第二章 质点组力学

若Mv
e
o
0,
但M
e
ox
=0,则有
dJ ox dt
0
Jox C
三、质点组对非惯性系某点 O 的动量矩定理
由非惯性平动系中第i个质点的动量定理
ຫໍສະໝຸດ Baidu
d pvi
dt
Fvie
Fvii
mi avo
0
n
i 1
rvi
d pvi dt
n rvi Fvie n rvi Fvii n rvi
i 1
一、动量定理
1.质点组总动量
p n mii mc 各质点动量之矢量和 i 1
2.相对运动的动量表述
S系中：pv n m ivi
i 1
pv
n
m
ivi
S
系
i 1
pv n m ivi n m i (vo vi)
i 1
i 1
mvo n m ivi mvo pv
i 1
z
z
orvo
rvi
质点组水平方向上不受 外力作用，则水平方向 上总动量守恒
mx MU 0 1
运用速度合成关系：
U V
x y
V V
cos sin
U
2 3
联立方程(1), (2), (3)得
x y
M M m
V sin
V
cos
U
m
V cos
M m
2 x
2 y
M 2V 2 cos2 V 2 sin 2
i1 j1
i1 ji
ji
v
fij rvij
v f ji
rvj
（3）内力做功之和一般不为零
dWij
v fij
drvi
v f ji
drvj
fij
v fij
(drvi drvj )
v fij
drvij
i dri
drij drj j
f ji
若 drij 0 ,则 dWij 0,质点间距离变化(一般质点组)
m
n
m
irvi
i1
m
d dt
mrvc
0
质点组对质心坐标系的总动量为零, 即p 0
p mc
4、动量定理(惯性系S)
单个质点动量定理：
dmii
dt
Fie
Fii , i
1,2
n
将上式对质点数目求和：
n
i1
dmii
dt
d dt
n i1
mii
dp dt
n Fie n Fii n Fie Fe
m
n i 1
m m
irvi
vc
mrvc vc
0
第四项：
n
(rvi
m
ivi)
v J c
质点组对质心的动量矩
i 1
v Jo
rvc
mvc
v J c
质点组对惯性系固定点O的动量矩等于质心对该固定 点的动量矩与质点组对质心的动量矩之矢量和。
4.质点组对惯性系固定点O的动量矩定理
隔离第i个质点：
v
i 1
d pi dt
d dt
n i 1
pi
d p dt
x
x
z
z
orvorvi rvi
i
y
o
y
n
Fie
n
Fii
ao
n
mi Fe
mao
i1
i1
i1
质点组动量定理：d p dt
Fe
mao
二、质心运动定理(惯性系S)
由惯性系中的质点组动量定理 dp Fe
dt
dp dt
dmc
为均质体，其长为r，轻连杆长为l 。曲柄以匀角速度 绕轴
O转动。试求基础对地面的压力。
解：(1) 研究对象：物体系—由质量为m1
的曲柄，质量为m2 的滑块和活动刀，质量
y
为 m3 的基础和外壳组成。
(2) 参考系：地面；坐标系：oxy
(3) 受力分析：
外力：重力m1
m2
m3
g，地面铅直反作用力
N
和水平反作用力
0
x
(M m)dx mdx dx
m
L
dx
0
M m 0
5.结果
x m L M m
方法二：用质心运动定理求解
M m &x&c 0
1
o
x
xc
Mx船 M
mx人 m
2
o
x
根据加速度合成关系： x人 x人 x船
3
联立方程(1)、(2)、(3)得 M mx船 mx人 4
对4式积分一次并乘以dt可得： (M m)dx船 mdx人
4.本章将主要讨论几个描述质点组整体运动规律的 普遍定理和守恒律。
三. 内力与外力
1.内力：质点组中质点间的相互作用力。
2.外力：质点组外的物体作用于质点组 任意质点的力。
v f ji
j i
fvie
v
fij
3.内力的性质
（1）质点组内力之和为零
Fi n Fii n
n fij 0
i 1
i1 j1
rvi
i
y
x
o
y
x
3.质心坐标系( S系 为为质心系)
z
pv n m ivi mvo n m ivi
i 1
i 1
mvc n m ivi i 1
z
c rvi i
x rvc rvi
y
o
y
其中：
n m ivi
i 1
n
mi
i 1
d rvi dt
d dt
x
n m irvi
i 1
d dt
M m
V
1
M
2
1
cos2
V
M m
1
m2M m m M 2
cos2
若与x轴的夹角，则
tg y x
V M
sin V cos
1
m M
tg
M m
反冲效果： V 速率变小， 仰角变大
例2：水面上有一质量为M，长为L的小船(船最初静止),船上 有一质量为m的人，由船头走到船尾，问船移动的距离为多 少？(水的阻力不计，人运动的速度不为常量)。
dt
m dc
dt
m d 2rc dt 2
mac
mac Fe 质心运动定理
z x
也可由质心系(非惯性系)中的质点组
rvc
z
c rvi i
rvi
y
动量定理推导
o
y
Fve
mavc
d pv dt
pv 0
x
mavc Fve
例1：剪切金属的剪床是由曲柄连杆机构OAB构成的，活动 的刀具装在滑块B上，而固定的刀具则装在基础C上。设曲柄
0
v
dJ o dt
v M
e
o
质点组对惯性系固定点O 的动量矩定理
dJox
dt
M
e
ox
dJ oy dt
M
e
oy
dJoz
dt
M
e
oz
二、质点组对惯性系固定点O的动量矩守恒定律
由质点组对惯性系固定点的动量矩定理
v dJo dt
v M
e
o
v
若Mv
e
o
0,则有 dJo dt
0
v Jo
恒矢量
动量矩分量守恒定律
i 1
i 1
i 1
质点组动量定理： dp Fe 与内力无关 dt
Fvii
i
Fvie
分量形式：
dpx
dt dpy
dt dpz
dt
Fxe Fye Fze
5、动量定理(非惯性平动系 S)
单个质点动量定理：
d pi dt
Fie
Fii miao ,i
1,2
n
将上式对质点数目求和：
n
若 drij ,则0 d,W质ij点 0间距离不变化(刚体)
四. 质心(Center of mass)
由n个质点组成的质点组，质量分别为mi i 1, 2L n ,
质点组中恒存在一特殊点,它的运动可反映质点组的 整体运动，而且很容易确定，该特殊点就是质心。
质心坐标： rvc
n mirvi
i 1
m
ji
i internal
v f ji
j i
v fij
（2）内力对某点O的力矩之和为零 vv
一rvi 对 f内 vij 力rvfjij，fvfjjii对 Orvi点的rvj 合力fvij矩为rvij ：fvij 0 rvi
O
n ri Fii n
n
ri
fij
n
n
rij
fij
0
i1
x 0
dx船
m M
m
L
0 dx人
x船
m M
m
L
§2.3 动量矩定理与动量矩守恒定律
一、质点组对惯性系固定点O的动量矩定理
1.对惯性系固定点O的动量矩
v
Jo
n
v Jio
n
rvi mivi
i 1
i 1
z
2.相对运动的动量矩描述
S 系（固定系）
z
orvorvi rvi
i
y
S 系（平动系）
x
dJio dt
rvi Fvie
rvi Fvii ,i
1, 2,L
n
z
ii
rvi
O
Fvii Fvie
y
x
v
dJio dt
rvi Fvie rvi Fvii ,i 1, 2,L
n
将上式对质点数目求和：
v
n
i 1
dJ io dt
n i 1
rvi Fvie
n i 1
rvi Fvii
d Jc dt
v M
e
c
v
若Mv
e
c
0,则有 d Jc dt
0
v J c
恒矢量
动量矩分量守恒定律
若Mv
c
e
0,
但M
e
cx
=0,则有
d
J dt
cx
0
Jcx C
例1：在具有水平轴的滑轮上悬有一根绳子，绳子的两端距
通过该轴水平面的距离为 s 与s，两个质量分别为m 与m 的
o
x
o
x
解：分析：人沿走的方向动量守恒 1.对象：系统（人和船） 2.参考系：地面 3.建立坐标系: o(x固 定在船上), ox
4.用动量守恒定律列方程 人相对地面的速度
M船 m人 0
1
其中：船
dx dt
人
船
dx dt
dx dt
dx dt
代入（1）式:
M
dx dt
m
dx dt
dx dt
第二章 质点组力学
§2.1 质点组
一.质点组的定义:
有相互作用的质点的集合。 例如：地球与月亮：两个质点
太阳系：许多质点 桌子：无穷个质点
二. 质点组的研究方法
1. 原则上可以采用隔离法，但若质点的数目太多， 则未知量太多,使得微分方程的求解十分困难。
2.用整体法研究质点组的整体运动规律。
3.质点组的整体运动规律确定后，再采用隔离法确 定各个质点的运动规律。
等于M。炮车可以自由地在铁轨上反冲。如炮身与地面成角度 ，
炮弹对炮身的相对速度为V ，试求炮弹离炮身时对地面的速度
炮车的反冲速度U 。
解: (1) 研究对象: 炮车和炮弹组成的质点组 y
(2) 参考系: 地面，坐标系: oxy
(3)
受力分析:重力(M
m)g和铁轨支撑力
N
o
x
炮弹发射过程中支撑力 N变为冲力
n i 1
(rvc m ivi)
rvc
n i 1
m ivi
rvc
n i 1
mi
d rvi dt
rvc
d dt
n i 1
m
irvi
rvc
m
d dt
n i 1
m m
irvi
rvc
d dt
mrvc
0
第三项：
n
(rvi mivo )
n
(rvi
m
ivc
)
n
mi rvivc
i1
i1
i1
i 1
i 1
mi avo
d
dt
i
rvi mivi
i
rvi Fvie rvc mavo
v
惯性力矩
注意：rc 0
' d Jo dt
v M
e
o
质点组对质心的动量矩定理：
Q rvc 0 '
rvc
v d Jc
dt
mavo
v M
c
e
四、质点组对质心的动量矩守恒定律
由质点组对质心的动量矩定理
v
(4) 运用质心运动定理
mm11mm22mm33yxcc m121m1rmω2
m3 g
2 sin ωt
N
1
物体系质心 :
xc
m1x1c m2 x2c m3 x3c m1 m2 m3
将上式对时间微分两次 :
&x&c
m1&x&1c m2&x&2c m3&x&3c m1 m2 m3
mrvc n mirvi i 1
质心速度：
vc
drvc dt
n mirv&i
i 1
m
n mivi
i 1
m
mvc n mivi i 1
质心加速度：
avc
dvc
dt
d 2rvc dt 2
n mi&rv&i
i 1
m
n miavi
i 1
m
mavc n miavi
i 1
§2.2 动量定理与动量守恒律
x2c r cost l 1 2 sin2 t
x&2c
2l
2
sin
2t
1
2
2
1/ 2
1 cos 2t
r sin t
一般在 1 与 1 之间
46
x&2c
r
2
sin
2t
r sint
&x&2c r2 cost cos 2t
联立方程(1)和(2)并代人&x&1c , &x&2c及&x&3c得
2
曲柄以匀角速度转动，有x1c
1 2
r
cost
&x&1c
1 2
r 2
cost
在运动过程中，外壳与基础的质心并不运动，即x3c 常数
&x&3c 0 x2c r cos l cos
在OAB中，由正弦定理得： l r
sin sin
sin r sin sin
l
y
cos 1 sin2 1 2 sin2
o
y
x
v
Jo
n
rvi m ivi
n
[(rvo rvi) (m i (vo vi)]
i 1
i 1
n (rvo m ivo ) n (rvo m ivi) n (rvi m ivo ) n (rvi m ivi)
i 1
i 1
i 1
i 1
rvo mvo
n
(rvo m ivi)
n
(rvi
m
ivo
)
v J o
i 1
i 1
3.在质心系中分析以上四项 rvo rvc ,vo vc , rvc 0
第一项：
n
(rvo mivo )
n
(rvc
m
ivc
)
rvc
n
mi vc rvc mvc
i1
i1
i1
质心对O点的动量矩
第二项：
n
i 1
(rvo m ivi)
N
m1
m2 m3 g
静压力
r 2
2
m1
2m2 cost 2m2
动压力
r l
cos
2t
三、质点组动量守恒定律
出发点：质点组动量定理 dp Fe
若Fe 0,则 dp 0
dt
p mc 恒矢量
dt
c 恒矢量
若Fe
0,但Fxe
0,则 dpx dt
0,有px
C
例1：一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为m，炮身及炮车质量和