易拉罐形状和尺寸的最优设计

易拉罐形状和尺寸的最优设计
作者：孙振 王鼎文 李淋窈
摘要
研究易拉罐形状和尺寸的最优设计可以节约的资源是很可观的。

问题一，我们通过实际测量得出（355ml ）易拉罐各部分的数据。

问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易拉罐用料模型2()2(2)v s r rd r r
ππ=+，由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型：
2min (,)
(,)0.0
0s r h g r h r h v s t r h π⎧=-=⎪>⎨⎪>⎩
用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。

问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计。

模型
圆台面积
2
()(s r r R r ππ=++ 用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=45.07最小。

结论：易拉罐总高：底直径=2：1，上下底之比=1：2，与实际比较分析了各种原因。

问题四，从重视外观美学要求（黄金分割），认为高与直径之比1：0.4更别致、美观。

对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析。

另从美学及经济学的角度提出正四面柱体易拉罐的创新设想，分析了这样易拉罐的优缺点和尺寸优化设计。

最后写出了我们对数学建模的体会文章。

关键词：易拉罐 最优设计 数学建模
一、问题的提出
我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。

看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。

当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿
个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

对于易拉罐的形状和尺寸的最优设计
我们提出了以下问题：
1. 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，
测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，
并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明
出处。

2. 设易拉罐是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理
地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。

3. 设易拉罐的中心纵断面如图⑴所示，即上面部分是一个正圆台，下面部
分是一个正圆柱体，什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地Array说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

4. 利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自
己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。

二、模型假设
1、假设易拉罐的各个组成部分是同一种材料；不考虑具体的用料（假设为铝材），
也不考虑易拉罐的工艺过程。

2、易拉罐的形状和尺寸假设为“正圆柱体”或“正圆台与正圆柱体的结合”等
等。

3、实际测量允许有一定的误差。

4、问题二中的假设：
①在本问题的研究中，假设易垃罐是一个正圆柱体；
②假设易拉罐侧面和底面的厚度相同，顶部的厚度是侧面厚度的3倍；
三．模型的假设与求解
问题一：
我们测得355ml易拉罐（雪碧）尺寸如下（单位mm）：(以后尺寸均以其为基本
问题二：
本题建立在易拉罐是一个正圆柱体的基础之上，如图（2）
假设易拉罐侧面厚度与底面厚度相同，与顶盖厚度不同。

1．符号说明：
r ：易拉罐的半径；
h ：易拉罐的高；
v ：易拉罐内体积（容积）；
sv ：易拉罐所用材料的体积；
b ：易拉罐除顶盖外的厚度；
α：顶盖厚度参数，即顶盖厚度b α。

（2）
2．问题分析与模型
由于易拉罐尺寸优化设计要研究到易拉罐各部分厚度问题，可设想一个易拉罐所用材料是易拉罐外形体积减去内部体积（见图2）。

易拉罐用料=侧面材料+底面材料+顶盖材料
2222
sv=(()-r )(h+(1+)b)+b r r b b r ππαπαπ++
将上式化简，并以,b α为参数，看作,r h 为自变量。

有2223(,)2(1)2(1)(1)sv r h rhb r b r b h b b παππαππα=+++++++
作简化，因为b r ，则23,b b 很小，所以可将带23,b b 的项忽略。

有2(,)(,)2(1)sv r h s r h rhb r b ππα≈=++
记2(,)g r h r h v π=-（v 是已知的，即罐容积一定）。

得数学模型
min (,)s r h
2(,)0.00g r h r h v s t r h π⎧=-=⎪>⎨⎪>⎩
3．模型求解
由约束条件2(,)0g r h r h v π=-=，得2
v h r π=，代入目标函数
22(,())(1)v s r h r b r r πα⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 令'322(1)0b s r v r
απ⎡⎤=+-=⎣⎦
得r =因为''3242(1)0(0)v s b r r πα⎡⎤=++> >⎢⎥⎣
⎦
所以r = 又由于极值点只有此一个，因此也是全局极小。

又由于2(1(1)v h r r ααπ===+=+，则由对问题二的前一解的结论，4h r =，得41α=+，
结论：3α=。

4．结果分析
易拉罐顶盖厚度是侧面厚度的3倍（3α=），与我们对355ml 可口可乐等易拉罐的实测数据完全一致（见问题（1）的解）。

问题三：
本题建立在易拉罐上面是一个正圆台，下面是一个正圆柱体的基础之上，如图（3）
1．符号说明
R ：易拉罐正圆柱体半径（也即是正圆台下底半径）；
r ：易拉罐正圆台上底半径；
h1：易拉罐正圆柱体高；
V1：易拉罐正圆柱体容积；
h ：易拉罐正圆台高；
V ：易拉罐正圆台容积。

3．问题分析与模型
因为上述解问题二的结论（正圆柱体易拉罐用料最省的形状和尺寸的最优设计是h=2D ）已确定了圆柱形易拉罐的基本尺寸，若易拉罐体积一定，则基本的高与半径可大致确定，即易拉罐的圆柱体部分确定。

所以这里我们可以由此简化问题为研究正圆台部分的优化设计。

以常见的可口可乐等355ml 易拉罐为例，易拉罐可取定R=32mm,h1=110mm,于是测算出V=355ml.
于是问题三转化为，已知易拉罐上部正圆台体积V 一定，底半径R 一定时，其上底半径r 和高h 为何值（或r 与h 比例是多少）正圆台的表面积最小，如图
（4）：
（4）
求正圆台的面积得模型：
正圆台面积=顶盖面积+圆台侧面积
22222222
22222()()1()3
3()9()()()S r r R h R r V h r rR R V h r rR R v r r R R r r rR R πππππππ=+++-=
++ =++ +++-++即代入有S=
用数学软件求S 的最小值（其中如前分析取V=35ml,R=3.2cm ），
得： 当r=1.467cm,h=1.93cm 时，
结论：常见的正圆台与正圆柱体结合的易拉罐，只考虑形状和尺寸变化用料最少的优化设计标准是：①总高度与底直径之比为2：1， ②正圆台的高与上底直径之比约为2：3（即h ：2r ≈2：3），相应易拉罐上下底直径之比为2:21:2r R ≈。

问题四：新设计
现今常见的易拉罐都是圆柱形，对于一定容积的柱体，以正圆柱体的表面积最小，且圆柱形的外形也较为美观。

但易拉罐流行至今几十年都是圆柱形，也太常见有审美疲劳。

因而我们考虑易拉罐基本造型有一个较大的变化，如创新设计为了正四方柱体、正三面柱体、球体等。

其实我们都知道球体是更省料的，像太白酒等酒的瓶子就是这样。

假设瓶口直径为20，瓶颈高30（类似于矿泉水瓶口的设计），设球的半径为R,
则：
S=S 1+S 2=4πR 2+Фπh
得S=28624.708mm 2
该值远小于以上计算结果，故此种设计更优。

四、模型的评价与改进
上述模型的建立从考虑材料厚度和不考虑厚度两方面着手，不考虑底面厚度
的模型显然不够好，与实际相差较大。

本文的优点： 1、本文根据问题要求，利用优化的思想，一步一步地讨论了模型的建立情况，使所建立的模型极大地趋近于实体。

2、本文综合考虑了影响易拉罐用料量的各种因素。

本文的缺点： 1、对于模型中出现的实际的复杂问题作了很多简化，最终得到的数值与所测数值有偏差。

2、测量易拉罐的数据有误差
易拉罐的设计主要考虑的方面有；1、尺寸比例的经济性及科学性；2、人体工学；
3、力学性质；
4、易拉罐内部留有的空余部分；５、放置时运输时的稳定性。

我们的模型中第1、3、
5、方面已考虑到，与改进模型需进一步考虑2、4、方面。

第三方面也可进一步考虑。

根据参考文献[8]，罐底球面的强度取决于以下几个因素：材料的弹性模量、底部直径、材料的强度、球面半径。

材料愈薄，强度愈低，因此轻量化技术要求减少罐底直径及设计特殊的罐底形状。

工艺试验表明，罐底沟外壁夹角若大于40 ，将大大减小罐底耐压。

凸模圆弧R不能小于3倍的料厚。

但R太大，将会减小强度。

球面和罐底沟内壁圆弧R1，至少为3倍料厚，减小罐底沟内壁夹角，将增加强度，生产中大多数采用10 以下。

参考文献：
[1] 铝制易拉罐成型工艺及模型，机电商情网。

访问时间：2008.5.1。

[2] 李淋窈访问过/meeting/math2005/cocolacun.doc。

访问时间：2008.5.1。

[3] 姜启源，数学模型，北京：高等教育出版社，2000。

五、结束语
数学模型，简单说就是用数学语言描述实际现象的过程。

数学模型有两个很重要的属性，一是合理性，二是简易性。

建立数学模型的过程就是一个数学建模。

通过本次的建模活动了解到数学建模就是把现实中的实际问题加以提炼抽象得到一个数学的模型，然后，我们在对该模型进行进一步的求解，把抽象的东西返还到现实中。

其实构造数学模型过程的本质就是：对实际现象的定量研究，而对实际现象的定量研究的重要性和挑战在于怎样去建立能够更好地了解该现象,并且可以应用数学方法来解决的数学模型(数学问题). 实际现象通常都是极为复杂的, 因此不经过理想化和简化是很难进行定量研究的. 因此, 数学建模的全过程大体上可归纳为以下步骤：
1. 对某个实际问题进行观察、分析。

2. 对实际问题进行的抽象、简化，作出假设。

3. 确定要建立的模型中的变量和参数。

4. 根据某种“规律”(已知的各学科中的定律, 甚至是经验的规律) 建立变量和参数间确定的数学关系试这是一个非常具有挑战性的数学问题;
5. 解析或近似地求解该数学问题. 这往往涉及复杂的数学理论和方法, 近似方法和算法;
6. 数学结果能否展示、解释甚至预测实际问题中出现的现象, 或用某种方法来验证结果是否正确, 这也是很不容易的;
比如拿B题的过程来说吧，易拉罐就是现实生活中的东西，然后我们逐步进行抽象成圆柱体，到进一步圆柱体的变形体，设参数，然后解析或近似地求解该数学问题，到最后验证结论的合理性。

如果合理就得最有解，如不合理需返回第一步重新考虑对模型进行优化。

这就是一个完整的建模过程。

从我们小组对本次的试题的把握过程来看，我们认为数学建模中存在以下几个难点：
1.对实际生活中的名词术语不熟悉。

如在选题的过程中，A题我们之所以没选,其中很重要的原因就是对于专业语言不熟悉。

2.怎样从实际情况出发做出合理的假设, 从而得到可以执行的合理的数学模型式建立模型的关键一步，若假设得当，则可以达到一劳永逸的效果。

3.求解模型中出现的数学问题是非常困难的问题；模型的解答是整个建模过程的重头戏，因为模型建立出来不一定就能解出来；能解出来，又不一定就符合实际情形，如果不符合就需要及时对原模型及时修改，然后再解，如此重复直至得到的结果符合实际情况。

4.第四个难点是验证模型的正确性和可行性，首先要有合理的验证方法，还要有准确的数据。

数学建模给当代大学生拓展创造和创新能力，提供了一个广阔的舞台；是对能力与毅力的考验.。