第四章 确知信号的检测1 - 2汇总
通信原理简答题答案2(个人整理)
第一章绪论1-2何谓数字信号？何谓模拟信号？两者的根本区别是什么？答：数字信号：电信号的参量值仅可能取有限个值。
模拟信号：电信号的参量取值连续。
两者的根本区别是携带信号的参量是连续取值还是离散取值。
1-3何谓数字通信？数字通信偶哪些优缺点？答：利用数字信号来传输信息的通信系统为数字通信系统。
优点：抗干扰能力强，无噪声积累传输差错可控；便于现代数字信号处理技术对数字信息进行处理、变换、储存；易于集成，使通信设备微型化，重量轻；易于加密处理，且保密性好。
缺点：一般需要较大的传输带宽；系统设备较复杂。
1-4 数字通信系统的一般模型中各组成部分的主要功能是什么？答：信源编码：提高信息传输的有效性（通过数字压缩技术降低码速率），完成A/D转换。
信道编码/译码：增强数字信号的抗干扰能力。
加密与解密：认为扰乱数字序列，加上密码。
数字调制与解调：把数字基带信号的频谱搬移到高频处，形成适合在信道中传输的带通信号。
同步：使收发两端的信号在时间上保持步调一致。
1-5 按调制方式，通信系统如何分类？答：基带传输系统和带通传输系统。
1-6 按传输信号的特征，通信系统如何分类？答：模拟通信系统和数字通信系统。
1-7 按传输信号的复用方式，通信系统如何分类？答：FDM,TDM,CDM。
1-8 单工、半双工及全双工通信方式是按什么标准分类的？解释他们的工作方式。
答：按照消息传递的方向与时间关系分类。
单工通信：消息只能单向传输。
半双工：通信双方都能收发消息，但不能同时进行收和发的工作方式。
全双工通信：通信双方可以同时收发消息。
1-9 按数字信号码元的排列顺序可分为哪两种通信方式？他们的适用场合及特点？答：分为并行传输和串行传输方式。
并行传输一般用于设备之间的近距离通信，如计算机和打印机之间的数据传输。
串行传输使用与远距离数据的传输。
1-10 通信系统的主要性能指标是什么？答：有效性和可靠性。
1-11 衡量数字通信系统有效性和可靠性的性能指标有哪些？答：有效性：传输速率，频带利用率。
第2章确知信号
当 = 0时，R(0)等于信号的能量：
R(0) s 2 (t)dt E
R()是 的偶函数
(2.3-2)
R( ) R( )
(2.3-3)
自相关函数R()和其能量谱密度|S(f)|2是一对傅里叶变换：
S( f ) 2 R( )e j2f d
R( ) S ( f ) 2 e j2f df
第2章 确知信号
2.1 确知信号的类型
按照周期性区分：
周期信号： s(t) s(t T0 ), t T0－信号的周期， T0 > 0
非周期信号
按照能量区分：
能量信号：能量有限，
0 E s2 (t)dt
功率信号：功率有限
归一化功率： P V 2 / R I 2 R V 2 I 2
1e j 0t
2
e 1 j 0t
2
[( 0) ( 0)]
S( f )
1 [ ( f
2
f0) ( f
f0 )]
t
(a) 波形
－f0
0
f0
(b) 频谱密度
第2章 确知信号 量纲分析：
2.2.3 能量信号的能量谱密度
S(ω) → V/Hz
定义：由巴塞伐尔(Parseval)定理
S(ω) 2 → V/Hz2
P 1
T0
T0 / 2 s 2 (t)dt
T0 / 2
Cn
n
2
式中 |Cn|2 －第n次谐波的功率
利用函数可将上式表示为
P
Cn
2(f
nf0 )df
(2.2-45) (2.2-46) (2.2-47)
上式中的被积因子就是周期信号的功率谱密度P(f)，即
信号检测与估计知识点总结(3)
第二章 检测理论1．二元检测：① 感兴趣的信号在观测样本中受噪声干扰，根据接收到的测量值样本判决信号的有无。
② 感兴趣的信号只有两种可能的取值，根据观测样本判决是哪一个。
2．二元检测的数学模型：感兴趣的信号s ，有两种可能状态：s0、s1。
在接收信号的观测样本y 中受到噪声n 的污染，根据测量值y 作出判决：是否存在信号s ，或者处于哪个状态。
即：y(t)=si(t)+n(t) i=0,1假设：H 0：对应s 0状态或无信号，H 1：对应s 1状态或有信号。
检测：根据y 及某些先验知识，判断哪个假设成立。
3. 基本概念与术语✧ 先验概率：不依赖于测量值或观测样本的条件下，某事件（假设）发生或 成立的概率。
p(H 0),p(H 1)。
✧ 后验概率：在已掌握观测样本或测量值y 的前提下，某事件（假设）发生或成立的概率。
p(H 0/y),p(H 1/y) 。
✧ 似然函数：在某假设H 0或H 1成立的条件下，观测样本y 出现的概率。
✧ 似然比：✧ 虚警概率 ：无判定为有；✧ 漏报概率 ：有判定为无；✧ （正确）检测概率 ：有判定为有。
✧ 平均风险： 4.1 最大后验概率准则（MAP ）在二元检测的情况下，有两种可能状态：s0、s1，根据测量值y 作出判决：是否存在信号s ，或者处于哪个状态。
即： y(t)=si(t)+n(t) i=0,1假设：H 0：对应s 0状态或无信号，H 1：对应s 1状态或有信号。
)|()|()(01H y p H y p y L =f P m P d P )(][)(][111110101010100000H P C P C P H P C P C P r ∙++∙+=如果 成立，判定为H 0成立；否则 成立，判定为H 1成立。
利用贝叶斯定理： 可以得到： 如果 成立，判定为H 0成立； 如果 成立，判定为H 1成立；定义似然比为： 得到判决准则： 如果 成立，判定为H 0成立； 如果 成立，判定为H 1成立；这就是最大后验准则。
信号的统计检测与估计理论
信号的统计检测与估计理论华侨大学信息科学与工程学院电子工程系电子程系E-mail:************.cnTel: 22692477T l22692477课程教学目的和方法目的通过本课程学习，使学生掌握信号的检测和估计的基本概念、基本理论和分析问题的基本方法，培养学生运用这些方法去解基本和分析问题的基本方法，培养学用这些方法去解决实际问题的能力。
方法本课程将通过重点讲授检测和估计的基本概念、基本原理和分析问题的基本方法入手，使同学们学会信号的检测与估计理论，析问题的基本方法入手使同学们学会信号的检测与估计理论将为进一步学习、研究随机信号统计处理打下坚实的理论基础，同时它的基本概念、理论和解决问题的方法也为解决实际应用，如信号处理系统设计等问题打下良好的基础。
2课程内容简介信号的统计检测与估计理论已成为现代信息理论的一个重要组成部分，它是现代通信、雷达、声纳以及自动控制技术的理论基础，它在许多领域或技术中有广泛的应用。
其主要内容有：信号的矢量与复数表示、噪声和干扰、假设检验、确知信号的检测、具有随机参量信号的检测、信号的参量估计、信号参量的最佳线性估计。
3教学基本内容及学时分配概论(0.5学时)第一章信号的矢量与复数表示(3.5学时)第二章噪声和干扰(2学时)第三章假设检验(4学时)第四章确知信号的检测(6学时)第五章具有随机参量信号的检测(6学时)第八章信号的参量估计(8学时)第九章信号参量的最佳线性估计(4学时)4教材教材¾《信号的统计检测与估计理论》（第二版），李道本著，科学出版社，2004年9月参考书《信号检测与估计理论》赵树杰赵建勋编著清华大¾《信号检测与估计理论》，赵树杰、赵建勋编著，清华大学出版社，2005年11月张明友吕明编著电子工业出版¾《信号检测与估计》张明友、吕明编著，电子工业出版社，2005年2月¾其他相关参考书籍5考试与要求选修课平时：60%-70%作业¾¾上课考勤期末考试40%30%期末考试：40%-30%6目录概论第一章信号的矢量与复数表示第二章噪声和干扰第三章假设检验第章第四章确知信号的检测第五章具有随机参量信号的检测第八章信号的参量估计第九章信号参量的最佳线性估计7信号的检测与估计理论的起源和发展检测与估计理论的基本概念检测与估计的分类8信号的统计检测与估计理论起源¾第二次世界大战( 20世纪40年代)¾战争对雷达和声纳技术的需求理论基础¾信息论(Information Theory)¾通信理论(Comm. Theory)数学工具¾概率论( Probability Theory)¾随机过程(Stochastic (random) Process)¾数理统计(Statistics)9信号的统计检测与估计理论发展¾现代信息理论的重要组成部分随机信号统计处论基¾随机信号统计处理的理论基础10检测与估计理论的应用现代通信雷达、声纳自动控制模式识别自动控制、模式识别射电天文学、航空航天工程遥感遥测资源探测天气预报精神物理学生物物理学精神物理学、生物物理学系统识别11无线通信系统无线通信系统原理框图12信息系统信息系统的主要工作¾信号的产生、发射、传输、接收、处理¾实现信息的传输最主要的要求¾高速率¾高准确性13信号的随机性 确知信号)(0s t t T ≤≤确信号 随机参量信号()()12(;)(0;[,,...,])T M s t t T θθθ≤≤=θθ 噪声加性噪声¾¾乘性噪声()n t 干扰¾一般干扰¾人为干扰 信号在信道传输中畸变14噪声和干扰噪声¾与有用信号无关的一些破坏性因素；如：通信中的各种工业噪声交流声脉冲噪声银河系¾如：通信中的各种工业噪声、交流声、脉冲噪声、银河系噪声、大气噪声、太阳系噪声、热噪声等；干扰与有用信号有关的些破坏性因素¾与有用信号有关的一些破坏性因素；¾如通信中的符号间干扰、共信道干扰、邻信道干扰、人为干扰等干扰等；15信号的随机性 处理的信号：()(0)v t t T ≤≤)0()()(),v t s t n t t T =+≤≤)()(;)(),0v t s t n t t T =+≤≤θ 接收信号或观测信号16信号的统计处理方法对信号的随机性进行统计描述概率密度函数、各阶矩、相关函数、协方差函数、功率谱密度等来描述随机信号的统计特性；基于随机信号统计特性所进行的各种处理和选择的相应准则均是在统计意义上进行的，并且是最佳的，如应准则均是在统计意义上进行的并且是最佳的如信号状态的统计判决、信号参量的最佳估计等；处理结果的评价即性能用相应的统计平均量来度量，如判决误差、平均代价、平均错误概率、均值、方差、均方误差等；17检测和估计理论检测估计¾参量估计¾波形估计（滤波理论）滤波理论：现代Wiener滤波理论和Kalman滤波理论18检测¾有限观测“最佳”区分一个物理系统不同状态的理论。
《信号检测与估计》第四章习题解答
(3sinω0T
−
2sin3ω0T
)
则判决规则变为
H1
I
> <
β
H0
两种错误判决的概率分别为
+∞
∫ P(D1 | H0 ) = β f (I | H0 )dI
《信号检测与估计》习题解答
β
∫ P(D0 | H1) = −∞ f (I | H1)dI
平均错误概率 Pe 为
∫ ∫ Pe
= P(H0 )P(D1 | H0 ) + P(H1)P(D0
T 0
[x(t
)−
B
cos(ω2t
+φ
)]2
dt
《信号检测与估计》习题解答
( ) ( ) ( ) f xH0 =
1
∫ − 1
e N0
T 0
[x
(t
)−
s
0
(t
)]2
dt
=
2π σ k
1
∫ − 1
e N0
T 0
[x
(t
)−
A
cos
ω1t
−
B
cos(ω
2
t
+φ
)]2
dt
2π σ k
根据最小差错概率准则有
0 N0
T 2 s2(τ )dτ = 2a2T
0 N0
N0
输出信号
xo (T
)
=
T
∫0
h(t )x(T
−
t )dt
=
∫Ts(T 0
− t)x(T
−
t )dt
=
T
∫0
2 N0
s(τ
)x(τ
信号的波形检测和判断
国家重点实验室
4.2 匹配滤波器
2.5 信道噪声为高斯白噪声的情况
Pn
N0 2
SNOR21 2SN0 2d
2Es N0
H2S*ejt0 k* S ejt0 N0
h tIF H T 2 1 H ejtd
21 H2Pnd
国家重点实验室
4.2 匹配滤波器
2.4输出信号功率信噪比
S
NORdefnsoo
t t
的 的峰 平值 均功 功率 率 sot0221 SHejt0d2
1
2
HSejt0d
2
Eno 2t2 1 H 2P nd
国家重点实验室
4.2 匹配滤波器
t T 相关器的输出信号为 yctT0Txusudu
匹配滤波器的冲击响应为 htsTt
匹配滤波器的输出信号为
yftx(t)h t0 txt h d 0txtsTd yftT0 TxTsTd0T xusudu
v 0 时，H1的频率特性与H(w)的频率特性不同。
国家重点实验室
4.2 匹配滤波器
3.4 匹配滤波器与相关器的关系
对于平稳输入信号 xtstnt，自相关器的输出为：
rx xtxtdt stn tst n t dt
假设输出信号在t0出现峰值，则输出信号的峰值功率为
sot0221 SHejt0d2
国家重点实验室
4.2 匹配滤波器
2.3 输出噪声的平均功率
设n(t)的功率谱密度为 Pn，则有 P noH2P n
Eno 2t21 Pnod
在零均值白噪声条件下，t=T时刻，匹配滤波器的输出 与相关器的输出相等。
通信原理-确知信号_2
s(t)
V
0 T
t
其频谱：
Cn
1 T
Ve j 2nf0t dt
0
1 T
V
j 2nf 0
e
j 2nf0t
0
V 1 e j 2nf0 V
1 e j 2n / T
T j2nf0
j 2n
可见：此信号不是偶函数，所以其频谱Cn是 复函数 。
则其能量谱密度G(f )为：
G(f ) = |S(f )|2
能量——Parseval定理
E
s2 (t)dt
S( f ) 2df
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
G( f )df 2 G( f )df
0
例 【2-6】试求例【2-3】中矩形脉冲的能量谱密度 。
解
在例【2-3】中，已经求出其频谱密度：
0
2/
f
评注：矩形脉冲的带宽等于其脉冲持续时间的倒数，即 (1/) Hz 。
例 【2-4】试求单位冲激函数 (函数) 的频谱密度。
解 函数的定义：
(t)dt 1 且 (t) 0, t 0
函数的频谱密度：
( f )
(t)e j2ft dt 1
f
)
V
n T
2
Sa2f
(
f
nf0)
2.2.2 能量信号的频谱密度
频谱密度的定义：
—— 能量信号s(t) 的傅里叶变换：
S ( f ) s(t)e j2ft dt
S(f)的逆傅里叶变换为原信号： s(t) S ( f )e j2ft df
随机信号分析基础图文 (4)
(4-6)
第四章 随机信号的频域分析
4.1.2
1. 能量信号s(t)的自相关函数的定义为
Rs
s
t
s
t
dt
,
(4-7)
第四章 随机信号的频域分析
自相关函数反映了一个信号与时间延迟τ后的同一信号 间的相关程度。 自相关函数Rs(τ)与时间t无关， 只和时间差 τ有关。 当τ=0时， 能量信号的自相关函数Rs(0)等于信号的 能量E：
第四章 随机信号的频域分析
同样， 两个能量信号的互相关函数 Rs1s2 与其互能量
谱密度 Es1s2 f 也构成一对傅里叶变换， 即满足：
Es1s2
R s1s2
e j d S1*
S2
(4-27)
Rs1s2
1 2π
E s1s2
ej d
(4-28)
第四章 随机信号的频域分析
若我们仍希望用连续的功率谱密度来表示周期信号的功
率， 可以引入δ函数将式（4-35）表示为
第四章 随机信号的频域分析
P 1
T0
T0 2 s2 (t)dt
T0 2
1 2π
n =-
Cn
2
n0
d
因此， 定义周期信号s(t)的功率谱密度为
(4-37)
Ps
1 2π
n =-
Cn
2
n0
第四章 随机信号的频域分析
第四章 随机信号的频域分析
4.1 确知信号分析 4.2 随机信号的功率谱密度 4.3 互功率谱密度 4.4 随机信号的带宽 4.5 高斯白噪声与带限白噪声
第四章 随机信号的频域分析
4.1 确知信号分析
4.1.1
对于确知信号， 根据能量是否有限， 可将其分为能量 信号和功率信号两类。 在通信理论中， 通常把信号功率定 义为电流或电压信号在单位电阻(1 Ω)上消耗的功率， 即归 一化功率P。 因此， 功率就等于电流或电压的平方：
确知信号的检测
第四章 确知信号的检测 4.2 匹配滤波器
主讲:刘颖 2006年 秋
4.2 匹配滤波器
概念：所谓匹配滤波器是指输出判决时刻信噪比最大的最佳线 性滤波器。 应用：在数字信号检测和雷达信号的检测中具有特别重要的意 义。在输出信噪比最大准则下设计一个线性滤波器是具有实际 意义的。
第四章 确知信号的检测 4.2 匹配滤波器
3.匹配滤波器的性质 性质1：匹配滤波器的最大峰值信噪比
d max
2E， N0
where : E 1 S() 2 d s(t)2 d
2
说明：匹配滤波器的最大峰值信噪比仅仅与信号的能量、白 噪声的功率谱密度有关，与信号的形状、噪声的分布无关。
2
N0
h(t) 1
2
cS
e jt0 e jt d
2
2E N0
where : E 1
h(t ) 1 cS e d j（ t0 t ) 2
S() 2 d s(t)2 d
1
2
S( )H ( )e jt0 d
白噪声经过线性系统后，输出功率谱密度为
Pn0 ( )
N0 2
H ( ) 2。ຫໍສະໝຸດ 输出噪声的平均功率为
E
no2 (t )
2
N0
4
H ( ) 2 d
输出峰值信噪比为
d
输出信号峰值功率 输出噪声平均功率
第四章-信--道
第4章 信 道
4.2 有线信道
明线
9
第4章 信 道
对称电缆：由许多对双绞线组成
导体 绝缘层
同轴电缆
图4-9 双绞线
实心介质 导体
金属编织网
保护层
图4-10 同轴线
10
第4章 信 道
n2 n1 折射率
光纤
结构
(a)
纤芯 包层
n2 n1 折射率
按折射率分类 (b) 阶跃型
梯度型 按模式分类
26
第4章 信 道
1 e j 1 cos j sin (1 cos)2 sin 2 2 cos
2
按照上式画出的模与角频率关系曲线：
图4-18 多径效应
曲线的最大和最小值位置决定于两条路径的相对
时延差。而 是随时间变化的，所以对于给定频率的
信号，信号的强度随时间而变，这种现象称为衰落现象。 由于这种衰落和频率有关，故常称其为频率选择性衰落。
25
第4章 信 道
f (t) F ()
（4.4-8）
则有
Af (t 0 ) AF()e j0
Af (t 0 ) AF()e j(0 )
Af (t 0 ) Af (t 0 ) AF()e j0 (1 e j )
上式两端分别是接收信号的时间函数和频谱函数 ，
故得出此多径信道的传输函数为
n2 n1 折射率
多模光纤 (c)
单模光纤
单模阶跃折射率光纤
125
7～10
11
第4章 信 道
损耗与波长关系
1.31 m 1.55 m
0.7
0.9
1.1
1.3
1.5
1.7
光波波长（m）
2014年信号检测与估计各章作业参考答案(1~9章)
第二章 随机信号及其统计描述1．求在实数区间[]b a ,内均匀分布的随机变量X 均值和方差。
解： 变量X 的概率密度 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-=其他，,01)(b x a a b x p均值 []⎰∞∞-+===2)(ba dx x xp X E m X方差 ⎰∞∞--=-=12)()()(222a b dx x p m x X Xσ2．设X 是具有概率密度函数)(x p 的随机变量，令x 的函数为0),exp(>-=a ax y试求随机变量y 的概率密度函数)(y p 。
解： 反函数0,ln 1>-=a y ax 雅可比式为 aydy dx J 1-==所以 0),ln 1(1)ln 1()(>-=-⋅=a y ap ay y a p J y p 4. 随机过程)(t X 为)sin()cos()(00t B t A t X ωω+=式中，0ω是常数，A 和B 是两个互相独立的高斯随机变量，而且0][][==B E A E ，222][][σ==B E A E 。
求)(t X 的均值和自相关函数。
7. 设有状态连续、时间离散的随机过程)2sin()(t t X Ω=π，式中t 只能取正整数，即 ,3,2,1=t ，而Ω为在区间)1,0(上均匀分布的随机变量，试讨论)(t X 的平稳性。
8.平稳随机过程)(t X 的自相关函数为1)10cos(22)(10++=-τττe R X ，求)(t X 均值、二阶原点矩和方差。
解： 可按公式求解[])()0(,)0()(,)(222∞-==∞=X X X X X X R R R t X E R m σ。
但在求解周期性分量时，不能得出)(∞R ，为此把自相关函数分成两部分： ()12)10cos(2)()()(1021++=+=-τττττeR R R X X X由于)10cos(2)(1ττ=X R 的对应的随机过程为 是随机变量为常数，ϕϕA t A t X ),10cos()(1+=所以[]0)(1=t X E而对于12)(102+=-ττeR X ，有1)(2=∞X R ，即[]1)(2±=t X E所以[][][]1)()()(21±=+=t X E t X E t X E 可理解为1)(=∞X R从而有 []5)0()(2==X R t X E ，)()0(2∞-=X X X R R σ=4因此)(t X 的均值、二阶原点矩和方差分别为[]1)(±=t X E []5)(2=t X E 42=X σ9. 若随机过程)(t X 的自相关函数为)cos(21)(0τωτ=X R ，求)(t X 的功率谱密度。
2021年信号检测与估计各章作业参考答案(1~9章)
其中 是常数， 是 上均匀分布的随机参量； 是高斯白噪声。
(a)求判决公式及最正确接收机结构形式。
(b)如果 ，证明最正确接收机可用 作为检验统计量，并对此加以讨论。
解：〔a〕设 是均值为0、功率谱密度为 的正态白噪声，那么有
由于
所以
按照贝叶斯准那么
或者
两边取对数得到
最正确接
因此 的均值、二阶原点矩和方差分别为
9.假设随机过程 的自相关函数为 ，求 的功率谱密度。
解:自相关函数与功率谱密度函数是一对傅立叶变换对，所以有
利用欧拉公式，可得
11.平稳随机过程 具有如下功率谱密度
求 的相关函数 及平均功率 。
解：
而自相关函数 与功率谱密度 是一对傅立叶变换，
〔b〕不管是否有条件 ，
都可选 作为检验统计量。
当 时，由于
所以判决规那么为
第六章多重信号检测
思考题1：为何要进行多重信号的检测？
答：利用多重信号检测的优势是可以增加检测系统的信噪比，从而增强系统的检测性能。
思考题3：何谓随机相位相干脉冲串信号和随机相位非相干脉冲串信号？
答：通常把多个脉冲信号组成的一串信号称为脉冲串信号，各个脉冲叫做子脉冲，整个信号叫做脉冲串信号。如果脉冲串信号的初相随机，但各个子脉冲信号的相位一致，那么称之为随机相位相干脉冲串信号。如果各子脉冲信号的相位都是随机变化的，且彼此独立变化，那么称之为随机相位非相干脉冲串信号。
〔1〕求 的最大似然估计。
〔2〕假设 的概率密度
求 的最大后验概率估计。
解：〔1〕由题意可写出似然函数
按最大似然估计方程 ，由此解得
〔2〕当 时，可按最大后验概率方程 求解，得到
第四章信号检测与估计理论(3)
d
t
xI 0T
2 T
xt
sin0
t
d
t
则整理得判决式
4.6.10a
4.6.10b
xt
1
2
exp
2
Es N0
xR cos
xIsin
d
exp
Es N0
H1
H0
进行变量代换,即令
4.6.11
l
x
2
R
x
2
I
1
2 ，l 0
arctg
xI xR
，
4.6.12a 4.6.12b
18
则有
xR lcos ，l 0 xI lsin ， l 0
；H1 ；H1
p xR
, xI
|
；H1
pl ,
|
；H1
pl
|
；H1
pl | H1
PHi | H1
Es 0 pl | H0
PHi | H0
33
根据xR和xI的定义：
xR 0T
2 T
xt
cos0t
dt
xI 0T
2 T
xt
sin0t
d
t
在假设H1下，x(t)是高斯随机变量，xR和xI都是高斯随机
p[(x(t)|Hj )
7
这样，似然比检验表示为下式，其中就不含 随机参量了。
8
对于先验概率密度函数未知的情况，或先验概率 密度函数未知的随机参量，通常采用参量的最 大似然估计方法，求得参量的最大似然估计量
ˆjml，然后用该估计量代替信号的随机参量或未知
参量，构成广义似然比检验，完成对信号的检测。
第四章 确知信号的检测1 - 2
7
当
0 时，上式变为
J () 0
t0
0
(t )
t0
0
2h0 () R n (t )d s (t 0 t ) dt 0
由于 (t ) 的任意性，上式等效为
即
t0
0
2h0 () Rn (t )d s(t 0 t ) 0
(t ) s(t 0 t )dt
0
t0
0
(t )h ( ) ( )h (t ) 2 (t ) ( )R
t0 0 0 0 t0 0 t0 0 0
n
(t )ddt
(t ) s(t 0 t )dt
t0 0 0
(t)h ( ) ( )h (t) 2 (t) ( )R (t )d (t)s(t t)dt
2 jt0 e N0
t0
0
2 t t0 jj (tt0 ) 0 2 2 式（ 4.165 ） 0 s ()e d S (sj )e e H ( j ) ( ) d s () e jt0 e N N0 0 N 0
j
2 jt t 2 匹配滤波器的传输函数为信号频谱的共 jt j e s ( ) e d S ( j ) e N 0 轭，并延迟时间 0 为常数，反 t 0 ，2 / N 0 N 0 映线性滤波器的放大倍数，通常取1，可 见 | H ( j) || S ( j) | ，匹配滤波器的幅频特 性等于信号 s (t ) 的幅频特性，或者说 二者是相匹配的。这也是把此种滤波器 称为匹配滤波器的缘故。
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)
( )h0 (t)
2 (t) ( )Rn (t
)d
(t)s(t0
t)
dt
7
当 0 时，上式变为
J()
0
t0 0
(t)
t0 0
2h0 ()Rn (t
)d s(t0
t)dt
0
由于 (t) 的任意性，上式等效为
t0 2h0 ()Rn (t )d s(t0 t) 0
0
即 t0
一般来说，相关器需要一个本地相干信 号 s(t) ，而且要求它和接收信号 x(t) 中 的有用信号严格同步，这一点是难以实 现的。
1
4.5.1 最大信噪比准则
设滤波器的输入信号为 x(t) s(t) n(t)。其中，
为持s(续t)时间
(的0，已t0 )知信号，
n(t) 为均值为零的广义平稳噪声，其自相关
Байду номын сангаас
系数为 Rn () ，滤波器的冲激响应为 h(t) 。
要求设计一个线性滤波器，使其在时刻t0 输出信噪比为最大。
2
在 t0时刻，滤波器的输出信号与噪声分量分别为
t0 2 s( )x( )d
0 N0
匹配滤波器在t=t0时刻的输出与相关器输出 等效，因此，可以用匹配滤波器来代替相 关器组成最佳接收机。
13
由图4.4描述的二元信号相关接收机也可 以用匹配滤波器等效构成，如图4.12所示。
14
相关器和匹配滤波器各有特点，采用哪 个合适要根据具体情况而定。
0 h0 ()Rn (t )d 2 s(t0 t)
8
由于 为拉格朗日乘子， 的变化仅仅改变滤
波器的增益，对信号和噪声的影响是相同的， 不改变信噪比。故可令 / 2 1
因此使输出信噪比最大的最佳滤波器冲激响应 可通过求解下列积分方程得到
t0 0
h0
()
Rn
h(t0
(t))dN20 ss((tt00
白噪声情况下匹配滤波器的冲激响应即为
h0 (t)
2 N0
s(t 0
t)
0 t t0 （4.158）
匹配滤波器的输出信噪比为
SNRmax
t0 0
2 N0
s 2 (t0
t)dt
令 t0 t ，则 d dt，上式变为
0 2
SNRmax t0 N 0
s 2 ()d
t0 2 0 N0
0
)d
t0 t0
h(t)h()R(t )ddt
00
3
则在 t0 时刻输出的信噪比为
SNR(t0 )
s02 (t0 ) Var n0 (t0 )
t0 0
t0 0
h(t ) s (t 0
2
t )dt
t0 0
h(t
)h(
)Rn
(t
)ddt
使输出信噪比 SNR(t0 )最大，等效为在 s0 (t0 )为常 数的约束条件下，使输出噪声平均功率Varn0 (t)
4.5 匹配滤波器
在高斯白噪声背景下，二元确知信号的检测中，
平均错误概率 与P信e 噪比
E有/ N关0 ，信噪
比越大，平均错误概率越小。这启发我们直
接用输出信噪比最大作为准则来设计接收机。
本节将介绍另一种最佳准则—最大信噪比准则。
匹配滤波器是使其输出信噪比为最大的一种滤 波器，是一种最佳线性滤波器，在输入为确知 信号加噪声的情况下，所得输出信噪比达到最 大。
为任意常数， (t) 为定义在区间 (0, t0 )
上的任意函数。 代入式(4.146)可得
J () t0 t0 h0 (t) (t)h0 () ()Rn (t )ddt 00 t0 h0 (t) (t)s(t0 t)dt 0 6
显然对于任意给定的 (t) ，J ()应在 0 处达到极小值，即应满足如下方程
s 2 ()d 2E N0
由上式见，输出信噪比仅与输入信号的能量和噪声的功率 谱密度有关，而与输入信号的波形和噪声的幅度分布无关。
12
应用式（4.158），可得出匹配滤波器在 t0 时刻的输出为
x0 (t0 )
t0 0
h0 (t)x(t0
t)dt
t0 0
2 N0
s(t0
t)x(t0
t)dt
为最小。
4
根据拉格朗日乘数法（Lagrange），首 先构造目标函数为J
J Varn0 (t0 ) s0 (t0 )
t0 0
t0 0
h(t
)h(
)
Rn
(t
)ddt
t0 0
h(t
)
s(t
0
t)dt
(4.146)
为拉格朗日乘子 。
上述问题等效为求使J达到极小值的h(t)。
5
设 h0 (t)是能使J达到极小的最佳滤波器冲 激响应，则任意滤波器的冲激响应可表 示为 h(t) h0 (t) (t)
t0 0
h0 (t )s(t 0
t
)d
t
2
t0 t0
h0 (t)h0 ()Rn (t )ddt
0 0
t0 0
h0 (t )s(t 0
t
)d
t
2
t0 h0 (t )s(t 0 t)dt
0
t0
h0 (t)s(t 0 t)dt
0
10
4.5.2 白噪声背景下的匹配滤波器
1．匹配滤波器的时域特性
tt))
0 t t0 (4.154)
即为匹配滤波器的普通形式。
该方程的物理意义:当滤波器输入端确知信号为s(t)，加性 噪声的自相关函数为 Rn () 时，则满足这一积分方程的滤 波器h0(t)使输出信噪比达到最大。
9
将上式代入（4.145），得到匹配滤波器输出 的最大信噪比，为
SNRm ax
有一种特殊而又常见的情况，就是噪声 为白噪声，其自相关函数为
Rn ( )
N0 2
( )
代入求解匹配滤波器冲激响应的积分方 程（4.154），可得
t0 0
h0 ()
N0 2
(t
)d
N0 2
h0 (t)
s(t 0
t)
11
下式表明，在高斯白噪声情况下，匹配滤波器的冲激 响应为输入信号的镜像函数。
J ()
0
0
求偏导得
J ( )
t0 0
t0 0
(t
)h0
(
)
(
)
(
)h0
(t
)
(t
)Rn
(t
)ddt
t0 0
(t
)s(t
0
t)dt
t0 0
t0 0
(t )h0
(
)
(
)h0
(t)
2
(t)
(
)Rn
(t
)ddt
t0 0
(t
)s(t
0
t)dt
t0 0
t0 0
(t)h0 (
t0
s0 (t0 ) h(t)s(t0 t)dt
0
t0
n0 (t0 ) h(t)n(t0 t)dt
0
由于输入噪声均值为0，所以输出噪声均值也为0， 输出噪声的方差即噪声平均功率为
Varn0 (t0 ) E n02 (t0 )
E
t0
h(t)n(t0 t)dt
0
t0
h()n(t 0