第二章线性定常连续系统状态方程的解分解
《自动控制原理》线性定常系统的线性变换及结构分解 (2)
y = 0
2
1
xc x
c
3．系统按可观测性得结构分解
系统按可观测性结构分解的所有结论，都对偶于系统按可控性
结构分解的结果。设不可观测系统的动态方程为
•
x = Ax + Bu, y = Cx
（9－201）
其中，x为n维状态向量；u为p维输入向量；y为q维输出向量。系统
得可观测性矩阵为
C
V
=
CA
xcTo
xT co
xT co
xT co
，相应地使原动态方程中的A, B,C 矩阵变换成某种标
准构造的形式。
结构分解的过程或方法可先从整个系统的可控性分解开始，将可控
与不可控的状态变量分离开，继而分别对可控和不可控子系统进行
可观测性分解，便可以分离出四类状态变量及四类子系统。当然，
结构分解的过程也可以从系统的可观测性分解开始。下面着重介绍
整个系统的输出响应
y(t)
均与不可控子系统的状态
x c
有关。
3)由于选取非奇异变换阵 P−1 的列向量s1, s2 ,, sr 及sr+1,, sn的非惟 一性，虽然系统可控性规范分解的形式不变，但诸系数阵不相同， 故可控性规范分解不是惟一的。 设一个可控性规范分解系统为（ A, B,C ），（书Ver6没有）
xco
可控
可观
x
co 可控 不可观
x co
不可控
可观
x co
不可控
不可观
由对应状态变量构成的子空间也分为四类，因而系统也对应分成了四
类子系统，称为系统的结构分解，也有的参考文献称此为系统的规范分解。
研究结构分解可以更明显地揭示系统的内部结构特性和传递特性。
现代控制理论_控制系统状态空间表达式的解
2.1.线性定常连续系统状态方程的解
1.齐次状态方程的解表示了系统在初始条件作用 下的自由运动，又称为零输入解；
2.系统状态的变化实质上是从初始状态开始的状 态转移，而转移规律取决于 eAt ，eA(t-t ) 故称其 为状态转移矩阵.一般用 ( t ) e At 来表示。 A( t t ) ( t t0 ) e 3.求齐次状态解的关键是求转移矩阵 eAt
At
x( t ) e
x(t0 ) e A Bu( )d
t0
t t0
t
x( t ) e
A( t t0 )
x(t0 ) e A( t ) Bu( )d
t
也就是 x(t ) (t t0 ) x(t0 ) t (t )Bu( )d
d At At e x ( t ) e Bu dt
e At Ax x
在区间[t0,t]上积分
e
At
x( t )
t t0
e A Bu( )d
t0
t
e
即
e
At
x( t )
t t0
e A Bu( )d
t0
At0
t
s 3 1 1 2 s s s 3 2
s 1 s 2 s s 1 s 2 1
s3 s 1 s 2 2 s 1 s 2
s 1 ( sI A) 1 s 2
Φ(t ) L
1
sI A
1
(1 t )e t t te
现代控制理论基础_周军_第二章状态空间分析法
2.1 状态空间描述的基本概念系统一般可用常微分方程在时域内描述，对复杂系统要求解高阶微分方程，这是相当困难的。
经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域内描述系统，得到联系输入－输出关系的传递函数，基于传递函数设计单输入－单输出系统极为有效，可从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。
但传递函数对系统是一种外部描述，它不能描述处于系统内部的运动变量；且忽略了初始条件。
因此传递函数不能包含系统的所有信息。
由于六十年代以来，控制工程向复杂化、高性能方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、输出量、误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制，因而可能处理复杂的时变、非线性、多输入－多输出系统的问题，但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。
于是需要用新的对系统内部进行描述的新方法－状态空间分析法。
第一节基本概念状态变量指描述系统运动的一组独立（数目最少的）变量。
一个用阶微分方程描述含有个独立变量的系统，当求得个独立变量随时间变化的规律时，系统状态可完全确定。
若变量数目多于，必有变量不独立；若少于，又不足以描述系统状态。
因此，当系统能用最少的个变量完全确定系统状态时，则称这个变量为系统的状态变量。
选取状态变量应满足以下条件：给定时刻的初始值，以及的输入值，可唯一确定系统将来的状态。
而时刻的状态表示时刻以前的系统运动的历史总结，故状态变量是对系统过去、现在和将来行为的描述。
状态变量的选取具有非唯一性，即可用某一组、也可用另一组数目最少的变量。
状态变量不一定要象系统输出量那样，在物理上是可测量或可观察的量，但在实用上毕竟还是选择容易测量的一些量，以便满足实现状态反馈、改善系统性能的需要。
状态向量把描述系统状态的个状态变量看作向量的分量，则称为状态向量，记以,上标为矩阵转置记号。
若状态向量由个分量组成，则称维状态向量。
2014《现代控制理论》学习指导书及部分题目答案
现代控制理论学习指导书第一部分重点要点线性系统理论线性系统数学模型稳定性、可控性和可观测性单变量极点配置的条件和方法。
最优控制理论变分法极小值原理最优性原理动态规划最优估计理论参数估计方法掌握最小方差估计和线性最小方差估计方法状态估计方法预测法，滤波系统辨识理论经典辨识方法最小二乘辨识方法系统模型确定方法自适应控制理论用脉冲响应求传递函数的原理和方法。
两种设计方法智能控制理论掌握智能控制的基本概念、基本方法以及智能控制的特点。
了解分级递阶智能控制、专家控制、神经网络控制、模糊控制、学习控制和遗传算法控制的基本概念第二部分练习题填空题1.自然界存在两类系统：______静态系统____和______动态系统____。
2.系统的数学描述可分为___外部描述_______和___内部描述_______两种类型。
3.线性定常连续系统在输入为零时，由初始状态引起的运动称为___自由运动_______。
5.互为对偶系统的__特征方程________和___特征值_______相同。
6.任何状态不完全能控的线性定常连续系统，总可以分解成____完全能控______子系统和____完全不能控______ 子系统两部分。
7.任何状态不完全能观的线性定常连续系统，总可以分解成__完全能观测________子系统和____完全不能观测______子系统两部分。
8.对状态不完全能控又不完全能观的线性定常连续系统，总可以将系统分解___能控又能观测、能控但不能观测、不能控但能观测、不能控又不能观测四个子系统。
9.对SISO系统，状态完全能控能观的充要条件是系统的传递函数没有__零极点对消_。
10.李氏稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。
11.经典控制理论讨论的是__在有界输入下，是否产生有界输出的输入输出稳定性问题，李氏方法讨论的是_动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。
12. ___状态反馈_______和__输出反馈________是控制系统设计中两种主要的反馈策略。
第二章 状态方程的解
例1：设系统的状态方程为 ：
ɺ x1 0 1 x1 = ɺ x2 0 0 x2
试求状态转移矩阵. 试求状态转移矩阵
解：求状态转移矩阵为
1 22 1 k k Φ(t ) = e = I + At + A t + ⋯ + A t + ⋯ 2! k!
e
At
矩阵，称矩阵指数。 为n×n矩阵，称矩阵指数。
于是， 于是，齐次状态方程的解为
x(t ) = e x(0)
At
若初始时刻 t0 ≠0 ，对应的初始状态为 x(t0 ) ，则 齐次状态方程的解为
x(t ) = e
A ( t −t0 )
x(t0 )
Φ (t ) = e
At
状态转移矩阵具有以下性质： 状态转移矩阵具有以下性质：
λk +1 , λk + 2 ,⋯ , λn 互异，则 A 的 (n − k) 个互异特征值均满足系统方程，得到 (n − k) 个代数方程。
eλit = α0 (t ) + α1 (t )λi + ⋯ + αn−1 (t )λin−1 , i = k + 1, k + 2,⋯, n
对于 A 的 k 重特征根，则有下列 k 个代数方程。 将 λ1 代入系统方程，得
Φ(t ) = e At = I + At + 1 22 1 A t + ⋯ + Ak t k + ⋯ 2! k!
n −1
= α0 (t ) I + α1 (t ) A + ⋯ + αn−1 (t ) A
= ∑αk (t ) Ak
k =0
第二章 状态方程的解
解：A的特征方程为 I A 特征值为 1 1, 2 2
1 ( 1)( 2) 0 2 3
变换阵
e At
1 1 1 1 2 T ,T 2 1 1 2 2
1 e t 2 2 2 0
标量微分方程的解。设标量微分方程为 （2-2） ax x
x(0) x0
对式（2-2）取拉氏变换得
sX ( s) X 0 aX( s)
取拉氏反变换，得
k ( at ) at x ( t ) e x0 x0 k 0 k!
则
x0 X ( s) sa
k 0
n 1
下面分两种情况确定待定系数： 情况1：A的特征值互异，则
0 (t ) (t ) 1
1 1 1 2 n1(t ) 1 n
2 1 2 2
2 n
n 1 n
0 0 0 1 0 0
1t e 1 n 1 1 1t te n 2 (n 1)1 1 t 2 e 1t (n 1)(n 2) n3 2! 1 2! 1 n 2 1t t e (n 1)1 (n 2)! 1 n1 1t 1 t e (n 1)!
n 1 1 n 1 2
情况2：A的特征值有重根，则
0 ( t ) 1 (t ) 0 1 2 (t ) 0 n 2 (t ) 0 n1 (t ) 0
1 12 1 21
现代控制理论--3控制系统的状态方程求解
7
小结：
1.齐次状态方程的解表示了系统在初始条件作用 下的自由运动，又称为零输入解；
2.系统状态的变化实质上是从初始状态开始的状
态转移，而转移规律取决于 eAt ，eA(t-t0) 故称其
为状态转移矩阵.一般用
x
(t) eAt (t t0) eA(tt0)
来表示。 x 0
2 ! 3 !
AA2t1A3t2L 2!
A(I At 1 A2t2 L ) 2!
AeAt eAt A
13
所以当 Φ(t)=eAt时， &(t)A(t) 又因为 Φ(t)=eAt (t=0时) eA0 =I+A0+...=I 所以 Φ(0)=I 故 eAt 是状态转移矩阵Φ(t)
（2）状态转移矩阵Φ(t)是A阵同阶的方阵，其元 素均为时间函数.
sX(s)-x0=AX(s)+BU(s)
即
X(s)=(sI-A)-1[x0+BU(s)]
其中X(s)和U(s)分别为x(t)和u(t)的拉氏变换。
对上式两边取拉氏反变换,并利用卷积分公式,则有
x ( t ) L 1 ( s A ) I 1 x 0 L 1 ( s A ) I 1 B ( s )U
1 0 3x1u
试求：x(0)=0,u(t)=1(t) 时的状态解。
解：1.求 eAt ： 由前例得：
eAt
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t et 2e2t
25
2. 求x(t)
x(t)eA tx00 teA (t )B u ()d
t2 e (t )e 2 (t ) e (t ) e 2 (t ) 0
由于状态空间表达式由两部分组成,即 x& Ax Bu y Cx Du
(哈工大)2.线性定常系统齐次状态方程的解 gai
对于1 -1 ，有 AP1 -P1 1 0 P11 0 P11 0 P P 0 1 21 21 6 11 6 P31 P31 P21 P11 P31 P21 - 6P 11P 6P P 21 31 31 11 解得
L (sI - A)
1
-1
te t t (1 t )e
1 s2 t 2 2 ( 1 t ) e (s 1) 1 (s 1) L t 1 s te 2 2 (s 1) (s 1) 1 -1 x(t) L (sI - A) x(0)
3.两种方法的关系
I A A2 Ak （sI - A)( 2 3 k 1 ) I s s s s 2 k I A A A -1 (sI - A) 2 3 k 1 s s s s 1 2 2 1 k k 1 -1 L (sI - A) I At A t A t 2! k! e At L1 (sI - A)-1
s - 1 sI A 1 s 2
sI A
Page 11
-1
s2 adj( sI A) (s 1)2 det(sI A) - 1 2 (s 1)
1 2 (s 1) s 2 (s 1)
t x ( t ) 1 (1 t )e x (t ) t 2 te
Page 12
x1 (0) te t (1 t )e x 2 (0)
t
MATLAB
>>a=[0 1;-1 -2] >> s=sym(‘s’) >>sa=inv(s*eye(2)-a) >>ilaplace(sa)
现代控制理论-状态方程的解
e
At
Te JtT1
1
0
2
0
et
0
2
3
1 1 4 0 0 e 2 t 1 2
Iinv(A)
2
1
1
作业：p.536;9-9;9-10;9-11
2tete2t 3tet2et2e2t tetete2t
0 1 0
2(e2ttetet) 3tet5et4e2t tet2et2e2tA
iPi1APi1Pi
..................................
参见 现代控制论
教材p.490 刘豹 p.28
Matla 中，矩阵求逆 b 命令为
1 1 0
et tet 0
J
T1AT=
0
1
0
0 0 2
e Jt
0
0
et
0
0 e 2 t
1 1 1 e t te t 0 2 5
T
2 2
1 2
特征 向量 问题
Api i pi
T 1
1
1 2
1 1
T1AT
1 0
0 2
e At
TetT1
2 2
1 et
2
0
2et e2t 2et 2e2t
e
0
2
t
1
1
1 2 1
et e2t et 2e2t
利用拉氏变换的方法参见书 p.458 例9-4，9-5
证明→
1
0
0
2
1
，
n
2
...
n
e At
矩阵指数
的求法
《自动控制原理》线性定常系统的线性变换及结构分解
1n−1
n−1 2
n−1 n
(9-170)
3)设A阵具有m重实数特征值1，其余为(n − m) 个互异实数特征
值，但在求解Api = 1 pi (i = 1,2,, m) 时仍有m个独立实特征向量P1, P2 ,, Pm ，
则仍可使A阵化为对角阵 。（Ver6书没有）
P = p1 p2 pm pm+1 pn
系统。其动态方程分别为
•
S1 : x = Ax + Bu, y = Cx
(9—186)
•
S2 : z = AT z + C T v, w = BT z
(9—187)
其中，x，z均为n维状态向量；u.w 均为P 维向量；y, v 均为q维向量。
注意到系统与对偶系统之间，其输入、输出向量的维数是相交换的。
这表明变换前与变换后系统的传递矩阵完全相同，系统的传递矩阵 对于非奇异线性变换具有不变性。
3．变换后系统可控性不变
变换后系统可控性矩阵的秩为
rankS ' = rank P −1B (P −1 AP)P −1B (P −1 AP)2 P −1B (P −1 AP)n−1 P −1B = rank P −1B P −1 AB P −1 A2 B P −1 An−1B = rankP−1 B AB A2 B An−1B = rank B AB A2 B An−1B = rankS
三．非奇异线性变换的不变特性 从前面的研究中可以看到，为了便于研究系统固有特性，常常
需要引入非奇异线性变换，例如，将A阵对角化或约当化，需进行P 变换；将 A,b化为可控标准型，需进行 P−1 变换；将 A, c 化为可观测
标准型，需进行PT 变换。虽然这些变换中的p阵各不相同，但都是
现代控制理论 第2章 线性系统的运动分析修改
+
= (sI A)1
e At = L1 (sI A)1
故可得：
e At = L1[( sI A)1]
5
2.2 状态转移矩阵
一、状态转移矩阵的含义
已知：线性定常系统的齐次状态方程： x= Ax
满足初始状态x(t) |t=0 = x(0)的解是：x(t) = eAt x(0) 满足初始状态 x(t) |t=t0 = x(t0 ) 的解是： x(t) = e A(tt0 ) x(t0 )
11
(3).若 A 为约旦矩阵
12
第三章 状态方程的解
（4）若A为具有约当块的矩阵
A
=
A1
O
Aj
其中：A1, A2,L L Aj 为约当块
则有：
e A1t
0
e At
=
e A2t O
eAjt
13
第三章 状态方程的解
(5)若 A为
则有：
A = -
e At
=
e t
cost sin t
两边取拉氏变换得： sX (s) x(0) = AX (s) 整理得： X (s) = (sI A)1 x(0)
（2=4）
拉氏反变换得： x(t) = L1[( sI A)1]x(0) （2=5）
e At
=
I
+
At
+
A2 2!
t2
+
仿标量系统得： L e At
=
1 s
+
A s2
+
A2 s3
说明2：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指 数函数本身。
说明3：状态转移矩阵的物理意义：
现代控制理论 线性定常齐次状态方程的解PDF版
《现代控制理论》MOOC课程第二章系统状态空间表达式的解线性定常齐次状态方程的解状态转移矩阵线性定常非齐次状态方程的解线性时变系统状态方程的解控制系统状态空间表达式的解，就是求解系统x =A x +Bu y =Cx +Dux 0=x 0在给定初始条件和控制输入共同作用下，状态向量和输出向量的随时x 0=x 0u(t)间变化的运动规律。
x t ,y t 线性系统一定满足叠加原理。
系统在初始状态和控制输入共同作用下的运动x 0u(t)状态，可以分解为由初始状态和控制输入分别单独作用产生的运动状态x t x 0u(t)x 0u t x 0x t 和的叠加，即x t =x 0u t +x 0x tx 0x =A x +Buu =0x 0u t=零输入响应x =A x +Bux 0=0ux 0x t+零状态响应x =A x +Bux 0ux(t)响应定义为只有初始状态作用即，而无输入作用即时系统的状态响应。
x 0≠0零输入响应u ≡0x 0u t x 0x t 定义为只有输入作用即，而无初始状态作用即时系统的状态响应。
x 0=0零状态响应u ≢0x 0u t x =A x ，x 0=x 0零输入响应就是自治方程在非平衡初始状态作用下的自由解。
x 0x 0x t x =A x +Bu ，x 0=0零状态响应就是状态方程u 在平衡初始状态时，输入激励作用下的强迫运动。
第二章控制系统状态空间表达式的解零输入响应x e =0x 2u ≢0u ≠0响应x e =0x 2x 1x 0≠0t =t 0t =t 0u ≢0u ≠0x 1零状态响应x e =0x 2x 1t =t 0x 0=0x 0≠0《现代控制理论》MOOC课程2.1 线性定常齐次状态方程的解2.1 线性定常齐次状态方程的解一。
系统的零输入响应x 0u t =e At x 0，t ≥0线性定常系统齐次状态方程x =A x ，x 0=x 0，t ≥0(2−1)的解，即系统的零输入响应为：x 0u t eAt≜I +At +12!A 2t 2+⋯=k=0∞1k!A k tk式中，为系统矩阵A 的矩阵指数函数：e At 证明：令方程(2－1)的解为系数向量待定的一个幂级数，即x 0u t =b 0+b 1t +b 2t 2+⋯=k=0∞b k t k（2−2）其必满足方程(2－1)，将上式代入方程(2－1)可得b 1+2b 2t +3b 3t 2⋯比较可得：b 1=Ab 0，b 2=12Ab 1=12A 2b 0,⋯,b k =1k!A kb 0，⋯=A (b 0+b 1t +b 2t 2+⋯)x 0ut =(I +At +12!A 2t 2+13!A 3t 3+⋯)b 0将求得的待定系数，代入（2－2）式可得：由初始条件可得，故x 0u 0=x 0b 0=x 0x 0ut =(I +At +12!A 2t 2+13!A 3t 3+⋯)x 0=e At x 0得证线性定常系统零输入响应的几点说明如果取某个固定值，零输入响应就是状态空间中由初始状态经线性变换阵所导t x 0e At 所组成的一条轨线;x t 出的一个变换点。
现代控制理论习题解答(第二章)
第二章 状态空间表达式的解3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。
（1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A（2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0410A（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110A （4）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A（5）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00100001000010A （6）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ0100010000A【解】： （1）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=Φ-----)2(10)2(11}201{])[()(11111s s s s L s sL A sI L t⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-=---ttees s s s L 22105.05.01)2(10)2(5.05.01（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=Φ-----t tt ts s s s s s L s sL A sI L t 2cos 2sin 22sin 5.02cos 444414}41{])[()(222211111（3）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=Φ-----222211111)1()1(1)1(1)1(2}211{])[()(s s s s s s L s s L A sI L t⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+=Φ------tttttt teetete e te t )(（4）特征值为：2,1321===λλλ。
由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=421211101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1211321201P线性变换后的系统矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-20010011~1AP P A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t tt ttA e ete e e2~0000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡===Φ-121132120000421211101)(21~t t tttA Ate te eePPeet⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--++-----++-----++--=Φt t ttt tt t t t t t t tt tt t ttt t tt t t e te eete ee te e e te e e te e ete e ete e e te e tee t 34838424225342222322)(222222222（5）为结构四重根的约旦标准型。
状态方程的解
Chapter2状态方程的解我们要解决的问题是：在系统初始时刻0t t =时，初始状态为00)(x t x =的条件下，对该系统施加控制)(t u ，求出系统状态)(t x 的变化，即求解非齐次方程（0)(≠t u ）初值问题的解：000)()()()()()(t t x t x t u t B t x t A t x≥=+=或者在系统不加控制)(t u ，（0)(=t u 称为自由系统）的条件下，求出初值)(0t x 对系统状态)(t x 的影响，即求解齐次方程初值问题的解：000)(),()()(t t x t x t x t A t x≥==⇒⎩⎨⎧离散连续线性定常⇒⎩⎨⎧离散连续线性时变⎩⎨⎧⨯∆⇒⎩⎨⎧⨯∆数值解解析解非齐次数值解解析解齐次 2.1 线性定常系统状态方程的解2.1.1n 阶、线性、定常（无关与时间t A ）连续系统齐次状态方程的解我们知道：常系数线性微分方程（标量方程）)()(t ax t x= ，0)0(x x =，0≥t 其解为 000!)(x k t a x e t x k kk at∑∞===对齐次状态方程（矩阵方程）)()(t Ax t x= ，0)0(x x =，0≥t 很自然，仿照常系数线性微分方程，可得到n 阶线性、定常、连续系统齐次（0)(=t u ）状态方程的解000!)(x k t A x e t x k kk At∑∞=== 定义矩阵指数：k k k k k Att A k t A At I k t A e!121!220++++=≡∑∞= ，它仍是一个矩阵。
若初始时间为0t ，则状态方程的解为0000)(!)()(0x k t t A x et x k kk t t A ∑∞=--==∑∞=--=00)(!)(0k kk t t A k t t A e称为定常（连续）系统的状态转移矩阵。
)(0t t A e -物理意义：将系统从初始状态)(0t x 转移到（时刻t 的）状态)(t x 。
3线性定常连续系统状态方程的解.ppt
(3) 状态方程的解为
t 2t 4e 3e At x (t ) e x0 t 2 t 4e 6e
线性定常连续系统的状态转移矩阵
q1+2q2t+3q3t2 +…+kqktk1+…=A(q +q t+q t2 +…+q tk+…) 0 1 2 k
– 如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均 成立.因此,使t有相同幂次项的各项系数相等,即 可求得 q A q , q A q A2 q , , q A q Ak q
• 由常微分方程理论知,该方程的解连续可微。
– 因此,该解经泰勒展开可表征为无穷级数,即有
x(t ) q0 q1t q2t 2 qk t k
式中,qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数。
级数展开法(2/12)
– 将所设解代入该微分方程,可得
q1 2q2t 3q3t 2 kqk t k 1 a(q0 q1t q2t 2 qk t k )
– 根据常微分方程理论求解一个一阶定常线性微 分方程组,通常是很容易的。
• 可是求解一个时变的一阶线性微分方程组却非易 事。
– 状态转移矩阵的引入,从而使得定常系统和时变 系统的求解公式具有一个统一的形式。 – 为此,本章将重点讨论状态转移矩阵的定义、性 质和计算方法,并在此基础上导出状态方程的求 解公式。
图3-1 状态转移特性
x ( t2 )
t
t2
0x1t1来自 ( t1 0) ( t2 t1 )
拉氏变换法
当初始状态给定以后,系统的状态转移特性就完全由状 态转移矩阵所决定。 所以,状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息。 可见,状态转移矩阵的计算是齐次状态方程求解的关键。
线性控制系统状态方程求解
0 1
0 0
et
1
2
1
1 t2et 2
(1 t t 2 )et
t
1 2
t
2
et
t
1 2
t
2
et
3t t 2 et
(1
2t
1 2
t
2
)et
4、凯莱－哈密顿（以下简称C-H）定理法：将 e At 化为A的有限项多
项式来求解：
（1）：设n×n维矩阵A的特征方程为：
f ( ) | I A | n a1n1 an1 an 0
2!
k!
P
1 P
P
1
ΛtP
P
1
1 2!
Λ2t
2
P
P 1
1 k!
Λkt k
P
P 1
I
Λt
1 2
Λ2t 2
1 Λkt k k!
P
P 1eΛt P
例2-5 已知
A
0 2
13， 求状态转移 矩阵1Φ(t)
解：系统特征方程式为
I A
2 3
2
3
2
0
可解出系统特征值为 1 1, 2 2
，
1 3 3
可解出系统特征值为 1,2,3 1
变换矩阵为
1 0 01 1 0 01 1 0 0
P
1
1
0 1 1 0 1 1 0
12 21 1 1 2 1 1 2 1
1 0 0 P 1 1 1 0
1 2 1
e1t
eJt
0
te1t e1t
1 t e2 1t 2 te1t
et 0
为约当形矩阵
1 1
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Ax, x(t0 ) x0 , t [t0 , ) x
• 物理上,零输入响应代表系统状态的自由运动，特
点是响应形态只由系统矩阵所决定，不受外部输
入的影响.
• 定义: [零状态响应]:
线性系统的零状态响应 xox (t ) 定义为只有输
入作用,即 u (t ) 0 而无初始状态作用,即 x0 0
零输入响应和零状态响应,而系统的全部响 应,则是它们的和. • 根据线性系统的性质:若
x(t0 ), 0 x1[t0 , ), y1[t0 , ) 0, u[t0 , ) x2 [t0 , ), y2 [t0 , )
• 则 x(t0 ), u[t0 , ) x(t0 ), 0 0, u[t0 , )
(1)
1 2 1 2 x ( t ) x ( t ), u [ t , ) u [t0 , ) 1 0 2 0 1 0 2
1 2 1 2 x [ t , ) x [ t , ), y [ t , ) y [t0 , ) 1 0 2 0 1 0 2
现代控制理论
第二章 线性定常连续系 统状态方程的解
线性定常连续系统状态方程的解
• 准备知识A1 • 准备知识A2 • 一.线性定常连续系统齐次方程的解 (零输入响应) • 二.状态转移矩阵 • 三.线性定常系统非齐次方程的解
• 准备知识A1
1.利用状态和状态方程来定义系统的线性性 质. • 用符号 u[t0 , ), x(t0 ) x[t0 , ), y[t0 , ) • 表示状态 x(t0 ) 和输入 u[t0 , ) 激励出输出 y (t ) 和状态 x(t )，t t0 ,并称其为输入-状态-输出对.
• 所以系统的响应对 x[t0 , ), y[t0 , )是由两个状
态-输入对所激励
• 称由 x t0 , 0激励的响应为零输入响应,只是 由 x(t0 ) 产生。 • 称由0, u[t0 , ) 激励的响应为零状态响应,只 是由 u[t0 , )产生。
• 这样对于线性系统来讲,可以独立地考虑其
x1[t0 , ) x2 [t0 , ), y1[t0 , ) y2[t0 , )
xt [t0 , ), yt [t0 , )
• 传函法描述是零状态响应
3.对于线性定常连续系统动态方程来讲
Ax, x(t0 ) 0 : • 零输入响应为 x
--------齐次方程
0, 0 0[t0 , ), 0[t0 , )
• 从而,如果系统是线性系统的话,则必有
当
x(t0 ) 0, u[t0 , ) 0
时
系统响应亦为零—这也是线性系统的一 个必要条件.
(2) 式(1)中, 若 1 2 1 称式(1)的关
系为可加性。 若 2 0 则称式(1)的关系为齐次性。
(1)定理1. x A(t ) x(t ) 的全体解的集合,形成在实 数域上的n维向量空间.
(2)定义1. m n 矩阵函数 中,当且仅当n个列分 A(t ) x(t ) 别是 x Ax 的n个线性无关解时,称 为 x
A ,且 (t0 ) 非奇. 的基本矩阵,即
• 定义:一个系统,当且仅当对于任何两个容许 对 1 1 1 1
x (t ), u [t , ) x [t , ), y [t , ) x (t ), u [t , ) x [t , ), y [t , )
0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0
2 所构成的输入---状态--和任何实数1 和 输出对.
(3) 式(1)中,若设 1 2 1 ,及假定
x1 (t0 ) x(t0 ), u1 (0), x 2 (t0 ) 0, u 2 [t0 , ) u[t0 , )
则 x(t0 ) 0, 0 u[t0 , ) xt [t0 , ), yt [t0 , ) 或 x(t0 ), u[t0 , ) x(t0 ), 0 0, u[t0 , ) xt [t0 , ), yt [t0 , )
(3)定理2.每一个基本矩阵 ,(4)定义2.设 () 是 x A(t ) x(t ) 的任一基本矩
阵,对所有(-∞,∞)中的 (t , t0 )
1 ( t , t ) ( t ) (t0 ) 称 0
• 零状态响应为 x Ax Bu , x(t0 ) 0 : --------非齐次方程.
• 线性系统的响应可以分解为.
• 定义: [零输入响应]:
线性系统的零输入响应 xou (t ) 定义为只有初 始状态作用即 x0 0 ,而无输入作用即u (t ) 0
时的系统响应.
• 注意: 数学上,零输入响应 xou (t ) 就是无输入自治 状态方程(齐次方程)的状态解.
也是容许的,则称该系统是线性的,否则
该系统是非线性的.简而言之,满足迭加
原理的系统为线性系统.
2.对定义的讨论 (1)若设 1 2 1 并有
x (t0 ) x (t0 ), u [t0 , ) u [t0 , )
1 2 1 2
• 则如果是线性系统的话,按定义, • 则 x(t0 ) 0, u[t0 , ) 0 .
时,系统的响应.
• 注意: 数学上,零状态响应 xox (t ) 即为零初始
状态下的强迫方程
Ax Bu, x(t0 ) 0, t [t0 , ) x
的状态解. • 物理上,零状态响应 xox (t ) 代表系统状态由
输入u所激励的强迫运动
准备知识A2
• 不加证明地给出以下定理和定义.