实变函数期末考试卷A卷

实变函数期末考试卷A 卷

一、 判断题（每题2分，共20分）

1.若A 是B 的真子集，则必有B A <。 （×）

2.必有比a 小的基数。 （√）

3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。 （√）

4.无限个开集的交必是开集。 （×）

5.若φ≠E ，则0*

>E m 。 （×）

6.任何集n

R E ⊂都有外测度。 （√） 7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。 （×） 8.可测集的所有子集都可测。 （×） 9.若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上也可测。（×） 10.)(x f 在E 上可积必积分存在。 （×） 1.设E 为点集，E P ∉，则P 是E 的外点.（ × ）

2.不可数个闭集的交集仍是闭集. （ × ）

3.设{}

n E 是一列可测集,且1,1,2,

,

n n E E n +⊂=则1(

)lim ().

n n n n m E m E ∞

→∞

==（× ） 4.单调集列一定收敛. （√ ）

5.若()f x 在E 上可测,则存在F

σ型集,()0F E m E F ⊂-=,()f x 在F 上连续.（ × ） 二、填空题（每空2分，共20分）

1.设B 是1

R 中无理数集，则=B c 。

2.设1

,1,,31

,21,1R n A ⊂⎭⎬⎫⎩⎨⎧= ，则=0A φ ，='A }0{ 。

3.设

,2,1,0),11

,11(=++-

=n n n A n ，则=⋃∞=n n A 0 )1,1(- ，=⋂∞=n n A 1 }0{ 。

4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。

5.设E 是]1,0[上的Cantor 集，则=mE 0 。

6.设A 是闭集，B 是开集，则B A \是 闭 集。

7.闭区间],[b a 上的有界函数)(x f Rimann 可积的充要条件是 )(x f 是],[b a 上的几乎处处的连续函数 。

8. Rimann 函数是 Rimann 可积也是Lebesgue 可积的。

三、计算题（每题10分，共20分）

1.计算dx

nx x n nx R n ⎰

+∞

→1

03

2

22

1sin 1)(lim 。（提示：使用Lebesgue 控制收敛定理）

解：设

nx x

n nx x f n 3

222

1sin 1)(+=),2,1( =n ，则 （1） 因)

(x f n 在]1,0[上连续，所以是可测的；

（2）]

1,0[,0)(lim ∈=∞

→x x f n n ；

（3）因为

x

nx nx x n nx nx x n nx 2121sin 12

122213

2221

=

≤+≤+)(x F =

显然)(x F 在]1,0[上可积。于是由Lebesgue 控制收敛定理，有

0sin 1)(lim sin 1)(lim 103222

11

03

222

1=+=+⎰⎰∞

→∞→dx nx x n nx L dx nx x n nx R n n

2. 设⎪⎩⎪

⎨⎧=为有理数，的无理数；

为小于的无理数为大于x x x x x x f ,01,;1,)(2试计算⎰]2,0[)(dx x f 。

解：因为有理数集的测度为零，所以

2)(x x f = ..e a 于]1,0[， x x f =)( ..e a 于]2,1[。

于是

⎰

⎰

⎰

+=]

2,1[]

1,0[]

2,0[)()()(dx

x f dx x f dx x f

dx x dx x ⎰

⎰+=2

1

1

2

611

2331=+=

四、证明题（每题8分，共40分）

1. 证明：)

\()(\1

1

n n n n A A A A ∞

=∞==

证明：

)

(\1

n n A A ∞

=(

A =n

n A

∞

=1

c )

)

(1

c

n n A A ∞

==

=)(1c

n n A A ∞

=

=

)

\(1

n n A A ∞

=

2. 设M 是直线上一族两两互不相交的非空开区间组成的集合，证明M 是至多可列集。 证明：由有理数集的稠密性可知，每一个开区间中至少有一个有理数，从每个开区间中取定一个有理数，组成一个集合A 。因为这些开区间是互不相交的，所以此有理数集A 与开区间组成的集合M 是一一对应的。则A 是有理数集的子集，故至多可列，所以M 也是至多可列集。

3. 证明：若0=*

E m ，则E 为可测集。

证明：对任意点集T ，显然成立着

)()(c E T m E T m T m ***+≤。 另一方面，因为0=*E m ，而E E T ⊂ ，所以E m E T m **≤)( ，于是)(E T m *0=。又因为c

E T T ⊃，所以)(c E T m T m **≥，从而

)()(c

E T m E T m T m ***+≥。 总之，)()(c

E T m E T m T m ***+=。故E 是可测集。

4. 可测集E 上的函数)(x f 为可测函数充分必要条件是对任何有理数r ，集合])([r x f E <是可测集。

一、填空题（每小题2分，共10分）

（ D ）1、()()\\\A B C A B C =成立的充分必要条件是（ ）

A 、A

B ⊂ B 、B A ⊂

C 、A C ⊂

D 、C A ⊂

（ A ）2、设E 是闭区间[]0,1

中的无理点集，则（ ） .A 1mE = .B 0mE = .C E 是不可测集 .D E 是闭集

（ C ）3、设E 是可测集，A 是不可测集，0mE =，则E A 是（ ） .A 可测集且测度为零 .B 可测集但测度未必为零 .C 不可测集 .D 以上都不对

（ B ）4、设mE <+∞，(){}n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x

是E 上几乎处

处有限的可测函数，则(){}n f x 几乎处处收敛于()f x 是(){}n f x 依测度收敛于()f x

的（ ） .A 必要条件 .B 充分条件 .C 充分必要条件 .D 无关条件

（ D ）5、设()f x

是E 上的可测函数，则（ ） .A ()f x 是E 上的连续函数 .B ()f x 是E 上的勒贝格可积函数 .C ()f x 是E 上的简单函数

.D ()f x 可表示为一列简单函数的极限

设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数a ，{|()}E x f x a =>是一开集，而

{|()}E x f x a =≥总是一闭集。