易拉罐形状和尺寸的最优设计

易拉罐形状和尺寸的最优设计

作者：孙振 王鼎文 李淋窈

摘要

研究易拉罐形状和尺寸的最优设计可以节约的资源是很可观的。

问题一，我们通过实际测量得出（355ml ）易拉罐各部分的数据。

问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易拉罐用料模型2()2(2)v s r rd r r

ππ=+，由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型：

2min (,)

(,)0.0

0s r h g r h r h v s t r h π⎧=-=⎪>⎨⎪>⎩

用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。 问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计。

模型

圆台面积

2

()(s r r R r ππ=++ 用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=45.07最小。

结论：易拉罐总高：底直径=2：1，上下底之比=1：2，与实际比较分析了各种原因。

问题四，从重视外观美学要求（黄金分割），认为高与直径之比1：0.4更别致、美观。对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析。

另从美学及经济学的角度提出正四面柱体易拉罐的创新设想，分析了这样易拉罐的优缺点和尺寸优化设计。

最后写出了我们对数学建模的体会文章。

关键词：易拉罐 最优设计 数学建模

一、问题的提出

我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿

个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。对于易拉罐的形状和尺寸的最优设计

我们提出了以下问题：

1. 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，

测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，

并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明

出处。

2. 设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理

地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。

3. 设易拉罐的中心纵断面如图⑴所示，即上面部分是一个正圆台，下面部

分是一个正圆柱体，什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地Array说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

4. 利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自

己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。

二、模型假设

1、假设易拉罐的各个组成部分是同一种材料；不考虑具体的用料（假设为铝材），

也不考虑易拉罐的工艺过程。

2、易拉罐的形状和尺寸假设为“正圆柱体”或“正圆台与正圆柱体的结合”等

等。

3、实际测量允许有一定的误差。

4、问题二中的假设：

①在本问题的研究中，假设易垃罐是一个正圆柱体；

②假设易拉罐侧面和底面的厚度相同，顶部的厚度是侧面厚度的3倍；

三．模型的假设与求解

问题一：

我们测得355ml易拉罐（雪碧）尺寸如下（单位mm）：(以后尺寸均以其为基本

问题二：

本题建立在易拉罐是一个正圆柱体的基础之上，如图（2）

假设易拉罐侧面厚度与底面厚度相同，与顶盖厚度不同。

1．符号说明：

r ：易拉罐的半径；

h ：易拉罐的高；

v ：易拉罐内体积（容积）；

sv ：易拉罐所用材料的体积；

b ：易拉罐除顶盖外的厚度；

α：顶盖厚度参数，即顶盖厚度b α。

（2）

2．问题分析与模型

由于易拉罐尺寸优化设计要研究到易拉罐各部分厚度问题，可设想一个易拉罐所用材料是易拉罐外形体积减去内部体积（见图2）。

易拉罐用料=侧面材料+底面材料+顶盖材料

2222

sv=(()-r )(h+(1+)b)+b r r b b r ππαπαπ++

将上式化简，并以,b α为参数，看作,r h 为自变量。

有2223(,)2(1)2(1)(1)sv r h rhb r b r b h b b παππαππα=+++++++

作简化，因为b r ，则23,b b 很小，所以可将带23,b b 的项忽略。

有2(,)(,)2(1)sv r h s r h rhb r b ππα≈=++

记2(,)g r h r h v π=-（v 是已知的，即罐容积一定）。

得数学模型

min (,)s r h

2(,)0.00g r h r h v s t r h π⎧=-=⎪>⎨⎪>⎩

3．模型求解

由约束条件2(,)0g r h r h v π=-=，得2

v h r π=，代入目标函数

22(,())(1)v s r h r b r r πα⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 令'322(1)0b s r v r

απ⎡⎤=+-=⎣⎦

得r =因为''3242(1)0(0)v s b r r πα⎡⎤=++> >⎢⎥⎣

⎦

所以r = 又由于极值点只有此一个，因此也是全局极小。

又由于2(1(1)v h r r ααπ===+=+，则由对问题二的前一解的结论，4h r =，得41α=+，

结论：3α=。

4．结果分析

易拉罐顶盖厚度是侧面厚度的3倍（3α=），与我们对355ml 可口可乐等易拉罐的实测数据完全一致（见问题（1）的解）。

问题三：

本题建立在易拉罐上面是一个正圆台，下面是一个正圆柱体的基础之上，如图（3）

1．符号说明

R ：易拉罐正圆柱体半径（也即是正圆台下底半径）；

r ：易拉罐正圆台上底半径；

h1：易拉罐正圆柱体高；

V1：易拉罐正圆柱体容积；

h ：易拉罐正圆台高；

V ：易拉罐正圆台容积。

3．问题分析与模型

因为上述解问题二的结论（正圆柱体易拉罐用料最省的形状和尺寸的最优设计是h=2D ）已确定了圆柱形易拉罐的基本尺寸，若易拉罐体积一定，则基本的高与半径可大致确定，即易拉罐的圆柱体部分确定。所以这里我们可以由此简化问题为研究正圆台部分的优化设计。以常见的可口可乐等355ml 易拉罐为例，易拉罐可取定R=32mm,h1=110mm,于是测算出V=355ml.