第二章线性定常连续系统状态方程的解分解

x1[t0 , ) x2 [t0 , ), y1[t0 , ) y2[t0 , )
xt [t0 , ), yt [t0 , )
• 传函法描述是零状态响应
3.对于线性定常连续系统动态方程来讲
Ax, x(t0 ) 0 : • 零输入响应为 x
--------齐次方程
(3)定理2.每一个基本矩阵 ,对(-∞,∞)中所有的t
而言,是非奇的.
(4)定义2.设 () 是 x A(t ) x(t ) 的任一基本矩
阵,对所有(-∞,∞)中的 (t , t0 )
1 ( t , t ) ( t ) (t0 ) 称 0
Ax, x(t0 ) x0 , t [t0 , ) x
• 物理上,零输入响应代表系统状态的自由运动，特
点是响应形态只由系统矩阵所决定，不受外部输
入的影响.
• 定义: [零状态响应]:
线性系统的零状态响应 xox (t ) 定义为只有输
入作用,即 u (t ) 0 而无初始状态作用,即 x0 0
也是容许的,则称该系统是线性的,否则
该系统是非线性的.简而言之,满足迭加
原理的系统为线性系统.
2.对定义的讨论 (1)若设 1 2 1 并有
x (t0 ) x (t0 ), u [t0 , ) u [t0 , )
1 2 1 2
• 则如果是线性系统的话,按定义, • 则 x(t0 ) 0, u[t0 , ) 0 .
0, 0 0[t0 , ), 0[t0 , )
• 从而,如果系统是线性系统的话,则必有
当
x(t0 ) 0, u[t0 , ) 0
时
系统响应亦为零—这也是线性系统的一 个必要条件.
(2) 式(1)中, 若 1 2 1 称式(1)的关
系为可加性。 若 2 0 则称式(1)的关系为齐次性。
现代控制理论
第二章 线性定常连续系 统状态方程的解
线性定常连续系统状态方程的解
• 准备知识A1 • 准备知识A2 • 一.线性定常连续系统齐次方程的解 (零输入响应) • 二.状态转移矩阵 • 三.线性定常系统非齐次方程的解
• 准备知识A1
1.利用状态和状态方程来定义系统的线性性 质. • 用符号 u[t0 , ), x(t0 ) x[t0 , ), y[t0 , ) • 表示状态 x(t0 ) 和输入 u[t0 , ) 激励出输出 y (t ) 和状态 x(t )，t t0 ,并称其为输入-状态-输出对.
• 零状态响应为 x Ax Bu , x(t0 ) 0 : --------非齐次方程.
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• 线性系统的响应可以分解为.
• 定义: [零输入响应]:
线性系统的零输入响应 xou (t ) 定义为只有初 始状态作用即 x0 0 ,而无输入作用即u (t ) 0
时的系统响应.
• 注意: 数学上,零输入响应 xou (t ) 就是无输入自治 状态方程(齐次方程)的状态解.
• 所以系统的响应对 x[t0 , ), y[t0 , )是由两个状
态-输入对所激励
• 称由 x t0 , 0激励的响应为零输入响应,只是 由 x(t0 ) 产生。 • 称由0, u[t0 , ) 激励的响应为零状态响应,只 是由 u[t0 , )产生。
• 这样对于线性系统来讲,可以独立地考虑其
(1)
1 2 1 2 x ( t ) x ( t ), u [ t , ) u [t0 , ) 1 0 2 0 1 0 2
1 2 1 2 x [ t , ) x [ t , ), y [ t , ) y [t0 , ) 1 0 2 0 1 0 2
零输入响应和零状态响应,而系统的全部响 应,则是它们的和. • 根据线性系统的性质:若
x(t0 ), 0 x1[t0 , ), y1[t0 , ) 0, u[t0 , ) x2 [t0 , ), y2 [t0 , )
• 则 x(t0 ), u[t0 , ) x(t0 ), 0 0, u[t0 , )
• 定义:一个系统,当且仅当对于任何两个容许 对 1 1 1 1
x (t ), u [t , ) x [t , ), y [t , ) x (t ), u [t , ) x [t , ), y [t , )
0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0
2 所构成的输入---状态--和任何实数1 和 输出对.
时,系统的响应.
• 注意: 数学上,零状态响应 xox (t ) 即为零初始
状态下的强迫方程
Ax Bu, x(t0 ) 0, t [t0 , ) x
的状态解. • 物理上,零状态响应 xox (t ) 代表系统状态由
输入u所激励的强迫运动
准备知识A2
• 不加证明地给出以下定理和定义.
(3) 式(1)中,若设 1 2 1 ,及假定
x1 (t0 ) x(t0 ), u1 (0), x 2 (t0 ) 0, u 2 [t0 , ) u[t0 , )
则 x(t0 ) 0, 0 u[t0 , ) xt [t0 , ), yt [t0 , ) 或 x(t0 ), u[t0 , ) x(t0 ), 0 0, u[t0 , ) xt [t0 , ), yt [t0 , )
(1)定理1. x A(t ) x(t ) 的全体解的集合,形成在实 数域上的n维向量空间.
(2)定义1. m n 矩阵函数 中,当且仅当n个列分 A(t ) x(t ) 别是 x Ax 的n个线性无关解时,称 为 x
A ,且 (t0 ) 非奇. 的基本矩阵,即