
答
e − aτ −2 at e d (2at ) T →∞ 2 a ∫ 0
T
案
网
Rx (τ ) = lim
1 − at − a (t +τ ) e ⋅e dt T →∞ T ∫ 0
T
=
2sin ωτ
π
。
2 和均方根值 xrms 。√ 3-10 知信号的自相关函数为 A cos ωτ ，请确定该信号的均方值ψ x
后
∴ y rms = 0.707 × y 0 = 12
答
Q x0 = 10
案
网
1
= 0.998
2 ωn Q H ( jω ) = 2 ( jω ) 2 + 2ζjω n + ω n ω = 2π × 800 = 1600π ζ = 0.14 (1) Q ω = 2π × 400 = 800π
∴ A(ω ) =
=2× ∴ H 1 ( jω ) =
1 , 1 + 0.01 jω
∴ 系统为一阶系统和二阶系统串联，灵敏度S = 2 1 对于H 1 ( jω ) = ，输入X (t ) = 10 * (62.8t ) 1 + 0.01 jω 1 1 = = 0.85 ∴ A1 (ω ) = 1 + (τω ) 2 1 + (0.01 × 62.8) 2 对于H 2 ( jω ) = 有ζ = 0.07 , ∴ A2 (ω ) = 1256 2 1256 2 + 1256 × 0.07 jω + ( jω ) 2
ω n = 1256
⎡ ω 2⎤ ⎛ 62.8 ⎞ ⎟ ⎢1 − ( ) ⎥ + 4 × 0.07⎜ ωn ⎦ ⎝ 1256 ⎠ ⎣
2 2
∴ y 0 = 10 × 2 × 0.85 × 0.998 = 16.966
总灵敏度(不考虑负载效应)。√ 解： 同上题，先将 2 个传递函数改写，求出 S1 、 S 2 两环节串联后组成的系统的总灵敏度 S = S1 × S 2 4-9 设某力传感器可作为二阶振荡系统处理。已知传感器的固有频率 800Hz，阻尼比
ωs = 8π ， ω1 = 2π ， ω 2 = 6π ， ω3 = 10π
课
1
4-1 4-2 用一个时间常数为 0.35s 的一阶装置去测量周期分别为 1s、2s 和 5s 的正弦信号， 问幅值误差将是多少？√ 解：
后
=
∵一阶装置的幅频特性为： A(ω ) =
答
1
第四章 测试系统分析
1 + (τω ) 2
R2 = 157.9Ω 时，电路重新实现零位平衡，问未知电
阻 R1 的大小是多少？√ 解： 由 初 始 平 衡 条 件 ： R1 R3 = R2 R4 ， 即
R1 R3 = 127.5Ω × R4
若将 R3 与 R4 交换平衡条件为： R1 R4 = R2 R3 ，即 R1 R4 = 157.9Ω × R3 联立求解得： R1 = 141.7Ω 5-3 低通、高通、带通及带阻滤波器各什么特点，画出 它们的理想幅频特性。√ 解：特点:
μx =
xrms =
1 T0
∫
T0
0
x (t ) dt =
1 2π
∫
2π
0
x(t ) dt =
1 2π
∫
2π
0
X cos ωt dt =
2X
π
1 T0
∫
T0
0
x 2 (t )dt =
X 2
3-7 求 h(t ) 的自相关函数。√
⎧e− at h(t ) = ⎨ ⎩0
解：
(t ≥ 0，a > 0) (t < 0)
x 读数 y 读数
解：
x = 101.5 ， y = 51.3 ， σ x = 0.687 ， σ y = 0.42
z = x + y = 152.8
由于 z = x + y ，∴
10
∴ ρ( x, y ) =
后
2 10 i =1 i
∑ ( x − x)( y − y)
i =1 i i 10 i =1
=
ω π /2 −τ 3π /2 −τ 2π −τ [cos ωt |τ − cos ωt |π /2 −τ + cos ωt |3π /2 −τ ] 2π
课
⎧1 (π / 2 < t ≤ 3π / 2) ⎪ ⎪ ⎩−1(0 < t ≤ π / 2,3π / 2 < t ≤ 2π )
后
= lim
e − aτ +∞ (−e −2 at )0 T →∞ 2a
−∞ 0
+∞
=−
A e − ( jω + a ) t a + jω
+∞ 0
=
A A（a − jω ) = a + jω a2 + ω 2
3-4 求被截断的余弦函数 cos ω0t
⎧cos ω0t x(t ) = ⎨ ⎩0
| t |< T | t |≥ T
(题图 3-4 )的傅里叶变换。√
网
−T
题图 3-4
课
i
∑ ( x − x) ∑ ( y − y )
答
= 0.55
2
案
∂z ∂z = 1, = 1 ∂x ∂y
网
第三章
3-3 求指数函数 x(t ) = Ae
解：
− at
信号描述与分析
(a > 0，t ≥ 0) 的频谱。√
+∞
X (ω ) = ∫ x(t )e − jωt dt = ∫ Ae −at e − jωt dt
1 的装置后所得到的稳态响应。√ 0.005s + 1
案
2π = 2π T
ωs < 2ω2 、 ωs < 2ω3 ， x2 (t ) 、 x3 (t ) 产生混叠。
网
∴ ωs > 2ω1 ， x1 (t ) 不产生混叠；
，其中时间常数 τ = 0.35
解： 因为 H ( s ) =
1 ，∴τ = 0.005 0.005s + 1
解：
X (ω ) =
= = = 1 2π
课
1 sin(ω0 + ω )T sin(ω0 − ω )T [ ] + 2π ω0 + ω ω0 − ω T [sin c(ω0 + ω )T + sin c(ω0 − ω )T ] 2π
后
（e ∫2
T
1
− jw0t
+e jw0t）e − jwt dt
答
1 2π